对冲电力期货市场衍生品的预期损失

第一个结果（12）是[5]中命题3.1的重新表述。第二个结果与[3]中的假设4和备注6相呼应，因为[5]中缺少该陈述。根据（11），对于p<0，过程Pt，p，α是负局部鞅，因此是有界子鞅。因此，Ehψ（Xt，Xt*, Yt，x，y，νT*)我≥ p、 根据ψ的增长条件，鞅表示定理暗示了一个平方可积鞅Pt，p，α的存在性，其中Pt，p，αt=p，根据（13），Ehψ（Xt，Xt）*, Yt，x，y，νT*) - Pt，p，αT*i=Ehψ（Xt，Xt）*, Yt，x，y，νT*)我- P≥ 0 .自ψ（x，y）∈ R-对于任何（x，y）∈ R+×R，我们可以选择Pt，p，α来跟随动力学（11）。这意味着α是一个实值（Ft）-逐步可测量的过程，因此（αPt，p，α）∈L（[0，T*] × Ohm), 和α∈ 在第页，我们现在可以使用附录中回顾的GDP来证明命题1。本节的内容与[5]中第4节的发展密切相关，为了清晰起见，本节也对第4.3节的重要内容进行了介绍。证据（命题1）我们把证明分为三步。我们引入共轭和局部测试函数。让V*是V的下半连续版本，如附录所述。根据假设4、动力学（3）和定义（7），Vand V*是p对R的增函数吗-. V的有界性也意味着V的完整性*. 对于（t，x，q）∈ [0，T*] ×R*+×R*+, 我们引入V的凸共轭*在p<0时，也就是说，V（t，x，q）：=sup{pq- 五、*（t，x，p）：p≤ 0} .地图q 7→~V（，q）在R上是凸的和上半连续的*+.设▽是一个有界导数的光滑函数，这样（t，x，q）∈ [0，T*)×R*+×R*+是V的局部最大化子- 带（√V）- ：/~n）（t，x，q）=0。地图q 7→ ~n~n（，q）是凸的。

在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设在q中是严格凸的二次增长，参见[5]第4节中的证明。关于q的凸共轭是p的严格凸函数，由φ（t，x，p）：=sup{qp定义- ~n~n（t，x，q）：q≥ 0}. 然后我们可以正确地定义地图（t，x，q）7→（νp）-[0，t]上的1（t，x，q）*] ×R*+×R*+, 在p变量中取反。根据V的定义和V的二次增长，存在p≤ 0，因此对于已执行的Q，pq- 五、*（t，x，p）=V（t，x，q）=≤0{pq- ψ（t，x，p）}这意味着（t，x，p）是V的局部极小值*- 和（V）*- ν）（t，x，p）=0。定义φ的一阶条件意味着p=（φp）-1（t，x，q）。我们证明了V是线性偏微分方程的次解。在这种情况下，dx和dx的假设意味着，dx和dx的值是无限的：=（u，a）∈ R:|σ（t，x）（u）- dx）- apdp |=06=  （14） 对于任何（t，x，p，dx，dp）∈ [0，T*] ×R+×R-×R.这尤其适用于setN（t，x，p，~nx（t，x，p），魟p（t，x，p）），它由以下形式的元素组成（（魟x+ap魟p/σ）（t，x，p），a）表示a∈ R.根据附录中的定理2，并将ν更改为其新表达式，在（t，x，p）中验证- ~nt-σ（t，x）~nxx- 英法∈R（ap）~npp- ap（θ（t，x）~np- ∑~nxp）≥ 0 . （15） 由于φpp（t，x，p）>0，上述方程中的最大值为：-∑~nxp- θ洎pp洎pp（t，x，p）∈ R，（16）可以插回（15）中，得到（t，x，p）处的一个新不等式：- ~nt-σ（t，x）φxx+（φpp）-1.θ（t，x）~np- σ（t，x）~nxp≥ 0 . （17） 回想一下，p=（φp）-1（t，x，q）。根据Fenchel-Moreau定理，是它自己的双共轭，（t，x，q）=sup{pq- ~n（t，x，p）：p≤ 0}，和~n（t，x，q）=pq- ~n（t，x，p）。通过对p的微分，我们得到φp（t，x，p）=q。

