状态价格的多维Breeden-Litzenberger表示

通过Lebesgue对eorem的微分，因为我们假设Maxts（i）thave Q期望。请注意，这里我们没有使用u的属性。接下来，我们使用u| t=t<mn这一事实来表示a.e.t。我们观察到xiVfML（T，T+s，（xi））s=0+=谢克马克西（S（i）T- xi）+利用Lebesgue单调收敛定理和经典BreedenLitzenberger在绝对连续情况下对多资产上的欧式期权进行定价，以验证偏导数的存在性。我们将应用以下公式，包括固定时间T，dudmn+1（T，K（1），K（n））=NK（1）。K（n）XiK（i）ieqmax（S（i）T- K（i））+，见[15]。通过收集上述观察结果，我们得出结论，测量u的theRadon-Nikodym衍生物可以如下回收：dudmn+1（T，K（1），K（n））=NK（1）。K（n）XiK（i）VfML（T，T+s，（K（i）））s=0+表示a.e.（T，K（1），K（n））。我们注意到，在上一个结果中s=0+n+1sK（1）。K（n）XiK（i）VfML（t，t+s，（K（i）））可以被视为一个时间相关的多资产状态价格密度。原则上，这可以应用于为不同类型的路径相关衍生品定价。3.使用jumpsLet Sktdenote对股票价格过程和期权的未折旧资产进行静态套期保值。例如，Xkt可以是Skt:s的函数，比如代表亚式期权的averageXkt=tRtSkudu，Xkt=maxu≤tSkurepresentingLookback选项，Xjt=max1≤K≤DSKT代表彩虹期权或Xjt=Pdk=1αKSKT代表篮子期权。在整篇文章中，Bt表示由B=1的非递减确定性函数给出的债券（所有结果都可以扩展到随机利率模型，结果中的明显变化涉及Xt=Rt）。向量（x，…，xn）是d enotedbyx。类似地，Xt表示向量Xt=（Xt。

，Xnt）。我们假设我们的模型在某种程度上没有套利，这意味着至少存在一个定价度量Q，对于每个索赔，时间t的贴现值由IEQ[B]给出-1立方英尺。有关套利数学的更多详细信息，请参见[7]和[8]以及其中的参考文献。在符号中，我们通常省略对Q的依赖，IE代表对Q的预期。我们还假设对于给定的成熟度，我们有XkT∈ L（Q）和XkT≥ 几乎可以肯定。此外，欧洲期权的价格与支付文件h（XT，…，XnT）由Vh确定。我们仅给出价格结果，即t=0时的值。然而，我们的结果可以扩展到包括任意时间t的值，明显是10 TALPONEN和VIITASAARIchanges。还要注意，我们假设到期日为T，但在旋转时忽略它。定义3.1。对于函数f:IR+→ IR，我们表示f∈ πQ（XT）如果满足下列条件：（1）f是连续可微的，除了在最多可数点集0上≤ s<s<…<sα<。（α<γ可数序数），其中f和f′具有跳跃不连续性，（2）f（XT）∈ L（Q），（3）f满足（3.1）极限→∞|f（x）-)|Q（XT）≥ x） =0和（4）积分z∞f′（a）Q（XT>a）雏菊。定义3.2。我们用uc表示，-和uc，+加权计数度量，因此对于给定函数f:IR+→ IR，我们有（1）（3.2）Zxf（y）duc，-（y） =Xy≤x~-f（y），其中-f（y）=f（y）- f（y）-),（2） （3.3）Zxf（y）duc，+（y）=Xy<x+f（y），其中+f（y）=f（y+）- f（y）。在0处从左侧跳转定义为√-f（0）=0。我们还需要以下计数方法。定义3.3。我们用|u| c表示，-和|u| c，+对于给定函数f:IR的计数度量+→ IR，我们有（1）（3.4）Zxf（y）d |u| c，-（y） =Xy≤x |-f（y）|，（2）（3.5）Zxf（y）d |u| c，+（y）=Xy<x |+f（y）|。对于给定的测度eq和under-lieng过程x，我们考虑以下一类支付函数。定义3.4。

