期权定价、历史波动性和尾部风险

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英文标题：
《Option Pricing, Historical Volatility and Tail Risks》
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作者：
Samuel E. Vazquez
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We revisit the problem of pricing options with historical volatility estimators. We do this in the context of a generalized GARCH model with multiple time scales and asymmetry. It is argued that the reason for the observed volatility risk premium is tail risk aversion. We parametrize such risk aversion in terms of three coefficients: convexity, skew and kurtosis risk premium. We propose that option prices under the real-world measure are not martingales, but that their drift is governed by such tail risk premia. We then derive a fair-pricing equation for options and show that the solutions can be written in terms of a stochastic volatility model in continuous time and under a martingale probability measure. This gives a precise connection between the pricing and real-world probability measures, which cannot be obtained using Girsanov Theorem. We find that the convexity risk premium, not only shifts the overall implied volatility level, but also changes its term structure. Moreover, the skew risk premium makes the skewness of the volatility smile steeper than a pure historical estimate. We derive analytical formulas for certain implied moments using the Bergomi-Guyon expansion. This allows for very fast calibrations of the models. We show examples of a particular model which can reproduce the observed SPX volatility surface using very few parameters.
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中文摘要：
我们用历史波动率估值器重新讨论了期权定价问题。我们在一个具有多个时间尺度和不对称性的广义GARCH模型的背景下这样做。有人认为，观察到的波动性风险溢价的原因是尾部风险厌恶。我们用三个系数来参数化这种风险规避：凸度、倾斜和峰度风险溢价。我们认为，现实世界中的期权价格不是鞅，而是由这种尾部风险溢价决定的。然后，我们推导了期权的公平定价方程，并证明了在连续时间和鞅概率测度下，解可以用随机波动率模型表示。这给出了定价和现实世界概率测度之间的精确联系，而这是用Girsanov定理无法得到的。我们发现，凸性风险溢价不仅改变了整体隐含波动率水平，还改变了其期限结构。此外，倾斜风险溢价使得波动率的倾斜度比纯粹的历史估计更陡峭。我们使用Bergomi-Guyon展开式导出了某些隐含力矩的解析公式。这允许对模型进行非常快速的校准。我们展示了一个特定模型的例子，该模型可以使用很少的参数重现观测到的SPX波动率表面。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Option_Pricing,_Historical_Volatility_and_Tail_Risks.pdf (794.97 KB)

2022-5-5 13:04:02 上传

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关键词：期权定价 波动性 Quantitative coefficients Probability

期权定价、历史波动性和尾部风险萨穆埃尔E.V’azquezBaruch学院，库尼萨穆埃尔。vazquez@baruch.cuny.eduNovember2021年2月20日摘要我们用历史波动率估值器重新讨论期权定价问题。我们是在一个具有多个时间尺度和不对称性的广义GARCH模型的背景下做这件事的。有人认为，观察到的波动性风险溢价的原因是尾部风险厌恶。我们根据三个系数对此类风险规避进行参数化：凸度、倾斜和峰度风险溢价。我们认为，现实世界中的期权价格不是鞅，而是由这种尾风险溢价决定的。然后，我们推导了期权的公平定价方程，并证明了在连续时间和鞅概率测度下，解可以用随机波动率模型表示。这给出了定价和现实世界概率测度之间的精确联系，而这是用Girsanov定理无法得到的。我们发现，凸性风险溢价不仅改变了整体隐含波动率水平，还改变了其期限结构。此外，偏态风险溢价使得波动率的偏态比纯粹的历史估计更陡峭。我们用Bergomi-Guyon展开推导了某些隐含力矩的解析公式。这允许对模型进行非常快速的校准。我们展示了一个特定模型的例子，该模型可以使用很少的参数重现观测到的SPX波动率表面。1简介大多数期权定价模型直接用鞅或定价概率测度[1]表示。这类模型通常有大量需要拟合到波动率表面的参数。最后，这些参数将表现出强烈的时间依赖性，从而使模型的初始假设失效。

