高频市场流动性的多尺度表示

准确的过渡规则如下所述；b州=（b，…，bn）∈ B可以转换到stateb=（B，B，…，bn）或stateb=（B，B，…，bi，…，bn），i=min{k:bk6=B}，其中1=0，0=1。对于给定的n∈ N和方向变化阈值δ<···<δN，我们得到一组具有上述规则规定的跃迁的状态。换句话说，这个过程创建了一个我们称之为内在网络的网络，用In（n；{δ，…，δn}；W）表示，其中W表示随机过程的转移概率矩阵，该随机过程模拟网络上的转移。012345 6789 00010302 0405302164753021图2：从左到右：中的2维、3维和4维固有网络，状态以数字表示。内在网络表现出两种特殊的状态，其中网络是非反应性的：当市场可以继续向下移动时的向下盲点（0，…，0），以及当市场可以继续向上移动而不被追踪时的向上盲点（1，…，1）。从上述状态来看，本征网络只有一种可能的转变，即状态（1，1，…，1）必然转变为状态（0，1，…，1），P(1, 1, . . . , 1) → (0, 1, . . . , 1)= 1，当状态（0，0，…，0）确定地过渡到状态（1，0，…，0），P(0, 0, . . . , 0) → (1, 0, . . . , 0)= 1.图2分别显示了图中的二维、三维和四维固有网络示例。4隐式层次在这一节中，我们证明了内在网络有一个方便的多尺度特性，在这里人们可以忽略框架中的最小阈值，并且仍然保持结构。换句话说，如果我们去掉（n；{δ，…）中n维内在网络的方向变化阈值δ。

，δn}；W），得到的结构是n-一维内禀网络-1.{δ，…，δn}；cW），而转移矩阵cW和cW之间存在明确的联系，假设网络上的转移被建模为一阶马尔可夫链过程。首先，我们引入岛的概念，岛是所有可能状态S={0，1，…，2n的子集-1} （n；{δ，…，δn}；W）中n维本征网络的状态集。我们将第k岛定义为以下statesIk的子集={s∈ S:bsc=k}，（3）其中b·c表示流动函数，即bxc=max{k∈ N:k≤ x} 。在我们的例子中，k-thisland等于Ik={2k，2k+1}。例如，岛相等于子集{0,1}或岛相等于子集{14,15}。很容易注意到，对于无状态的n维本征网络，有2n-1个岛屿。请注意，我们可以再次用数字标记岛，Ik=k，用数字标记S（1）={0，…，2n创建一组新的状态-1.-1}. 让我们谈谈岛屿之间的转换。给定数字符号s=b·2+···+bn·2n-1对于状态S，每个状态S（1）∈ S（1）可以用数字符号ass（1）=b·2+·bn·2n表示-2，因此岛屿之间的过渡相当于三个阈值δ，δn。换句话说，岛屿之间的转换对与第一个方向变化阈值δ相关的市场状态变化不敏感，因此产生的结构是ann-（n）中的一维本征网络- 1.{δ，…，δn}，cW）。转移矩阵xcw的概率及其与转移矩阵W的联系将在本节后面部分建立。我们将所提出的方法称为状态收缩。让我们通过定义0级孤岛来扩展状态收缩的概念，I（0）是n维内在网络I（0）k={k}，k=0，1。

，2n- 1.如果S（0）={0，1，…，2n- 1} ={I（0），…，I（0）n-1} 表示n维内在网络的状态，然后我们定义1级孤岛，用符号I（1）kas subsetsI（1）k={I（0）∈ S（0）：bI（0）c=k}（4）对于k=0，1，2n-1.- 1.使用上述迭代过程，我们可以通过应用状态收缩j次的过程，在符号I（j）中获得j级孤岛，因此我们可以在（j+1）中定义一个j+1级的内在网络，而状态空间S（j+1）定义为孤岛I（j+1），换句话说，S（j+1）={I（j+1），…，I（j+1）n-J-1}. 在更一般的意义上，我们可以将一级岛屿定义为一级岛屿的子集- 1，即i（i）l={i（i）-1)∈ S（i）-1） ：bI（i）-1） c=l}。从总数为2n的本征网络开始，在（j+1）中，水平为j+1的本征网络将总数为2n-jstates。01234012320123501236012370123801239012301230123012344012342012346012345012347012348014320143401436014350143701438014390143图3（4；{δ，δ，δ}；W）中的四维本征网络到（3；{δ，δ，δ}；cW）中的三维本征网络的收缩过程的图示，而彩色阴影图显示了孤岛、收缩状态和由此产生的新状态。图3展示了四维内在网络（4；{δ，…，δ}；W）的状态收缩过程，而岛I（0）。

