高频市场流动性的多尺度表示

，2n- 2.在这种情况下，我们可以直接应用第4节中给出的跃迁概率分析公式，并且给定第一个阈值δ，第k个阈值等于δk=δkYi=11+对数（1+k）. （21）我们观察到，当乘积的极限快速接近其极限极限时，这种转移概率的选择会导致近似线性的阈值设置→∞Qki=11+log（1+k）k=0.8625576。。。，换句话说，对于k 0，第k个方向变化阈值δkis约为δk≈ δ·k·0.8625576。不幸的是，设置（21）中的阈值会禁用意外γ[0，T]的使用，因为它变得完全确定，并且与跃迁Kγ[0，T]K的数量成正比~ K·log2。其次，设定阈值的潜在方法是最大化相应马尔可夫链的熵，该马尔可夫链模拟内在网络上的转换（δ*, . . . , δ*n） =arg max（δ，…，δn）H（1）=arg max（δ，…，δn）n-1Xi=0uiE[-对数P（si）→ ·)],其中u是对应的平稳分布，即W的左归一化特征向量。对于（2；{δ，δ}；W）中的二维本征网络，将所有跃迁概率设置为等概率，并将公式（21）中的熵H（1）最大化，得到等效的最佳阈值（δ）*, δ*) δ在哪里*= （1+log2）·δ*对于给定的δ*. 对于n>2，索赔不成立。在我们的分析中，以最佳方式设定阈值的最终建议源自中心测量，即意外γ[0，T]Kw，当适当调整时，已知该γ[0，T]Kw接近K的正态分布 0.对于较大但固定的K，表示惊讶的分布近似为正态γ[0，T]K~ N（K·H（1），K·H（2））。正态分布随机变量X，平均值为u，标准偏差为σ，即。

十、~N（u，σ）的熵由h（X）=log（2πeσ）给出，因此惊奇等式的熵h（γ[0，T]K）=log2πe（K·H（2））并将最大熵原理应用于意外γ[0，T]Kwe的分布，得出阈值（δ）的最佳选择*, . . . , δ*n） 最大化二阶信息量H（2），即（δ*, . . . , δ*n） =arg max（δ，…，δn）H（2）（22）=arg max（δ，…，δn）n-1Xi=0n-1Xj=0uiujCov- 对数P（si）→ ·), -对数P（sj）→). （23）我们注意到，上述优化过程是一个复杂的数学问题，拟使用数值程序解决。对于小n，我们可以探索（23）解的空间，并估计必要的联合概率。对于较大的n，探索在计算上是不可撤销的，我们建议将δ设置为固定值，并让δi=λδi-当i=2时，λ>0。n、 选择最大化第一或第二层次的信息量，我们强调每一个n都有一个解决方案∈ N正如我们注意到的，N维内在网络的熵，用符号H（1）N表示，是有界的H（1）N=H（1）nPn-1i=0ui=Pn-1i=0uiE[-对数P（si）→ ·)]Pn-1i=0ui≤ 马克西∈{S{E[-对数P（si）→ ·)]} ≤ log2（24），这是因为加权算术平均值总是小于分量的最大值，二阶信息量H（2）nH（2）n也是如此≤ 马克西∈SnVar- 对数P（si）→ ·)o、 （25）8流动性冲击在本节中，我们说明了拟议的流动性度量L在众所周知的外汇市场危机中的应用，并认为流动性度量可作为金融市场压力的早期预警信号，重点关注2007年8月日元套利交易崩溃和瑞士国民银行实施的欧元兑瑞士法郎汇率1.20。在继续之前，让我们解释一下下面示例中使用的内在网络的细节。

