对冲电力期货市场衍生品的预期损失

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英文标题：
《Hedging Expected Losses on Derivatives in Electricity Futures Markets》
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作者：
Adrien Nguyen Huu (FiME Lab, IMPA), Nadia Oudjane (FiME Lab)
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We investigate the problem of pricing and hedging derivatives of Electricity Futures contract when the underlying asset is not available. We propose to use a cross hedging strategy based on the Futures contract covering the larger delivery period. A quick overview of market data shows a basis risk for this market incompleteness. For that purpose we formulate the pricing problem in a stochastic target form along the lines of Bouchard and al. (2008), with a moment loss function. Following the same techniques as in the latter, we avoid to demonstrate the uniqueness of the value function by comparison arguments and explore convex duality methods to provide a semi-explicit solution to the problem. We then propose numerical results to support the new hedging strategy and compare our method to the Black-Scholes naive approach.
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中文摘要：
我们研究了当标的资产不可用时，电力期货合约的定价和套期保值衍生品的问题。我们建议使用基于涵盖更大交割期的期货合约的交叉对冲策略。对市场数据的快速概述显示了这种市场不完整性的基本风险。为此，我们按照Bouchard和al.（2008）的思路，用矩损失函数，以随机目标形式来描述定价问题。遵循与后一种方法相同的技术，我们避免通过比较参数来证明值函数的唯一性，并探索凸对偶方法来提供问题的半显式解。然后，我们提出数值结果来支持新的套期保值策略，并将我们的方法与Black-Scholes朴素方法进行比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Hedging_Expected_Losses_on_Derivatives_in_Electricity_Futures_Markets.pdf (1.6 MB)

2022-5-5 12:34:25 上传

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关键词：预期损失 期货市场 衍生品 Optimization Quantitative

对冲电力期货市场衍生品的预期损失Dadrien Nguyen Huu*1和Nadia OudjaneIMPA，里约热内卢，巴西研发部，Clamart，Franceober 21，20181简介在本文中，我们提出了一种涉及数值实施的方法，用于对电力期货合同的金融衍生品进行部分对冲。电力期货市场呈现出特殊的特征。作为一种不可储存的商品，电能在一段时间内以电力的形式传递。类似地，期货合同将固定未来期间的当前电力价格与该期间的未来报价进行交换：它们明确指的是掉期合同，见[2]。由于电力是不可储存的，套利论据并不成立，因此任何人都无法通过常用工具构建aterm结构。由于流动性限制和未来的不确定性，报价的合同数量有限，其交付期随到期时间延长而延长。我们称之为期限结构粒度的这种现象意味着，最理想、最灵活的合同（周期或月期合同）只在到期前很短时间内报价。如果一个人希望在未来某个特定月份交付固定价格的电力，她应获得涵盖更广泛期限的合同，例如季度或一年合同。然而，如果一个人在这样一个短期合同中，甚至在该合同被报价之前，就被赋予了衍生工具，那么风险仍然存在。这就是我们所探索的情况：我们在这里考虑的是一个代理人，他被赋予了对一项尚未上市的资产的衍生品。在实践中，这种头寸的不可对冲风险是通过部署与相关上市资产的交叉对冲策略来管理的，见[22]、[13]和[18]。

如果没有令人望而却步的成本，就无法完全消除风险：市场是不完整的，方法学需要一个定价标准，如上述参考文献所述。在下文中，我们开发了部分套期保值程序，以满足预期中的损失约束。我们的目标是提供一种现成的方法来实现这些目标。这就需要最新的随机控制工具[5]和耦合前后向SDE的数值近似。然而，我们不断地将所得结果与著名的公式和概念联系起来，因此该方法易于吸收。我们还提供了强有力的假设，以避免在困难的案件中涉及证据。我们相信，下文提出的具体方法可以理解和应用，而无需太多努力，并适用于各种对冲问题。我们采用的方法是由F"ollmer和Leucert[14,15]提出的，但我们是在控制理论的框架内发展这个问题的。满足损失预期约束所需的最小初始投资组合值可以表示为随机变量的值函数*通讯作者：阿德里安。nguyenhuu@gmail.comtarget问题Soner和Touzi[20,21]引入了随机目标方法，以控制方式模拟定价问题。Bouchard、Elie和Touzi[5]将其扩展到了预期标准，并将其应用于分位数对冲[5]、清算问题中的损失约束[3]或具有小交易成本的损失约束[7]。

