关于空间AK增长模型的收敛性

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《On Convergence in the Spatial AK Growth Models》
---
作者：
Gani Aldashev and Serik Aldashev and Timoteo Carletti
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  Recent research in economic theory attempts to study optimal economic growth and spatial location of economic activity in a unified framework. So far, the key result of this literature - asymptotic convergence, even in the absence of decreasing returns to capital - relies on specific assumptions about the objective of the social planner. We show that this result does not depend on such restrictive assumptions and obtains for a broader class of objective functions. We also generalize this finding, allowing for the time-varying technology parameter, and provide an explicit solution for the dynamics of spatial distribution of the capital stock.
---
中文摘要：
最近的经济理论研究试图在一个统一的框架内研究最优经济增长和经济活动的空间位置。到目前为止，这篇文献的关键结果——渐进收敛，即使在资本回报率没有下降的情况下——依赖于关于社会规划者目标的具体假设。我们证明了这个结果不依赖于这样的限制性假设，并且得到了一类更广泛的目标函数。我们还推广了这一发现，考虑到时变技术参数，并为资本存量的空间分布动力学提供了一个明确的解决方案。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
--

---
PDF下载：
--> On_Convergence_in_the_Spatial_AK_Growth_Models.pdf (633.68 KB)

2022-5-5 11:39:11 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：增长模型 Quantitative distribution Applications Assumptions

关于AK增长空间模型的收敛性G.Aldashev，S.Aldashev，T.CarlettiReport naXys-03-2014 19 01 20 14012300.5150.55151.55252.55353.5tim exk（x，T）纳穆尔复杂系统多样性纳穆尔中心纳穆尔8，雷姆Part de la vierge，B5000纳穆尔（比利时）http://www.naxys.beOn空间AK增长模型的收敛性*Gani Aldashev+Serik AldashevTimoteo Carletti§19 01 2014摘要最近的经济理论研究试图在统一的框架内研究最佳经济增长和经济活动的空间位置。到目前为止，这篇文献的主要结果——渐进收敛，即使在没有降低资本回报的情况下——依赖于关于社会规划目标的特定假设。我们证明了这个结果不依赖于这样的限制性假设，并且得到了更广泛的目标函数。我们还推广了这一发现，考虑到时变技术参数，并为资本存量的空间分布动态提供了明确的解决方案。关键词：经济增长；汇聚空间动力学；偏微分方程。JEL代码：C60，O40，O11，R11。*这项研究部分由比利时国家银行资助。第二作者感谢纳穆尔复杂系统中心（naXys）访问项目的支持。本文介绍了比利时国家科学政策办公室发起的大学间吸引极点计划资助的比利时网络DYSCO（动力系统、控制和优化）的研究结果。科学责任在于作者。+通讯作者。纳穆尔大学经济与信用系。通讯地址：贝勒吉乌姆纳穆尔5000号莱姆帕特·德拉维热8号经济系。电子邮件：加尼。aldashev@unamur.be.电话：+3281724862，传真：+3281724840阿拜哈萨克国立大学。

通讯地址：哈萨克斯坦阿拉木图托勒比街86050000号数学与物理学院。电子邮件：aldash51@mail.ru.§NaXyS和纳穆尔大学数学系。通讯地址：比利时纳穆尔市纳穆尔5000号雷姆帕特·德拉维耶格8号。电子邮件：timoteo。carletti@unamur.be.G.Aldashev，S.Aldashev，T.Carletti 21引言理论经济学的两个主要研究领域——经济增长理论和新经济地理学模型——直到最近才独立发展起来。卢卡斯（1988年）和克鲁格曼（1997年）都有力地阐述了将它们整合到一个共同框架中的必要性，以及内生增长和经济活动集聚之间的基本机制，尤其是规模收益率的增加。在过去十年中，经济学家一直在试图构建这样的统一分析框架，以便捕捉和描述经济活动在空间和时间上的演变。Desmet和Rossi Hansb e rg（201 0）的一项调查以及Acemoglu（2008）的第18章和第19章对这些最新文献进行了总结。从这些调查中得出的结论是，虽然还没有出现一个通用的框架，但研究一直在使用几种不同且极具前景的方法进行发展。其中一种方法是建立具有空间维度的最优增长模型，考虑到连续的空间和时间，其中资本存量的时空演化由偏微分方程描述，通常为扩散（抛物线）型。该框架最初由Isa rd和Liossatos（1979）提出，最近由Brito（2004）和Boucekkine等人（2009）为Ramsey Cass-Koopmans最优增长模型的空间版本（即资本回报率降低）和Boucekkine等人严格开发。

