什么都不估计

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英文标题：
《Estimate nothing》
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作者：
M. Duembgen, L. C. G. Rogers
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In the econometrics of financial time series, it is customary to take some parametric model for the data, and then estimate the parameters from historical data. This approach suffers from several problems. Firstly, how is estimation error to be quantified, and then taken into account when making statements about the future behaviour of the observed time series? Secondly, decisions may be taken today committing to future actions over some quite long horizon, as in the trading of derivatives; if the model is re-estimated at some intermediate time, our earlier decisions would need to be revised - but the derivative has already been traded at the earlier price. Thirdly, the exact form of the parametric model to be used is generally taken as given at the outset; other competitor models might possibly work better in some circumstances, but the methodology does not allow them to be factored into the inference. What we propose here is a very simple (Bayesian) alternative approach to inference and action in financial econometrics which deals decisively with all these issues. The key feature is that nothing is being estimated.
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中文摘要：
在金融时间序列的计量经济学中，通常对数据采用一些参数模型，然后根据历史数据估计参数。这种方法存在几个问题。首先，如何量化估计误差，然后在陈述观测时间序列的未来行为时将其考虑在内？第二，今天可能会做出决定，承诺在相当长的时间内采取未来行动，比如在衍生品交易中；如果在某个中间时间重新估计模型，我们之前的决定将需要修改——但衍生工具已经以较早的价格进行了交易。第三，要使用的参数模型的确切形式通常是从一开始就给出的；在某些情况下，其他竞争对手的模型可能工作得更好，但该方法不允许将它们考虑到推理中。我们在这里提出的是一种非常简单（贝叶斯）的替代方法，用于金融计量经济学中的推理和行动，它决定性地处理了所有这些问题。关键的特点是没有任何估计。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
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2022-5-5 11:46:24 上传

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关键词：econometrics Quantitative Applications intermediate Computation

估算NothingMoritz Duembgen和L.C.G.Rogers 2014年1月23日摘要在金融时间序列的计量经济学中，通常对数据采用一些参数模型，然后根据历史数据估算参数。这种方法解决了几个问题。首先，如何量化估计误差，然后在陈述观测时间序列的未来行为时将其考虑在内？承诺在今天进行一些私奔交易，或者在未来进行一些私奔交易；如果在某个中间时间重新估计模型，则需要修改我们之前的决定，但衍生工具已按早期价格进行交易。第三，通常从一开始就给出要使用的参数模型的确切形式；在某些情况下，其他竞争对手的模型可能会更好地工作，但该方法不允许将它们考虑到推理中。我们在这里提出的是一种非常简单（贝叶斯）的替代方法，用于金融计量经济学中的推理和行动，它决定性地处理了所有这些问题。关键的特点是没有什么是不可估计的。1导言。继1973年发表的Black&Scholes[3]关于欧式期权定价的原始论文之后，人们很快意识到，模型的预测并没有很好地观察到价格，在这40年中，一小群替代模型被集合起来，试图填补隐含的可利用性表面。

在不试图穷尽的情况下，有一些基于替代性差异假设的模型，如CEV模型[2]；有些模型具有随机波动性，例如[12]，[22]；有一些模型允许价格过程的不连续性，例如[17]、[16]、[7]、[21]、[15]；马尔可夫政权转换模型，如[4]；基于GARCH动力学的模型，如[9]，仅提及一些尝试过的方法。在所有情况下，所提出的都是基础资产动态的一些参数模型，通常要求非常简单，期权价格的计算可以通过封闭形式进行，也可以通过有效的数值程序进行。这一要求是不可避免的，因为用于将模型拟合到历史数据的方法需要重复计算不同参数向量的衍生价格，以数值搜索最佳拟合参数向量，无论采用何种标准。一次校准可能需要计算数千个衍生产品的价格，所以每一个都必须非常快。通常，使用的拟合标准是最小二乘法，这很容易处理，并且在高斯观测误差的假设下也是最大似然。一旦确定了最佳拟合参数向量，接下来该怎么做？该行业通常做的是，将这个特定的参数向量输入到一些衍生定价公式中，以及一些hedgingdelta公式中，将此估计值视为已知的真实值。现在每个做这件事的人都知道这忽略了估计误差，但他们还是做了。令人欣慰的是，这样做的从业者总是以某种方式量化了估算中的误差，并且在他们传递给同事的答案中也考虑了这一点。但处理这些错误并不容易。