然而，当一个人首先证明了一个比较定理来解决价值函数的唯一性问题时，一般方法相当技术化，需要解决非线性偏微分方程（PDE）。在这里，我们使用了[5]的应用程序，在这个应用程序中，可以在完整的市场中提供很好的结果，而无需使用比较参数。然而，我们的初始问题不能用[5]或[19]的随机目标公式直接解决。期望资产价格的幻影所带来的不可防范的风险，对通常的框架产生了一个不可忽视的扩展。相反，我们以倒退的方式分三步进行：1。我们首先在第3节中利用[5]中应用的一个简单扩展，提出了完全市场中的随机目标问题。我们的方法强烈依赖于损失函数的凸性。通过凸对偶参数，期望损失目标可以表示为，以便提供一个非常接近于通常的风险中性定价公式的公式。这允许在missing contract出现的精确时刻表达价值函数V。2.为了处理未交易资产的随机幻影，我们使用了一个整容程序，为基础资产报价前的时期提供了一个新的（中间）目标。这在第4节中完成，与初始套期保值标准一致，并允许我们检索完整的市场设置，其中可以部分使用步骤1的结果。3.当完整的市场环境无法提供分析公式时，如第2步后发生的情况，我们将使用数值近似。我们在第5节中提出了这样一种算法，并在第6节中说明了该方法的有效性。可以理解的是，通过沿着步骤3中提供的数值算法重复进行步骤1和2，可以递归地应用该方法。

剩余的贡献遵循上述顺序，由第2节中的问题介绍开始，在该节中，我们发展了金融代理人在市场上遇到的主要情况。2控制问题的描述0<T<T*< ∞. 我们考虑被赋予到期日为T的金融期权的代理人*, 支付一个月期的期货。然而，该资产在初始时间t=0时尚未报价，并在时间t时出现在市场上。该月包含一个在更大期限内交割的期货，例如一个季度期货。我们用X表示：=（Xt）t∈[0，T*]该工具的贴现价格，避免以后引入利率。Weassume在整个利息期内可用[0，T*], 然而，代理人有一个职位的月期未来仅在区间[T，T]上可用*].我们方法的核心是假设两种工具之间存在结构性关系，即两种资产的回报是完全相关的。更准确地说，每月的期货价格应该是季度期货价格X和给定的成形因子∧>0的乘积∧Xt，假设是一个有界的随机变量，完全独立于资产价格X。有界条件来自两个期货合约之间的结构关系，假设隐含的现货价格是非负的。我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）支持布朗运动W和变量∧。过滤F由Ft:=σ（Ws，0）给出≤ s≤ t） 对于w=0，σt:≤ s≤ （t）∧t的σ（λ）≥ T假设1。

我们用L表示∧的支持度，它被认为是R+的一个有界子集，ρ是它在L上的概率测度。在[0，T]期间，代理与资产Xt，x进行交易，x被认为是SDE的解：dXt，xs=u（s，Xt，xs）ds+σ（s，Xt，xs）dWs，对于s≥ t、 和Xt，Xt=x。（1） 我们假设Xt、Xt的定义如下。假设2。函数（u，σ）：[0，T*] ×R+→ R×R*+假设以下属性得到验证：1。u和σ是统一的Lipschitz，并验证|u（t，x）|+|σ（t，x）|≤ K（1+| x |）表示任意（t，x）∈[0，T*] ×R+0.2。对于任何x>0，我们有Xt，xs>0p- a、 为了所有的人∈ [0，T*]3.任何（t，x）的σ（t，x）>0∈ [0，T*] ×R*+;4.如果x=0，则所有t的σ（t，x）=0∈ [0，T*];5.σ在[0，T]的时间变量中是连续的*] ×R+；6.u和σ是θ（t，x）：=u（t，x）σ（t，x）<∞ 在（t，x）中均匀分布∈ [0，T*] ×R*+. （2） 式（2）暗示了所谓的诺维科夫条件。子市场仅由（Xt）t组成∈[0，T*]然后是一个与布朗亚过滤相关的完整市场。过滤F与一个完整的市场有关，因为∧在区间[0，T]上未知，并且不能由如下定义的自融资可接受投资组合对冲。这样，市场可以被标记为Becher[1]意义上的半完整。定义1。

