对冲电力期货市场衍生品的预期损失

（40）特别是如果*在（39）中定义良好（通过p中V的严格凸性），并对应于（15）中的最佳值，那么公式（15）和（38）是等价的。现在我们假设函数^V（t，x，p）=EQ[Ξ-1（Xt，Xt，Pt，p，α*T） ]，0≤ T≤ T，（41）定义良好，Q下的动力学由Xt给出，xs=x+Zstσ（u，Xt，xu）dWQu；Pt，p，α*s=p+ZstPt，p，α*uα*UdWQu- θ（u，Xt，xu）du（42），其中反馈控制α*是为s定义的∈ [t，t]byα*s=Pt，p，α*s’Vpp-1.θ（s，Xt，xs）\'Vp- σ（s，Xt，xs）`Vxps、 Xt，xs，Pt，p，α*s. （43）此外，假设^V是充分正则的，是相关线性方程组的经典解~nt+σ（t，x）~nxx+a*p（σ（t，x）~nxp- θ（t，x）νp）+（a）*p） ηpp=0，对于t<tΞ（t，x，p）=-1（x，p），（44），其中我们回顾了作为V及其衍生物的函数给出的控制（39）的特定形式。现在，请注意，V也是线性偏微分方程的经典解。因此，如果（44）的经典解是唯一的，那么我们可以得出^V=\'V的结论。在下一节中，我们提出了一个求解（38）的数值方案，在某种意义上，它依赖于非线性模型（38）和动态（42）-（43）条件期望（41）之间的关系。5数值近似方案在本节中，我们提出了一个专用于具体问题（41）（42）-（43）的数值算法。这个问题有两个原因。首先，T处的终端条件由Ξ给出-这可能是未知的，必须进行数值研究。其次，最优控制由（43）给出，这样非线性算子就可以用适当的期望近似代替。在这一阶段，算法是作为一系列标准近似的结果提出的。然而，我们没有提供任何关于该算法引起的近似误差的分析，因此它只能被视为一种启发式算法。

然而，下一节将提供一些数值模拟，并强调这种数值模式的实际意义。5.1完全市场中的规范和套期保值在本节中，我们将通过指定模型来检索所有规律性假设。本文没有讨论所提出程序的一般化问题。我们假设X由几何布朗运动描述：u（t，X）=uX，σ（t，X）=σX，（45）与（u，σ）∈ R×R*+. 损失函数如例1所示，k>1。对于partialower矩函数`（x）=xk{x≥0}/k对于k>1，推论1有一个显式解，给定t≥ T byV（T，x，p，λ）=C（T，x，λ）- (-kp）1/kEQ“exp（2（k- 1） ZT*t |θ（u，Xt，xu）| du）#=C（t，x，λ）- (-kp）1/kexpθ2（k）- 1） （T）*- （t）, 其中θ=μσ，（46），在这种精确的情况下，C（t，x，λ）由期权的Black-Scholes价格给出，其支付为x 7→ g（λx），如定义5所示。第3节之后，（t，x）7→ C（t，x，λ）∈ C1,2（[T，T*) ×R*+) 对于任何λ∈ 五十、 所以根据（46），V的所有必要偏导数都存在。还请注意，由于k>1，p中的Vis是严格凸的。因此，我们可以明确对冲预期损失约束的策略。如果*是吉文比（39），那么*（t，x，p）=Vx+a*pVpxσ（t，x，p）。（47）所有要求的衍生工具如下所示：Vt（t，x，p，λ）=Ct（t，x，λ）+θ2（k-1） expnθ2（k）-1） （T）-t） oVx（t，x，p，λ）=Cx（t，x，λ）Vxx（t，x，p，λ）=Cxx（t，x，λ）Vp（t，x，p，λ）=expn1-kklog(-kp）+θ2（k）-1） （T）-t） o.如备注1所述，该策略包括对索赔g（λXt，Xt）进行套期保值*) 加上一个对应于约束Pt，p，α的修正项*T*.5.2中间目标命令启动0的数值程序≤ T≤ T，我们需要计算中间条件及其在（38）中的偏导数。