对于函数h:IRn+→ 我们写h∈ 如果满足以下条件，则∏nQ（XT）：对多个资产的欧式期权定价11（1）（3.6）h（x）=mXk=1nYj=1fk，j（xj），其中fk，j∈ πQ（XjT），k=1，m和j=1，n、 （2）对于每k=1，m、 每个i=1，n、 和EVERY排列σ=（σ（1），整数1，…，的σ（n），n我们有j=1fk，σ（j）（Xσ（j）T）∈ L（Q）。特别是h（XT）∈ Q（L）。（3） 每k=1，m和eve ry i=1，n（3.7）肢→∞|fk，i（b）-)|IE退出≥毕-1Yj=1 | fk，j（XjT）|= 我们注意到所有多项式的形式都是（3.6）。我们还需要一些运营商，以便进一步使用。接下来的文章K表示关于变量xk的一般偏导数。我们发现使用多个指数来表述主要结果很方便。回想一下，amulti索引是一个向量a∈ {0, 1, 2, . . .}n将每个纯多重偏导数的阶数编码为混合高阶偏导数。在下面的所有多指标中，a满足kak:=maxiai≤ 1是二进制序列，这意味着它们也可以被视为{1，…，n}的su BSET。重新调用以下标准符号：|a |：：=a+…+一定义3.5。对于函数h:IRn+→ IR we定义运算符0kby（3.8）0kh（x）=h（x，…，xk-1，0，xk+1，xn）。我们也将对运算器应用多索引符号。例如，0abh（x，x，x，x）=h（0，0，x，x）表示n=4，a=（1，1，0，0）和b=（0，0，1，1）。也可以考虑e，e∈ A.e、 e∈ Be、 e，e，e∈a+b.定义3.6。让h∈ πnQ（XT）并设z、d、r和l（分别是“zero”、“导数”、“右跳”和“左跳”的缩写）为多个指数，如| z+d+r+l |=n和kz+d+r+lk=1。

我们考虑一个函数laz，d，r，l:nQ（XT）→ IR（隐式地取决于Q和XT）gi ven byAz，d，r，l（h）=ZIRn-|z |+zdh（y）Q^σ∈d+r（XσT>yσ）^^σ∈l（XσT）≥ yσ）！！Yσ∈ddyσYσ∈rduc，+（yσ）yσ∈lduc，-（yσ）。12 TALPONEN和VIITASAARIWe也需要一个类似的正函数：|a | z，d，r，l=ZIRn-|z |+| 0zdh（y）| Q^σ∈d+r（XσT>yσ）^^σ∈l（XσT）≥ yσ）！！Yσ∈ddyσYσ∈rd |u| c，+（yσ）yσ∈ld |u| c，-（yσ）。为了进一步使用，我们还考虑了算子Az、d、r、land | A | z、d、r、lto的限制-|z| 伊恩-|z |+即AKz，d，r，l（h）=ZKn-|z | zdh（y）Q^σ∈d+r（XσT>yσ）^^σ∈l（XσT）≥ yσ）！！Yσ∈ddyσYσ∈rduc，+（yσ）yσ∈lduc，-（yσ）和| A | z，d，r，lis的定义类似。诚然，运营商的定义乍一看似乎很复杂。然而，这很自然，我们只是从一个函数h开始，然后选择| z |变量，我们将其设置为零。接下来，我们选择| d |变量并计算这些变量的偏导数。接下来，我们选择| r |变量，考虑与这些变量相关的右跳，对于剩余的g | l |变量，我们考虑左跳。最后，我们用概率加权结果函数，对于偏导数和右跳，我们考虑严格尾，对于左跳，我们考虑形式为Q（XmT）的尾概率≥ ym），并对这些变量进行积分。函数Az，d，r，L计算这个，然后我们可以对所有可能的排列求和。此外，如果| A | z，d，r，lis fifine，那么也可以定义Az，d，r，lis fifine和well fifined。下面的结果可以看作是比克表示法（1.2）的多维版本。定理3.1。让h∈ πnQ（XT）。