一个可接受的自融资投资组合是一个F适应过程Yt，x，y，由Yt，x，y，νt=y定义≥ -κandYt，x，y，νs:=y+ZstνudXt，xu，s∈ [t，t]*] , （3） 在哪里∈ Ut，yde注意到一个策略，Ut，Yt时间t的一组可容许策略，这是R值F-逐步可测的平方可积过程的集合，例如Yt，x，y，νs≥ -κP-a、 为了所有的人∈ [t，t]*] 还有一些κ≥ 0代表代理人的有限信用额度。根据资产模型（1），考虑一个套期保值投资组合时，严格等价于xt，xon[0，T]*] 或者随时切换r∈ [T，T]*] 对于新出现的资产∧Xt，x:Yt，x，y，νs=y+Zs∧rtνudXt，xu+Zts∧rνud（λXt，xu），r≥ T和T≥ 0，如果u的ν=ν/λ≥ r、 因此，我们假设代理在[0，T]上与X进行交易*].假设3。期权的最终收益由g（λXT）给出*), 其中函数g假设为Lipschitz连续。正如文献中所知，这种期权的超边际价格可能会令人望而却步，即使在假设1中∧是有界的。为了避免这个问题，我们建议控制部分对冲的预期损失。这意味着代理给自己一个阈值p<0和一个损失函数`来评估其终端位置g（λXt，Xt）上的损失*) - Yt，x，y，νT*.定义2。损失函数`:R+→ 假设R+是连续的，严格凸的，并且在R+上严格增长，且具有多项式增长。我们规范化函数，使`（0）=0。代理人在时间t的目标是找到最小值y和投资组合策略∈ 哦，我就是这样-`G∧Xt，Xt*- Yt，x，y，νT*+≥ P（4） 更一般地说，通过一个通用映射ψ：R+×R来测量支付和享乐投资组合之间的偏差是有用的→ R-. 前面的例子对应于ψ（x，y）=-`（（g（x）-y） +）。

（5） 假设3和定义2意味着上述定义的ψ满足以下假设：假设4。函数ψ：R+×R→ R-假设为连续且在（x，y）中多项式增长cl{y上y的凹性与增性∈ [-κ, ∞) : ψ（x，y）<0}对于任何x∈ R+。注意，对于任何y，ψ（x，y）=0 in（5）≥ g（x），这使得ψ在任何固定x的域上都不可逆。在假设4下，我们可以定义y逆ψ-R+×R上的1（x，p）-作为p的凸增函数，其中ψ-1（x，0）=inf{y≥ -κ：ψ（x，y）=0}。（6） 如上所述，[15,16]中引入了（4）的估值方法。它可以在马尔可夫框架（1）-（3）允许的随机控制形式[5]下编写。定义3。Let（t，x，p）∈ S:=[0，T*] ×R*+×R*-被给予。然后我们定义了S asV（t，x，p）上的值函数v:=infny≥ -κ：Ehψ∧Xt，Xt*, Yt，x，y，νT*)我≥ p代表ν∈ 嗯，哟。（7） 在[5]和[19]中可以找到关于受控损失随机目标问题的一般设置的高级技术细节和细节。特别是，我们只在（x，p）的开域上引入了值函数，并避免处理特定情况x=0或p=0。此外，函数V隐式地受到g（λXt，Xt）的超边际价格的限制*) 我们将在下一节中看到。注意，（7）中的期望涉及到一个积分w.r.t.∧fort定律∈ [0，T），在成形因子∧被揭示之前。因此，由于∧的存在，目前的问题不是标准的：过滤F不仅是由于布朗运动，而且[5]的动态编程参数不直接适用。我们采取的方法是在一个分段问题中分离完整和不完整的市场区间。例1。我们将在第5节和第6节中使用的损失函数的一个特殊例子是下偏矩`（x）：=xk{x的特殊情况≥0}/k，k>1。

