关于空间AK增长模型的收敛性

Carletti 7那么k（x，t）是（5）的正解，初始条件为（6），当且仅当h（x，t）是ht=hxx的正解- γ（x，t）（x，t）∈ Ohm , （11） 初始条件相同（6），其中γ（x，t）=e-RtA（s）dsc（x，t）。定理1和定理2的证明由以下步骤构成。我们首先找到了一个正式的解决方案，即aFo urier系列，该系列按顺序排列，有多种解决方案（5）。命题1（形式解）让我们定义，对于任何正整数n，λn=nand，对于（x，y，t）∈ T×R+，格林函数g（x，y，T）=Xn≥0e-λntcos[n（x- y） ]。（12） 那么函数h（x，t）由h（x，t）=πZπ给出-πG（x，y，t）k（y）dy-πZtdsZπ-πG（x，y，t）- s） γ（y，s）dy，（13）是式（11）的形式解。第二步是证明前一个命题提供的解实际上是经典解。命题2（经典解）在上述假设下，函数G（x，y，t），分别为h（x，t），在t×[0]中是连续的+∞), 分别为T×[0+∞), 在T×（0）中可二次微分+∞), 分别为t×（0+∞).第三步是证明经典解的唯一性：命题3（唯一性）初始条件为k（x，t）=k（x）的等式（11）的经典解是唯一的。考虑到上述结果，并使用引理1，我们可以得出以下结论：k（x，t）=h（x，t）eRtA（s）ds（14）：=eRtA（s）dsπZπ-πG（x，y，t）k（y）dy-πZtdsZπ-πG（x，y，t）- s） γ（y，s）dy,是（5）的唯一经典解，初始条件为k（x）。证明定理1的最后一步是证明（14）给出的解对于所有（x，t）都是非负的∈ Ohm,也就是说，描述资本存量在时空中演化的函数k（x，t）处处都是非负的。

为此，我们需要一个初步的结果（引理2），其结果可以在附录中找到。为了清楚起见，除了关于非否定性的证明外，所有的证明都归入附录。G.Aldashev，S.Aldashev，T.Carletti 8命题4（非负性）设h（x，T）为方程（11）的经典解Ohm 有边界条件h（x，0）=k（x）≥ 0代表所有x∈ 假设γ（x，T）≥ 0代表所有（x，t）∈ Ohm. 在假设γxx（x，t）下≤ 0（x，t）∈ Ohm ,andk（x）≥ds，γ（x，t）∈ Ohm ,我们有（x，t）≥ 0（x，t）∈ Ohm . （15） 证据。Le t>0，>0，让我们定义辅助函数v（x，t）=h（x，t）+t+Ztγ（x，s）ds，用于所有（x，t）∈ T×[0，T]。一个简单的计算给出：vt- vxx=ht- hxx++γ（x，t）-Ztγxx（x，s）ds=-Ztγxx（x，s）ds≥ >0，我们使用的是- hxx=-γ（x，t）和假设γxx（x，s）≤ 因此，我们可以将引理2to v应用，并得出结论，它达到了它的最小值a，t，some（a，τ）∈ T×{0}。因此，我们得到了（x，t）∈ T×[0，T]h（x，T）+T+Ztγ（x，s）ds=v（x，T）≥ v（x，0）=h（x，0）=k（x），thush（x，t）+t≥ k（x）-Ztγ（x，s）ds≥ 0，其中最右边的不等式成立，因为对k的假设。我们最终可以达到极限→ 0并得出H（x，t）的结论≥ 0（x，t）∈ T×[0，T]。由于函数k（x，T）与h（x，T）具有相同的符号，我们得出结论，k（x，T）在Ohm这就是定理1的证明。定理EM2的证明可以以非常相似的方式实现；唯一的区别在于我们在定理2的假设下证明解（14）的非负性的方式。命题5（非负性）设h（x，t）为方程（11）的经典解Ohm 有边界条件h（x，0）=k（x）≥ 0代表所有x∈ 假设γ（x，T）≥ 0代表所有（x，t）∈ Ohm.

