状态价格的多维Breeden-Litzenberger表示

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英文标题：
《Multidimensional Breeden-Litzenberger representation for state price
  densities and static hedging》
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作者：
Jarno Talponen and Lauri Viitasaari
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this article, we consider European options of type $h(X^1_T, X^2_T,\\ldots, X^n_T)$ depending on several underlying assets. We study how such options can be valued in terms of simple vanilla options in non-specified market models. We consider different approaches related to static hedging and derive several pricing formulas for a wide class of payoff functions $h:\\R_+^n\\rightarrow \\R$. We also give new relations between prices of different options both in one dimensional and multidimensional case.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了$h（X^1_T，X^2_T，ldots，X^n_T）$类型的欧式期权，这取决于几个基础资产。我们研究了在非特定市场模型中，如何根据简单的普通期权对此类期权进行估值。我们考虑了与静态套期保值相关的不同方法，并推导出了一类广泛的支付函数$h:\\R_+^n\\rightarrow\\R$的几种定价公式。我们还给出了一维和多维情况下不同期权价格之间的新关系。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Multidimensional_Breeden-Litzenberger_representation_for_state_price_densities_a.pdf (249.83 KB)

2022-5-5 11:48:11 上传

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关键词：litzenberger Litzenberg Berger Breed Reed

州价格密度和静态享乐的多维BREEDEN-Litzenbergerre呈现Jarno TALPONEN和LAURI VIITA SAARIAbstract。在本文中，我们考虑H型（XT，XT，…，XnT）的欧式期权，这取决于几个基础资产。我们研究如何根据非特定市场模型中的简单普通期权对此类期权进行估值。我们考虑了与静态h边相关的不同方法，并推导出了一类广泛的支付函数h:IRn的几个定价公式+→ IR。我们还给出了一维和多维情况下不同期权价格之间的新关系。1.简介期权估值是金融数学中最核心的问题之一。在许多感兴趣的模型中，期权估值不能以封闭形式进行，因此开发了不同的方法。例如，可以使用偏微分方程（PDE）或偏积分微分（PIDE）方法、蒙特卡罗方法或树方法（参见[10]、[11]和[9]）。对复杂结构性产品进行估值的一种方法是，根据标的资产的简单衍生工具的价值来确定其价值，如看涨期权、数字期权，以及更理论上的Arrow Debreu证券。我们将研究证券的连续投资组合，这本质上是静态对冲。Breeden and Litzenberger[2]的工作表明，如果认购期权价格VC（K）关于行使的二阶导数存在且是连续的，那么带payoff f（XT）的欧式期权的价格由（1.1）Vf=Z给出∞f（a）ddaVC（a）daw为了简单起见，我们将确定性短期利率视为0。因此，看涨期权价格相对于履约价格的二阶导数是标的资产XT的状态p赖斯密度。

这一结果有着重要的应用，尤其是在静态套期保值这一活跃研究领域。如需了解更多细节和讨论，请参阅Carr[5]、[4]和其中的参考文献。Bick[1]将Breeden和Litzenberger的结果推广到一种情况，即支付函数或看涨期权价格相对于其执行价格具有连续的二阶导数，但在有限点集（sk）Nk=02010数学科目分类中除外。91G20，45Q05。JEL代码：G13，C02。关键词：期权估值、多维资产期权、国家定价密度、彩虹期权、篮子期权、布里登·利岑伯格表示法。2 TALPONEN和Viitasaari，其中存在左和右导数，并且是有限的。特别是，Bick sh欠vf=B-1Tf（0）+Z∞f′′（a）VC（a）da+B-1TNXk=0-f（sk）Q（XT）≥ sk）+B-1TNXk=0+f（sk）Q（XT>sk）+NXk=0（f′（sk+）- f′（sk-))VC（sk），（1.2），其中bt表示bon d f函数，Q是给定的定价度量，并且-和+表示支付函数f的跳跃。关于欧式看涨期权和欧式衍生工具之间关系的后续研究，以及更一般的支付方式，请参见Jarrow[14]，他对下垫气体的分布函数进行了特征化描述，Brown和Ross[3]，他们考虑了一个具有有限状态空间的模型，并证明了一大类期权是一个具有不同行使价格的看涨期权组合。本着类似的精神，Cox和Rubinstein[6]介绍了用分段线性函数逼近连续函数的方法，这是一种具有不同行使方式的看涨期权组合。他们还考虑了这种近似的定价误差，并建议人们应该找到最大绝对差异意义上的最佳近似。

