模型不确定性与投资组合下的套利与对偶性

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英文标题：
《On Arbitrage and Duality under Model Uncertainty and Portfolio
  Constraints》
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作者：
Erhan Bayraktar and Zhou Zhou
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider the fundamental theorem of asset pricing (FTAP) and hedging prices of options under non-dominated model uncertainty and portfolio constrains in discrete time. We first show that no arbitrage holds if and only if there exists some family of probability measures such that any admissible portfolio value process is a local super-martingale under these measures. We also get the non-dominated optional decomposition with constraints. From this decomposition, we get duality of the super-hedging prices of European options, as well as the sub- and super-hedging prices of American options. Finally, we get the FTAP and duality of super-hedging prices in a market where stocks are traded dynamically and options are traded statically.
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中文摘要：
我们研究了离散时间非支配模型不确定性和投资组合约束下的资产定价（FTAP）基本定理和期权套期保值价格。我们首先证明了无套利成立的充要条件是存在一些概率测度族，使得在这些测度下，任何可容许的投资组合价值过程都是局部超鞅。我们还得到了带约束的非支配可选分解。通过这种分解，我们得到了欧式期权的超级套期保值价格的对偶性，以及美式期权的次级和超级套期保值价格。最后，我们得到了在股票动态交易和期权静态交易的市场中，超套期保值价格的FTAP和对偶性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> On_Arbitrage_and_Duality_under_Model_Uncertainty_and_Portfolio_Constraints.pdf (295.6 KB)

2022-5-5 18:27:00 上传

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关键词：投资组合 不确定性 不确定 确定性 Applications

关于模型不确定性和投资组合约束下的套利和对偶问题。我们研究了资产定价基本定理（FTAP）和离散时间内非支配模型不确定性和投资组合约束下的期权套期保值价格。我们首先证明了无套利成立的充要条件是存在一些概率测度族，如在这些测度下，任何可容许的投资组合价值过程都是局部超鞅。我们还得到了带约束的非支配可选分解。通过这种分解，我们得到了欧式期权超边际价格的对偶性，以及美式期权的次边际价格和超边际价格的对偶性。最后，我们得到了在股票动态交易和期权静态交易的市场中，FTAP和超高价格的对偶性。1.引言我们考虑了[5]的非支配模型确定性框架下的基金资产定价基本定理（FTAP）和欧式和美式期权的套期保值价格，该框架具有离散时间的凸闭投资组合约束。我们首先证明了准确定意义下的无套利等价于一组概率测度的存在；在这些度量下，任何可能的投资组合价值过程都是局部超鞅。然后，我们得到了在投资组合约束下的可选分解的非支配形式。从这个可选分解中，我们得到了欧式和美式期权的超低价和次低价的对偶性。我们还证明了最优超级套期保值策略的存在。

最后，利用半静态交易策略（即动态股票交易策略和静态期权交易策略），将d期权引入市场，得到了欧洲期权的FTAP和超套期保值价格的性质。我们的结果将[8，9]中的结果推广到非支配模型不确定性设置，并将[5]中的结果推广到涉及投资组合约束的情况。这些结论足够笼统，足以涵盖许多有所谓delta约束的有趣模型；例如，不允许做空股票，或某些股票在特定时间进入或离开市场。与[8，第9节]相比，我们的设置中的主要困难在于，概率度量集不接受支配性度量。我们使用[5]中开发的可测量选择机制来克服这一困难，即，首先在一个周期内建立FTAP和超边缘结果，然后“可测量”地将所有周期粘合在一起，以获得多个周期版本。因此，获得单周期结果至关重要。在[5]中，引理3。3作为一个基本工具，在一个时期模型、关键词和短语中显示FTAP和超级套期保值结果。资产定价基本定理，次（超）套期保值，模型不确定性，组合约束，可选分解。本版本：2015年1月12日；第一版：2014年2月11日。这项研究部分由国家科学基金会DMS-0955463资助。其证明依赖于对股票数量的归纳和分离超平面的论证。而在我们的设置中，归纳论证和分离论证都不适用于约束的存在。在本文中，我们使用有限覆盖参数来克服约束带来的困难。