假设下（x）≥Ztmaxx∈Tγ（x，s）ds（x，t）∈ Ohm ,G.阿尔达谢夫，S.阿尔达谢夫，T.卡莱蒂9我们有（x，T）≥ 0（x，t）∈ Ohm . （16） 证据。Le t>0，>0，让我们定义辅助函数v（x，t）=h（x，t）+t+Ztmaxx∈Tγ（x，s）ds，对于所有（x，T）∈ T×[0，T]。直接计算提供了vt- vxx≥ 因此，通过引理2，v在（a，τ）处达到其最小值∈T×{0}。然后，根据一个类似于前一个命题的论点，我们得出结论：h（x，t）+t≥ k（x）-Rtmaxx∈Tγ（x，s）ds≥ 0.超越极限→ 利用T的任意性，我们得到了结果。再一次，因为k（x，t）和h（x，t）通过一个正函数而不同，我们可以确定k（x，t）是非负的Ohm.我们上面的结果表明，如果资本的初始空间不平等不是太明显，并且消费在空间上没有太大差异（为了尊重（9）），那么给定的消费函数唯一地决定了空间增长过程。然而，自然的问题仍然是，这种动态（总是）是否会导致资本存量随时间在整个空间上的收敛。我们在下面解决这个问题。3.2渐近行为和收敛本小节的目的是研究大t的经典解k（x，t）的渐近行为。我们的分析依赖于大t的格林函数G（x，y，t）的行为（附录中的引理3充分说明了这一点）。让我们首先考虑与时间无关的技术的情况，即A（t）=A对于所有t。我们的主要结果是以下命题6：假设（9）成立，k（x，t）是（5）的经典非负解，初始条件为k（x，0）=k（x），A（t）=A∈ R+。然后，假设ec（t）有界，我们有limt→∞k（x，t）e-在=埃克-Z∞E-Asec（s）ds（17）在T中一致，其中ek=πZπ-πk（x）dx和ec（t）=πZπ-πc（x，t）dx。证据

在A（t）=Awe get:k（x，t）e的情况下，从类非负解k（x，t）的显式形式-At=πZπ-πG（x，y，t）k（y）dy-πZtdsZπ-πG（x，y，t）- s） e-Asc（y，s）dy，G.Aldashev，s.Aldashev，T.Carletti 10可以重写的ask（x，T）e-At=πZπ-π[G（x，y，t）- 1] k（y）dy+ek-πZtdsZπ-π[G（x，y，t）- （s）- 1] e-Asc（y，s）dy-中兴通讯-亚欧理事会(s)ds。使用引理3，顶行上的第一项变成，在极限t→ ∞:极限→∞πZπ-π[G（x，y，t）- 1] k（y）dy= 0 .剩余的ter ms可按如下方式处理：πZtdsZπ-π[G（x，y，t）- （s）- 1] e-Asc（y，s）dy≤πZtdsZπ-πXn≥1e-新界北-A） sc（y，s）dy≤ 马xs≤tec（s）Xn≥1e-新界北- A.e（n）-A） t- 1.≤ 麦克斯≤行政长官(s)E-AtXn≥1n- A.-Xn≥1e-新界北- A..级数收敛，其和在极限内消失。因此，limt→∞πZtdsZπ-π[G（x，y，t）- （s）- 1] e-Asc（y，s）dy= 0，这就是证明。现在让我们考虑一个与时间相关的技术参数。在附加的次要假设下，我们可以证明一个类似的结果，即技术参数总是严格正的，a（t）>0。命题7假设条件（9）成立，k（x，t）是（5）的经典正解，初始条件k（x，0）=k（x），A:R+→ R+，存在一个+>0，使得A（t）≥ A+t≥ 然后，假设ec（t）有界，我们得到limt→∞香港（x，t）e-RtA（s）dsi=ek-Z∞E-RsA（z）dzec（s）ds。（18） 在T中一致，其中Ek=πZπ-πk（x）dx和ec（t）=πZπ-πc（x，t）dx。证据这一主张可以按照前面命题的相同思路得到证明，观察到我们有以下界限：e-RtA（s）ds≤ E-A+t T≥ 0 .我们已经证明，任何满足条件（9）的最优增长动态都会导致资本随时间的空间收敛。从直觉上看，资本差异基于资本更丰富的国家之间的空间贸易。阿尔达谢夫，S.阿尔达谢夫，T。