我们是否尝试声明参数的置信度集？在多维空间中，这一组会有什么形状？随着参数在该置信集上的变化，我们将如何发现衍生价格的可能范围？对冲三角洲应该得出什么结论？在商业环境中，这样的检查有多重要？我们在本文中提出的方法可以被视为粒子滤波的一种形式，或工程文献中已知的顺序蒙特卡罗。这些方法在金融计量经济学中的应用并不新鲜，以下文献综述将讨论它们在这一领域的一些重要贡献。Johannes&Polson[14]综述了计算贝叶斯方法及其在计量经济学中的应用。Darsinos&Satchell[8]提出了资产回报的精度和平均值的伽马-高斯先验，他们根据Bayes规则对其进行更新，然后将其用作Black-Scholes期权价格公式的混合分布，以得出期权价格。Guidolin&Timmermann[10]的论文在二项式模型的背景下进行了类似的分析，其中概率被视为贝叶斯参数。相比之下，Jacquier&Jarrow[13]将模型价格和市场价格之间的差异作为贝叶斯分析的对象；这导致了参数空间上典型的相当复杂的可能性，必须通过MCMC方法进行探索。Polson&Stroud[20]以Heston模型为例，将过渡的可能性和模型市场价格差异的可能性结合起来，再次应用MCMC方法来探索后验概率。Alok Gupta的论文[11]讨论了一般方法，并以局部波动率模型为例进行了说明。

Avellaneda等人[1]建议使用前馈神经网络对隐含波动率进行建模。Bunnin等人[5]使用贝叶斯方法，使用FTSE数据对标准Black-Scholes模型和CEV模型进行比较。这篇论文是最接近目前贡献的灵感和方法，因此可能值得强调这些差异。在这里，[5]实际上对基础数据的（两）个完全不同的模型进行了贝叶斯比较，我们认为这是传统粒子滤波思想的一个重要扩展，在传统的粒子滤波思想中，参数模型通常是固定的，推理将试图找出未知参数。重要的是，我们不仅可以使用贝叶斯方法在特定参数模型类的代表之间进行推理，还可以使用它在模型类之间进行比较。正如我们所看到的，这是有价值的，因为当我们来看一些实际数据时，我们会发现，当我们让大量流行的模型竞争时，有时我们会发现一个模型做得很好（即具有很高的后验概率），有时我们的信念会转移到其他模型类别。这就是我们希望和期待的。我们并不期望一种特定的模式在所有情况下都优于所有其他模式；我们意识到，不同的模型可能或多或少适用于不同的时间和不同的市场，贝叶斯方法使我们能够始终如一地利用许多不同模型的优点。除了在计算基础过程的转移密度方面存在一些技术性差异外，[5]和我们的方法之间的主要差异在于，我们在模型中包含了模型价格与市场价格之间拟合误差的对数可能性。

因此，我们在文献中大致发现了两种不同的推理方法；一种方法试图用最小二乘法将模型拟合到期权价格数据中，但不注意观察到的标的资产的变动；另一种是观察标的物的移动，对该过程进行推断，然后通过模型定价函数传递该信息，对期权价格进行陈述。我们两者都做；我们发现，有时一个能够很好地拟合期权数据的模型，当我们来研究它所说的关于标的资产的变动时，是不太可信的，反之亦然。本研究具有以下特点：o对来自完全不同家庭的模型进行比较和组合可能性解释了标的资产的变动以及模型和市场价格之间的差异市场和模型价格之间差异的对数似然贡献不仅仅是差异平方的简单和，这意味着我们认为误差在所有衍生工具中是独立的，而且允许具有更一般（更合适）的高斯结构。早期的研究已经包含了其中一些特征，但据我们所知，这是第一次将所有特征都包含在内。在计算上，贝叶斯方法可能相当麻烦，因为（通常是高维）参数空间上的对数似然函数非常复杂，因此只能考虑MCMC技术。此外，考虑到计算所需的时间，这种方法不太适合自适应算法。我们使用的是一种简单的粒子过滤形式，因此在任何时候，所考虑的模型都是有限和已知的。

在我们的计算中，我们已经确定了一个适当选择的模型宇宙，并仅处理这些模型；随着新数据的到来，更复杂的粒子过滤变体可以应用于适应模型的宇宙，但我们现在介绍的方法已经足够好，可以开始了。有关粒子过滤文献的概述，请参见[6]。然后，将该方法应用于2006年1月至2012年12月期间收集的标准普尔500指数和该指数期权的每日数据，总共七年，涵盖了非常广泛的市场条件。我们比较了各种不同的模型：Black Scholes和CEV作为不同模型的代表；Heston，Bates，SABR作为随机波动率模型的代表；以VG、NIG、Kou、默顿为例。数据期研究始于2008年崩盘前，涵盖了动荡期和之后的几年。有趣的是，我们发现，随着市场的发展，后验概率会围绕不同的模型类型转移，有时偏向一种，有时偏向另一种。本文的计划如下。在第二节中，我们设置了一些符号，并解释了我们的工作。这其中的大部分非常简单，但方法学上的一点是我们处理市场和模型隐含波动率之间差异的对数可能性贡献的方式，这并不是显而易见的第一选择。在第3节中，我们解释了在实现数值格式时所做的选择，并给出了一些结果。我们开发了优秀的Premia软件包，为我们提供了研究中大多数模型的有效定价代码。CEVand SABR型号不可用，必须单独编码。Premiapackage是从NSP内部调用的。

