期权定价、历史波动性和尾部风险

这样我们就避免了长期均值-方差的估计，这是一个非常嘈杂的量，我们不希望它是通用的。稍后，为了避免太多样本偏差，我们将把XT作为1000天EMA。因此，我们只剩下4个参数：（α，α，L，L）。假设创新 遵循带E的高斯分布[] = 0和E[] = 1.最小化的函数是单个似然函数的平均值：L=NXα=1nαnαXt=1对数（ηαt）-1) - 日志ρ~rαt/qναt-1.其中，nα是股票指数α的观察次数，n是时间序列的次数，ρ是指数的分布函数. 如果我们使用对数回报或使用其他分布，如Student-t，我们发现参数差异很小。我们发现以下参数：（α，α，L，L）≈ (0.4, 0.5, 36, 6). 值得注意的是，对称过滤器L的平均回归时间尺度远小于对称过滤器L。这意味着模型对负回报的反应更快。为了计算风险溢价，我们需要评估OTM期权INEQ上的积分。(93) - (95). 这是通过使用SPX选项来实现的|| ∈ [0.01, 0.5]. 然后使用梯形规则对积分进行近似：Zbadxf（x）≈如果（xi）φi，则NXi=1φ=（十）- x） 对于i=1（xN- xN-1） 对于i=N（xi+1- xi-1） 对于i=2，N-1一些股票指数的波动性自然会更大，因为它们可能由较少的股票组成，或者来自被认为比美国风险更高的国家。期权数据由OptionMetrics提供。其中N是数据点的数量，xi∈ [a，b]是（有序的）离散观测值。这是一个单独的通话和看跌期权。然后，LHS如果Eqs。（87）-（89）由RHSin在最小平方误差意义下进行拟合。注意，在这一步中，我们在模型中取L=1000。

换句话说，我们的全局参数集是：（α，α，α，L，L）=（0.1,0.4,0.5,1000,36,6）。如前所述，估算是按顺序进行的：首先我们使用公式（87）估算λ，然后我们继续使用公式（88）估算λ。最后，在执行等式（66）约束的同时，使用等式（89）找到峰度风险溢价。在图3-5中，我们展示了通过校准等式获得的变量交换、偏斜和峰度函数的一些示例。(87) - (89). 我们可以看到，总体而言，我们的GARCH模型很好地捕捉了varswap和歪斜期限结构的形状。对于峰度而言，效果不太好。然而，我们必须指出，在三角洲范围的选择下，等式（89）的LHS定义的力矩不是很稳定。此外，我们发现，在基本上所有的函数中，等式（66）中给出的约束是饱和的或非常接近饱和的。这意味着风险不是独立的！0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5到期时间（年）0.120.140.160.180.200.22Varswap拟合2013-08-26datafitλ2=0图3:GARCH varswap校准示例。图中还显示了零风险溢价曲线。请注意，方差互换水平（λ=0）的历史估计值低于隐含水平。一旦我们确定了三个风险溢价，我们就可以通过对等式进行蒙特卡罗模拟来生成完整的波动率面。(51) - (56). 为了避免负价格，我们模拟了log返回d log S=-（1+λ）νtdt+p（1+λ）νtdWt。然后用标准方法离散所有方程，并用高斯新息模拟布朗运动。为了产生不同的风险因素，我们使用公式（57）的分解。在图6-8中，我们展示了一些波动性微笑的例子。

数据由OTM看涨期权和看跌期权的中间价格组成，其Delta在以下范围内|| ∈ [0.001, 0.999].请注意，并非所有的金融工具都很好，然而，varswap期限结构的不良金融工具并不意味着整体波动率表面的不良金融工具（见第9-12页）。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5到期时间（年）2.52.01.51.00.50.0偏差拟合2013-08-26datafitλ2=λ3=0图4:GARCH偏差校准示例。图中还显示了零风险溢价曲线。如果没有风险溢价，我们无法解释隐含偏差的大小。风险溢价的时间序列如图13-15所示。一个有趣的观察结果是，我们发现了一个非平凡的倾斜风险溢价，它是正的，并且在时间上相当稳定（参见图14）。事实上，我们可以从图4中看到，当风险溢价为零时，GARCH模型无法解释隐含的偏差。请注意，即使我们设置了E[] = 0，我们几乎找不到证据表明, 因此，它永远无法解释这一巨大的隐含偏差。凸性风险溢价λ在时间上不稳定。正如预期的那样，它平均为正，但也可能变为负，特别是在危机期间。我们还注意到，峰度风险溢价λ在大多数情况下会饱和等式（66）中给出的界限。事实上，图15中的峰值是由于边界未饱和的天数。这意味着，这实际上不是一个独立的参数，我们的模型可以通过在等式（66）中施加等式来进一步简化。一种可能的解释是，我们的模型过于严格，因为所有过滤器都是由潜在回报驱动的。事实上，对于从业者，我们建议不要设置峰度风险溢价，而只是饱和等式（66）的边界，以确定λ.7结论。在本文中，我们介绍了一种新的期权定价方法，它使用历史波动率和风险溢价估计。