（8） 在k=1的情况下（此处未考虑），我们获得了一个接近预期短缺的标准，在[12]中进行了独立研究，而允许k=0允许准确地检索分位数套期保值问题[5]，尽管在这种情况下“不是定义2中的损失函数”。假设k=2更接近二次套期保值（或均值-方差套期保值）的目标，但其优点是只考虑损失，而不考虑收益。请注意，与方程（8）中k>1的定义2相同，如果假设3成立，则假设4成立，假设5成立。我们用额外的符号来完成本节。在续集中，我们将表示S:=S∪ S:=[0，T]×R*+×R*-和S:=[T，T*]×R*+×R*-是值函数的两个域。对于定义在S上的任何实值函数，我们用相对于t或x的偏导数表示。其他变量的偏导数，或二阶偏导数以相同的方式表示。3完整市场中的解决方案3。1区间[T，T]上的一般解和风险中性预期*], 变量∧已知，资产∧X可交易。我们假设∧取λ的值∈ L.在这个区间，λ可以被视为影响损失函数ψ的系数，问题（7）遵循[5]的标准公式：过滤是由布朗运动路径产生的。在第4节中，我们将[0，T]周期的不完全市场设置简化为[T，T]上形式（7）的完整市场问题*], 在一个类似的布朗框架中，函数ψ不再来自（5）中的损失函数，这促使引入了一般函数ψ。因此，在不丧失一般性的情况下，我们暂时假定L={1}，并在符号中省略λ。在[0，T]上*] 然后，我们可以研究布朗过滤中的问题（7），并应用[5]的大多数结果。

F对t的过滤≥ 在这种情况下，T由Ft:=σ（Ws:T）给出≤ s≤ t） 关于完全概率空间(Ohm, F、 P）与P[λ=1]=1。提议1。在假设2和4下，函数V在S byV（t，x，p）=EQthψ上给出-1.Xt，Xt*, JXt，Xt*, Qt，Qt*i（9）式中J（x，q）：=argsuppq- Ψ-1（x，p）：p≤ 0andXt，xs=x+Zstσ（u，Xt，xu）dWQtu和Qt，qs=q+ZstQt，quθ（u，Xt，xu）dWQtu，（10）其中wqt是概率Qt下的布朗运动，后者由dPt/dQt=Qt定义，1用于期望（9）。最后给出q，使得EhJXt，Xt*, Qt，Qt*i=p。为了得到这样的结果，我们分几个步骤进行。我们首先使用[5]中的命题3.1以[20]的标准形式表达问题（7），见下面的引理1。然后，我们应用[20]中的几何动态规划原理（GDP）原理，以获得粘度意义下V的PDE特征。这些结果见附录。然后，我们利用V的凸共轭性质得到V作为命题1的风险中性期望（9）。引理1。设Pt，p，α是由Pt，p，αs=p+ZstαuPt，p，αudWu，0定义的F-适应随机过程≤ T≤ s≤ T*, （11） 其中α是一个F-逐步可测过程，取R中的值。让我们表示At，p这类过程的集合，使得Pt，p，α和αPt，p，α是平方可积过程。假设2和假设4成立。然后在SV（t，x，p）=infny上≥ -κ：Yt，x，y，νT*≥ Ψ-1（Xt，Xt*, Pt，p，αT*) 对于（ν，α）∈ Ut，y×At，po。（12） 此外，对于给定的三重态（t，y，p），如果存在∈ 和一个F-逐步可测量的过程α，取R中的值，使得y，x，y，νT*≥ Ψ-1（Xt，Xt*, Pt，p，αT*) P- a、 然后存在α∈ 在，psuch，Yt，x，y，νT*≥ Ψ-1（Xt，Xt*, Pt，p，αT*) P- a、 美国证据。在假设4下，ψ-1（x，p）与（6）有很好的对应关系。根据ψ的多项式增长，结合假设2，可以应用随机积分表示定理。