什么都不估计

如果我们现在将二次型Q作为自然的第一选择Q（y，z）=Xa | ya- za|wa（5）在实践中，我们只是为β确定了一个合理的值，并将其单独用于所有计算。事实上，我们有隐含的波动率，我们必须利用无风险利率转换成价格。对于选择与买卖价差大小相同的权重，我们发现数值太大，以至于完全淹没了过渡函数对对数可能性的贡献。这在一开始似乎是一个障碍，但如果我们思考一下表格（5）所说的话，我们就会看到如何解决这个问题。（5）所说的是，观测值是模型值φaj（Xt）加上独立的高斯误差。但这与我们预期的一致吗？如果这个故事成立，那么观察到的价值将形成一个veryrough曲面，但我们从无套利的考虑中知道，市场价格曲面在执行时必须是凸的，在到期时必须增加。因此，我们并不指望这个概率模型能很好地解释表面之间的差异。另一个表明这种可能性不是一个好的选择的思想实验是，考虑如果我们被给予更多的罢工和到期的期权价格，会发生什么；我们会看到一个表面在走向上凸出，在我们眼前填充的到期日上增加。我们应该预计，随着我们越来越多地拟合这个曲面，可能性惩罚应该收敛到某个有限的极限，这在（5）中不会发生。那么，什么是更好的选择呢？为了理解这一点，让C（τ，K）（分别，C（j）（τ，K））表示到期τ>0和履约K的市场（分别，模型-j）买入价；现在，让我们假设即期汇率被调整为1，无风险利率为零。我们知道C在K中是凸的，逐渐减小到零，而CK（τ，0）=-ESτ=-1.

因此-CK（τ，·）可以解释为分布函数的尾部。因此，我们建议将模型j的二次惩罚qisq（C（j），C）=λZTZ∞{CK（v，K）- C（j）K（v，K）}dK-dv（6）对于某些λ>0。从0开始≤ CK≤ 1通常，简单的估计会给出Q（C（j），C）≤ 2λT，这是有限的。在一般情况下，我们假设通过使用类似定义q（C（j），C）=λZTZ来定义重整化callprice C（τ，k）=C（τ，kS）/S，（7），现货值S=exp（X）可以按比例缩小∞{ck（v，k）- 二次罚的c（j）k（v，k）}dk-dv（8）。当涉及到给定的有限数据集时，这是如何实现的？因此，我们知道货币价值0<k<k<…<的模型和市场价格kN，到期日为0<τ<…<τM，需要近似Q，如（8）所示。我们将用梯形法则来近似时间积分，这样我们就可以只关注到期时某个固定值τ（比如）的货币内部积分。定义k=0，并设置zj=c（τ，kj），明确定义z=1，即零击呼叫的值。那么我们有（τ，x）=zj- zj-1kj- 千焦-1千焦-1<x≤ 当x>kN时，kj（9）和ck（τ，x）=0。因此，货币的内部积分将简化为易于计算的有限和。在定义Q时，仍然存在选择标度λ的问题，这里不太清楚应该如何进行。在操作上，关键要求是将λ设置为一个值，使得基础移动和调用面拟合误差对对数可能性（2）的贡献应为相似的数量级；我们不想发现，我们只是在拟合球表面，或只是拟合资产动态。这里没有独特的食谱；我们可以获取一个训练数据集，计算我们正在研究的所有模型的两种类型的贡献，然后fixλ，以便均衡两个分量的对数概率贡献。

或者，我们可以仅对Black-Scholes模型使用训练数据集作为选择λ的一种方法。或者，我们可以对λ的几个不同值进行计算，看看结果如何不同。这里选择的自由与选择观测误差模型的自由完全一致；我们假设调用表面匹配错误具有特定的高斯结构，但我们需要选择缩放。这种建模选择在统计学中是普遍存在的。3方法和结果。一般的经验法则是，为了很好地匹配看涨期权的价格，需要一个至少有四个参数的模型：一个用于居中，一个用于方差，一个用于右尾，一个用于左尾。我们采用的模型（括号内的参数数量）为：Black-Scholes（1）；CEV（2）；赫斯顿（4）；SABR（3）；贝茨（7）；默顿（4）；寇（4）；方差γ（3）；正态逆高斯分布（3）。对于这些模型中的每一个，我们都必须有方法非常有效地计算过渡性和期权价格，见附录？？我们记录所有这些模型的封闭式公式（如果可用）或计算方法。我们通过假设uJ=σJ来降低Bates模型的维数。我们将模型的买入价格c（J）（τ，·）进行类似处理。为了使这种方法发挥作用，我们需要选择一个具有适当代表性的模型族来进行比较，而这可能是方法学上最具挑战性的方面。一般有两种方法：（i）在群体中自适应地选择模型；（ii）一开始就选择一组模型，并且永远不要更改它们。在概念层面上处理第二个更容易，但在计算层面上，这很容易变得令人望而却步。为了集中讨论，假设我们有一个参数空间为Rd的参数模型。