（2013）针对AK gr owth车型。所有这些论文的主要结果都是空间不平等性的渐近消失，即资本存量随时间收敛到所有地区的同一水平，尽管资本最初的空间分布是异质的。考虑到资本回报率的下降，这对于空间拉姆齐-卡斯-库普曼模型来说并不太令人惊讶，这也是资本从更充裕的资本流向资本密集的地区的一个直观的经济原因。然而，考虑到资本回报率是恒定的，对于空间AK内生增长模型，converg e nc e的结果更令人惊讶；众所周知，AK模型的非空间版本表现出非收敛性（Romer 1986、Lucas 1988、Rebelo 1991）。Boucekkine等人（2013年）对仁慈的社会规划者的目标依赖于一个特定的假设：她平等对待所有个人，独立于他们的位置（以及资本的初始捐赠）。有鉴于此，社会规划者选择在空间和时间上平滑（去趋势化）消费。根据某些道德标准，这种假设很难证明是合理的，例如，在初始资本水平较低的地区，给予个人更多的权重。因此，一个自然的问题出现了：在空间AK模型中，广义收敛是如何产生的？尤其是，这一令人惊讶的结果是否与善意的社会规划者的目标功能有关？本说明回答了这个问题，并从两个重要方面概括了Boucekkine等人（2013）的发现。首先，我们发现收敛结果并不依赖于对目标的限制性假设。社会规划师阿尔达谢夫，S.阿尔达谢夫，T.卡莱蒂3。

特别是，我们证明了对于具有任何目标函数的社会规划者计划，只要最大消费流（在整个空间上）的当前贴现值不超过该空间任何一点的初始资本存量，渐近收敛结果是成立的，该目标函数产生一个连续消费函数。第二，我们证明这些结果适用于AK生产函数，在该函数中，技术（A）随着时间的推移而演化。这是一个重要的概括，因为技术变革可能会改变资本存量的空间动态，因此，在这种情况下，趋同结果是否成立，先验上尚不清楚。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了模型。第3节发展了我们的分析结果。第4节重点介绍了未来研究的方向和结论。技术证据被归入附录。2模型在对空间经济增长过程进行建模时，我们遵循Brito（2004）提出的方法，并由Boucekkine等人（2009）和Boucekkine等人（2013）进一步发展。空间维度被建模为半径为1的圆，原子经济主体被认为是均匀分布的。因此，让x表示代理的地理位置，我们有x∈ T=[0，2π]，其中T的边界点重合。这个圆圈是一个国家不同地区的程式化代表（在封闭经济的情况下），或者——考虑到完美的资本流动性——可以代表全球经济。时间被假定为连续的，并从零演化到完整：t∈ R+=[0，∞).我们感兴趣的主要对象是资本存量的空间分布及其随时间的演变。我们用k（x，t）表示在时刻t在点x累积的资本。

资本存量k（x，0）在圆上的初始分布是一个已知的函数k（x）。生产函数为AK型（参见Acemoglu，2008，第11章，关于AK-aggre-gate生产函数的非空间增长模型属性的详细分析），即资本回报是恒定的。重要的是，我们允许技术随着时间的推移而变化（尽管在任何给定时刻，技术前沿在圆圈的每个点上都是相同的）。因此，A（x，t）=A（t）de注意到整体空间中时间t的技术水平。在时刻t时，位于x点的agent的瞬时预算约束为y（x，t）=c（x，t）+τ（x，t）+s（x，t），（1），并简单地表示生产y（x，t）被划分为消费c（x，t）、贸易平衡τ（x，t）（假设每个地区都是小型开放经济体）和储蓄s（x，t）。储蓄代表下一个时点的资本积累：s（x，t）=kt（x，t）。如上所述，生产使用线性AK技术：y（x，T）=A（T）k（x，T）。最后，关于贸易平衡，我们假设存在完美的资本流动性。在其他情况下，考虑圆的区域（弧）。这是“区域内的国内消费减去未储蓄的其他产出的差额”。然而，在R地区的国际收支中，这种过度消费必须通过资本流出来融资。因此，区域贸易平衡简单地等于一个边界的资本流入减去另一个边界的资本流出的对称性：ZRτ（x，t）dx=-[kx（b，t）- kx（a，t）]，（2）其中b和a是区域R的边界。

利用微积分的基本定理，贸易平衡可以写成Zrτ（x，t）dx=-ZRkxx（x，t）dx，当区域R的长度趋于零时，它变成τ（x，t）=-kxx（x，t）。因此，瞬时预算约束（1）可以写成以下资本运动方程：A（t）k（x，t）=c（x，t）- kxx（x，t）+kt（x，t），（3）这个构造对于任何点x和时刻t都必须成立。此外，假设我们将空间表示为一个圆，则大写字母s tock的值必须在区间t=[0，2π]的端点重合，并且s光滑粘贴条件也必须在任何时刻成立：k（0，t）=k（2π，t）和kx（0，t）=kx（2π，t）。（4） 这种经济中的最优增长问题是一个社会规划者通过选择消费函数c（x，t），在瞬时预算约束（3）、边界值条件（4）和初始值条件k（x，0）=k（x）下，使某个目标函数J（k，c（x，t））最大化的问题。显然，资本存量k（x，t）的价值在任何时间任何地方都必须是非负的。从形式上讲，这说明：问题1找到一个非负古典解，即闭域中的连续函数Ohm, 哪里Ohm = T×R+，两次连续可微分Ohm, 线性抛物偏微分方程kT=kxx+A（t）k（x，t）- c（x，t）（x，t）∈ Ohm , （5） G.Aldashev，S.Aldashev，T.Carletti 5满足初始条件k（x，0）=k（x），十、∈ T（6） 社会规划师的问题是一个高度复杂的有限维最优控制问题，由于其中一个约束是以一个基本微分方程的形式出现，因此必然会出现复杂性。在一个关键的贡献中，布切肯·e·t·艾尔。