然而，在考虑单元房空间时，这可能会导致问题。最近，在[2]和[1]中的结果被第二个名字Dautor[16]扩展，以涵盖f仅一次分段可微的情况。特别是在[16]中，vf=B-1TIEQ[f（XT）]=B-1Tf（0）-Z∞f′（a）VC（da）+B-1TNXk=0-f（sk）Q（XT）≥ sk）+B-1TNXk=0+f（sk）Q（XT>sk），（1.3），其中由于VC（a）在走向中是递减函数，所以测度VC（da）始终存在。在此背景下，还考虑了屏障类型选项。虽然这个结果可能并不总是定价的最佳选择，但它可以用来获得新的理论结果。例如，第二名作者在[17]中应用了该公式来研究模型近似下的价格收敛速度。作为特例，考虑了Black-Scholes模型中二项式逼近收敛速度的新证明和结果。多资产上的欧式期权定价3综上所述，根据公式（1.2）的精神，对赎回权和数字期权价值与更一般期权价值之间的关系进行了大量研究。然而，所有提到的研究都考虑了债券和一只股票的市场模型，而多维案例中类似的结果并不那么广为人知。在本文中，我们在一些自然假设下，给出了一个类似于（1.3）的定价公式，适用于欧洲期权h（XT）=f（XT，XT，…，XnT），适用于一类广泛的支付函数f，包括彩虹期权和篮子期权。特别是，我们的结果涵盖了所有连续函数h，其中部分导数σ(1). . . σ（m）h存在于everym=1，n和整数{1，…，n}的每个置换σ。对于不是这种形式的选项，我们考虑与勒贝格测量有关的标准缓和技术。

这样做的好处是，在这种情况下，产生的平滑函数不取决于基础资产X或度量值Q的特定选择。虽然结果仍然是理论上的，并且可能不是在实践中为衍生品定价的最佳方式，但它们提供了对定价机制的深刻见解（一维情况参见[17]）。在假设标的资产的分布与Lebesgue测度绝对连续的情况下，我们还推导了一维和多维情况下不同期权价格之间的不同关系。方法学与作者之前的工作[15]相似，在这项工作中，Breeden-Litzenberger公式（1.1）的多维版本得到了证明。我们的结果的好处是，它们不是特定于模型的。特别是，我们只假设X至少存在一个定价指标。我们并不认为它是独一无二的。此外，我们还考虑了基本资产。因此，我们的结果在时间或状态空间上可能是完全或不完全、离散或连续的模型中是有效的。从衍生品的观测价格推断状态价格密度的问题也可以看作是一个反问题。一种可能的方法是将定价函数解释为一个相当普遍的积分算子Φ（f，Q）=Zf dq，如果包含足够广泛的支付函数f，它在后一个坐标上可能是可逆的。我们将应用所讨论的Payoff functionclass的一些微妙性质，而不是强制反转运算符，例如通过离散运算符，然后以数值方式反转得到的矩阵。论文的其余部分组织如下。在第1.1节中，我们将介绍Duceur符号和假设。第2节讨论了路径依赖期权和Breeden和Litzenberger结果的多维版本，以获得绝对连续的定价方法。

在第3节中，我们展示了我们的结果，讨论了一般度量的多维Breeden-Litzenberger表示。在第3.2小节中，我们考虑了更一般的支付函数与摩尔函数的近似。在第4节中，我们给出了与定价测度Q.4 TALPONEN和VIITASAARI1的部分唯一性相关的结果。1.预备阶段。在一般模型中，测度Q不一定是关于Lebesgue测度的绝对连续的（更精确地说，是X的律）。然而，如果Payoff函数在许多实际情况下具有很高的平滑度，则可以应用heorem 3.1（见下文）。然而，通常状态价格密度对于Lebesgue是绝对连续的，然后我们有n个ice表示。Breeden和Litzenberger[2]表明，在一维情况下，风险中性密度可以通过在调用的价格函数中取击价的二阶导数来获得。在本节中，我们将推导多维情况下的模拟结果。首先观察一下数字选项的定价可能很有启发性，因为它只需要很少的机械和考虑因素。也就是说，Lebesgue的Montone收敛定理结合（4.2）（见下文）立即给出了一个事实，即数字期权的价格是看涨期权价格相对于履约的第一个导数。为了简单起见，我们省略了利率，也就是说，我们假设它是不确定的，为0。