在没有任何初始信息的情况下，我们可以通过设置矩形网格来覆盖RDM中的某个间隔；但如果我们在每个坐标中只要求10个网格点，我们最终会得到参数向量。这对于d=1，2是完全可行的，但对于d=3，它变得中等大，d=4变得相当不舒服，而d≥ 5是最好避免的-这是一个非常粗糙的网格。可以使用其他方式将点放置在数据中；例如，我们可以设置一些随机生成的点集，或者我们可以使用一些伪随机序列，或者可能是一个“分散”的点集，比如Pag`es和Printems[19]开发的点集。然而，所有这些方法实际上都没有避免可能是主要陷阱的地方，这就是选择的所有参数向量都很可能是非常糟糕的选择。在不知道“典型”值应该是什么的情况下，将网格放在一个离“典型”参数选择非常远的框中是很容易的——这个问题变得更紧迫，因为d越大。没有其他方法可以进行一些初始搜索，以定位参数值合理的某个区域，最简单的方法是对数据进行最小二乘拟合。我们该怎么做？然后，我们可以使用第一个月的数据集的最小二乘法，对每个月的数据集进行修正。这将给我们提供20个最小二乘拟合参数向量，这些向量至少在一天内有希望表现良好，我们可以使用这些向量，或者其他分散在它们周围的向量，来创建固定的参数向量集。

这在一定程度上是可行的，但根据我们使用的数据，我们发现，随着我们在七年时间内的移动，我们在开始时选择的大多数模型越来越不可能是事后的。原因很简单，2008年1月的世界与2006年1月的世界大不相同。2006年1月有意义的模型参数已经完全不相关了。这使得所使用的模型必须了解整个研究期间出现的情况。诚实的方法是使用这些点的文件可以从http://www.quantize.maths-fi.com/.the第一种方法是随着时间的推移自适应地选择模型，但我们没有这样做，因为很难建立一个有效地进行选择的算法。关键是，我们必须设计一种机制，当新信息进入时，允许单个粒子四处移动，而且移动不能仅限于berandom——我们必须进行一些重要采样，将新粒子移动到“更有可能”的参数区域。我们如何确定“更有可能”的地区？当然是最小二乘法。但现在，自适应方法要求我们在每个时间段内进行许多最小二乘优化，因此存在运行非常非常缓慢的危险。当然，我们可以偶尔进行最小二乘计算，对粒子群进行偶尔的转向，但最终对于任何实际问题，任何SMC方法都必须包含类似于最小二乘优化的内容，这需要大量的计算时间。这些计算可以很容易地并行化，但无论怎样，计算上的挑战是巨大的。

在实际应用中，新数据的输入非常缓慢，每天一次，如果计算粒子数的更新需要1000秒的计算时间，这不是问题；但这是一个回溯测试的问题，我们想在几年的历史数据上评估算法。我们实际上所做的是一种数据窥探。我们选择了样本中分散的最少天数，对模型进行最小二乘拟合，得到隐含波动率和回报直方图。这给了我们一些参数向量，这些参数向量对于研究数据的每个模型都是合理的。这当然是作弊，但它允许我们评估该方法的性能，前提是我们能够构建一个粒子过滤器，该过滤器能够自适应地调整粒子数，以跟随当前可能性集中的区域。更详细地说，我们所做的是：（i）在整个样本中，在几个时间点上，对每个模型的波动性表面以及直方图进行校准；（ii）对于每个参数，我们跨越大约5的粗略网格- 在这些校准过程中所取的最高值和最低值之间的10点；（iii）这导致每个模型的多维网格多达数千个参数组合；（iv）然后对每个模型的参数组合进行贝叶斯分析；（v） 为了将每个模型的参数组合数量减少到100个，我们只选择了在某个点上是同类中“最好”的参数组合，或者在一定距离内达到同类最佳的参数组合（选择的距离是100个参数组合）。结果如图1、2和3所示。