此外，参数的最终值几乎没有物理意义，因此不存在“公平”期权价格的概念。我们认为这是一种仅适用于实际情况的方法，我们认为最好在SSVI等参数化微笑模型的背景下进行[2]。另一方面，还有另一系列文献研究了GARCH波动预测产生的波动面[3,4,5,6]。然而，这里我们遇到了另一个问题：现实世界与定价或鞅概率测度之间的关系是什么？一种解决方案是保留一些GARCH参数，以便将其拟合到波动率表面。然而，这让我们回到了只使用Fit-only的方法，而不了解这些参数的物理意义。最糟糕的是，GARCH模型是在离散时间内编写的，因此需要耗时的蒙特卡罗模拟才能找到最佳参数。在GARCH模型的背景下，早期尝试发现定价和现实世界测量之间的直接关系见[3]。这种方法假设一个周期的预期方差在两种概率度量中是相同的。然而，正如我们将在本文中展示的那样，这种假设是错误的。事实上，由于尾部风险，即使是一天的回报，短gammatrader也应该有可观的溢价。在其他方法中，如[4]，作者首先在离散时间内建模对数回报，并通过要求简单回报为鞅来定义定价度量。然而，正如我们将在本文中展示的，波动性风险溢价与标的资产的漂移无关。事实上，期权价格对漂移非常不敏感，在现实世界和定价标准中，潜在的价格可能非常适合鞅。

这个文献流的一个显著例外是[7,8]，它使用价格核方法连接两个概率度量。我们相信他们的方法和我们的方法之间有着有趣的联系，但我们将把这留给未来的工作。本文介绍了一种新的期权定价方法。我们的目标是使用历史波动率估计器，同时引入风险溢价，这将允许拟合波动率表面。事实上，只有风险溢价需要与期权价格匹配。其余参数将通过基础数据的时间序列确定。我们将展示，波动率表面的大部分特征可以用一个好的波动率预测和三个风险溢价来解释。我们假设风险溢价是常数。这在实践中是不正确的，但概括是可能的，并将留待将来的工作。我们将认为，我们引入的风险溢价参数与尾部风险规避有关，并且来自这样一个事实，即期权交易者在离散时间内标记其账面价值，并且资本有限。我们将从离散时间开始，但假设时间步长足够小，这样我们就可以将期权价格扩展到随机变量变化的二阶。这是大多数期权交易者在实践中所做的。此外，正如大多数从业者所知，由于流动性限制，市场上只能交易前几笔希腊债券。这种近似将使我们能够与更熟悉的连续时间随机波动率模型联系起来。我们将尾部风险定义为基础资产的典型大变动，不一定是灾难性的“黑天鹅”事件[9]。然而，我们不为此类事件分配概率。在实践中，所有市场参与者的资本都是有限的，必须限制他们的杠杆，以便他们能够承受这样的风险。

事实上，大多数经纪商正是通过压力测试来确定保证金要求的。这在实践中意味着什么？假设你是一个做空伽马的交易者。在基础价格大幅波动的情况下，你可能会面临巨大的规模损失：lim |δS|→∞δP=-ΓδS，其中Γ>0是净伽马照射量。这是一个不可逾越的风险！换言之，长期波动和短期波动头寸之间存在很大的风险不对称。然后，短期波动性交易方必须比长期波动性交易方留出更多的资本。这是一种套利成本，因此，只有当短期波动率交易者通过其投资组合中的非零漂移得到补偿时才是公平的：E[δP]>0。这个非常简单的论点是我们期权定价方法的基础。在anutshell中，我们提出，在现实世界中，期权收益的漂移由尾部风险的价格决定。我们将自己局限于一类具有非对称性和多时间尺度的GARCH模型。然而，我们的方法可以应用于更一般的模型，甚至包括高频波动率估值器的模型[10]。我们在现实世界的测度下导出了一个广义的Black-Scholes方程。利用Feynman-Kac定理，我们在鞅概率测度下，将该方程的解映射到一个连续时间的随机波动模型。这提供了从现实世界到定价度量的精确映射。然而，使用标准的Girsanov变换无法获得这种联系。利用Bergomi和Guyon[11]的结果，我们推导出了波动率波动率（vol of vol）中高达二阶的某些隐含矩的近似公式。这些时刻可以与相应的快速校准选项条进行比较。每个风险溢价都是独立校准的。