（2013）开发一种分析方法，通过将动态规划方法应用于这一有限维问题，从而克服这一挑战。然而，他们需要对社会规划者的目标函数施加特定的形式，以获得最优消费函数c（x，t）的特征。相反，我们以不同的方式处理这个问题。我们研究了在一般（连续）消费函数c（x，t）中，为描述资本存量运动方程的偏微分方程找到非负经典解的问题。在此过程中，我们确定了消费函数的两个不同的充分条件，以保证PDE问题显式解的唯一性和非负性。第一个条件导致了空间不变的消费函数（因此相当于Boucekkine等人2013年提出的社会规划者目标函数）。然而，第二个条件更为普遍，有着不同的经济解释。接下来，我们证明了解的渐近性质与Boucekkine等人（2013）所确定的类似；特别地，我们证明了圆的每一点上的capitalstock收敛到与t相同的水平→ ∞. 关键的是，我们发现的消费函数的第二个有效条件比B oucekkine等人（2013）的条件要弱得多。

因此，我们证明了spa-tial AK模型中的收敛结果不是由s-Socialplanner的特定目标函数驱动的。3分析本节的目的有两个：（i）在消耗函数c（x，t）的两种不同假设下提供问题1的解（定理1和2），以及（ii）研究此类解的渐近行为（命题6和命题7）。假设时空消耗函数是一个光滑凹函数，关于任何正时间矩的空间变量，以下结果成立：定理1Ohm = T×R+。假设函数A:R+→ R+，k:T→ R+∪ {0}和c:T×R+→ R+∪ {0}在各自的域中是连续的。也假设Cxx（x，t）≤ 0（x，t）∈ T×R+，（7）和k（x）≥中兴通讯-RsA（z）dzc（x，s）ds（x，t）∈ Ohm . （8） G.Aldashev，S.Aldashev，T.Carletti 6然后问题1承认一个唯一的非负经典解。注意，由于区间T=[0，2π]的端点与平滑粘贴条件（4）重合，凹度假设（7）导致消耗函数在s空间中不变。因此，它相当于Boucekkine等人（2013）中社会规划者的目标函数所假定的。一方面，这再次证明了这一点，因为（连同第3.2节中的收敛结果）这表明这两种方法导致了相同的结论。然而，人们可能想知道，该分析是否扩展到限制性较小的效率条件。我们证明了这确实是一个原因；事实上，以下结果成立：定理2Ohm = T×R+。假设函数A:R+→ R+，k:T→ R+∪ {0}和c:T×R+→ R+∪ {0}在各自的域中是连续的。假设，m oreover，thatk（x）≥中兴通讯-RsA（z）dzmaxx∈Tc（x，s）ds（x，t）∈ Ohm .

（9） 然后问题1得到了一个唯一的非负经典解。定理2只要求消费函数是连续的，并且（在整个空间上）最大消费流量的预发送贴现值不超过空间任何点的初始资本存量。请注意，贴现是使用（时变）技术参数进行的。对这种情况的经济解释如下。注意（9）考虑到了空间不平等；它只是对这种消费的最高值（当前贴现值）施加了上限。此外，考虑到打折，这使得消费的空间不平等加剧。所施加的上限取决于股本的初始分布，尤其是对于循环中最低初始股本，条件（9）最为严格。换言之，在其他条件相同的情况下，资本存量的初始空间质量更高，则更难满足这一条件。3.1主要结果的证明让我们首先观察，我们可以通过使用以下引理（其证明见附录）删除术语A（t）k（x，t）来简化等式（5）：引理1（等价解）让k（x，t）和h（x，t）是定义在Ohm 并通过h（x，t）=e相互关联-RtA（s）dsk（x，t）。（10） 条件（8）和（9）适用于所有正t；因此，它们意味着右边的积分在极限处收敛。这意味着限制→∞他-RtA（s）dsc（x，t）i=0十、∈ T和Limt→∞E-RtA（s）dsmaxx∈Tc（x，t）= 0，这限制了消耗函数随时间的增长，其增长率略低于时间变量技术参数。G.阿尔达谢夫，S.阿尔达谢夫，T。