根据贸易平衡关系τ（x，t）=-kxx（x，t）保证，对于满足（9）的给定消费比例，资本的初始空间不平等性会随着时间的推移而消失。至关重要的是，这并不取决于社会规划者的特定目标函数。这一点很重要，因为在这样的目标函数中设置空间权重，使每个位置都相等，这有点随意，可能不符合某些福利标准；我们的上述发现表明，这种权重平等假设可以放宽。4结论我们已经证明，在程式化的空间AK增长模式l中，渐近收敛不依赖于关于社会规划目标函数的限制性假设。考虑到时变技术参数，我们对这一发现进行了推广，并为资本存量的空间分布动力学提供了明确的解决方案。未来研究的两个方向看起来特别有希望。首先，该技术可能不仅依赖于时间，而且还依赖于空间上的差异，如Quah（2002）所述。这一推测已被证实。例如，Acemoglu和Dell（2010）记录了拉丁美洲的巨大空间生产力差异，这也表明国家内部的差异远大于国家之间的差异，并表明这些差异是由制度特征（尤其是当地政治权力的分布）决定的。另一种解释是，正如Combes等人（2012年）所示，集聚外部性使企业更具生产力。正如Desmet和Rossi Hansberg（2012年，2014年）所讨论和建模的那样，这可能与企业的空间差异创新激励有关。

这就需要按照本文的思路，分析技术参数随时间和空间变化的增长动力学。其次，资本存量的空间动态可能并不总是通过一个差异过程来恰当描述。根据经验，Desmet a和Ross i-Hansberg（2009年）表明，差异动态很好地适用于现有行业（如1970-2000年代的制造业）；然而，对于较年轻的行业（例如，20世纪初的制造业或1970-2000年代的零售和金融行业），动态（至少在本地）是一个聚集性行业。这需要对资本的运动方程进行建模，该方程比本文提出的方程更丰富。理想情况下，这样一个模型还可以捕捉从非差异化到差异化动态的过渡过程。一个技术证明MMA 1让k（x，t）和h（x，t）是定义在Ohm 并通过h（x，t）=e相互关联-RtA（s）dsk（x，t）。（19） 值得注意的是，Comin等人（2013年）记录了地理距离对技术差异的根本重要性，这说明了为什么空间维度的明确建模至关重要。G.Aldashev，S.Aldashev，T.Carletti 12K（x，T）是（5）的正解，初始条件为（6），当且仅当h（x，T）是ht=hxx的正解- γ（x，t）（x，t）∈ Ohm , （20） 式中γ（x，t）=e-初始条件（6）下的RtA（s）dsc（x，t）。证据证明是通过直接联合计算得到的。事实上，对于所有人（x，t）∈ Ohm 我们是ge t:ht- hxx=-A（t）h（x，t）+e-RtA（s）dskt（x，t）- E-RtA（s）dskxx（x，t）=-A（t）h（x，t）+e-RtA（s）ds[A（t）k（x，t）- c（x，t）]=-E-RtA（s）dsc（x，t）=-γ（x，t）。最后h（x，0）=k（x，0）=k（x）。命题1（正式解决方案）。让我们定义任意正整数n，λn=n，并定义（x，y，t）∈ T×R+，格林函数g（x，y，T）=Xn≥0e-λntcos[n（x- y） ]。

（21）那么函数h（x，t）由h（x，t）=πZπ给出-πG（x，y，t）k（y）dy-πZtdsZπ-πG（x，y，t）- s） γ（y，s）dy，（22）是式（20）的形式解。证据让我们观察一下，形式格伦函数满足所有t>0和（x，y）∈ t下列均相PDEtG（x，y，t）=xG（x，y，t），（23）以及limt→0G（x，y，t）=δ（x- y） ，（24）式中δ（x- y） 是狄拉克三角函数。然后，为了证明我们的主张，将（22）中给出的h（x，t）插入式（20）中，并用容易找到的积分交换导数：ht，这是足够的- hxx=πZπ-πtG（x，y，t）- xG（x，y，t）k（y）dy-πZtdsZπ-πtG（x，y，t）- （s）- xG（x，y，t）- （s）γ（y，s）dy，- 极限→sπZπ-πG（x，y，t）- s） γ（y，s）dy，G.阿尔达谢夫，s.阿尔达谢夫，T.卡莱蒂13使用等式（23）右侧的前两项消失，而使用（24）剩余项还原为γ（x，T）。因此，我们可以得出结论：ht- hxx=-γ（x，t），因此h（x，t）解（20）。为了证明th（x，t）满足初始条件n（6），它足以通过极限t→ 定义中的0（22）和利用（24）。命题2（经典解）。在上述假设下，函数G（x，y，t）分别在t×[0]中是连续的+∞), 分别为T×[0+∞), 在T×（0）中可二次微分+∞), 分别为t×（0+∞).证据通过证明G（x，y，t）是光滑函数的一致极限，证明了这一观点Ohm, 因此，它本身就是一个smoo-th函数。我们首先将（21）改写为：G（x，y，t）=1+Xn≥1e-λntcos[n（x- y） ]因此，在观察到所有t>0和（x，y）时∈ T、 一个是：|e-λntcos[n（x- y） ]|≤ E-我们可以得出这样的结论Xn≥1e-λntcos[n（x- y） ]≤ E-tXm≥0e-2mt=e-t1- E-2t，证明了和的范数收敛性。