表示Rn+=Qni=1（0，∞).让我们考虑以下路径相关的支付：fB（{St}0≤T≤T、 T，H，K）=1max0≤T≤TSt≥H（圣- K） +（势垒）和f（T，K）=fB（{St}0≤T≤T、 T，0，K）常规的欧式通话选择文件。fA（{St}0≤T≤T、 （T，K）=TZTStdt- K+（亚洲）fLB（{St}0≤T≤T、 T，K）=（max0≤T≤TSt- K） +（lo ok- 返回），fCP（{St}0≤T≤T、 T，L，H，K）1RTSt≤H（t）dt≥L（圣-K） +（累积巴黎语），fML（{St}T≤T≤T、 T，T，K）=最大≤T≤T、 i（Si（T）-Ki）+（多个）- 资产外观- 返回），fAB（{St}0≤T≤T、 T，K）=ZTXi（Si（T）- Ki）+dt（亚洲篮）。与上述类似，设n为标的股票数量（在单一资产中n=1）。我们假设存在一个由条件dudmn+1（T，K，…，Kn）定义的度量u<<mn+1on[0，T]×IRn+=ndK。dKnQ^iS（i）t≤ 基！。当然，Q的σ-代数可能比其“localpush-forward”μ更精确。请注意，路径可能仍有跳跃。事实上，我们只需要分布是绝对连续的。特别是，如果过程是连续部分和跳跃部分的总和，通常情况下就是这样。我们假设存在这样一个定价测度Q，而不是一般定价测度的唯一性。上述u可被视为控制测量。在下文中，我们将假设maxtS（i）texist a.s.具有QE预期价值。2.多维和路径依赖导数。关于Lebesgue测度的绝对连续性我们从一个BL/Bick型公式开始，该公式连接了Barrier和回望期权的价格：定理2.1。假设maxtStunder Q定律是绝对连续的。德林K→0+KVfB（H，K）K=K=KVfLB（K）K=哈。e、 K>0，其中a.e.的右侧导数K>0。证据

证据基于以下事实：KfB（{St}t，H，K）K=K-1maxtSt≥HK→ 0+和KfLBKfLB=-1maxtSt≥KK→ 0+.更准确地说，导数仅定义为右边的一个atmaxtSt=K，但这并不影响预期，因为Maxtstunder Q定律是绝对连续的。上面的单调收敛参数本质上提供了求导的途径KVf（K）在极限K=0+时，即使每K>0不需要存在导数。通过滥用符号，我们有时会用K=0+KVf（K）上述类型的限制。定理2.2。我们有vflb（{St}0≤T≤T、 T，K）=-Z∞KKVfB（T，H，K）| K=0+dh，其中，对于所有H和K，右边的导数存在，对于所有H，极限存在。首先要注意KVfB（T，H，K）| K=0+=基克马克斯街≥Hmax（圣-K） +=-IEQmax街≥通过研究Payoff函数，应用期望线性和应用单调收敛定理。这里我们应用事实Q（ST=0）=0。然后我们注意到∞基克马克斯街≥HdH=IEQZ∞Kmax街≥H（ω）dH=IEQ（max St- K） +。6 TALPONEN和VIITASAARITheorem 2.3。假设Q下的（ST，maxtSt）定律相对于m是绝对连续的。考虑f=h（ST，max0）形式的连续支付函数≤T≤TSt）。然后vf=Z∞Z∞-HKVfB（H，K）H=x，K=yh（x，y）dx-dy.证明。证明的策略如下。-(+)HKfB（{St}t，H，K）=1maxtSt=HST=K。因此，在涉及Q的适当条件下，给出了支配收敛定理∞Z∞-HKVfB（H，K）H=x，K=yh（x，y）dx-dy=Z∞Z∞-HKIEQfB（{St}t，H，K）H=x，K=yh（x，y）dx-dy=Z∞Z∞- 林HK→0HKIEQfB（{St}t，H，K）H=x，K=yh（x，y）dx-dy=Z∞Z∞Q（x）≤ maxtSt<x+dx∧ Y≤ ST<y+dy）dx-dyh（x，y）dx-dy=IEQh（maxtSt，ST）。以上我们只要求Q下的（ST，maxtSt）定律对于m是绝对连续的。

