期权定价、历史波动性和尾部风险

（12） ，我们可以将方差交换损益的渐近极限分解如下：|t+δt|→∞δPt+δt（t）=lim|t+δt|→∞五、XtνtLδP（2）t+δt+νtδtδP（2）t+δt+五、XtνtLδP（4）t+δt（13） 我们应该强调的是，由于我们想要考虑一个通解V（t，X），我们不能比较等式（13）中的不同项，因为我们不知道导数的大小。事实上，对于方差交换，V是X的线性函数，所以二阶导数消失。根据我们在上一节中的论点，任何两个尾部风险相同的投资组合都应该具有相同的漂移。因此，使用Eqs。（3） 和（7）以及等式（13）中给出的渐近性，我们得出结论，方差交换的漂移必须由et[δPt+δt]=EthδP（2）t+δti给出五、XtνtL+νtδt+EthδP（4）t+δti五、XtνtL=-λ五、XtνtL+νtδt-λ五、XtνtL（14）这是现实世界概率测度下方差互换的公允价值等式。更明确地说，我们可以将等式（14）写成V（t，X）的偏微分方程：五、t+θ[ν（1+λ）- X]五、X+ξν五、X+（1+λ）ν=0（15），其中ν=？（1）-α） +αX（16）θ=（δtL）-1(17)ξ =√M- 1+λL√δt（18）m=E[] （19） 边界条件为V（T，X）=0。在编写公式（15）时，我们放弃了δX:Et[δXt+δt]漂移中的一个二次项≈ （m）- 1） νt/L。我们发现，从经验上看，这是一个非常好的近似值。使用Feynman-Kac公式，我们可以根据连续的时间突变波动过程写出等式（15）的解：Vt（T）=（1+λ）ZTtE？t[νs]dsνt=\'ν（1）- α） +αXtdXt=θ[νt（1+λ）- Xt]dt+ξνtdZ？t注意定价概率度量P？这只是一个数学技巧来解决等式（15）。然而，为了得到解析解，它是非常有用的。事实上，在这种情况下，可以明确地计算出解：Vt（T）=Xτ+α（1+λ）1.- E-θτXt-\'-Xθ（20），其中滤波器XT的值由公式（9）给出，τ=T- tθ=θ[1- α（1+λ）]X=\'ν（1）- α)(1 + λ)1 - α（1+λ）自等式。

（20） 在Xt中是线性的，我们可以看到这是方差互换价格到所有订单的精确解，在vol-of-vol中。事实上，该解只取决于凸性或伽马风险溢价。因此，通过校准方差交换项结构，我们可以得到λ的值。此外，请注意伽马风险溢价不仅改变了varswap的水平，还改变了有效均值回归时间尺度，进而改变了期限结构的斜率。最后，请注意，即使在最小的时间步长：limδt，隐含的预期方差水平也会从历史方差水平发生变化→0Vt（t+δt）δt=（1+λ）νt，其中由等式（8）的历史估计给出。这使[3]的假设无效，他提出，在现实世界和鞅概率测度中，一个周期的预期方差是相同的。3.2期权定价我们现在将之前的问题推广到欧洲风格的期权C（t，S，X）的定价，最终支付C（t，S，X）=g（S）。对于delta对冲期权，二阶展开式为：Δ^Ct+Δt≈Ctδt+CXtδXt+δt+CXtδXt+δt+CStδSt+δt+C圣XtδSt+δtδXt+δt（21），其中δ^Ct+δt=δCt+δt-CStδSt+δt- rCtδt是自融资和增量对冲期权的损益，r是我们认为恒定的无风险利率。尾部风险现在包括交叉项δSδX导致的倾斜~ . 更准确地说，我们有：林|t+δt|→∞Δ^Ct+Δt=lim|t+δt|→∞νtLCXtδP（2）t+δt+νt2LCXtδP（4）t+δt+StνtδtCStδP（2）t+δt+√δtν3/2tStLC圣XtδP（3）t+δt#（22）因此，δ对冲期权的漂移由以下公式给出：Et[ΔCt+δt]=-λνtLCXt+StνtδtC圣+ λ√δtν3/2tStLC圣Xt- λνt2LCXt（23），导致期权价格出现以下PDE：CT- rC+θ[ν（1+λ）- X]CX+（1+λ）νSCS+ξνSCX+p1+λρξν3/2SCsX=0（24），式中定义了ν、θ和ξ。