根据（29）和（46），U（t，x，y，λ）=-1k（C（t，x，λ）- y） kexp-kθ2（k- 1） （T）*- （t）{C（t，x，λ）≥y} ，（48）根据∧：Ξ（x，y）的ρ定律，通过积分提供Ξ（x，y）的值=-1kexp-kθ2（k- 1） （T）*- （T）ZL（C（T，x，λ）- y） k{C（T，x，λ）≥y} ρ（dλ）。（49）可以通过数值积分或蒙特卡罗期望w.r.t.定律ρ对（49）中的积分进行数值计算。这反过来又允许获得所需的功能Ξ-1，因为后者在p中是单调的。对于固定的（x，p）∈ R*+×R*-, 定义：=λ ∈ L:C（T，x，λ）- Ξ-1（x，p）≥ 0.让我们介绍四个实值函数（fk）-1、~fk-1，fk-2、~fk-2） of（x，p）∈ R*+×R*-定义为fn（x，p）=RMC（T，x，λ）- Ξ-1（x，p）nρ（dλ）~fn（x，p）=RMλCx（T，x，λ）C（T，x，λ）- Ξ-1（x，p）nρ（dλ），（50）表示n=k- 1，k- 2，回顾k表示确定损失函数（8）的指数参数。然后通过一个简单的演算，我们推导出Ξ的偏导数-1如下Ξ-1x（x，p）=fk-1fk-1（x，p）Ξ-1p（x，p）=expnθk2（k）-1） （T）*- T）ofk-1（x，p）Ξ-1pp（x，p）=h（k- 1） fk-2fk-1.Ξ-1pi（x，p）Ξ-1xp（x，p）=（k- 1)Ξ-1p~fk-1fk-2.-~fk-2fk-1.fk-1.#（x，p）。（51）功能（fk-1、~fk-1，fk-2、~fk-2） 可以用与Ξ相同的方法进行数值计算-1.有了这些导数，就有可能获得时间T（ν）的控制值*（T，x，p），a*（T，x，p）），由（47）和（39）给出。5.3离散时间近似和回归模式本文提出的近似模式首先基于由系统（41）-（42）-（43）确定的前后向动态的时间离散。5.3.1时间离散让我们用规则网格| ti+1定义确定性时间网格π：={0=T<<tN tN:=T}-ti |=T/N=：t、 在本段中，我们考虑过程（X0，x，P0，p，α）的离散时间近似*) 初始条件为0时（X0，x，P0，p，α）的（42）解*) = （x，p）。

过程X0，xp在时间（ti）i=0时进行精确离散。。n表示为（Xi）i=0。。N、 布朗运动的增量由WTI+1给出- Wti：=√Ti、 （52）(i） i=0，··，N-1是以i.i.d.为中心的标准高斯随机变量序列。我们引入随机变量序列（Pa*i） i=0···n取对数的欧拉近似指数（P0，p，α*) 在网格π上。然后，我们可以用马尔可夫链（Xi，Pa）来近似（42）在网格时刻π的解*i） i=0，··，n满足i=0的以下动态，N- 1:Xi+1=Xiexpnσ√T我- (σt） /2oPa*i+1=Pa*iexpn-A.*我（Xi，Pa）*（一）θ+a*我（Xi，Pa）*（一）t+√T我o（53）在初始条件下，X=X和Pa*= pand，在每个时间步i，a*iis实际上是（39）当时给出的函数*i（x，p）：=a*（ti，x，p）=θp’Vp（ti，x，p）- σxp'Vxp（ti，x，p）pp'Vpp（ti，x，p）（54）在续集中，我们将表示Xi，Xi+1和Pi，x，p，aii+1满足等式（53）的随机变量，其中Xi=x，Pa*i=p和函数a*i=ai。5.3.2 a的分段常数近似*i和切线过程公式假设在离散时间ti，对于i∈ {0，··，N-1} ，一个分段常数近似值*iis可用，因此对于任何正实x和p，我们有如下近似值^aid（x，p）=RXr=1ai，rCi，r（x，p），（55），其中（Ci，r）r=1，·Ris是r的一个分区*+×R*-（ai，r）r=1，·Ris是一个实数序列。通过期望公式（41），我们得到问题（32）和等价（7）的解满足i的后向动力学∈ {0，··，N-1} ^V（ti，x，p）=E[^V（ti+1，Xti，Xti+1，Pti，p，α*（x，p）的[ti+1]∈ R*+×R*-.然后，通过在上述公式中注入两个近似值，可以在网格π的离散瞬间近似^V，包括：1。