通过再次区分，在点（t，x，p）处，我们有以下对应关系：（Фt，Фx，Фxx，Фpp，Фxp）=-~n~nt，-k x，-~nxx+xqqq，qq，-~nxq~nqq！。（18） 将（18）插入（17），我们在（t，x，q）处得到满足- ~n~nt-σ∧|xx+|θ| q |qq+2u|qq（t，x，q）≤ 0 . （19） 通过（t，x，q）的任意性∈ [0，T*) ×R*+×R*+, 这意味着V是[0，T]上（19）的一个子解*) ×R*+×R*+. 终端条件由附录中的定义和定理2给出：~V（T*, x、 q）=补充≤0{pq- 五、*（T）*, x、 p）}=supp≤0pq- Ψ-1（x，p）. (20)3. 我们将V与条件期望进行比较。设V为V（t，x，q）=EQth＠V（t）定义的函数*, Xt，Xt*, Qt，Qt*)执行部队（t，x，q）∈ [0，T*] × (0, ∞), 为s提供动力∈ [0，T*] 给定byXt，xs=x+Zstσ（u，Xt，xu）dWQtu和Qt，qs=q+ZstQt，quθ（u，Xt，xu）dWQtu，其中Qt是P-等价度量，使得dP/dQt=Qt，1。根据费曼-卡福公式，“V”是方程（19）的上解，因此“V”≥五。根据假设4，第7页→ Ψ-1（，p）在R上凸增-. 因此，对于足够大的q值，J（x，q）：=arg suppq- Ψ-1（x，p）：p≤ 0定义明确，可以在R中获得任何价值-.

根据隐函数定理，存在一个（t，x，p）的函数q，使得EQthQt，1T*JXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*因此，V（t，x，p）≥ 五、*（t，x，p）≥ 啜饮qp-V（t，x，q）：q≥ 0≥ pq（t，x，p）- EQthVT*, Xt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*我≥ q（t，x，p）P- EQthQt，1T*JXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*我+EQxhψ-1.Xt，Xt*, JXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*我≥ EQthψ-1.Xt，Xt*, JXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*i=：y（t，x，p）。根据鞅表示定理，存在ν∈ Ut，ysuch thatYt，y（t，x，p），νt*= Ψ-1.Xt，Xt*, JXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*这意味着p≤ 0EhψXt，Xt*, Yt，y（t，x，p），νt*我≥ EhJXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*i=EQthQt，1T*JXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*我≥ 因此，通过定义值函数y（t，x，p）≥ V（t，x，p）为（t，x，p）提供等式和（9）∈ S.3.2间隔[T，T]的应用*]现在我们回到[T，T]*], 其中，假设成形因子∧在时间T处取已知值λ。强调λ作为t的给定状态参数的影响≥ T，我们表示byV（T，x，p，λ），值函数定义类似于（7），其中ψ由（5）给出。定义4。Let（t，x，p，λ）∈ S×L。我们可以定义S×L asV（t，x，p，λ）：=inf{y上的值函数≥ -κ：E`GλXt，Xt*- Yt，x，y，νT*+≤ -p代表ν∈ 注意，如果X是指数过程，那么我们可以明确地改变V（t，X，p，λ）为V（t，λX，p，1），回顾上一节的假设p[∧=1]=1。让我们回顾一下完整市场中的标准定价概念。在假设2下，我们可以定义由dqdp定义的p等价鞅测度Ft=exp-ZtTθ（s，Xs）dWs-ZtT |θ（s，Xs）|ds, T≥ T（22）在当前设置下，Q是唯一的风险中性度量，其漂移布朗运动wqt=Wt+RtTθ（s，Xs）ds，我们可以为g（λXT）提供唯一的无套利价格*).定义5。