如果（3.9）|A | z，d，r，l（h）<∞对于上述多个指数z、d、r和l的每一个组合，则支付h（XT）的欧式期权的价格为By（3.10）Vh=b-1TX | z+d+r+l |=nkz+d+r+lk=1Az，d，r，l（h）。我们注意到，根据上述结果，我们可能会对giventype的选项进行如下定价：对于每个变量，我们要么将其设置为零，进行部分求导，要么考虑从右或左跳，然后根据相应的度量进行积分。价格是通过对所有可能的组合求和得到的。因此，我们获得了4个百分点。然而，通常对多个资产的欧式期权定价，至少就某些变量而言，支付函数是连续的。因此，许多术语都是van-ish。例3.1。例如，设置n=2，并考虑向上和向内的Barriercall选项，其中strike K和barrier H giv en byf（ST，XT）=（ST- K） +XT≥H、 其中XT=max0≤U≤苏。请注意，现在我们只有一个底层，但我们可以将XT视为另一个底层。该选项的价格为gi ven byVf=B-1TZ∞KQ（ST>y）∧ XT≥ H） dy.这个结果已经在[16]中建立。例3.2。作为n=2的连续示例，考虑带payoff hp（x，y，K，K，K）的彩虹选项=（（x）- K） +）p+（（y）- K） +）p1/p- K+,其中0<p<∞. 对于p=1，该选项的价格为XT，YTis g由VH=B确定-1TZ∞K+KQ（XT>z）dz+B-1TZ∞K+KQ（YT>z）dz+B-1TZK+KKQ（YT>z∧ XT>K+K+K- z） dz。通过不同的价格，Vhpone可以获得多维Breeden-Litzenbergerformula（详见[15]）。定理3.1的证明基于以下引理，它是[16]中结果的延伸。证据见附录。引理3.1。

让f∈ πQ（XT）和Y∈ L（Q）使得（3.11）Z∞|f′（a）|即[1XT>a|Y|da]∞,（3.12）Z∞|f（a）|即[1XT>a | Y |]d |u| c，+（a）<∞,（3.13）Z∞|f（a）| IE[1XT≥a | Y |]d |u| c，-（a） <∞,和（3.14）肢→∞|f（b）-)|IE[1XT≥b | Y |]=0。ThenIE[f（XT）Y]=f（0）IE[Y]+Z∞f′（a）即[1XT>aY]da+Z∞f（a）即[1XT>aY]duc，+（a）+Z∞f（a）IE[1XT≥aY]duc，-（a） 。（3.15）14 TALPONEN和Viitasaa证明了定理3.1。通过线性，可以充分考虑函数h（x）=nYk=1fk（xk）。我们把Y=Qn-1k=1fk（XkT）并应用引理3.1来表示payoff fn（XnT）yToActainvft=B-1Tfn（0）即[Y]- B-1TZ∞f′n（a）即[1XnT>aY]da+B-1TZ∞fn（a）即[1XnT>aY]duc，+（a）+B-1TZ∞fn（a）IE[1XnT≥aY]duc，-（a） 。现在我们可以计算IE[1XnT>aY]（术语IE[1XnT≥通过设置Y=1XnT>aQn，aY]的处理方式类似）-2k=1fk（XkT）并对fn应用引理3.1-1（Xn-1T）Y。事实上，假设（3.7）意味着（3.14）已被满足。此外，（3.9）意味着假设（3.11）-（3.13）满足每一个Yi。因此，通过类似地进行并重复应用引理3.1，我们得到了结果。在许多实际情况下，支付函数是连续的，而不是形式的（3.6）。通过获取一系列函数∈ 对于具有足够光滑性的极限函数，我们得到了类似的结果。对于不连续功能，跳跃部分可能会导致问题。然而，我们可以用连续函数来近似连续函数。这是下一节的主题。还请注意，本节提供的结果与静态套期密切相关，在考虑交易成本和规格误差时，静态套期尤其重要。特别是，如果数字多资产期权在市场上交易，那么更多的普通期权可以（近似地）用数字期权对冲。这一点在一种资产的市场中尤为明显，在这种资产上，更多的普通期权可以用该特定资产的数字期权进行对冲。