替换（Xti，Xti+1，Pti，p，x，α*通过马尔可夫链近似（Xi，Xi+1，Pi，p，x，a*ii+1），由Euler格式（53）获得；2.更换功能a*Ib是分段常数近似^ai（55）；因为我∈ {0，··，N- 1} 我们定义了满足以下后向近似方案^Vi（x，p）=E[^Vi+1（Xi，Xi+1，Pi，p，x，^aii+1）]的^V（ti，·，·，·，·）的最终近似。（56）在这个阶段，让我们假设^Vi+1是^V（ti+1，·，·，·，·）的给定近似值，它是两个连续可微的w.r.t.变量。现在回想一下，对于任何r，^aii都应该是常数∈ {1，··，R}。然后，对于任何（x，p）∈ Int（Ci，r），（Xi，Xi+1，Pi，x，p，^aii+1）遵循对数正态分布（53），我们可以在（56）上应用切线过程方法[10]，以获得^vii是两次连续可微分的，以及导数的向后公式Vip（x，p，p，p，aii+1）Vi（x，Xi+1，Pi，x，p，p，aii+1）i（x，p，p，p，p，aii+1）i（x，p，p，p，aii+1）Vi（x，Xi+1，x，p，p，p，p，p，p，Ai+1）i（x，Vip（x，p，p）Vip（x，p）Vip（x，p，p，p），p）p（x，p），p）p（p，p），p），p（p，p），p）=（p），p），p），p（p），p），p），p（p），p），p），p），p（p），p），p），p）p（p（p），p），p），p），p）p（x，p），p）p（p），p），p（p），p），p（p），p），p），p），p（p），p）是那是*根据方程式（54），iis定义为“Vp（ti，·，·，·，·），”Vpx（ti，·，·，·）和“Vpp（ti，·，·，·）”的函数。同样，我们想在^aian和^Vip、^vipx和^Vipp之间施加相同的关系。为此，让我们定义地图f 7→ Ti（f）使得对于任何实值函数f定义在R上*+×R*-,Ti（f）（x，p）：=θE[Pi，x，p，fi+1^Vi+1p（Xi，Xi+1，Pi，x，p，fi+1）]- σE[Xi，Xi+1Pi，x，p，fi+1^Vi+1xp（Xi，Xi+1，Pi，x，p，fi+1）]E[（Pi，x，p，fi+1）^Vi+1pp（Xi，Xi+1，Pi，x，p，fi+1）]，（58）表示所有（x，p）∈ R*+×R*-. 请注意，上面定义的映射Ti隐含地取决于之前的近似值^Vi+1p、^Vi+1px和^Vi+1pp。