这又意味着G（x，y，t）的一致收敛性和光滑性。h（x，t）的主张很容易从其定义出发，因此被跳过。命题3（唯一性）。初始条件为k（x，t）=k（x）的方程（20）的经典解是唯一的。证据相反，我们假设存在两个不同的经典解h（x，t）和h（x，t）。（20） 初始条件为hi（x，0）=k（x），i=1，2。然后，函数f（x，t）=h（x，t）- h（x，t）解方程ft=fxx（x，t）∈ Ohm ,初始条件f（x，0）=0。然而，使用上面定义的格林函数G（x，y，t），我们很容易得出f（x，t）在Ohm 因此h≡ h、 引理2设T>0，且v是满足不等式vt的光滑函数- vxx>0（x，t）∈ T×[0，T]。G.阿尔达谢夫，S.阿尔达谢夫，T.卡莱蒂14然后，v在（a，τ）处达到其最小值∈ T×{0}。证据由于光滑性假设，v必须在紧集T×[0，T]的某个地方达到其最小值。让我们通过协方差假设T×（0，T）中的最小值（a，τ）。然后，通过初等微积分我们得到vt（a，τ）≤ 0和vxx（a，τ）≥ 0，我们从中直接计算：vt（a，τ）- vxx（a，τ）≤ 0，与假设相矛盾。因此，我们必须有（a，τ）∈ T×{0}。引理3设G（x，y，t）为（21）定义的格林函数；特林姆→∞|G（x，y，t）- （x，y）的1 |=0，（25）一致∈ T.证明。使用定义（例如，我们可以写）- 1=Xn≥1e-λntcos[n（x- y） ]得到| G（x，y，t）- 1| ≤Xn≥1e-新界≤E-t1- E-2t。因此，等式（25）直接遵循。参考文献[1]Acemoglu，D.2008。对现代经济增长的贡献。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社。[2] 阿塞莫格鲁，D.，戴尔，M.2010。国家之间和国家内部的生产率差异。

《美国经济杂志》：宏观经济学2:169-188。[3] 布切基恩，R.，卡马乔，C.，法布里一世，G.2013。空间动力学和收敛：空间AK模型。经济理论杂志148:2719–2736。[4] 布切基恩，R.，加利福尼亚州马乔，C.，邹，B.2009。弥合增长理论和新经济地理学之间的鸿沟：空间模型。宏观经济动态13:20-45。[5] 布里托，第2004页。空间异质性世界中的增长和分布动态。经济部，ISEG，工作文件WP13/2004/DE/UECE。实际上，只有当τ<T时，才可以使vt（a，τ）<0。G.Aldashev，S.Aldashev，T.Carletti 15[6]Combes，P.-Ph.，Duranton，G.，Gobillon，L.，Pug a，D.，Roux，S.2012。大城市的生产力优势：区分聚集和企业选择。计量经济学80:2543-2594。[7] Comin，D.，Dmitriev，M.，Rossi Hansber g，E.2013。技术的空间差异。工作文件，Harvarduniversity。[8] 德斯米特，K.，罗西·汉斯伯格，E.2009。空间增长和工业时代。经济理论杂志144:2477–2502。[9] 戴斯米特，K.，罗西·汉斯伯格，E。2 010. 关于空间动力学。《区域科学杂志》50:43-63。[10] Desmet，K.，Rossi Hansberg，E.2012。太空创新。《美国经济评论》论文和程序102:447-4 52[11]K.德斯米特，罗西·汉斯·伯格，E.2014。空间发展。《美国经济评论》（即将出版）。[12] 艾萨德，W.，利奥萨托斯，第1979页。空间动力学和最佳时空发展。阿姆斯特丹：也不是荷兰。[13] 卢卡斯，R.1988。关于经济发展的机制。货币经济学杂志22:3-42。[14] 克鲁格曼，第1997页。发展、地理和经济理论。麻省剑桥：麻省理工学院出版社。[15] 罗默，1986年出版。增加回报和长期增长。政治经济学杂志94:1002-1037。[16] Rebelo，S.1991年。长期政策分析和长期增长。

政治经济学杂志99:500-521。[17] Quah，D.2002年。空间集聚动力学。《美国经济评论》92:247-252。