与[5]的另一个主要区别是证明了在多个周期中存在最优超h边策略，这是定理2.2的直接结果。定理2.2证明中的一个关键步骤是将交易策略修改为“排名”较少但仍给出相同投资组合价值的策略。然而，这种方法在我们的设置中不起作用，因为由于投资组合的限制，修改可能不再被接受。在本文中，我们首先找到期权的最优静态交易策略，然后通过带约束的可选分解找到股票的最优动态交易策略。可选分解也有助于我们得到美式期权的对偶结果。我们在[5]的无套利框架内工作，在该框架中，当存在一个交易策略，其收益在可接受的测度下是准肯定非负且严格正概率的，则称为套利。在这个框架中，我们给出了一个模型，非支配的概率测度集来自于对模型参数的估计。由于对参数的置信区间进行估计，我们最终得到了一组非支配概率测度。还有另一个无套利框架是由Acciaio等人[1]提出的。在这个框架下，如果交易的收益在所有情况下都严格为正，就称为套利。在[1]的框架下，模型的不确定性实际上是模型本身的一部分，该模型的用户对其估计p参数的能力没有信心。

[1]的框架和[5]的框架之间的选择是一个建模问题。我们的假设主要包括两部分：（1）相关控制集的闭性和凸性（见假设2.1、3.1、4.1和5.1），以及d（2）一些可测量性假设（见第3.1节的设置和假设3.1和5.1）。第一部分几乎是必要的（参见示例2.2），并且在许多有趣的情况下可以轻松验证（参见示例2.1）。第二部分是对一些相关集合的分析，我们这样做是为了应用可测量的选择结果并执行动态p程序设计原则类型参数。分析性（这是一个比Borel可测性更普遍的可测性概念，因此每个Borel集都是分析性的）是一个基本假设，一个人可以有一个动态规划原理，这又回到了Black well。关于测量理论的标准教科书涵盖了这些概念，参见例[6]。参见[4]了解随机控制理论的应用和其中的参考文献。在第3.3节中，我们为假设3提供了一些通用且易于验证的充分条件。1（iii）和5.1（ii），以及示例3.1和3.2。本文的其余部分组织如下：我们在第2节和第3节分别展示了一个时期和多个时期的FTAP。在第四节中，我们得到了一个时期内的超级套期保值结果。在第5节中，我们提供了具有多阶段约束的非支配可选分解。然后，我们从超高阶和美式期权的多个阶段开始分析。在第7节中，我们将期权加入到市场中，并使用多个时期的半静态交易策略研究FTAP和超级套期保值。

最后在附录中，我们给出了引理3.1、3.2、5.1和5.3的证明；这些校样有很多技术细节，可以在一读时安全地跳过。我们将在本节的其余部分介绍本文中常用的符号和概念。1.1. 常用的符号和概念P(Ohm) 表示上所有概率度量的集合(Ohm, B(Ohm)), 哪里Ohm 是一些抛光面，B(Ohm) 表示其Borelσ-代数。P(Ohm) 被赋予了武器会聚的拓扑结构St（ω，·）=St+1（ω，·）- St（ω），ω∈ Ohmt:=Ohmt（t次笛卡尔积）Ohm). 我们可以简单地写当只有一个周期（即t=0）时让P P(Ohmt） 。A属性h变为P- q、 s.如果一个d只有当它对任何P持有P-a.s∈ A组∈ Ohm这是P极性if supP∈PP（A）=0.o让P P(Ohm). 支持(S） 定义为最小闭子集A 因此s∈ A P- q、 s。。定义n（P）：={H∈ Rd:HS=0，P- q、 s.}和N⊥（P） ：=span（支持）(S） ) 第三大道⊥（P） =（N（P））⊥通过[9，引理2.6]。表示N（P）=N（{P}）和N⊥（P）=N⊥（{P}）。o对于H Rd，H（P）：={H:H∈ 普鲁恩⊥（P） （H）}。表示H（P）=H（{P}）。o对于H Rd，CH（P）：={CH:H∈ H（P），c≥ 0}. 表示CH（P）=CH（{P}）。oCH:={CH∈ Rd:H∈ H、 c≥ 0}，其中H 道路o（H·S）t=Pt-1i=0Hi（Si+1- 是的R*:= [-∞, ∞].o || · || 代表欧盟客户标准。oEP | X |：=EP |X+|- EP | X-|, 按照惯例∞ - ∞ = -∞. 同样，条件预期也是在这个扩展意义上定义的（X）是拓扑空间上的随机变量≥ 0便士-q、 L（P）是随机变量X的空间∈政治公众人物∞.表示L+（P）=L+（{P}），和L（P）=L（{P}）。类似的定义适用于L、L+和L∞.