此外，如果支付几乎在所有地方都具有额外的平滑性（通常是二阶导数），则可以使用看涨期权对冲支付（有关一维的详细信息，请参见[5]）。3.1。分配定价。回想一下，对于每个连续函数h:IRn+→ IR所有的混合偏导数βh以分布的形式存在，讨论见[13]。因此，对于每一个具有紧支撑的连续函数g，都存在一个光滑（测试）函数Hn序列，它是通过在紧集上应用Stone Weierstrass定理得到的，例如Zirn+g（y）βh（dy）=limnZIRn+g（y）βhn（y）dy。在上面的公式中，由于可以用多项式近似，所以取分部的顺序无关紧要。所以每个函数Az，d，r，l都是∏nQ（XT）→ 在所有连续函数h的范围内，IR可以无限地扩展到Az，d，r，l。实际上，如果h是连续的，当R6=0或L6=0时，我们设置Az，d，r，l=0。由于存在h的偏导数，因此函数Az，d，0,0是为多资产上的欧式期权定价而定义的。显然，同样的条件适用于|A | z，d，r，l。定理3.2。让h:IRn+→ IR是一个连续的支付函数，使得（3.16）|a | z，d，0,0（h）<∞对于所有多指标| z+d |=n，kz+dk=1。然后，欧式期权h（XT）的价格为By（3.17）Vh=b-1TX | z+d |=nkz+dk=1Az，d，0,0（h）。证据首先假设h∈ C∞（IRn+）并设N是一个supp（h）的数 [0，N]N.从实分析中我们知道，在紧致集合[0，N+δ]中，我们可以用多项式序列Tn（x）统一逼近h，因此Tn的偏导数也收敛于h的偏导数。现在，在[0，N+δ]N之外设置Tn（x）=0，通过使用合适的坐标系卷积，我们得到了Tn（x）∈ πnQ（XT）每n.h.的索赔∈ C∞（IRn+）如下。接下来假设h仅仅是连续的。

假设（3.16）存在一个紧集K 伊恩-i+，一个合适的较小紧凑集合kz，d的有限并集，使得x | z+d |=nkz+dk=1~z，d，0,0（h）< 式中，z，d，0,0（h）=ZIRn-|z |+\\Kzdzdh（y）Q^σ∈d（XσT>yσ）！Yσ∈ddyσ。因为h是连续的，所以我们可以取一个序列hk∈ C∞使得hk在紧集上一致收敛于h，所有的部分导数在分布空间D′（IRn+）上相应地收敛。ThusAKz，dz，d，0,0（香港）→ AKz，dz，d，0,0（h）作为k→ ∞ 对于所有多指标| z+d |=1，kz+dk=1。因此，以下>0的主张是任意的。例3.3。考虑一个排列选项f（XT，XT）=（XT- XT）+。Nowf（x，y）是连续的，f（0，0）=fy（0，y）=0，fx（x，0）=1。除此之外，fxy（x，y）存在于分布和相等的意义上-δx（y），其中δx（y）是x处的狄拉克δ函数。因此我们得到vf=B-1TZ∞Q（XT>y）dy- B-1TZIR+Q（XT>x）∧ XT>y）dxδx（dy）=B-1TIE[XT]- B-1TZ∞Q（XT>y）∧ XT>y）dy.Example 3.4。考虑一个支付函数f（x，y）=1x≥y、 现在f既不是连续的，也不是形式的（3.6）。然而，我们有f（x，y）=lim→0+（x- y+）+- （十）- y） +.16 TALPONEN和Viitasaari因此，根据前面的例子和支配收敛定理，我们可以正式计算如下[f（XT，XT）]=- 林→0+Z∞Q（XT>y）∧ XT>y+）- Q（XT>y）∧ XT>y）dy=-x=0+xZ∞Q（XT>y）∧ XT>y+x）dy。另一种为此类期权定价的方法是使用下一小节中的molli fiers。3.2. 用光滑函数逼近。我们的主要定理解释了如何对具有充分平滑度的期权进行定价。在本节中，我们考虑一般可积函数h，并考虑如何将我们的结果应用于此类期权的定价。我们在Lebesguemeasure中使用molli fiers。

