模型不确定性与投资组合下的套利与对偶性

从Lemm a 2.1来看，存在Q~ R>> P，这样EQ|S |<∞和EQ[HS]≤ 0表示任何H∈ H3.多周期FTAP我们在本节推导了多周期FTAP，定理3.1是我们的主要结果。我们将把它简化为一步问题，并应用定理2.1.3.1。设置和主要结果。我们使用[5]中的设置。让我们∈ N成为时间的地平线，让Ohm 做一个波兰人的空间。对于t∈ {0，1，…，T}，让Ohmt:=Ohmt倍笛卡尔积，按照惯例Ohm她是单身汉。我们用ftb表示B的普遍完成(Ohmt） ，我们将经常请客Ohmtas是OhmT.每T∈ {0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、 我们给出了一个非空凸集Pt（ω） P(Ohm) 概率测度。这里，Pt代表第t周期的可能模型，给定时间t时的状态ω。我们假设，对于每个t，Ptis解析图为e，这通过扬科夫-冯-诺依曼定理（参见[4，P位置7.49]）确保Pt接受u.m.选民，即u.m.核Pt：OhmT→ P(Ohm) 使得Pt（ω）∈ 所有ω的Pt（ω）∈ Ohmt、 LetP:={P . . .  PT-1:Pt（·）∈ Pt（·），t=0，T- 1} ，其中每个PTI都是Pt的u.m.选择器 . . .  PT-1（A）=ZOhm. . .ZOhmA（ω，…，ωT）PT-1（ω，…，ωT）-1.dωT）。P（dω），A∈ OhmT.设St=（St，…，Sdt）：OhmT→ Rdbe Borel Measured，代表astock S在t时的价格，可以在市场上动态交易。每个t∈ {0，…，T-1} ω∈ Ohmt、 我们得到一个集Ht（ω） Rd，被认为是第t个周期的容许控制集，给定时间t的状态ω。我们假设对于每个t，图（Ht）是解析的，因此允许一个u.m.选择器；也就是说，Ft可测量函数Ht（·）：Ohmt7→ Rd，使得Ht（ω）∈ Ht（ω）。我们引入了一组可允许的投资组合控制H:H:=n（Ht）T-1t=0:Ht是Ht的u.m.选择器，t=0，T- 1o。那么对于任何H∈ H、 H是一个ad-ap-ted过程。

我们根据H.假设3.1做出以下假设。（i） 0∈ Ht（ω），对于ω∈ Ohmt、 t=0，T- 1.（ii）对于ω，CHt（ω）（Pt（ω））是闭的和凸的∈ Ohmt、 t=0，T- 1.（iii）集合ψHt:={（ω，Q）∈ Ohmt×P(Ohm) : 情商|St（ω，·）|<∞ 和EQ[ySt（ω，·）]≤ 0, Y∈ Ht（ω）}是解析的，对于t=0，T- 1.定义：={Q∈ P(OhmT） ：Q<< P、 情商[|圣| |英尺]<∞ Q-a.s.t=0，T- 1，H·S是一个Q-局部-超鞅H∈ H} 。（3.1）以下是本节的主要定理：定理3.1。在假设3.1下，NA（P）成立的当且仅当f或每个P∈ P、 这里有stsQ∈ Q支配P。为了不给读者带来更多的负担，我们倾向于在单周期模型和多周期模型中对概率测度集使用相同的符号P。我们将对本文后面出现的其他概率度量集以及可接受策略集进行同样的处理。3.2. 定理3.1的证明。我们将首先提供一些辅助结果。下面的引理本质上说，如果在T个周期内没有套利，那么在任何一个周期内都没有套利。它与[5，引理4.6]平行。我们的证据将主要集中在由于约束的存在而产生的差异上，我们在附录中给出了证据。引理3.1。勒特∈ {0，…，T- 1}. 那么setNt：={ω∈ Ohmt:NA（Pt（ω））失效}（3.2）是μm，如果假设3.1（i）和NA（P）保持不变，则Ntis P极性。下面的引理是定理2.1的一个可测版本。它与[5，引理4.8]平行。我们在附录中提供证据。引理3.2。勒特∈ {0，…，T- 1} ，设P（·）：Ohmt7→ P(Ohm) 做博雷尔，让Qt：OhmtP(Ohm),Qt（ω）：={Q∈ P(Ohm) : Q<< Pt（ω），EQ|St（ω，·）|<∞, 等式[y]St（ω，·）]≤ 0, Y∈ Ht（ω）}。如果假设3.1（ii）（iii）成立，那么QT有一个解析g图，并且存在u.m。