每个图包含十个图；所有这些都以虚线显示了标普500指数在一段时间内的实现路径，从而将后验权重图与全球正在发生的情况相比较。接下来还有九个情节，两个是关于分歧模型的，布莱克·斯科尔斯和CEV；随机波动率模型有三种，Heston、SABR和Bates；四个用于logL’evy模型Merton、Kou、方差gamma和正态逆高斯。在贝叶斯比较中，每个模型由数百个实例表示，每个实例对应于不同的参数向量选择；该模型的后验图是通过将该模型所有实例的后验概率相加得到的。当我们仅基于潜在标准普尔500指数（图1）的转换密度的可能性贡献进行比较时，我们看到的是：oBlack-Scholes和CEV的差异模型表现不佳，Black-Scholes比CEV更差。由于布莱克·斯科尔斯是CEV的一个特例，这并不意外其余的模型表现类似，但在2008年9月至2009年的危机期间除外，当时log-L’evy模型的表现明显比随机波动率模型差。

同样，这并不奇怪，因为这是一个波动性增加的时期，随机波动性模型可以适应，但所有对数L’evymodels通用的IID收益假设与这种波动性增加的时期不兼容。当我们转向基于期权价格表面的对比（图2）时，情况看起来相当不同：o再次，Black-Scholes和CEV的差异模型表现不佳，Black-Scholes比CEV差；olog-L\'evy模型现在分布广泛，默顿总体表现最好，方差伽马总体表现最差，寇和尼格在排名中分别排名第二和第三随机波动率模型表现最好，SABR在危机期间表现良好，而贝茨和赫斯顿在危机期之外表现良好。最后的对比图3在质量上与图2相似；考虑到仅仅观察潜在因素的变化似乎并没有区分不同的非差异模型，将可能性的运动添加到比较中只会稍微改变一些事情，这也许并不奇怪。。。适当缩放，以适应后验概率的范围。。图1：仅从下垫面移动的后部。图2：仅限期权价格。图3：基础价格和期权价格变动的后验结果。4.结论。这项研究提出了一种贝叶斯建模范式，用于推断新旧资产上的资产和衍生工具。众所周知，贝叶斯原理已有250年的历史，从概念上讲，这里没有什么，只有贝叶斯原理的系统应用。

在新颖之处，就是利用标的资产的变动和期权的市场价格来推导可能性；同时在比较完全不同类型的模型时。虽然方法非常简单，但红利并不微不足道。首先也是最重要的一点是，该程序允许采用完全一致的模型推断方法，这与基于估计的“校准”范式形成了对比，在撰写本文时，该范式在行业中几乎普遍使用。毫无疑问，我们应该做些什么来对冲或按市值计价衍生品组合，我们今天所做的一切都将与我们之前所做的一致，也与我们未来所做的一致。最大的区别在于，校准尝试估算，然后将估算值当作已知值使用——忽略所有估算误差。在物理科学中，在许多情况下忽略估计误差可能是合理的近似值，但在金融市场中，信噪比几乎总是很小，估计误差不能忽略。在图1、2、3中有一个指向这一点的指针；所有被考虑的模型虽然非常不同，但仍然具有竞争力——没有一个下降到不显著的后验概率。因此，这些数据不允许我们决定性地拒绝其中任何一个，即使是过于简单的Black-Scholes模型，尽管我们有几年关于流动性非常高的资产的数据。第二个好处是，它允许比较非常不同类型的模型；我们不必一开始就坚持数据模型必须是Heston；或方差伽马；或者军刀。

每一种流行的模型都有好的和坏的方面，贝叶斯方法允许将它们的优点结合起来，同时诚实地对待一个非常明显的事实，即我们永远不知道所提出的模型中哪一个（如果有的话）是正确的。正如预期的那样，这种贝叶斯分析的成功程度将在很大程度上取决于进行比较的模型的范围，正如频繁分析取决于假定的模型；这不可避免地是一种主观选择。在这里讲述的故事的更高级版本中，需要复杂的自适应模型选择，但这是一门精致的艺术。一般来说，粒子过滤方法在高达10维的维度上可以很好地工作，但除此之外，它还需要大量仔细地适应巴伊斯论文的特点。1763年，在他去世两年后，皇家学会向他宣读了一篇关于解决机会原则中的问题的文章。在那里提交的论文是由威尔士非信徒传教士理查德·普赖斯准备出版的。这个问题，正如一个简单的一般方法所期望的那样。要想做到这一点，需要付出大量努力，这超出了本研究的范围。然而，本文报告的初步结果表明，这项工作是值得的。参考文献[1]M.Avellaneda、A.Carelli和F.Stella。遵循Bayes路径进行期权定价。《金融计算智能杂志》，1998年。[2] 贝克斯。方差模型的常数弹性及其对期权定价的影响。《金融杂志》，35（3）：661-673，1980年。[3] F.布莱克和M.斯科尔斯。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，第637-654页，1973年。[4] J.布林顿和R.J.埃利奥特。政权更迭和欧洲选择。非随机理论与控制，第73-82页。斯普林格，2002年。[5] F.O.布宁，Y。