我们定义了（t，x，λ）∈ [T，T]*] ×R*+函数c（t，x，λ）：=EQ[g（λXt，Xt*)] 对于t≥ T（23）根据假设2和假设3，我们可以应用[17]中的命题6.2，即对于任何λ∈ 五十、 （t，x）7→ C（t，x，λ）在空间变量中是Lipschitz连续的，Lipschitz常数K与g相同。此外，C（·，·，λ）是Black-Scholes方程多项式增长的唯一经典解- 计算机断层扫描-[t，t]上的σ（t，x）Cxx=0*) × (0, +∞) （24）终端条件C（T*, x、 λ=g（λx）。现在，当我们使用定义2中的损失函数时，命题1适用于提供以下内容。推论1。假设2和假设3成立。然后，V在S×L上由V（t，x，p，λ）=EQ[g（λXt，Xt）给出*) - `-1(-Pt，Pt*)] （25）其中Pt，Pt*这是英国《金融时报》*-由pT定义的可测量随机变量，pT*= jq expZT*tθ（s，Xt，xs）dWQs-ZT*tθ（s，Xt，xs）ds！！（26）带j（q）：=-((`-1))-1（q）和（26）中的q，使得EQhPt，pT*i=p。此外，V在p中是凸的，并且在[t，t]上是C1,2in（t，x）*] ×R*+.解（25）-（26）可在简单情况下显式计算，见下文第5节。注意V在[T，T]上有界*] ×R*+×R*-因为`在R+上凸增，-`-1.投资。看一下（25）-（26），然后确信V在R上的p中是连续的*-, 但是[5]中的命题3.3in可以在我们的设置中用来断言V在p中也是凸的。根据函数C所说的，V在[t，t]上是C1,2in（t，x）*] ×R*+.备注1。值得注意的是，值函数（25）由权利要求g（λXt，Xt）的Black-Scholes-Price组成*) 减去一个与接受集双重表达式中的惩罚相对应的项，如果`是一个风险度量，请参见[16]。

因此，对冲策略将被修改。首先注意，（25）是两个马尔可夫过程（Xt，x，Qt，q）函数的条件期望，对于q，我们可以写出Yt，V（t，x，p），νs:=y（Xt，xs，Qt，qs）：=V（s，Xt，xs，Pt，ps）。根据推论1，y是正则函数，Xt，x，Qt，qare鞅在概率Q下，以及Yt，V（t，x，p），ν下。因此，它提供了dyt，V（t，x，p），νs=yx（Xt，xs，Qt，qs）dXt，xs+yq（Xt，xs，Qt，qs）dQt，qs。现在我们用dXt，xs来表示dwqs，我们得到了dyt，V（t，x，p），νs=yx（Xt，xs，Qt，qs）+u（s，Xt，xs）Qt，qsyq（Xt，xs，Qt，qs）dXt，xs（27），可以推导出最佳动态策略。推论1检索[15]的解。后者的原始问题是在给定初始投资组合价值的情况下最小化预期损失，但作者证明了我们的问题是等价的。定义3的随机目标问题实际上以类似的方式与最优控制问题联系在一起，正如在[5]的介绍中所注意到的，并在[4]中发展。我们可以引入一个值函数，给出在T时刻可以达到的最小损失*, 对于时间t，初始大写字母y，Xt，Xt=x和成形因子∧=λ。定义6。对于（t，x，y，λ）∈ [T，T]*] ×R*+x R×L我们定义（t，x，y，λ）：=supE-`GλXt，Xt*- Yt，y，νT*+: ν ∈ Ut，y. （28）如果初始portfoliovalue在时间t由y给出，则这对应于找到最佳可达阈值p的问题。该结果对于通过以下与V的联系来解决t之前的问题非常有用。引理2。对于（t，x，y，λ）∈ [T，T]*] ×R*+× [-κ, ∞) *L我们定义了-1（t，x，y，λ）：=sup{p≤ 0:V（t，x，p，λ）≤ y} 。那么我们有u（t，x，y，λ）=V-1（t，x，y，λ）。