mappingsQ（·），^P（·）：OhmT→ P(Ohm) 这样的p（ω）<< Q（ω）<<^P（ω）表示所有ω∈ Ohmt、 ^P（ω）∈ Pt（ω）如果P（ω）∈ Pt（ω），Q（ω）∈ Qt（ω）如果NA（Pt（ω））保持，P（ω）∈ Pt（ω）。定理3.1的证明。使用引理3.1和d 3.2，我们可以执行Bouchard和Nutz在[5，定理4.5]的证明中使用的相同粘合参数，因此我们在这里省略它。3.3. 假设3.1（iii）的充分条件。根据[4，命题7.47]，映射（ω，Q）7→supy∈Ht（ω）EQ[ySt（ω，·）]是u.s.a.，这并不一定意味着ψh的解析性，因为解析集的completion可能无法解析。因此，我们为下面的假设3.1（iii）提供了一些充分条件。定义3.1。我们称之为Ht：OhmtRda Ht的拉伸，如果有ω∈ Ohmt、 CHt（ω）=CHt（ω）。很容易看出，对于Ht的任何拉伸，ψHt=ψHt={（ω，Q）∈ Ohmt×P(Ohm) : 情商|St（ω，·）|<∞, supy∈Ht（ω）yEQ[St（ω，·）]≤ 0}.因此，为了说明ψHt是解析的，必须说明存在Ht的拉伸，因此映射φHt：Ohmt×P(Ohm) 7.→ R*νHt（ω，Q）=supy∈Ht（ω）yEQ[St（ω，·）]（3.3）是J:={（ω，Q）上的l.s.a∈ Ohmt×P(Ohm) : 情商|St（ω，·）|<∞}.提议3.1。如果存在具有非空紧值的可测量（w.r.t.B（Rd））拉伸Htof Ht，则φHt是Borel可测量的，因此ψHt是Borel可测量的。证据结论直接来自[2，定理18.19]。提议3.2。如果存在一个图的拉伸，则满足（i）图（Ht）是Borel可测的，（ii）存在一个可数集（yn）n Rd，对于任何ω∈ Ohm坦迪∈ Ht（ω），存在（ynk）k （yn）n∩ Ht收敛到y，然后φHt是Borel可测量的，因此ψHt是Borel可测量的。证据定义函数φ：Rd×J 7→ R*,φ（y，ω，Q）=（yEQ）[St（ω，·）]如果y∈ Ht（ω），-∞ 否则通过单调类参数可以证明φ是Borel可测的。那么函数是φ：J 7→ R~n（ω，Q）=supnφ（yn，ω，Q）是Borel可测的。还有一点需要说明的是ψ=νHt。

很容易看出≥ Ht。相反，取（ω，Q）∈ J那么φ（yn，ω，Q）=ynEQ[S（ω，·）]≤ νHt（ω，Q）如果yn∈ Ht（ω）和φ（yn，ω，Q）=-∞ < νHt（ω，Q）如果yn/∈ Ht（ω）；i、 e.，φ（ω，Q）=supnφ（yn，ω，Q）≤ νHt（ω，Q）。例3.1。让美国在台协会，美国在台协会：Ohmt7→ R是可测量的，当ait<ait，i=1，d、 LetHt（ω）=dYi=1[ait（ω），ait（ω）]，ω∈ Ohmt、 那么，命题3.1和3.2都适用于Ht=Htand（yn）n=Qd。例3.2。设d=1，对于任何ω∈ Ohmt、 Ht（ω） (0, ∞). 我们假设图（Ht）是解析的，但不是Borel。那么HTC本身不满足第3.1或3.2条中的假设。现在让Ht（ω）=[1,2]，ω∈ Ohmt、 当Ht是Ht的延伸，Ht满足命题3.1和3.2中的假设，其中（yn）n=Q.4。一个时期内的超级套期保值4。1.设置和主要结果。我们使用第2节中的设置。设f为u.m.函数。定义超级套期保值损益πP（f）：=inf{x:H∈ H、 s.t.x+H·s≥ f、 P- q、 美国。