好处在于，该模型不依赖于x，也不依赖于Q的特定选择。我们使用（3.18）ρ（x）=c1 | x |<1e给出的标准模型-1.-|x |，其中|·|表示标准欧几里德范数，c是一个常数，例如hatzirnρ（x）dx=1。现在我们有ρ∈ C∞. 设h为任意函数。形式上我们设置（3.19）h（x）=ZIRnρ（y）h（x）- y）dy.实分析的标准结果表明，对于足够小的，h在紧子集上是完全可微的。此外，如果h是连续的，那么h→ h在紧子集上一致。我们还回顾了真实分析中的以下事实（参见[18]）。引理3.2。设u为IRn上的正氡测量值。不管怎样∈L（IRn，u）和任何>0的函数都存在∈ C（IRn）使| | h- |L（u）<。我们现在开始考虑我们的情况。定理3.3。一个关于h（XT）的假设∈ L（Q）。那么以下是等价的：（1）（3.20）Vh→ Vh，（2）（3.21）IE|h（XT）- h（XT）|→ 0，（3）对于e very，存在一个紧的set K和一个常数η>0，例如（3.22）sup0<<η|即[h（XT）]1XT∈IRn+\\K |<。对多种资产的欧洲期权定价。在不丧失普遍性的情况下，我们可以省略键。(3) => （2） ：假设我们有（3.22）和。到（3.22）时，我们可以取K IRn+例如| h（XT）- h（XT）|1XT∈IRn\\K<。此外，根据L emma 3.2，我们可以取连续的| h（XT）- |（XT）|<。我们得到了|h（XT）- h（XT）|=IE |h（XT）- h（XT）|1XT∈K+IE|h（XT）- h（XT）|1XT∈IRn\\K≤IE|h（XT）- ~n（XT）|1XT∈K+IE||（XT）- |（XT）|1XT∈K+IE||||（XT）- h（XT）|1XT∈K+IE|h（XT）- h（XT）|1XT∈IRn\\K.由于是连续的，因此对于足够小的，第二项以为界。为了完成我们通过连续性φ、紧致性K和假设（3.23）即| h（XT）得到的pro- ~n（XT）|1XT∈K<。(2) => （1） ：这是显而易见的。(1) => （3） ：假设我们有（1）和（3.22）不成立。固定>0。

因为h是可积的，所以我们可以找到紧致集K，即| h（XT）| 1XT∈此外，通过（1）我们有| h（XT）- h（XT）|1XT∈IRn+\\K<表示非常小。因此我们也有| h（XT）|1XT∈IRn+\\K<，我们有一个矛盾。这就完成了证明。注意，条件（3）与关于p air（B，h）的一致可积性的概念密切相关，这一概念是在[17]的一维情形中引入的。在许多实际情况下，条件（3.22）是满足的。下一个结果给出了一个易于验证的有效条件，在此条件下，我们得到了（3.22）。推论3.1。如果对于每一个>0，存在一个紧集K∈ IRn+和常数η使得（3.23）sup0<<ηess sup|y|≤1 | IE[h（XT- y）]1XT∈IRn+\\K |<那么我们还有（3.22）。18 TALPONEN和Viitasaarim任何感兴趣的期权都有多项式有界的支付函数，即存在一个多项式p（x），使得| h（x）|≤ p（x），x、 例如，标准彩虹选项就是这样。诺维[p（XT）]<∞这意味着我们还有（3.23）。关于无套利价格的唯一性本文的主题是从多个标的资产的欧式期权的观察价格中推导出定价核心。如果定价度量有明确的公式，那么，当然，度量必须是唯一的。人们可能会问，关于某类衍生品的价格信息是否能有效地确定衡量标准，尽管可能没有明确的公式（参见[3]）。以下事实对该领域的专家来说可能是显而易见的，可以从上一节的考虑中立即获得。提议4.1。n资产金字塔选项值C（K。