，I（0）以下列方式收缩I（1）I={I（0）2i，I（0）2i+1}。（3；{δ，δ，δ}；cW）中三维本征网络的岛、收缩态和由此产生的新态的着色图。假设内在网络上的转移被建模为一阶马尔可夫链，则n维内在网络的转移矩阵W和n维内在网络的转移矩阵XCW之间存在显式联系- 通过上述收缩过程获得的一维本征网络。假设网络的当前状态为I（I），我们感兴趣的是确定过渡到状态I（I）j的概率。请注意，从水平岛（I）的角度观察过程- 1） ，系统可以在状态I（I）之间振荡-1） 我和我-1） 2k+1在进行连接岛屿I（I）和I（I）j的过渡之前，多次循环。因此，使用几何级数的闭合形式可以很容易地导出所需的概率。

下面给出了mod（k+j，2）=0P（I（I）k的三种不同情况，并在附录C中给出了证明→ I（I）j）=P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2j+1）1-P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）·P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）（5）对于mod（k+j，2）=1和k>jP（I）k→ I（I）j）=P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2j）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）1-P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）（6）对于mod（k+j，2）=1和k<jP（I（I）k→ I（I）j）=P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2j+1）·P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）1-P（I（I）-1） 2k→ 我-1） 2k+1）·P（I（I）-1） 2k+1→ 我-1） 2k）（7）5转移概率在本节中，我们将内在网络的转移概率建模为一阶马尔可夫链过程。首先，我们强调给定布朗运动（σWt，t∈ R+）作为模拟价格运动的过程（Pt，t∈ R+）dPt=σdWt，（8）内在网络上产生的随机跃迁过程，用符号（Xτα）表示，其中（τα，α）∈ A） 是一组发生转变的内在时间，实际上是一个非马尔可夫过程，即P（Xτn=si | Xτn）-1=sj，Xτn-k=sr）6=P（Xτn=si | Xτn-1=sj，Xτn-m=sl），换句话说，这个过程需要完整的历史来推导转移概率。非马尔可夫性质源自这样一个事实，即方向变化阈值在它们的内存中可以有不同的参考点。在下文中，为了简单起见，我们将采用马尔可夫描述。正确量化这种选择的影响是一个有趣而雄心勃勃的问题，我们将在未来解决。

然而，我们注意到，在我们的例子中，两种状态之间的转移概率恰好与描述中所考虑的记忆长度接近，而且，对于我们心目中的应用——即量化市场流动性——我们的流动性度量似乎对我们是否考虑记忆效应相当不敏感。为了简化框架，我们将内在网络上的转换建模为一阶马尔可夫链过程，假设阈值δ的转换对应于δ超调的长度- δ、 也就是说，对于i=2P，leti=min{k:bk6=b}（b，b，…，bn）→ （b，b，…，bn）= Pω(δ; σ) ≥ δ- δ（9） P（b，b，…，bn）→ （b，b，…，bn）= Pω(δ; σ) < δ- δ（10） 其中1=0和0=1。现在我们给出了转移概率的解析表达式，假设（9）-（10）；定理5.1。让n∈ N和δ<··<δN内在网络的定向变化阈值（N；{δ，…，δN}；W）和（b，…，bn）∈ B市场的现状。Leti=min{k:bk6=b}，对于i=2P（b，b，…，bn）→ （b，b，…，bn）= E-δ-Δδ（11）P（b，b，…，bn）→ （b，b，…，bn）= 1.-E-δ-Δδ（12）当i>2P时（b，b，…，bn）→ （b，…，bi，…，bn）=Qik=2e-δk-δk-1δk-11-圆周率-1k=21.-E-δk-δk-1δk-1.Qij=k+1e-δj-δj-1δj-1（13）页（b，b，…，bn）→ （b，…，bi，…，bn）= 1.-Qik=2e-δk-δk-1δk-11-圆周率-1k=21.-E-δk-δk-1δk-1.Qij=k+1e-δj-δj-1δj-1（14），其中1=0和0=1。定理5.1中解析表达式的证明可在附录C中找到，它归结为推导表达式（11）和（12），然后应用第4.6节价格轨迹中给出的收缩内在网络转移概率的显式公式，一种信息论值，用于测量映射到内在网络的价格轨迹的不可能性。

在继续之前，让我们简化目前使用的旋转。用（Xτα）表示在固有网络上模拟过渡的随机过程，其中（τα，α∈ A） 是网络上发生转换的时间。换句话说，（τα）是与阈值δi，i=1，…，相关的任何方向变化时的等待时间过程，n发生了。因此，将网络上的转换建模为一阶马尔可夫链，相应的概率用p（Xτn=si | Xτn）表示-1=sj），si，sj∈ 我们将通过只写从状态sito sj到状态sito sj的转换来缩短这个符号，忽略转换发生的内在时间，即我们将通过写P（si）来简化符号→ sj）。首先，让IN（n；{δ，…，δn}；W）表示具有有序方向变化阈值δ<····<δn，状态空间S={0，1，…，2n的n维本征网络-1} 让W表示相应的转移概率矩阵=P（si）→ sj）N-1i，j=0。我们通过以下表达式γsi，sj=-对数P（si）→ sj）。（15） 让我们解释一下惊喜γsi，sj背后的直觉，如果从状态sito到sj的转变非常不可能，即P（si）→ sj）≈ 0，相应的意外γsi，sj将非常大，即γsi，sj 0，这意味着价格轨迹在其内在网络的上下文中经历了一个不太可能的运动。请注意，上面介绍的转变惊喜对任何从事信息论工作的人来说都应该是熟悉的，因为熵是通过简单地平均惊喜而获得的。换句话说，熵是过程的平均不确定性，而惊奇是为过程的特定实现评估的相同数量，即。

