状态价格的多维Breeden-Litzenberger表示

，Kn，0）如果Q对于状态空间上的勒贝格测度是绝对连续的，且是独立的，且利率是确定性的，则唯一确定联合定价律Q。在这里，n资产金字塔支付的形式是H（S，K，K）=X（Si）- （Ki）+- K+.证据这一事实基于类似于[15]中所述的分解措施。接下来，我们将试图看到从一类衍生品的价格中获得的部分信息如何转化为定价测度的一种部分唯一性。按照概率论的惯例，信息积累可以方便地用次σ-代数进行编码。下面的结果大致表明，通过乘以欧洲看涨期权获得的衍生品决定了次级σ代数上的定价度量。定理4.1。设F是状态空间IRn+上的一组非负Borel函数，被认为是欧式支付函数。设Q是同一状态空间上的一组Borelprobability测度。假设ieqni=1（fi-Ki）+存在，并不取决于Q的特定选择∈ Q forK，千牛∈ IR+和f，fn∈ F.假设g是σ（F）-可测量的payoff函数。那么g有Q-期望当且仅当它对族中的所有度量有期望。此外，确定的IEQg值并不取决于Q的具体选择∈ Q.回想一下，σ（F）是包含s和F的最小σ-代数-1（U）forf∈ F和U IR open和g是∑-可测的这句话意味着g-1（U）∈ ∑对于每个开放的U IR。收益率FIA和g可以为多个资产的欧洲期权定价，这些资产被视为与不同度量Q有关的随机变量∈ Q.例如，pu-Titing g=IEQ（h |σ（F））给出了一个典型的σ（F）-可测量的随机变量。我们将应用Dynkin引理，它非常适合分析测度的唯一性，见[12]。证据

我们用D表示所有Borel集合A的集合，这样Q（A）不依赖于Q的特定选择。注意，D对于补码是封闭的，因为Q是概率测度。通过测度的σ-可加性，我们观察到D对于不相交集的可数并是封闭的。因此，D是Dynkin系统。我们注意到σ（F）是由集合F生成的≥ K加f∈ F、 K≥ 0.在下文中，我们将注意力限制在σ（F）上，也就是说，测度和可测函数是用σ-代数来考虑的。我们的目的是证明σ（F） D.为了得到σ（F）-简单函数g的陈述，这一点是必要的。实际上，那么，Q中的测量值被限制为σ（F）是一致的。如果g s对于度量Q是可积的∈ Q、 然后IEQ（g）可以通过简单函数IEQ（gn）的期望值来近似，其中gng Q-a.s.为n→ ∞. 在不同的Q选择中，IEQ（gn）值一致。注意，gng Q-a.s.作为n→ ∞ 通过测量的等效性。因此，IEQ（g）=IEQ（g）由单调收敛定理确定。接下来我们调用Dynkin定理，它得出如果形式（4.1）n^i=1Mi的集合≤ fi<Kiare包含在D中，然后也是σ（F） D.事实上，（4.1）中的集合在求有限交点方面是封闭的，它们也σ-生成集M<fi<K，因此σ-代数σ（F）也是封闭的。回想一下，指示器的功能是1Mi≤fi<kii可以写成1Mi≤菲-1Ki≤F和（4.2）1Mi≤fi=lim→0+（fi）- 米+）+- （菲）- Mi）+。这意味着qni=1Mi≤fi<kik可以写成lim→0+g，其中g=nYi=1（fi- 米+）+- （菲）- （密歇根州）+- （菲）- Ki+）++（fi- Ki）+。请注意，根据假设和期望值的线性度，定义时，d的值IEQ（g）不依赖于Q。

因为qni=1Mi≤fi<Ki=lim→0+g我们分别应用每个测度Q的单调收敛定理得到（4.3）Q（n^i=1Mi）≤ fi<Ki）=lim→0+IEQ（g）不依赖于Q。根据假设，g的乐趣有预期。因此，集合（4.1）包含在D中。20 TALPONEN和VIITASAARI5。结论本文证明了与期权价格有关的几个新的理论结果。首先，我们研究了差异价格之间的联系。这种联系的重要性在于，如果能找到后一种选择的价格，就可以为更复杂的选择与更简单的选择定价。其次，我们提供了基于多个资产的期权定价公式，这些资产具有一般的收益。虽然我们的结果是纯理论的，但它们可以应用于数学金融的不同领域。例如，可以使用我们的结果来研究多维情况下的近似结果。此外，依赖于多维资产的选择并非是正确的，因此在文献中斯图死了很多。在本文和前一篇文章[15]中，我们提供了研究许多资产期权的一般工作。致谢。Lauri Viitasaari感谢芬兰随机和统计领域的部门计划提供的财政支持。附录A.引理3.1的证明基于以下引理。引理A.1。假设myk=1Xσ（k）T∈ L（Q）对于e非常m=1，n和每个置换σ。那么期望值h（XT；y）=nYk=1（XkT- yk）+对于勒贝格测度是绝对连续的。证据这一说法直接源于|（XkT）的观察结果- yk）+- （XT）- yk- h） +|≤ H引理A.2。让α≥ 0, α < β < ∞ 考虑一个函数g，形式为g（x）=f（x）1α≤十、≤β、 其中f在[α，β]上是连续的，在（α，β）上是连续可微的。如果∈ 五十、 thenIE[g（XT）Y]=f（α）IE[1XT≥αY]- f（β）IE[1XT>βY]+Zβαf′（a）IE[1XT>aY]da。（A.1）证据。