简言之，我们认为现实世界中的期权价格不是鞅，而是由尾部风险溢价决定的。这是因为期权交易人的资本有限，而且由于期权合同的非线性，他们可能会因市场的大幅波动而面临巨大的损失。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5到期时间（年）01020304050600荨麻疹拟合2013-08-26数据拟合λ2=λ3=λ4=0图5:GARCH峰度校准示例。图中还显示了零风险溢价曲线。特别地，我们研究了一类具有多时间尺度和对称性的广义GARCH模型。然而，我们相信，一旦我们能够量化其在潜在风险（如尾部风险）大幅度变动下的渐近展开，我们的程序就可以推广到任何类型的波动率估值器。在本文研究的模型背景下，我们发现，如果我们将期权价格扩展到二阶希腊人，我们只需要三个风险溢价：凸性、倾斜和峰度。然而，从经验上看，我们发现峰度风险溢价不是独立的，并且饱和现象比比皆是，这使得我们可以用另外两个风险溢价来描述峰度风险溢价。因此，最后，我们的模型只有两个必须与期权价格相匹配的参数：凸性和倾斜风险溢价。其余参数完全由使用standardGARCH校准方法的历史数据确定。这使我们能够产生期权微笑，这取决于我们的波动性预测和市场的风险溢价。我们发现，凸性风险溢价不仅改变了隐含波动率的水平，还改变了其期限结构。

另一方面，倾斜风险溢价使ATM倾斜比历史估计更陡（更负），峰度风险溢价使vol的vol高于历史估计。我们根据Bergomi和Guyon[11]的vol-of-vol展开式开发了一种校准方法，其中我们提供了一系列可以使用OTM选项复制的隐含力矩。然后，我们推导出了这些矩的近似公式，最高可达vol-of-vol的二阶。一旦找到了风险溢价，我们就可以通过蒙特卡罗模拟生成完整的波动率面。我们表明，通过这种方式获得的微笑与SPX期权市场中观察到的微笑相当接近。我们的工作有许多扩展，值得更多关注。特别是，我们假设，即使我们在不确定的时间内工作，我们也可以将期权价格近似为二阶希腊人。放松这个假设会很有趣。也许这可以在0中完成。4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2金钱0。100.150.200.250.300.350.400.45Black-Scholes挥发物=2013-08-26 T=26天达蒙特-卡洛夫图6：蒙特卡罗微笑示例。[23]中对冲蒙特卡罗方法的背景。我们模型的另一个扩展是使凸度风险溢价与时间相关。正如我们在第6节中看到的，倾斜和峰度风险溢价在时间上相当稳定。然而，凸度风险溢价并非如此，在危机期间，凸度风险溢价甚至可能变成负值。最后，探索我们的方法和所谓的定价内核之间的关系是很有趣的[7,8]。致谢我要感谢巴鲁克大学，在那里进行了部分研究。

我还感谢Arthurbard、Jim Gatheral、Peter Carr、Adela Baho、Tai Ho Wang、Anja Richter、Andrew Lesniewski和Filippo Passerini对手稿进行了许多富有启发性的讨论和评论。参考文献[1]Musiela M.，Rutkowski M.，金融建模中的鞅方法，Springer，第二版，2005年。[2] Gathereal J.，Jacquier A.，无套利SVI波动率曲面，ArXiv预印本：1204.0646v42013。[3] 段俊杰，GARCH期权定价模型，数学金融，5（1）：13-321995。[4] Christo Off ersen P.，Jacobs K.，Which GARCH期权估值模型，管理科学，50（9）：1204-12212004.0.70.60.50.40.40.30.20.1 0.0.1 0.2货币0。图7：蒙特卡罗微笑示例。[5] Barone Adesi G.，Engle R.F.，Mancini L.，一个带有过滤历史模拟的GARCH期权定价模型，修订版。财务部。螺柱。21 (3): 1223-1258, 2008.[6] Christo Off ersen P.，Elkahi R.，Feunou B.，Jacobs K.，具有条件异方差性和非正态性的期权估值，修订版。财务部。螺柱。23 (5): 2139-2183, 2009.[7] Christo Off ersen P.，Jacobs K.，Heston S.，一种具有方差依赖性定价的GARCH期权模型，可在SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=1538394, 2011.[8] Babaoglu K.，Christo Offersen P.，Heston S.，Jacobs K.，具有波动性成分、厚尾和非线性定价核的期权估值，期权度量研究会议，纽约，2013年。[9] 塔勒布·N.，《黑天鹅：极不可能的影响》，兰登书屋，2007年。[10] Gathereal J.，Oomen R.C.A.，零智能实现方差估计，金融斯托克。14(2): 249-283, 2010.[11] Bergomi L.，Guyon J.，随机波动模型中的微笑，可在SSRN上获得：http://ssrn.com/abstract=1967470, 2011.[12] 洛阿。

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