（16） -（18）和ρ=-λp（1+λ）（m）- 1+λ）（25）使用费曼-卡克公式，我们可以根据以下随机过程Ct（T）=e写出等式（24）的解-r（T）-t） E？t[g（ST）]（26）dStSt=p（1+λ）νtdW？t（27）νt=\'ν（1）- α） +αXt（28）dXt=θ（νt（1+λ）- Xt）dt+ξνtdZ？t（29）E？[dW？tdZ？t]=ρdt（30），在方差交换的特殊情况下，概率测度P？是所谓的鞅或定价度量。有趣的是，我们已经推导出了现实世界和由三个风险溢价（λ，λ，λ）参数化的定价措施之间的直接联系。这些是唯一必须从期权价格中推断出来的参数。其余部分完全由历史数据决定，包括EMA过滤器Xt的初始值。查看等式（27），我们注意到凸性风险溢价λ如何使隐含波动率高于历史波动率（平均值）。此外，我们可以看到，这种风险溢价不能通过（W？，Z？）上的Girsanov变换被吸收到概率测度中。这有一个根本原因：λ的存在源于期权损益在离散时间内标记到市场的事实。另一种理解方法是，在现实世界和定价措施中，基础价格都是鞅。因此，波动性风险溢价与标的资产的漂移无关。许多作者似乎混淆了波动性风险溢价和股票风险溢价。这是两个完全不同的量。事实上，有许多资产没有任何明显的风险溢价（例如外汇汇率或某些商品）。然而，他们的期权仍然显示出波动风险溢价。因此，通过将amartingale条件应用于STI来推导定价措施的任何尝试都注定会失败（参见。

[3, 6]).倾斜风险溢价λ使得现货和波动率之间的相关性更为负。事实上，即使基础分布是对称的，由于倾斜风险溢价，我们仍然可以产生非平凡的隐含杠杆效应。最后，峰度风险溢价使得vol的隐含体积高于历史估计值。由等式给出的随机过程。（27）-（30）只有在风险溢价服从以下界限时才能定义：λ>-1 (31)λ≥ -m+1+λ1+λ（32）第二个界来自于我们需要|ρ|≤ 1.4包括不对称性和多个时间尺度。有相当多的研究证明了挥发性自动相关性中的多个时间尺度（例如参见[12,13,14,15,16,17,18]）。事实上，有人认为波动率自相关性会以幂律衰减[18]。幂律滤波器的一个问题是它不是Makovian滤波器。然而，如[19]所示，人们总是可以用多个指数来近似幂律滤波器。因此，在本节中，我们研究了广义GARCH模型，它是具有不同时间尺度的EMA过滤器的线性组合。波动性的另一个典型事实是所谓的杠杆效应[20]。换句话说，对于股票指数而言，负回报往往比正回报更能增加未来的波动性。在搜索模型中，这是通过添加一个只依赖于过去负回报的过滤器来实现的[21]。因此，我们将研究以下一般类型的模型：rt=√νt-δtT√δt（33）νt=N+MXi=1αiXit（34）Xit=（δtEMALi[rt]表示i=1，…，NδtEMALi[rtrt<0]表示i=N+1，…，N+M（35），其中pn+Mi=1αi=1，δt=1/252，rt=St/St-δt- 1和i.i.d.噪声项这是零均值和单位标准差。注意，我们在等式（34）中没有常数无条件方差，正如我们在简单GARCH（1,1）模型中所做的那样。