令人惊讶的是点态熵。现在让我们假设我们正在观察一个时间间隔[0，T]内的价格轨迹（Pt），T>0，并且在这个时间间隔内，价格轨迹经历了K次转变si→ 硅→ ··· → 锡克→ 因此，siK+1在时间间隔[0，T]内处于K+1状态。我们定义了时间间隔[0，T]内价格轨迹的惊喜，用符号γ[0，T]si，。。。，siK+1asγ[0，T]si，。。。，锡克+1=-对数P（si）→ 硅→ 硅→ . . . 锡克→ siK+1）（16）=KXk=1-对数P（sik）→ sik+1）（17）=KXk=1γsik，sik+1（18）如果从上下文中可以清楚地看到内在网络上发生的K个转变，我们将用γ[0，T]K表示惊喜。定义的值，作为单个转变的不可能性之和，衡量给定时间间隔内价格轨迹的不可能性。如果该值非常大，则表明轨迹发生了不太可能的移动。此外，重要的是要强调，惊喜是一种依赖于价格轨迹的度量：两个波动率σ相同的价格轨迹可能有很大不同的惊喜值。假设一个人想要使用经验数据，应用上面列出的公式，计算某个时间间隔[0，T]内价格轨迹的惊喜。一个很容易注意到的警告是，价格变动可能会在某些时间段内导致内在网络发生一些转变，而其他时间段则可能以更高的活动为标志。因此，通过施工，繁忙的时间段将有更高的惊喜，这纯粹是因为更多的过渡。为了从分析中删除市场活动，我们需要删除与所述时间间隔内惊喜的转换次数相关的组成部分。来自样本熵收敛的Shannon-McMillan-Brieman定理和相应的中心极限定理（P Fister等人。

2001），我们注意到表现主义中的中心值实际上等于K·H（1），而重缩放值等于√K·H（2），涉及一阶信息量（即熵）H（1）=n-1Xi=0uiE[-对数P（si）→ ·)],信息素的二阶（2）=n-1Xi=0n-1Xj=0uiujCov- 对数P（si）→ ·), -对数P（sj）→).式中，u是相应马尔可夫链的平稳分布，即转移矩阵W的左正态分布向量。集中和重新缩放的表达式收敛于正态分布（P Fister et al.2001）γ[0，T]K- K·H（1）√K·H（2）→ N（0，1）作为K→ ∞, （19） 因此我们称之为流动性，相应的量子化=1-Φγ[0，T]K- K·H（1）√K·H（2）, K 0（20），其中Φ是正态分布的累积分布函数。流动性L提供了一种无活动的价格轨迹不可能线测量，其中接近零的值表明，在多尺度框架下观察到的非流动性市场条件是超调；而接近1的值表明市场流动性充足，且超调不足。注意，K，内在网络上时间间隔[0，T]内的跃迁次数，在流动性公式中明确表示，实际上等于与阈值δ，δn发生在时间间隔[0，T]内，代表多个尺度的活动测量。因此，从意外γ[0，T]中减去K·H（1），并用√K·H（2）我们从价格轨迹分析中去除了市场活动的贡献，允许我们在多尺度框架中纯粹观察超调的长度。7.首选规模在本文中，我们一直无法确定将连续财务数据映射到内在网络的阈值的最佳设置。

在本节中，我们讨论了方向变化阈值的最佳选择，探讨了三种可能性将所有可实现的转移概率设置为同等可能性，即P（si→ sj）=0.5，{si→ sj}6=, 是的，sj∈ S、 o最大化建模内在网络上转换的马尔可夫链过程的熵，即一阶信息量H（1），o最大化二阶信息量，H（2）的马尔可夫链过程，并将该过程与流动性测量阈值的最佳设置相关联。请注意，所有提到的优化方法都可以被视为在框架中对选定的概率分布应用最大熵原理的结果。简而言之，最大熵原理指出（杰尼斯1957a，杰尼斯1957b）“。。。根据精确陈述的先验数据（例如表示可测试信息的命题），最能代表当前知识状态的概率分布是熵最大的概率分布。”首先，我们讨论在将所有可实现的转移概率设置为同等可能性时产生的阈值。因为从每个状态的转换∈ 当香农发明了他的量，并向冯·诺依曼请教如何称呼它时，冯·诺依曼回答说：“称它为熵。它已经在这个名字下被使用了，而且，它将在辩论中给你带来巨大优势，因为诺依伯知道熵到底是什么”（Denbigh 1981）。使用同样的理性，我们决定称我们的度量为流动性。伯努利随机变量，其最大熵是通过将所有非平凡跃迁的概率设置为同等可能，即P（si→ si）=P（si→ si）=0.5=> E- 对数P（si）→ ·)= 日志2，i=1。