然后将^a作为Ti定点的分段恒常逼近得到。实现这一点的一种方法是，用回归算子^Ei代替（58）中的条件期望，对一组分段恒定的回归函数逼近Tiby^Ti。例如，考虑以下一组回归函数（1Ci，r）r=1，··，r。我们引入^Ti（f）（x，p）：=θ^Ei[Pi，x，p，fi+1^Vi+1p（Xi，Xi+1，Pi，x，p，fi+1）]- σ^Ei[Xi，Xi+1Pi，x，p，fi+1^Vi+1xp（Xi，Xi+1，Pi，x，p，fi+1）]^Ei[（Pi，x，p，fi+1）^Vi+1pp（Xi，Xi+1，Pi，x，p，fi+1）]（59）这样710ti（f）在分区（Ci，r）r=1，···，r上自动分段恒定。加上所有这些近似值，我们最终在网格的每一点上获得Ti，π，ip，i，i，i，i，i，i，i，bVi，i，bVi，i，bVi，i，bVi，bVi，iV（ti，·，·，·），\'Vp（ti，·，·，·），\'Vpx（ti，·，·），\'Vpp（ti，·，·），a*（ti，·，·）通过以下算法应用固定公差参数ε>0：初始化bVN（x，p）=Ξ-1（x，p）bVNp（x，p）=Ξ-1p（x，p）bVNpx（x，p）=Ξ-1px（x，p）bVNpp（x，p）=Ξ-1pp（x，p）^aN（x，p）=θpbVNp（x，p）-σxpbVNxp（x，p）ppbVNpp（x，p）。（60）来自步骤A（N- 1） 到A（0）：A（i）：设置A:=^ai+1；转到B（i，a）；B（i，a）：1。集合a:=^Ti（a）（回想一下，^Tidepends on bVi+1p、bVi+1pxandbVi+1p）；2.如果| a- a|≤ ε–然后设置（Xi，Xi，x，x，p，p，以及（aii+1）bVip（x，p，p，p）bVip（x，p）=p（p）p=p（p）他们他们的公共卫生项目，x，p，p，p，以及aii+1biHPI，x，p，p，aii+1bibii+1bivi（Xi，西安+1，西安+1，1，Pi+1，Pi+1，Pi+1，p，Pi，1，Pi+1，Pi+1，Pi+1，Pi+1，Pi+1，Pi，Pi+1，1，Pi，Pi，1，Pi，Pi，1，p，p，p，p，p，1）IIIIIIIIIIIIIi+1bii+1bii+1bii+1B+1+1+1B+1+1B+1+1+1+1B（x，1+1+1）xp（x，1）π，x，p，^aii+1）i。* 如果i=0，则停止；* 否则就去A（i）- 1);– 否则转到B（i，a）；请注意，将之前的算法限制为一个定点迭代（在B（i，a）中）将简化为一个明确的方案，其中^ai作为下一时间步ti+1（bVi+1，bVi+1p，bVi+1px，bVi+1pp）和控制^ai+1的导数的函数给出。

然而，在实践中，最多三次迭代就足以获得到固定点的合理收敛。从理论上讲，^t的收缩应该在非常小的时间步长内得到证明t、 但这是留给未来的工作。如果我们不进行N格式的收敛性分析，对于一般扩散和一般函数，我们仍然可以提供该方法相关性的数值确认。为了验证该算法，我们在第6节继续比较了COLLARY 1的显式公式和该算法提供的值。6数值测试本节致力于对真实和模拟数据进行测试，旨在说明本文开发的部分对冲策略的兴趣，并验证前一节介绍的数值模式。我们分为四个步骤。首先，我们在真实数据上拟合指数模型（1）的参数。然后，我们通过评估真实数据中隐含的套期保值误差，指出随机成形因子所引发的风险的重要性，基于成形因子预测的朴素Black-Scholes套期保值策略（不考虑其随机性）。这种天真的对冲方法将构成我们的基准。为了验证第5节中介绍的数值近似格式，我们分析了它在第3节的例子中的性能。最后，我们将模拟的部分套期保值程序与即将引入的基准进行比较。6.1 Black-Scholes基准我们认为以下Black-Scholes策略适用于天真的代理人。naive agent假定集合L减少为一个单态{λ}。例如，这种信念被接受为∧期望值的原始近似值。