首先，考虑到高频市场条件，我们选择第一阈值δ为0.025%(~ 2.5点），并将下一个阈值作为其前一个阈值的两倍。我们总共使用了12个阈值，即δi=2·δi-1=2i-1·δ=2i-1.0.025%，i=2，12.产生一个12维的内在网络。以上述方式分配阈值可以确保，根据经验标度定律（Glattfelder et al.2011），平均而言，我们大约每5秒就有一次内在网络的转换。相应的概率转移矩阵W由定理5.1中的解析表达式获得，因此为我们提供了所有工具来构造（12；{δ，…，δ}；W）中的内在网络，该网络将汇率映射到基于状态的离散化。接下来，我们从数值上近似地注意到，日内的转换发生率是高度不均匀的，因为在新闻发布期间，一秒钟内可能会有几次转换。112 114 116 118 120 122 124USD/JPY 2007套息交易平仓外汇汇率2007年5月2007年6月2007年7月2007年8月2007年9月外汇汇率流动性L0.5 1图4:2007年8月套息交易平仓期间（左轴）美元/日元汇率和（右轴）相应的一分钟流动性度量L的时间演变。一阶H（1）=0.4604，二阶信息量H（2）=0.70818，得出流动性测量L=1-Φγ[0，T]K- K·H（1）qK·H（2）.滑动窗口设置为一天，即T=1天，K是滑动窗口内的转换次数。流动性L每分钟都被绘制一张图表，忽略了周末的不活跃期。首先，我们介绍了2007年日元套利交易放松期间的流动性度量L。

外汇市场中的术语套息交易指的是做空低收益率货币并购买高收益率货币的策略，以赚取不同的利息。套利交易通常都是有很多杠杆的交易，因此汇率的微小变动可能会导致巨大损失，导致价格大幅反转（Brunnermeier et al.2008）。2007年8月美元/日元价格下跌是日元套利交易头寸大量平仓的结果；许多拥有自营交易台的对冲基金和银行持有大量风险头寸，并决定回购Yen以偿还低息贷款（Chaboud等人，2012年）。图4显示了逐笔美元/日元汇率和每分钟流动性的时间演变。市场流动性的显著冲击发生在7月中旬，在几小时内下降了近2%。从那时起，随着交易员开始平仓套利交易头寸，相对缺乏流动性的状况通过测量得到了体现。在2007年8月初发生6%的大幅下跌之前的三周内，市场流动性完全丧失，据估计，约1万亿美元已被押注在日元套利交易上（Lee 2008）。1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25欧元/瑞士法郎-2011年瑞士央行干预汇率2011年5月2011年6月2011年7月2011年8月2011年9月2011年10月汇率流动性L0.5图5（左轴）欧元/瑞士法郎汇率的时间演变，以及（右轴）相应的一分钟流动性度量L在交易月份的时间演变瑞士国家银行干预，将欧元/瑞士法郎汇率设定为1.20。2007年6月16日。接下来，我们关注瑞士国家银行（SNB）在几个月内将法郎升值四分之一后设定汇率，因为债务危机导致货币从欧元区流出。

自那以后，瑞士央行系统性地防止欧元跌破1.20水平，买入欧元并卖出法郎，导致外汇储备大幅增加，截至2013年11月，外汇储备约为4340亿法郎。图5显示了瑞士央行干预月份逐笔欧元/瑞士法郎汇率和每分钟流动性L的时间演变。我们的测量结果显示，在法郎升值期间，流动性状况缓慢但稳定地恶化。事实上，正如图表所示，流动性L指标表明，在本周流动性完全丧失，瑞郎兑欧元大幅上涨近1000点子（约10%），2011年8月9日接近平价。我们的测量结果显示，流动性不足的市场状况在未来几周内将持续，随后出现了近20%的逆转，在瑞士央行于2011年9月6日进行干预后，流动性状况最终得以恢复（施密特2011）。资料来源：瑞士央行(http://www.snb.ch/ext/stats/imfsdds/pdf/deenfr/IMF.pdf)“瑞士加入欧元区：瑞士每年收入的73%通过瑞士国家银行投资于欧元”，Dorgan，G.，2012年NBCHF。com9结论在本文中，我们使用基于事件的框架将连续的财务数据映射到所谓的内在网络中。我们定义了一种内在网络状态收缩的方法，并表明该网络具有一致的层次结构，允许对财务数据进行多尺度分析。我们定义了流动性的概念，其特征是价格轨迹的不可能性。