然而，我们总是可以用其中一个时间尺度来表示完整性，比如L→ ∞. 这样我们可以恢复通常的GARCH（1,1）模型。实际上，我们需要L=1000天。通过这种方式，我们避免了太多的样本偏差，因为我们只使用过去的观察结果，并且避免了必须拟合长期无条件方差。为了找到该模型的定价标准，我们可以回顾第4节中的相同论点。然而，在扩大损益选项时，我们现在将面临以下新的尾部风险：lim|t|→∞δXt∝ Tt<0（36）lim|t|→∞δStδXt∝ Tt<0（37）lim|t|→∞δXt∝ Tt<0（38），其中δx是不对称滤波器之一。我们现在可以想象理想的投资组合，所以|t|→∞δ≈P（n）t=新界t<0表示n=2,3,4。为了避免在我们的模型中引入更多的风险溢价，我们将讨论不公平市场，投资者只害怕巨大的负回报。换句话说，他们只重视下行尾部风险。因此，这些新的尾部风险必须与对称风险具有相同的漂移：Et[δP（2）t+δt]=Et[δP（2）t+δt]=-λ（39）Et[δP（3）t+δt]=Et[δP（3）t+δt]=λ（40）Et[δP（4）t+δt]=Et[δP（4）t+δt]=-λ（41），其中我们使用了等式。（3） ，（5）和（7）。为了给期权定价，我们像以前一样假设其价格是时间、时间点和过滤器的平滑函数：Ct（T）=C（T，S，X）。将变量扩展到二阶，并考虑到前一节中的尾部风险，我们得到以下PDE：CT- rC+Xiθiνδi- xiCXi+（1+λ）νSCS+XijξiξjρijνSCxiXj+p1+λXiρiξiν3/2SCsXi=0（42），其中我们去掉了δxit漂移中的二次项，并定义了以下变量：ν=XiαiXi（43）θi=（Liδt）-1（44）δi=（1+λ，对于i=1，…，N1+2λ，对于i=N+1，…，N+M（45）ξi=√M-1+λLi√δt对于i=1，N√2米-1+4λLi√δt对于i=N+1，N+M（46）ρi=-λ√（1+λ）（m）-1+λ）对于i=1，N2（m--λ)√（1+λ）（2m）-1+4λ）对于i=N+1。

，N+M（47）M-= E[<0]（48）m=E[] （49）此外，如果两个滤波器都是对称的或不对称的（ρij=1），则滤波器之间的相关性为1，但对称和非对称滤波器之间的相关性为：ρij=m- 1+2λp（m）- 1+λ（2m）- 1+4λ，（50）表示i∈ {1，…，N}，j∈ {N+1，…，N+M}。使用Feynan-Kac公式，我们可以将等式（42）的解与以下随机波动率模型联系起来：Ct（T）=e-r（T）-t） E？t[g（ST）]（51）dStSt=p（1+λ）νtdWt（52）νt=XiαiXit（53）dXit=θi[νtδi- Xit]dt+ξiνtdZit（54）E？[dWtdZit]=ρidt（55）E？[dZitdZjt]=ρijdt（56）布朗运动可以分解为几个PCA因子，如下所示：=ρ+dWt+q1- ρ+p |ρ+-|DZP1+DZP1- |ρ+-|dZ+t对于i=1，Nρ-dWt+q1- ρ-符号（(R)ρ+-)p |ρ+-|dZt+p1- |ρ+-|dZ-T对于i=1+N，N+M（57），其中RHS（W，Z，Z+，Z）上的所有布朗运动-) 不相关，且ρ+=-λp（1+λ）（m）- 1 + λ)(58)ρ-=2（m）-- λ） p（1+λ）（2m）- 1 + 4λ)(59)ρ+-=M- 1+2λp（m）- 1+λ（2m）- 1 + 4λ)(60)ρ+-=ρ+-- ρ+ρ-问题（1）- ρ+)(1 - ρ-)（61）模型的一致性需要以下约束条件：|ρ+|≤ 1 (62)|ρ-| ≤ 1 (63)|ρ+-| ≤ 1 (64)|ρ+-| ≤ 1（65）注意，条件（65）是最严格的界限。该条件转化为峰度风险溢价的最小边界：λ≥4（m）- 1） （m）-- λ） m-+ λ（2m）- 1) - m（m）- 1） （1+λ）（2m）- 1)(1 + λ) - 4（m）-)（66）注意，等式（66）仅适用于对称和不对称滤波器的一般情况。如果所有滤波器都是对称的（M=0），我们只需要执行等式（62）。另一方面，如果所有过滤器都是不对称的（N=0），我们只需要施加等式（63）。根据经验，我们发现等式（66）大部分时间是饱和的。这种条件的饱和可以解释为，在这类模型中，波动率只有一个风险因素（除了即期波动）。这是有道理的，因为在离散模型中，所有过滤器都由即期回报（平方）驱动。