我们还表示πP（f）=π{P}（f）。我们进一步假设：假设4.1。H（P）是凸闭的。备注4.1。很容易看出，如果H（P）是凸的，那么CH（P）是凸的。定义：={Q∈ P(Ohm) : Q<< P、 情商|S |<∞, AQ:=supH∈HEQ[HS] <∞}.以下是本节的主要结果。定理4.1。假设2.1（ii）和4.1以及NA（P）成立。那么πP（f）=supQ∈Q（等式[f]- AQ）。（4.1）此外，πP（f）>-∞ 而且还有H∈ 使得πP（f）+Hs≥ f P- q、 s..4.2。定理4.1的证明。我们首先提供两个引理。引理4.1。勒特纳（P）等一下。如果H（P）和CH（P）是闭合的，那么πP（f）=supP∈PπP（f）。证据很容易看出πP（f）≥ s upP∈PπP（f）。我们将证明逆不等式。如果πP（f）>supP∈PπP（f），则存在ε>0，因此α：=πP（f）∧ε- ε>支持∈PπP（f）。（4.2）引理2.2证明存在P′∈ P、 以至于⊥（P′）=N⊥（P） NA（P′）成立。此外，我们还有setAα：={H∈ H（P）：α+Hs≥ f、 P′\'- a、 美国很紧凑。

为了证明这一说法，采取（Hn）n Aα。如果（Hn）没有界，则w.l.o.g.weassume 0<| | Hn |→ ∞; 然后是α| | Hn | |+Hn |Hn||s≥f | | Hn | |。（4.3）由于CH（P）是闭合的，因此存在一些H∈ CH（P）=CH（P′）和| | H | | | | 1使得Hnk/| | Hnk |→H.沿着（nk）k取极限，我们有Hs≥ 0p′-a.s.NA（P′）意味着HS=0 P′-a.S.So H∈ CH（P′）∩ N（P′）=0，这与| | H | |=1相矛盾。因此（Hn）是有界的，并且存在H′∈ Rd，这样（Hnj）j→ H′\'。因为H（P）是封闭的，所以H′是封闭的∈ H（P），这进一步意味着∈ Aα。不管怎样∈ Aα，由于α<πP（f）乘以（4.2），因此存在PH∈ P使得ph（α+HS<f）>0。进一步证明了存在δH>0，因此对于任何H′∈ B（H，δH），PH（α+H′）S<f）>0。从Aα开始 ∪H∈AαB（H，δH）和Aα是紧的，存在（Hi）ni=1 Aα，这样Aα∪ni=1B（Hi，δHi）。LetP′：=nXi=1aiPHi+aP′的∈ P、 其中Pni=0ai=1且ai>0，i=0，n、 那么很容易看出，对于任何H∈ H（P）=H（P′）=H（P′），P′（α+H）S<f）>0，这意味着α≤ πP′（f）≤ 晚餐∈PπP（f），与（4.2）相矛盾。引理4.2。勒特纳（P）等一下。如果H（P）和CH（P）是闭合的，那么setK（P）：={Hs- X:H∈ H、 X∈ L+（P）}（4.4）是P- q、 美国关门了。证据设Wn=Hns- Xn∈ K（P）→ W P- q、 w.l.o.g.Hn所在的美国∈ H（P）和Xn∈L+（P），n=1，2。如果（Hn）没有界，那么在不丧失一般性的情况下，0<| | Hn |→ ∞.考虑因素n | | Hn | |=Hn | | Hn||s-Xn | | Hn | |。（4.5）当（Hn/| | Hn | | |）是有界的时，存在一些子序列（Hnk/| | | Hnk | | |）k向某个方向移动∈ Rdwith | | H | |=1。取（4.5）中的极限，沿着（nk）k，我们得到Hs≥ 0便士- q、 s。。因为（Hnk/| | Hnk | |）k∈ CH（P）和CH（P）是闭合的，H∈ CH（P）。因此HS=0 P- q、 拜纳（P）。然后H∈ 总经理（P）∩ N（P）={0}，这与| | H | |=1相矛盾。因此，（Hn）是有界的，并且存在一些子空间（Hnj）jconverting to someH′∈ 因为H（P）是闭合的，所以H′∈ H（P）。设X:=H′s-W∈ L+（P），那么W=H′s-十、∈K（P）。