在这种情况下，前面的设置将简化为第3节的情况。然而，由于市场是完整的，天真的代理人希望实施布莱克-斯科尔斯框架允许的完整的享乐策略。因此，朴素的基准由1给出。或有索赔g（λXt，Xt）的Black-Scholes价格提供的初始值*), 吉文比方程（23）：C（t，x，λ）。与该信念相关的对冲策略，由[0，T]上的增量对冲程序νs=Cx（s，Xt，xs，λ）给出。在资产∧X的T出现后，期权价格立即受到∧的实际价值的影响，与∧不同，但投资组合是自我融资且持续的。我们在这里假设，天真的代理继续使用德尔塔对冲策略，直到T*.3.从时间T开始扩散的终端对冲误差，其值εT:=C（T，x，λ）-C（T，x，λ）。在Black-Scholes环境中，通过一个简单的无套利论证和wero利率，这个误差在T之前保持不变*.这种策略的动机是通过∧对可能的价值进行平均来平均损失。然而，这是错误的，因为衍生产品的价格主要是基础价格的非线性函数。在下面研究的看涨期权示例中，如果λ是固定的，我们得到了一个罢工的非线性函数：CBS（t，λx，K）：=EQ[（λXt，Xt*- K） +]=λEQ[（Xt，Xt*- K/λ）+]=λCBS（t，x，K/λ）。6.2真实数据分析为了提供一个现实的框架，我们参考历史数据。这允许我们提出一个L和∧的模型，以及指数动力学（1）的参数（u，σ）的值。可用数据指定EEX提供的法国电力市场期货价格的每日报价。

我们考虑2004年10月至2011年3月的交割期，即整个报价期内78个月的交割期货，以及涵盖这些期货的各季度交割期货合约。由此得出两个估计。1.这为随机变量∧的重复实现提供了78个观察值。平均值为∧=1.0012，其方差V（λ）=0.081。然后我们假设∧遵循具有以下特征的比例β定律：∧~ 3β(114, 227). 这是因为∧应有一个有界支撑，这里假设为区间[0,3]。指数动力学（1）中的参数u和σ是根据月份期货和季度期货的累计回报计算的。这里，u包含贴现率（因为Weasured通过省略它来假设利率为空）。获得的漂移^u为零，且获得的（年度）波动率^σ=28%。量化忽略不确定性对成形因子∧=λ的影响*, 在套期保值策略的执行方面，我们在真实数据上实施了朴素的Black-Scholesh套期保值策略，假设不同的给定参数λ围绕真实观察值λ变化*误差幅度为50%。在我们的测试中，我们考虑了78个月交割期货的看涨期权，如图1所示。由此产生的套期保值误差可分解为四个来源：1。离散时间套期保值（Delta套期保值策略确实每天都在实施）；2.动态模型或参数错误（套期保值工具可能没有对数正态分布的i.i.d.对数回报，^u和^σ仅为估计）；3.导致统计错误的套期保值情景数量有限；4.形状因子值错误。本文的范围特别关注后一种错误来源。

因此，为了区分每个误差的贡献，并区分第四个误差，我们在图1中表示了四个量：1。真实误差我们使用真实数据上的朴素策略来评估套期保值误差。2.模拟误差（78个数据）然后我们在相同的时间网格上对模拟数据进行同样的操作，并使用相同数量的轨迹（78个）。通过将模型和参数估计与之前的误差进行比较，可以量化模型和参数估计产生的误差。3.模拟误差（78x100个数据）我们用更多的模拟（78×100）重复这个过程，以确认之前的误差不是错误的，因为研究的轨迹数量较少。4.理论误差我们表示Black-Scholes框架（在连续时间内）中的套期保值与错误的成形因子引起的误差。这只表示由于形状因子上的误差而产生的hedging误差。注意，对于t≥ T，λ*是已知的，因此在[T，T]上*] 朴素的Black-Scholes策略等同于完整的市场复制策略，如果λ*大家都知道。因此，理论上的hedging误差减少为初始套期保值组合（错误值为λ）和完美套期保值组合（正确值为λ=λ）在时间T的值之间的差异*):CBS（t，λx，K）- CBS（t，λ）*x、 K）。总之，图1中给出的结果得出了以下临时结论。关于∧值的错误会显著影响误差。之后，主要的错误是由于对冲策略的不明确。因此，值得开发一种特殊的方法，以考虑对冲策略中形成因素的不确定性。6.3近似方案对显式解的收敛性我们将测试第5节中提出的算法的效率。