特别是，我们表明，通过设置方差互换期限结构，我们可以获得凸性/伽马风险溢价。此外，通过设置类似的选项条，可以获得倾斜和峰度风险溢价。一旦风险溢价被校准，就可以使用蒙特卡罗模拟生成完整的波动率表面。我们表明，通过这种方式获得的波动率曲面与我们在市场中观察到的波动率曲面非常接近。我们应该强调的是，本文的目的不是对GARCHMODEL或最佳估计技术进行比较研究。我们的目的只是介绍一种新的定价方法，并给出一些例子。因此，我们不会试图比较不同模型的最佳质量。在第2节中，我们将使尾部风险论证更加精确，并确定风险溢价。在第三节中，我们详细研究了GARCH（1,1）模型，该模型用于说明主要观点。在第4节中，我们将GARCH模型推广到包括不对称性和多时间尺度。在第5节中，我们推导了潜在收益的某些隐含时刻的近似公式。在第6节中，我们将解释如何使用SPX选项数据进行校准。此外，我们还给出了从一个特殊的GARCH模型中得到的挥发性曲面的例子。我们在第7.1.1节注释中得出结论，我们用St表示标的资产的价格，其中t是以年为单位的时间。和往常一样，我们假设这是远期价格，这样我们就可以忽略股息和利率。在离散时间工作时，我们采用一天的时间步长：δt=1/252（以年为单位）。简单的返回将由δSt:=St表示- 圣-δtIn一般来说，时间下标表示随机时间依赖性，而括号表示平滑时间依赖性。例如，对于固定T，xt（T）是T的光滑函数。

此外，所有形式为XT的随机过程都是t-可测的，因为它们依赖于时间t之前的信息。潜在收益将分解如下：rt:=δStSt-δt=pδtνt-δt这里这是一个平均值和单位标准偏差为零的i.i.d.噪声，而ν是实现的年化方差。注意，我们认为在现实世界的度量下，底层是鞅。然而，添加漂移或获取日志返回对模型参数的影响可以忽略不计。我们还发现，几乎没有证据表明t、 因此，我们假设这是对称的。我们将充分利用指数移动平均线或均线。我们的定义如下：EMAL[xt]=1.-LEMAL[xt-δt]+Lxt（1），其中L是以天为单位的EMA的时间尺度，Xt是一些随机过程。真实世界的概率测度用P表示。表示T的符号为Et[xT]≥ t表示信息在时间t之前的条件期望。定价度量将用P表示？条件期望的类似符号：E？t[xT].2尾部风险期权交易者的尾部风险源于期权对标的资产变动的非线性依赖性。我们考虑由标准化返回参数化的尾部场景t、 例如，t=±3是“3西格玛”情景。此外，我们使用符号lim|t|→∞表示一个巨大的潜在移动（不是字面上的确定）。基本上，我们考虑3-5西格玛的典型场景。这些不是黑天鹅事件，因为它们经常发生。然而，它们的规模足以给期权交易员造成重大损失，并触发追加保证金通知。假设我们有一个组合P（2），有一些伽马暴露，在尾事件下，我们有：lim|t|→∞δP（2）t=t（2），其中P（2）中的上标表示T

正如我们在导言中所讨论的，经纪人会要求在P（2）中有空头头寸的交易者比有多头头寸的交易者投入更多的保证金。这是一种携带成本，因为他/她可能会把钱投资到其他地方。为了补偿这个交易者，P（2）的盈亏（P&L）必须在现实世界中有一个漂移：EthδP（2）t+δti=-λ（3），其中我们平均期望λ>0。我们称λ为凸性或伽马风险溢价。请注意，我们不需要知道关于这个投资组合的任何细节，只需要知道它的渐进风险敞口. 事实上，本文的关键假设是，这种投资组合的形式并不重要，而且任何其他具有相同尾部风险的投资组合，比如P（2），都将具有相同的漂移。换句话说，衍生市场只存在价格尾部风险，而不是“每日”差异。伽马风险敞口投资组合的一个简单例子是前端VIX期货合约。在图1中，我们比较了前短期波动率指数合约和前长期波动率指数合约的累计损益。这两个损益表都进行了风险管理，因此它们在20天的范围内具有相同的每日风险。我们可以清楚地看到，对于同样的风险，VIX期货的风险溢价高于SPMINI期货。然而，它也有更大的下降。在图2中，我们展示了SPMINI未来损益表上的剩余VIX未来损益。很明显，短期VIX未来有一个伽马分量，它会导致SPMINI大幅波动的二次大损失。这就是Extra premium的原因！200520062007200820092010201120122013012014Date50050100150200累积PnLVIX（0.96）SPMINI（0.57）图1：前短期VIX和长期SPMINI期货的累积损益。每个期货都进行了风险管理，在20天的滚动范围内维持大约1美元的每日风险。