对于Y=1的情况，证明基本上与[16]中给出的相同。实际上，由于g在[α，β]上是连续的，我们可以用gn（x）=f（α）1x=α+nXk=1（ckx+bk）1ak<x来近似它≤ak+1=f（α）1x=α+nXk=1（ckx+bk）（1ak<x- 1ak+1<x，（A.2）对多个资产的欧式期权定价，其中α=A<A<…<an+1=β是区间[α，β]的一个分区，系数由ck=f（ak+1）给出- f（ak）ak+1- ak和BK=f（ak+1）- ckak+1=f（ak）- 克卡。简单计算并取期望值[gn（XT）Y]=f（α）IE[1XT≥αY]- f（β）IE[1XT>βY]+nXk=1ckIE[（XT）- ak）+Y]- IE[（XT）- ak+1）+Y].现在应用中值定理，f′的连续性，以及IE[（XT- a） +Y]是一个单调函数，对于a，我们得到nxk=1ckIE[（XT）- ak）+Y]- IE[（XT）- ak+1）+Y]→Zβαf′（a）模具[（XT-a） +Y]。此外，通过L emma A.1，我们得到了zβαf′（A）dIE[（XT- a） +Y]=Zβαf′（a）即[1XT>aY]da。需要注意的是，GNG在点方向上收敛到g。因此，结果遵循支配收敛定理。引理A.3。让α≥ 0, α < β < ∞ 考虑一个函数g（x）=f（x）1α<x<β，其中f在[α，β]上是连续的，在（α，β）上是连续可微的。如果∈ 五十、 thenIE[g（XT）Y]=f（α）IE[1XT≥αY]- f（β）IE[1XT>βY]+Zβαf′（a）IE[1XT>aY]da。（A.3）证据。定义一个新函数g byg（x）=f（α+），x=αf（x），x∈ （α，β）f（β）-), x=β。通过引理A.2，我们得到了[g（XT）Y]=f（α）IE[1XT≥αY]- f（β）IE[1XT>βY]+Zβαf′（a）IE[1XT>aY]da。注意到g（x）=g（x）- g（α）1x=α- g（β）1x=β我们得到了结果。引理3.1的证明。P ut gb（x）=f（x）10≤x<b，并设置sn+1=b。

根据假设，我们可以写出b（x）=nXk=0f（x）1sk<x<sk+1+nXk=0f（x）1x=sk。22 TALPONEN和Viitasaaria将引理A.3应用于第一和和和直接计算中的术语ieldsie[f（XT）Y]=f（0）IE[Y]+Zbf′（A）IE[1XT>aY]da+Zbf（A）IE[1XT>aY]duc，+（A）+Zbf（A）IE[1XT≥aY]duc，-（a）- f（b）-)IE[1XT≥由]。让b趋于一致，并将支配收敛结果与假设一起应用，得出结果。参考文献[1]比克，A.（1982）。《衍生资产估值评论》，金融经济学杂志，10:331-345。[2] 布里登，D.T.，里岑伯格，R.H.（1978）。期权价格中的国家或有权益价格，《商业杂志》，51:621-651。[3] 布朗，D.J.，罗斯，S.A.（1991年）。跨越，估值与期权，经济理论，1:3-12。[4] 卡尔，P.，劳伦斯，P.，多资产局部随机方差。数学《金融》，2010年第21期，第21-52页。[5] 卡尔，P.，皮克伦，J.（1999）。时间风险的静态对冲，衍生工具杂志，3:57-70。[6] Cox，J.，R ubinstein，M.（1985）。期权市场，普伦蒂斯大厅。[7] F.Delbaen和W.Schachermayer，资产定价基本定理的一般版本，数学。安。300 (1994) 463–520.[8] F.Delbaen和W.Schachermayer，《无约束随机过程的资产定价基本定理》，数学。安。312 (1998) 215–250.[9] M.Fen gler，《隐含波动率的半参数建模》，斯普林格2005年。[10] Jeanblanc M.，Yor M.，Chesney，M.，金融市场的数学方法，斯普林格金融教科书，2009年。[11] Di Nunno G.，Oksendal，B.《金融中的高级数学方法》，2011年春季。[12] P.Halmos，1950年。测量理论。Van Nostrand and Co.[13]L.H¨ormander，1983，《部分微分算子的分析I，D分布理论和傅里叶分析》，数学综合研究系列，256，Springer Verlag。[14] 贾罗，R.（1986）。

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