事实上，在前面的证明中类似的考虑会产生所需的可微性和可积性条件。目前尚不清楚是否有一个干净的条件保证（ST，maxtSt）是绝对连续的。我们怀疑以下条件对此有帮助，即绝对连续的控制度量u存在，且实现持续地盯着t=t a.s。我们用vf | C=IEQ（f | C）表示条件价格。提议2.1。我们有KVfA=-Q（fA>0）。假设我们有正确的连续轨迹KT（圣- （K）+TVfA=-Q（fA>0）。安德特+TVfA | fA>0=VST | fA>0- K.对多种资产的欧式期权定价7此处考虑条件预期的动机如下：如果亚式期权恰好深藏在资金中，那么条件风险中性预期与现金条件下的条件风险中性预期似乎与期权的实际价值非常接近。证据第一种说法是对通常的比克公式的简单改编。要检查第二个，请注意+TfA=1fA>0（ST- K） 对于每一个正确的连续轨迹，索赔很容易遵循。最后一个结论是通过对等式两边的条件期望得到的。下一个定理大致表明，在一个包含所有累积巴黎人的完整市场模型中，亚洲人也包括在内（可以对冲）。定理2.4。我们有vfa（1，K）=limn→∞十、lK≥0Pklk=1N-1Xk=0knlK- K+Q^klk+θ≤串岭沟组≤圣≤k+1n（t）dm（t）≤ lk+θ！！式中θ=-1kn<Knandθ=1K≤knn。另外，VfA | fA>0（1，K）=ZH，L>0（H- K） L dF（H，L），其中二维g广义Riemann-Stieltjes积分相对于积分器F（H，L）=-K=0+KVfCP | fA>0（H，L，K）。此外，fA（T，K）是σ（fCP（H，L，K）：H，L，K）-可测的。证据

要查看第一个声明，请遵守thatXlK≥0Pklk=1N-1Xk=0klK- K+Yklk+θ≤Rk≤圣≤k+1（t）dm（t）≤lk+θ≤ fA（1，K）对于每个可积实现，左项趋向于fA（1，K），因此a.s.通过应用于风险中性期望的单调收敛定理，我们得到了这个结论。为了验证最后一部分，我们需要证明（2.1）类型的事件≤Zc≤圣≤d（t）dm（t）≤ 裸Q-可测量。观察thatQ（ZSt≤H（t）dm（t）≥ L）=K=0++KVfCP。8 TALPONEN和VIITASAARIBy不同的H和L以及我们可以计算的互补项A.≤Zc≤圣≤d（t）dm（t）≤ B对于任何大于0的a、b、c、d。语句的第二部分也是这样看的，Stieltjes积分近似于形式（H）的求和项-K） L QL≤ZH≤圣≤H（t）dm（t）≤ L, H∈ [H，H]，L∈ 网格{[Hi，Hi+1]×[Li，Li+1]：i上的[L，L]∈ 在}。误差非常大≤ （L·H+L·H）Q（[H，H+H] ×[L，L+五十] ）可在广义Stieltjes积分中轻松控制。通过研究上述证据，我们注意到，我们可以从累积的巴黎价格数据中“几乎”给亚洲人定价（无条件）。这里的障碍是我们不知道事件交叉点的Q-p概率（2.1）。如果我们有一篮子期权的价格数据，包括n个累积巴黎人的所有n个和其他相关参数，这个问题就可以避免。以下结果是[15]中多资产结果的连续时间版本。定理2.5。假设如上所述。然后vfab=XiZTZ∞. . .Z∞（十一）- （Ki）+N十、xnXixiVfML（t，t+s，（xi））s=0+Yidxidt。其中存在偏导数，即定理2.5的证明。声明简化为检查TVfAB=XiZ。Zdudmn+1（T，x，…，xn）（xi）- Ki）+Yidxi=XiZ∞. . .Z∞（十一）- （Ki）+N十、xnXixiVfML（T，T+s，（xi））s=0+yidxif或a.e.T。事实上，我们可能会区分FAB相对于a.e.的价值。