定理4.1的证明。我们首先证明πP（f）>-∞ 存在最优超套期保值策略。如果πP（f）=∞ 那我们就完了。如果πP（f）=-∞, 那么对于任何n∈ N、 存在Hn∈ 许志丹s≥ f+n≥ （f+n）∧ 1，P- q、 s。根据引理4.2，存在一些H∈ H以至于s≥ 1便士- q、 美国，我的合同不适用（P）。如果πP（f）∈ (-∞, ∞), 那么对于任何n∈ N、 存在一些Hn∈ H、 因此πP（f）+1/n+~Hns≥f、 Lemm a 4.2 im表示存在一些H∈ H、 使得πP（f）+Hs≥ F通过引理4.1，πP（f）=supP∈PπP（f）=supQ∈QπQ（f）=supQ∈QsupQ′∈Q、 Q′~Q（EQ′[f]- AQ′）≤ supQ∈Q（等式[f]- AQ]），（4.6），其中我们将定理2.1应用于第二等式，并将[8，命题9.23]应用于第三等式。反之，如果πP（f）=∞, 那我们就完了。否则，设x>πP（f），则存在H∈ H、 这样x+Hs≥ f P- q、 s。。然后是f或任意Q∈ Q、 x≥ 等式[f]- 等式[H]S]≥ 等式[f]- AQ。通过x和Q的任意性，我们得到了πP（f）≥ supQ∈Q（等式[f]- AQ），与（4.6）一起表示（4.1）。5.多个周期的可选分解5。1.设置和主要结果。我们使用第3节中的设置。此外，让f：OhmT7→R为美国。我们进一步假设：假设5.1。（i） 对于t∈ {0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、 （Ht（ω））（Pt（ω））是凸的且c是闭的；（ii）在（ω，Q）处的映射：Ohmt×P(Ohm) 7.→ R*,At（ω，Q）=supy∈Ht（ω）yEQ[St（ω，·）]是集合{（ω，Q）：EQ上的l.s.a|St（ω，·）|<∞}.备注5.1。观察假设3.1中定义的ψHt满足ψHt={（ω，Q）∈ Ohmt×P(Ohm) : 情商|St（ω，·）|<∞, At（ω，Q）≤ 0}. （5.1）因此，假设5.1（ii）意味着假设3.1（iii）。备注5.2。如果提案3.1或3.2在Ht=Ht的情况下成立，那么由于At=аHt（аHt在（3.3）中定义），假设5.1（ii）成立。参见示例3.1，了解适用的情况。任何问题∈ P(OhmT） ，有Borel内核：Ohmt7→ P(Ohm) 这样Q=Q . . .

QT-1.对于EQ[|圣| |英尺]<∞ Q-a.s.，定义AQt（·）：=At（·，Qt（·））对于t=0，T- 1，且bqt：=t-1Xi=0AQi，t=1，并设置BQ=0。LetQ:={Q∈ P(OhmT） ：Q<< P、 情商[|圣| |英尺]<∞ 所有t和BQT的Q-a.s.<∞ 答：}。那么，不难看出Q Q、 当eq在（3.1）中定义时。如果每个t∈{0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、 Ht（ω）是一个凸锥，那么Q=Q。下面是本节的主要结果。定理5.1。假设3.1和5.1以及NA（P）保持不变。假设V是一个经过调整的过程，使得vt是t=1的u.s.a，T那么以下是等价的：（i）V- bq是每个Q的Q-局部超鞅∈ Q.（ii）存在H∈ H和一个C=0的自适应递增过程C，使得VT=V+（H·S）t- Ct，P- q、 一个严格的论点如下。设Q=Q . . .  QT-1.∈ Q、 其中QT是Borel核，0≤ T≤ T- 1.可以用单调类变元表示映射（ω，y，Q′）7→ 是的[S（ω，·）]是（ω，y，Q′）的Borel可测∈ Ohmt×Rd×P(Ohm). 