针对众所周知的货币危机，我们提出并证明了新指标能够检测和预测金融市场的压力。致谢导致这些结果的研究获得了欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）的资助，资助协议编号为317534（Sophocles项目）。作为一个内在的时间框架，我们将价格的时间序列映射为方向性变化和价格超调的序列，如下所示。允许 = {δ，…，δnδ-1} 是时间序列映射到的nδ方向变化阈值的集合。初始价格的初始条件；t、 初始物理时间；和M在向上和向下之间切换的模式，指示预期的方向变化。初始条件最多影响前两对（方向变化、超调），并让序列中的后续对与通过不同初始化获得的任何其他序列同步，即通过不同初始化获得的序列。给定的δi将时间序列分解为一组价格Xi（t）={Xi（ti），…，xini-1（蒂尼）-1） ，x（t）}出现在时间Ti（t）={Ti，…，tini-1，t}其中x（t）=出价（t）+要求（t）/2是中档的attime t。我们强调了该系列的最后一个元素x（t），t是暂时的，因为它们还不对应于转折点，但代表时间t的过程状态。我们计算转折点的数量（即方向变化的发生）为nie=bnic。方向变化的振幅序列iis定义为i（t）=δi，δini-1e，δinie（t）=nxi2j+1- xi2jo（26）其中0≤ J≤ 聂。价格时间序列的离散性防止了|δij |=δi。然而，离散性很小，平均在价差内。反拍的振幅序列Ohmiis写为Ohmi（t）=ωi。

ωini-1e-1，ωinie（t）=nxi2（j+1）- xi2j+1o。（27）方向变化或价格超调的持续时间通过用等式（26）和（27）中的物理时间t代替价格X来确定。算法1显示了一个伪代码，提供了关于如何剖析价格时间序列的更多细节。算法1。从时间上剖析价格曲线，并用δi价格阈值测量超调要求：初始化变量（xext=x（t），模式任意设置，Xi=x，Ti=t）1：用x（t）更新最新的Xi 2：用t3更新最新的Ti：如果模式关闭，那么4：如果x（t）>xextthen5:xext← x（t）6：如果x（t）为else- xext≤ -δithen7:xext← x（t）8：模式← up9：Xi← x（t）10:Ti← t11:end if12:else如果模式为up，那么13:if x（t）<XEXTTEN14:xext← x（t）15：如果x（t）为else- xext≥ δithen16:xext← x（t）17：模式← down18：Xi← x（t）19:Ti← t20:end if21:end ifB解析高斯基准在价格服从布朗运动的特殊情况下，可以解析地导出转移矩阵。由于内在网络的层次性允许通过收缩过程推导任意数量阈值的转换矩阵，因此问题实际上归结为解决两个阈值的情况，我们现在将这样做。如果将内在网络上的转换建模为一阶马尔可夫链，则矩阵的形式如下：=0 1 0 01 -α 0 0 αβ 0 0 1 - β0 0 1 0（28）按照国家编号为（0，0）=0，（1，0）=1，（0，1）=2和（1，1）=3的惯例。因此，我们只需计算两个概率，它们将被视为P(1, 0) → (1, 1)= α和P(0, 1) → (0, 0)= β.

出于方便和不失一般性的原因，我们将通过考虑阈值以绝对值而非百分比固定的情况来简化计算，只要波动性不太剧烈，这几乎没有差异（如果有的话）。现在让我们关注一下系统刚刚进入（1，0）状态的情况。正如我们可以从W中读到的，它之前在（0，0）中，只是从某个最小值反弹了一个量δ。现在可能会发生两件事o要么向上移动一个数量δ- δ，系统在达到某个最大值M<δ后，变为（1，1）状态- δ向下走一段距离，系统返回（0，0）。因此，问题是确定这两种情况发生的概率。这有点让人想起著名赌徒的毁灭，但由于存在两个吸收障碍，情况更复杂，其中一个是随着时间推移。让我们表示A≡ x+ 上部固定屏障和B≡ M-δ移动较低的一个（为了便于记谱 ≡ δ- δ和δ≡ δ). 现在我们在小区间（x，x+), （x+, x+2), ..., （A）-, A） 与 ≡ /n对于一些n.为了在B之前到达A，作为第一步，必须到达x+ x之前-δ，然后达到x+2 在x+之前 - δ、 等等。