年化夏普比率在括号中显示。现在考虑一个投资组合P（3），lim|t|→∞δP（3）t=t（4）更精确地说，设Rt=Ft- 英尺-δt为未来合同的每日损益。风险管理损益由Rt=Rt/qEMA[Rt]给出-δt]。剩余损益由rVIX确定- βrSPMINI，其中β：=Cov[rVIX，rSPMINI]/Var[rSPMINI]，其中rVIX，rSPMINI分别表示VIX和SPMINI合同的风险管理PNL。6 4 2 0 2 4 6 SPMINI PnL2。01.51.00.50.00.51.01.52.0E[VIX PnL（残差）| SPMINI PnL]FitDataFit图2：前短VIX未来残差损益以前长SPMINI未来损益为条件。通过将观察结果划分为200个箱子进行调节。我们还展示了一个用于视觉清晰度的二次多项式函数。在股市中，大多数交易者都害怕左尾。这意味着在P（3）中持有多头仓位的交易者在大幅度下跌的情况下面临立方损失。在这样的市场中，人们期望看到一个倾斜的风险溢价，即δP（3）t+δti=λ（5），其中λ平均>0。在外汇或某些大宗商品市场，我们预计不会看到这样的风险溢价，因为市场参与者同样害怕左尾和右尾。请注意，这是关于风险规避的陈述，而不是关于市场的概率分布。事实上，有人可能会说，没有人知道真实世界的概率度量。然而，我们所有人对下行股票市场的资本要求都变得更加严格（例如，大多数投资者定义为多头股票）。最后，我们引入峰度风险溢价：lim|t|→∞δP（4）t=t（6）EthδP（4）t+δti=-λ（7），其中我们平均期望λ>0。人们可以想象更高的时刻，但正如大多数期权交易员所知，由于流动性限制，获得此类风险敞口越来越困难。时机越高，我们就越需要利用期权簿，这样的策略的能力就越小。

此外，在下面研究的GARCH模型中，如果我们将自己局限于二阶希腊人，就不会得到更高阶的风险敞口。风险溢价（λ，λ，λ）将成为唯一需要与期权价格匹配的参数。3 GARCH（1,1）模型在本节中，我们详细研究了GARCH（1,1）模型。这是GARCHfamily最简单的模型，可以用来说明主要观点。本节的目标是使用尾部风险参数推导该模型的pricingor鞅概率测度。我们首先对avariance掉期进行定价，然后对一般欧洲应急索赔进行定价。GARCH（1,1）模型基本上是一个EMA滤波器：νt=？（1- α） +αXt（8）Xt=δtEMAL[rt]（9）δXt+δt=Lνtt+δt- Xt（10） 式中，ν是无条件方差和α∈ [0,1]是一个控制波动率自相关强度的参数。3.1方差互换的定价现在从对到期日为T的方差互换合同进行定价开始。我们用Vt（t）表示该合同在时间t的价格。到期时，我们的方差互换支付PT（T）=PNj=1rt+jδT- Vt（T），其中T=T+NδT是到期日，N是T和T之间的天数。由于签订此类合同需要零资本，时间t和t+δt之间的方差交换的损益由δPt+δt（t）=Vt+δt（t）给出- Vt（T）+rt+δT（11）我们现在假设价格Vt（T）是时间和滤波器Xt，Vt（T）：=V（T，Xt）的平滑函数。此外，请注意，边界条件为V（T，X）=0。高达x的二阶变化，假设我们有足够小的时间步长δt，δPt+δt（t）≈五、tδt+五、XtδXt+δt+五、XtδXt+δt+νtt+δtδt（12）在这种情况下，这个展开式是精确的。现在我们来看一下方差互换的尾部风险。使用Eqs。（2） 式中的（6）和（10）。