在第4节中，我们总结并讨论未来的研究方向。2.建模设置。研究的中心对象是单一资产，其在时间t的原木价格将被忽略。这仅在离散时间内观察到，时间t=h，2h。。在这些时候还可以观察到衍生证券的价格；在时间t观察到的衍生工具a的市场价格将被表示为Yat。X的演化被认为是马尔可夫的，但确切的转变机制尚不确定；我们假设这种演化有J个可能的模型，模型J的跃迁密度为J（x，x）=Pj（Xh）∈ dx | X=X）/dx（j=1，…，j）。（1） 应该立即说明，该模板不符合研究中包含的随机波动性示例。对于这些例子，转移密度必须取决于当前的波动水平以及当前的现货价格。在这种情况下，我们将理解pjas x的密度取决于x的已知值和时间0的波动率，我们甚至可以通过假设波动率在[0，h]上保持不变来近似这个转移密度（在封闭形式下通常很难获得）。如果h相当短——在我们的数据中有一天——这个假设是合理的，最好是拖入一些笨拙而缓慢的计算中。任何认为这些假设不合理的人当然可以将所有随机波动率模型置于比较之外。与模型j相关联的是定价函数Дjj，它返回一个向量（Дaj（X））Aa=1，该向量取决于当前的现货原木价格X。

构建用于安装这些定价函数的代码当然是一项不平凡的任务，但是，由于Premia软件的可用性，我们可以认为这是一项可以完成的任务，即使在进行贝叶斯模型比较的代码中封装Premia例程非常具有挑战性。时间t时模型j的对数似然`j（t）由`j（0）=0和递归`j（t）=`j（t）确定- h） +对数pj（Xt-h、 Xt）- Q（~nj（Xt），Yt），（2）其中Q是定义在RA×RA上的非负有限二次型。最明显的选择是取Q（y，z）∝ 基尼- zk，平方距离的倍数，但正如我们将在下面讨论的那样，这并不是我们心目中应用的最佳选择。对（2）中二次项的解释是，市场观察价格和模型价格之间的差异应该是某种高斯随机向量。在实践中，我们应该做的是将递归（2）稍微推广为\'j（t）=β\'j（t）- h） +对数pj（Xt-h、 Xt）- Q（ηj（Xt），Yt），（3）式中β∈ （0，1）允许对过去进行一些“遗忘”。这是基本贝叶斯故事的一个相当粗略的操作变化，可以通过允许假设的常数参数演变为高斯随机游动，在简单的高斯情况下进行调整——参见[18].虽然这不是我们自己发现的情况，但历史可能性贡献的一些逐渐降低的权重允许更近期的数据在我们的推断中起到更重要的作用，我们认为这是自然的要求。挑剔的读者可以简单地假设β=1。在这一点上，我们简单地求助于贝叶斯规则：在时间t，J模型上的后验分布π（t）由πJ（t）给出∝ exp（`j（t））。

（4） 重要的是要认识到，在这一点上，一切都变得容易了：o如果你想知道Xt+h的分布，它由密度xjπj（t）pj（Xt，·）；o如果你想给一些奇异的衍生产品定价，用模型j计算衍生产品的价格ξjo，取≡Pjπj（t）ξjas价格；o如果你想知道奇异衍生产品的价格ξ有多可靠，你可以得到一个可能价格的分布，将权重πj（t）分配给价值ξj，从中你可以评估价格变化的可能范围如果你想对一些导数进行delta对冲，你只需计算对冲θjj，模型j会告诉你取这个值，然后放在位置pjπj（t）θj上。更重要的是要意识到没有任何东西被估计过！我们所做的是采用一个固定的J模型宇宙，我们计算了该模型宇宙的表面分布——数值πJ（t）不是估计值，而是真实的计算值。2.1 Q的选择。尽管如此简单，但在分析中仍有一些关键的选择，其中最重要的是选择二次型Q。在这一点上，我们将指定所考虑的衍生工具为欧洲看涨期权，到期日为1m、2m、3m、6m、1y、1.5y、2y，以及80%、90%、95%、100%、105%、110%和120%。因此，在数据集的每一天，我们都有49种仪器的价格。