对模型进行推广，这样我们就能产生更多的波动风险因素，这会很有趣。例如，可以通过在我们的波动性估计中添加高频滤波器来实现。在本节结束时，我们将对远期方差和方差交换进行定价，以用于等式模型。(52) - (56). 我们将在下一节充分利用这些结果。我们首先介绍thematrix：Ohmij:=θi（δij）- δiαj）及其特征值分解，Ohm = U·D·U-1，Dij:=θiδij正向方差定义为ft（T）：=E？t[νt]（67）对于我们的多尺度模型，我们得到ft（t）=（1+λ）Xi~αi~ Xite-θi（T）-t） ~a:=UT·α~Xt:=U-1·XT此外，请注意，前向方差是一个鞅：dFt（T）=νtXijαi（U-1） ijξije-θi（T）-t） dZjt（68）方差互换意味着综合远期方差：Vt（t）：=ZTtdsFt（s）=（1+λ）XiαiXitθi1.- E-θi（T）-（t）（69）5 Bergomi-Guyon扩展为了确定风险溢价λi的价值，我们需要将随机波动率模型与期权价格相匹配。然而，我们的模型没有解析解，因此我们将采用Bergomi和Guyon在[11]中提出的微扰展开。这基本上是一个vol-of-vol展开式（例如ξ中的展开式）。在本节中，我们将推导各种隐含动量的封闭式公式，这些公式将在下一节中用于校准我们的模型。这将避免在校准中使用蒙特卡罗模拟。我们不会讨论扩展的准确性。[11]的主要结果是，对于二阶的vol-of-vol，期权价格可以用初始远期方差曲线的某些函数来近似。更准确地说，设x=log Sbe为初始时间t=0时标的物的对数价格，C（0）为在0 vol of vol（ξ=0）时评估的期权价格。此外，我们认为T是到期时间。

然后，对于第二个顺序，我们可以近似地计算期权价格asC（x，T）≈1+Cxfx(十、- 1） +Cffx(十、- 1） +（Cxf）x(十、- 1） +Cux(十、- 1)C（0）（x，T）（70），其中C（0）=exp五、x(十、- 1)g（x）（71）Cxf=ztdtdue？[dxtdFt（u）]dt（72）Cff=ztdtzttdue？[dFt（s）dFt（u）]dt（73）Cu=ZTDTtue？[dxtdFt（u）]dtδCxfδF（u）（74）V=ZTdtF（t）（75）和g（x）是到期时的期权支付。请注意，所有积分都是初始前向方差曲线F（s）的泛函，其泛函导数的定义如下：δF（s）δF（u）=δ（u- s） 其中δ（x）是狄拉克δ函数。公式（70）的一个有用的特例是矩母函数，它可以通过使用以下公式导出：g（x）=eαx。我们有，MT（α）：=e？[eα（xT-x） ]（76）=eψ（α）（77），其中ψ（α）≈α(α - 1） V+Cxfα（α- 1） +Cffα（α- 1） +Cα（α- 1） （78）使用等式。（52）和（68）计算积分（72）-（74）：Cxf（T）很简单≈夏伊克菲（T）（79）Cff（T）≈xibijiff（T）（80）Cu（T）≈XiθiAiAjIuij（T）（81），其中i=▄αi▄θiXj（U-1） ijξjρj（82）Bij=~αi~αj~θi~θjXk，l（U）-1） ik（U）-1） ilξkξlρkl（83）Ixfi（T）=ZTdtF3/2（T）1.- E-θi（T）-（t）（84）Iffij（T）=ZTdtF（T）1.- E-θi（T）-（t）1.- E-θj（T）-（t）（85）Iuij（T）=ZTdtF3/2（T）ZTtduF1/2（u）e-θi（u）-（t）1.- E-θj（T）-u）（86）需要注意的是，偏斜和峰度风险溢价（λ，λ）的相关性完全包含在向量A和矩阵Bij中，积分Ixf，Iff，Iu包含所有的术语结构相关性。这意味着，一旦我们使用Varswaps校准凸性风险溢价λ，我们只需要计算一次积分。另一个重要的观察结果是Cxfand Cu仅依赖于λ和λ。这是因为乘积ρiξiis独立于峭度风险溢价。