因此，我们需要重写概率（让我们将其表示为P（A\\B）），以在移动一个B asP（A\\B）之前达到固定阈值A=/Yk=1P（x+k）\\x+（k）- 1) - δ| x+（k- 1)\\x+（k）- 2) - δ） （29）但是布朗运动的不变性（马尔可夫性和平移不变性）允许我们简化这个表达式asP（A\\B）=P（x+\\十、- δ)/（30）它仍然需要接受限制 → 0.现在让我们进一步简化表示法，并假设有一个布朗运动，其均值为u，方差为σ，从两个吸收势垒U（上）和L（下）之间的位置X开始。在时间t的位置x处发现行走的概率密度将服从向后扩散方程tp（x，x，t）=uxp（x，x，t）+σxp（x，x，t）（31），边界条件p（x，x，0）=δ（x）和p（x，U，t）=p（x，L，t）=0。现在，最好的方法是消除（x，t）≡ -tZULp（x，x，t）dx，（32），表示在时间t左右被任何势垒吸收的概率，然后取拉普拉斯变换g（x，s）≡Z∞E-stg（x，t）dt（33），它有一个非常有趣的性质，即在s=0时对其进行评估，可以精确地得到被任何势垒捕获的概率。一些标准操作允许我们将后向方程转移到拉普拉斯域，从而获得sg（x，s）=uxG（x，s）+σxG（x，s）（34），边界条件为G（U，s）=G（L，s）=1（这意味着如果在任一障碍物上开始行走，除了立即吸收外，什么都没有）。然后我们将吸收的总概率除以g-（x，t）+g+（x，t），其中g±（x，t）表示上下势垒吸收的概率。相应地，该变量被拆分为G-（x，s）+G+（x，s），带边界条件G+（U，s）=G-（L，s）=1和G+（L，s）=G-（U，s）=0。

因此，方程（34）可以分别求解G+和G-.我们使用标准的ansatz G±=exp（θx），它将微分方程归结为θ的水龙代数方程，很容易求解，得到θ1,2=-u 然后用g±（x，s）=Keθx+Keθx（36）求解pu+2sσ∑（35）（34）以匹配边界条件。我们跳过细节来引用G+的表达式，根据我们之前的符号U=x+ L=x- δ、 把s=0，G+（x，0）=1-经验-2δ|u|σ1.-经验-2(δ+)|u|σ经验(u -|u|)σ（37）因此，这个量是在没有遇到下一个障碍物的情况下被上一个障碍物抓住的概率，即P（x+\\十、- δ） 我们一开始就介绍了。去算算吧→0G+（x，0）/（38）这很容易被发现是p（A\\B）=exp-σ·(|u| -u）+（|u|+u）exp-2δ|u|σ1.-经验-2δ|u|σ（39）在无漂移的情况下，这个表达式恰好简化为无害的公式（A\\B）=exp-δ. （40）这是我们在寻找从（1，0）到（1，1）的概率的表达式。同样的推理也适用于G-对于从（0，1）到（0，0）的转换，而其他转换现在是微不足道的。因此，双阈值系统的W可以写成asW=0 1 0 01 -经验-δ-δδ0经验-δ-δδ经验-δ-δδ0 0 1 - 经验-δ-δδ0 0 1 0（41）显然，在这种情况下，阈值的比率只起作用，而不是阈值本身。推导结果表明，超调的概率ω（δ；σ）达到长度δ- δ等于exp-δ-δδ, i、 e.P（ω（δ；σ）≥ δ- δ） =exp-δ- δδ（42）因此，我们得出结论，超调量长度呈指数分布。