（29）此外，函数U是y的凹增函数，从上方以0为界。等式（29）是引理2.1在[4]中的直接应用，而U的性质是从V的性质和定义6.4解的性质中得出的。在不完全市场中，我们现在转向T之前问题的解，即∧未知时。我们首先提供整容程序，将新情况简化为第3节中处理的情况。这个过程可以根据两个模型范例来完成：1。λ的ρ定律应该是已知的；2.只有∧定律的支撑L是已知的。第一种方法是具有先验分布的概率方法，而第二种方法是稳健方法，关于参数不确定性的稳健金融，参见[6]中的控制理论版本。最后，整容过程的数值复杂性迫使我们放弃显式的数值计算公式。因此，我们修改了第3节的结果，为第5.4.1节中数值近似的问题提供了一个方便的公式，前提是形状因子。当t<t时，问题（7）不能用[5]中开发的方法来处理。为了解决这个问题，我们遵循以下论点。考虑（t，y）∈ [0，T）×[-κ, ∞) 安达策略∈ 我们在时间T到达财富Yt，x，y，νT≥ -κ、 当外源性风险因子∧出现时。假设代理人希望通过使用投资组合Yt，x，y，νT在时间T控制预期风险水平p<0。如果∧取λ值，使Yt，y，νT<V（T，Xt，Xt，p，λ），显然不可能确定。然而，T之后的最佳策略包括通过尝试达到定义6给出的最佳预期损失水平U（T，Xt，Xt，Yt，y，νT，λ）来优化投资组合。

在完整的市场环境下，这一成就是可能的。引理3。在假设2和4下，存在一个映射（x，y，λ）7→ ν（x，y，λ）∈ 呃，那边*+× [-κ, ∞) ×L这样的话，呃ψλXT，XT*, YT，y，ν（x，y，λ）T*我≥ U（T，x，y，λ）。（30）证据。固定（x，y，λ）∈ R*+× [-κ, ∞) 设p:=U（T，x，y，λ）。根据引理2，y≥V（T，x，p，λ）。根据推论1和备注1，由于ψ在y中增加，所以存在ν，使得EhψλXT，XT*, YT，y，νT*我≥ p表示（x，y，λ）任意固定。然后，在固定的Xt、Xt和Yt、y、νT的∧实现中，对该策略在T处产生的预期损失进行平均。因此，也对T之前的∧进行了预期。定义7。我们定义了Ξ：R+×[-κ, ∞) → R-byΞ（x，y）：=ZLU（T，x，y，r）ρ（dr）。（31）上述函数Ξ表示如果代理人在时间T以状态XT，XT=x获得财富y，代理人可以达到的预期最佳损失水平。引理4。函数Ξ取非正值，即Cin x∈ R*+凹面逐渐增大。这是引理2和推论1的直接结果。这个性质确保假设4的部分适用于下面的新问题，以便应用附录中的定理2。特别是引理4允许用广义逆Ξ定义一个终端条件-1.定义8。对于（t，x，p）∈ S、 我们定义V（t，x，p）：=infny≥ -κ：EhΞ（Xt，Xt，Yt，x，y，νT）i≥ p代表ν∈ 嗯，哟。（32）我们现在证明，这个新问题与S.命题2的定义3一致。假设2和4成立。然后，在S证明上，V（t，x，p）=V（t，x，p）。1.固定（t，x，p）∈ 沙取y>V（t，x，p）。那么，根据定义，就存在ν∈ Ut，y如此，呃ψXt，Xt*, Yt，x，y，νT*我≥ P