这个特性对于校准非常有用，我们将在下面看到。对于模型校准，计算以下归一化动量Sr非常有用-200万吨≈rVT（87）2M√T(-2米）3/2≈√T V3/2Cxf+Cu（88）2M+M- 米+2米√T(-2米）5/2≈√T V5/2Cu+Cff（89）其中m:=E？[log（ST/S）]=MT（0）（90）M:=E？日志（ST/S）= MT（0）（91）M:=E？[（ST/S+1）log（ST/S）]=MT（1）+MT（0）（92）使用Madam和Carr[22]的著名结果，我们使用OTMIn导出的等式复制力矩Mi。（79）-（81）我们使用了以下近似：（1+λ）nE？[νnT]≈ [F（T）]n.对该近似值的任何修正都将导致对上述方程的ξ至少三次修正。选项如下：M=-erTzsdkp（K）+Z∞SdKKC（K）（93）M=2erTZSdKK（1）- 对数（K/S）P（K）+Z∞SdKK（1）- 日志（K/S））C（K）（94）M=erTZSdKKKS- 1.P（K）+Z∞SdKKKS- 1.C（K）（95）其中积分覆盖期权行使，看涨期权和看跌期权分别用C（K）和P（K）表示。这意味着EQ的LHS。（87）-（89）可以使用期权价格计算，而RHS由我们的模型给出。这就是我们在下一节中找到风险溢价（λ，λ，λ）的方法。我们还注意到，式（87）仅取决于凸性风险溢价λ，式（88）仅取决于λ和λ。因此，校准可以按顺序进行：我们首先使用公式（87）校准方差交换项结构，以获得λ。接下来，我们使用公式（88）找到λ。最后，峭度风险溢价λ可使用公式（89）求出。另一个有趣的观察涉及ATM波动率偏差，定义为（T）：=σBS（K，T） 日志K其中σBS（K，T）是Black-Scholes隐含波动率。首先，我们可以写（见[11]）：S（T）≈Cxf√T V3/2（96）正如我们在上一节中所看到的，倾斜风险溢价倾向于使杠杆相关性ρimore为负。因此，看看等式。

（79）和（82）我们可以看到，倾斜风险溢价将使CxFm更负，因此ATM倾斜比λ=0.6校准的历史估计值更陡（更负）。在本节中，我们解释了我们的校准方法，并展示了使用特定GARCH模型获得的结果波动率曲面的一些示例。我们的目的不是找出哪种模型最好，所以我们将集中于一个简单的模型，它结合了多尺度和不对称性。也就是说，我们取等式。（33）-（35）N=2，M=1和L→ ∞. 换句话说，为了校准的目的，我们将Xt设为常数。我们发现，出于校准目的，如果我们避免使用长EMA滤波器，最大似然优化收敛速度会更快。稍后，我们将使用1000天均线来代替无条件方差。校准分两步进行。首先，必须使用基础数据的每日时间序列来拟合离散时间GARCH模型。这决定了除riskpremia（λ，λ，λ）之外的所有参数。后者是通过拟合等式中给出的力矩获得的。（87）-（89）使用IngoTM期权价格，同时考虑等式（66）中给出的界限。当然，这只是一个近似值。事实上，有两种近似方法：首先，我们已经扩展到第二阶，第二，我们需要近似等式的有限积分。（93）-（95）带有一组离散的打击。为了进行更精确的校准，必须对随机过程进行蒙特卡罗模拟，但这可能非常耗时。我们发现，使用我们的近似方法可以给出合理的微笑。为了校准GARCH模型，我们从1999年1月至2012年12月31日的28个全球股票指数中获取每日数据。我们假设在某种意义上的普遍性，即标准化的返回rαt:=rαt/Std[rαt]都遵循具有相同参数且Xt=1的相同GARCH模型。