映射（ω，y）7→ yEQt（ω）[S（ω，·）]是（ω，y）的Borel可测值∈ Ohmt×Rd.由于图（Ht）是解析的，根据[4，命题7.50]，存在一个u.m.选择器Hnt（·）∈ Ht（·），比如aqt（ω）∧ N- 1/n≤ Hnt（ω）EQt（ω）[St（ω，·）]≤ 0，对于Q-a.s.ω∈ Ohmt、 其中第二个不等式来自Hn·S的局部上鞅性质，其中Hn=（0，…，0，Hnt，0…，0）∈ H.发送→ ∞ 我们得到了AQt≤ 0 Q-a.s.对于t=0，T- 1，因此Q∈ 问题5.2。定理5.1的证明。我们首先提供三个引理来证明定理5.1。Weshall证明了附录中的引理5.1和5.3。引理5.1。Le t假设5.1（i）保持，并定义Qt：OhmtP(Ohm) byQt（ω）：={Q∈ P(Ohm) : Q<< Pt（ω），EQ|St（ω，·）|<∞, At（ω，Q）<∞}. （5.2）那么QT有一个解析图。下面的引理是定理4.1的可测版本，与[5，引理4.10]平行。

给定定理4.1，这个引理的证明完全遵循[5，引理4.10]的论点，因此我们在这里省略它。引理5.2。Le t NA（P）和假设5.1成立，让t∈ {0，…，T-1} 和^f：Ohmt×Ohm 7.→ R*是美国。。ThenEt（^f）：Ohmt7→ R*, Et（^f）（ω）：=supQ∈Qt（ω）（等式[^f（ω，·）]- At（ω，Q））是美国。。此外，还存在一个u.m.函数y（·）：Ohmt7→ RDY（·）∈ Ht（·），例如et（^f）（ω）+y（ω）St（ω，·）≥^f（ω，·）Pt（ω）- q、 s.所有ω∈ OhmNA（Pt（ω））持有的tsuch和^f（ω，·）>-∞ Pt（ω）- q、 s。。引理5.3。假设3.1和5.1以及NA（P）保持不变。回顾（5.2）中定义的QT。我们有这个问题=Q . . .  QT-1:Qt（·）是Qt的u.m.选择器，t=0，T- 1..定理5.1的证明。（二）==> （i） ：对于任何问题∈ Q、 Vt+1=Vt+Ht圣- （CQt+1）- CQt）≤ Vt+Ht圣，Q-a.s。。因此，等式[Vt+1 | Ft]≤ Vt+HtEQ[圣|英尺]≤ Vt+AQt=Vt+BQt+1- BQt，即等式[Vt+1- BQt+1 |英尺]≤ 及物动词- BQt。（一）==> （ii）：我们将首先展示thatEt（Vt+1）≤ Vt，P- q、 s.（5.3）设q=q . . .  QT-1.∈ Q和ε>0。映射（ω，Q）→ 等式[Vt+1（ω，·）]- 在（ω，Q）isu。s、 答：图（Qt）是解析的。因此，根据[4，命题7.50]，存在一个u.m.选择器qεt：Ohmt7→ P(Ohm), 使得Qεt（·）∈ 在{Qt6=} （其补码是Q-零集），andEQεt（·）[Vt+1]- 在（·，Qεt（·））≥ Et（Vt+1）∧ε- ε、 Q-a.s.defineQ′=Q . . .  Qt-1. Qεt Qt+1 QT-1.然后是Q′∈ 引理5.3。因此，EQ′[Vt+1- BQ′t+1 |英尺]≤ 及物动词- Q′t，Q′-a.s.注意到Q=Q′开启Ohmt、 我们有≥ 等式′[Vt+1|Ft]- AQ′t=EQεt（·）[Vt+1]- 在（·，Qεt（·））≥ Et（Vt+1）∧ε- ε、 问题a.s。。根据ε和Q的任意性，我们得到了（5.3）个等式。根据引理5.2，存在一个u.m.函数Ht：Ohmt7→ rdet（Vt+1）（ω）+Ht（ω）St+1（ω，·）≥ Vt+1（ω，·）Pt（ω）- q、 ω的s∈ Ohmt\\n。富宾定理和（5.3）重要的vt+Ht圣≥ Vt+1P- q、 s。。最后，通过定义Ct:=V+（H·S）t- 结论如下。6.在多个周期内对冲欧洲和美国期权6。1.