因为t<t，所以可以将控件写入νt=νt{t∈[0，T）}+νT（∧）1{T∈[T，T]*]}其中νt（.）遵循F的正则构造：它是从L到[T，T]上平方可积控制过程集的可测映射*] 符合布朗过滤σ（Ws，T≤ s≤ .). 根据马尔可夫过程Xt，xandYt，x，y，ν（见[20]）的流动性质和期望的塔性质，EhψXt，Xt*, Yt，x，y，νT*i=E兹尔ΨXT，XT，xTT*, YT，Xt，Xt，YT，x，y，νT，ν（λ）T*Xt，Xt，Yt，x，y，νT，λρ（dλ）.（33）通过取所有可能映射的上确界ν（λ）并定义6，我们得到≤ EΨXT，XT，xTT*, YT，YT，x，y，νT，ν（λ）T*Xt，Xt，Yt，x，y，νT，λ≤ UT、 Xt，Xt，Yt，x，y，νT，λ. （34）通过积分λ除以L，然后取期望值，我们立即得到y≥V（t，x，p）。通过y，V（t，x，p）的任意性≥V（t，x，p）。以y>V（t，x，p）为例。存在一个控制ν∈ 但是，你就是这样兹鲁T、 Xt，Xt，Yt，x，y，νT，λρ（dλ）≥ P现在引理3允许断言控制ν的存在*（λ） 在[T，T]上*] 对于任何λ∈ 乐ΨXT，XT，xTT*, YT，YT，x，y，νT，ν*（λ） T*= UT、 Xt，Xt，Yt，x，y，νT，λ.通过选择新的容许控制ν∈ Ut，由级联νt=νt{t定义∈[0，T）}+ν*t（λ）1{t∈[T，T]*]}, 我们得到了y≥ V（t，x，p）表示任意y>V（t，x，p）。因此，我们在S上有V和V的等式。在目前的情况下，当∧定律已知时，（31）的整容过程允许在区间[0，T]上检索[5]的随机目标问题。然而，对于非平凡模型，终端条件（31）可能是明确的。4.2稳健方法的变化由于缺乏数据或问题的某些不稳定性，如果代理人希望控制预期损失水平，而不假设L上的ρ定律，那么采用稳健方法可能会很有趣。在假设1下，稳健方法很容易实现，如下所示。

由于∧定律未知，我们必须考虑最坏情况，即定义9上一组概率测度的（31）的上确界。设P（L）是L上所有概率测度的集合，包括奇异测度。然后我们定义任何（x，y）∈ R*+× [-κ, ∞) 函数ξ（x，y）：=supρ∈P（L）Ξ（x，y）。（35）很简单，通过考虑P（L）中的奇异测度，我们将得到ξ（x，y）=maxλ∈LU（T，x，y，λ），（36）这是所有（x，y）的定义∈ R*+× [-κ, ∞) 遵循引理2。上一节的推理可以应用于新的中间条件Ehξ（Xt，Xt，Yt，x，y，νT）i≥ p、 如果t<t:\'VR（t，x，p）：=infny>-κ：Ehξ（Xt，Xt，Yt，x，y，νT）i≥ p代表ν∈ 嗯，哟。（37）由g的一些附加假设提供的U相对于λ的单调性，导致等式（36）的直接解。一般来说，问题（37）的解决方法与问题（32）的解决方法类似，其基本条件更易于处理。因此，在续集中，我们将重点放在问题（32）上。4.3从控制问题到期望公式。在本节中，我们想正式强调非线性方程（15）的解（在命题1的证明中）与简单条件期望之间的联系，在有效的规则设置下。这个想法将被用来提出一个数值方案来近似解决我们的部分套期保值问题。假设非线性偏微分方程（15）有一个经典解，假设它也可以验证\'Vt+σ（t，x）\'Vxx+a*Pσ（t，x）`Vxp- θ（t，x）\'Vp+（a）*p） \'Vpp=0，对于t<t\'V（t，x，p）=Ξ-1（x，p），（38），其中我们回顾了控制的具体形式（16）：a*:=p-Vpp-1.θ（t，x）\'Vp- σ（t，x）`Vxp, （39）终端条件为Ξ-1（x，p）：=inf{y≥ -κ：Ξ（x，y）≥ p} 。