对冲欧洲期权。让f：OhmT7→ R是美国的一项职能，代表欧洲期权的支付效果。定义超级套期保值价格π（f）：=inf{x:H∈ H、 s.t.x+（H·s）t≥ f、 P- q、 美国。定理6.1。假设3.1和5.1以及NA（P）保持不变。然后，超级套期保值价格由π（f）=supQ给出∈Q等式[f]- EQ[BQT]. （6.1）此外，π（f）>- ∞ 还有xi sts H∈ H、 使得π（f）+（H·S）T≥ f P- q、 s。。证据很容易看出π（f）≥ supQ∈Q（等式[f]- EQ[BQT]）。我们将展示反向不等式。定义VT=f和VT=Et（VT+1），t=0，T- 1.然后Vtis u.s.a.用引理5.2表示t=1，T很容易看出这一点- BQt）这是每个Q的Q-局部超鞅∈ 根据定理5.1，存在H∈ H、 这样v+（H·S）T≥ VT=f，P- q、 s.V≥ π（f）。这仍然需要证明V≤ supQ∈Q等式[f]- EQ[BQT]. （6.2）首先假设f从上方有界。然后通过[4，命题7.50]，引理5.1和引理5.2，我们可以选择一个u.m。ε优化器Qεt用于每个时间段。定义Qε：=Qε . . .  QεT-1.∈ Q、 V=Eo . . . o ET-1（f）≤ 等式ε[f- BQεT]+Tε≤ supQ∈QEQ[f- BQT]+Tε，这意味着（6.2）。一般来说，f是任何u.s.a.函数。然后我们有了o . . . o ET-1（f）∧ n）≤ supQ∈Q等式[f]∧ n]- EQ[BQT].显然，上面右手边的极限是su pQ∈Q等式[f]- EQ[BQT]. 得出结论，左手边的极限是Eo. . . o ET-1（f），必须显示任何t的∈ {0，…，T- 1} 和Ft+1-可测函数vnv，γ：=supnEt（vn）=Et（v），P- q、 s。。的确，对于ω∈ Ohmt\\Nt，根据定理4.1 vn（ω）- γ(ω) ∈ K（P（ω）），其中n和K（·）分别定义在（3.2）和（4.4）中。因为K（P（ω））被引理4.2封闭，所以v（ω）- γ(ω) ∈ K（P（ω）），这意味着γ（ω）≥ Et（v）（ω）根据定理4.1。最后，使用反向导入，我们可以显示Vt>-∞ P- q、 s.，t=0，T- 1.根据Emma 3.1和定理4.1。特别地，π（f）=V>-∞.

推论6.1。假设5.1和NA（P）成立。假设对于任何t∈ {0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、 Ht（ω）是一个包含原点的凸锥。那么π（f）=supQ∈QEQ[f]。证据这是从（5.1）得出的，对于任何Q，Q=Q和BQT=0∈ Q6.2. 对冲美国期权。在这一小节中，我们考虑了美国选项的ub和super-hed价格。[3]中分析了相同的问题，但没有投资组合约束。这里的分析基本上是一样的，所以我们只提供结果和他们的主要想法。有关更多详细信息和讨论，请参见[3]。对于t∈ {0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、 定义（ω）：={Qt（ω） . . .  QT-1（ω，·）：Qi是Qi的u.m.选择器，i=t，T- 1}.特别是Q=Q。假设图（Qt）是解析的。设T为原始过滤（B）的停止时间集(Ohmt） ）t，让Tt T是一组不少于T的停车时间。让f=（ft）T为美式期权的收益。假设英国《金融时报》∈ B(Ohmt） ，t=1，T和fτ∈ 任意τ的L（Q）∈ T和Q∈ Q.确定次级套期保值价格：π（f）：=sup{x:（H，τ）∈ H×T，s.T.fτ+（H·s）τ≥ x、 P- q、 超级套期保值价格：π（f）：=inf{x:H∈ H、 s.t.x+（H·s）τ≥ fτ，P- q、 s。，τ ∈ T}。提议6.1。（i） 次级套期保值价格由π（f）=supτ给出∈TinfQ∈QEQ[fτ+BQT]。（6.3）（ii）对于t∈ {1，…，T- 1} ，假设映射φt：Ohmt×P(OhmT-t） 七,→ R*, φt（ω，Q）=supτ∈TtEQ“fτ（ω，·）-τ -1Xi=tAQi（ω，·）#是u.s.a.那么π（f）=supτ∈TsupQ∈QEQ[fτ- BQτ]，（6.4），存在H∈ H、 使得π（f）+（H·S）τ≥ fτ，P- q、 s。，τ ∈ T证据（i） 我们首先证明π（f）=sup{x：（H，τ）∈ H×T，s.T.fτ+（H·s）T≥ x、 P- q、 s.}=：β。对于任何x<π（f），都存在（H，τ）∈ H×T，使得fτ+（H·S）τ≥ x P- q、 s。。定义：=（Ht{t<τ}）t.对于t=0。