当没有歧义时，我们有时会在L+、L等中省略P或P我们说NA（P）成立，如果有H的话∈ H（H·S）T≥ 0，P- q、 然后（H·s）T=0，P- q、 其中H是股票交易策略的可容许控制集。表示NA（P）f或NA（{P}）。o我们写Q<< P、 如果存在P∈ P使得Q<< P.o设（X，G）为可测空间，Y为拓扑空间。从X到Y的幂集的映射Φ用Φ：XY表示。如果{x，我们说Φ是可测量的（分别是可测量的）∈ X：Φ（X）∩ A 6=} ∈ G 封闭（分别为Borel可测量）A Y.（1.1）Φ是闭合的（分别是紧致的），如果Φ（x）为 对于所有x，Y是闭合的（分别是紧凑的）∈ X.我们参考[2，第18章]了解这些概念一组随机变量A是P- q、 如果（an）n.关闭 A收敛到某个P- q、 美国意味着∈ A.o对于Φ：XY，Gr（Φ）：={（X，Y）∈ X×Y:Y∈ Φ（x）}设X为波兰空间。一套 X是解析的，如果它是Borel可测映射下其他波兰空间的Borel子集的图像。函数f:x7→ R*如果集合{f>c}（resp.{f<c}）是解析的，则为上（resp.下）半解析的。“u.s.a.”（resp.“l.s.a.”）是upper（r尤其是lower）半分析的缩写设X为波兰空间。σ-代数∩P∈P（X）B（X）Pis称为B（X）的泛完备，其中B（X）Pis是B（X）的P-完备。一套 X是普遍可测量的ifA∈ ∩P∈P（X）B（X）P.如果f∈ ∩P∈P（X）B（X）P.“u.m.”是“普遍可测量”的缩写设X和Y是一些Borel sp aces和U:XY。那么u是u的u.m.选择器，如果u:x7→ Y就是你。M和u（·）∈ 在{u6=}.2.一个周期的FTAP我们在本节推导了一个周期的FTAP模型。定理2.1是本节的主要结果。2.1. 设置和主要结果。

设P是波兰空间上的一组P概率测度Ohm, 假设它是凸的。让我们∈ Rdbe为初始股价，Borel可测量值：Ohm 7.→ Rdbe是t=1时的股价。标志S=S- 让H RDB应该是一套允许的交易策略。我们假设H满足以下条件：假设2.1。CH（P）是（i）凸的，（ii）闭的。例2.1。设H：=Qdi=1[ai，ai]对于某些ai，ai∈ 与人工智能≤哎，我=1，d、 对于任何P P(Ohm). 的确，H RDI是一个有界闭凸集，有无数个顶点，H（P）也是如此。因此，生成的锥CH（P）是凸的和闭合的。定义：={Q∈ P(Ohm) : Q<< P、 情商|S|<∞ 和EQ[HS]≤ 0, H∈ H} 。以下是本节的主要结果：定理2.1。让假设2.1保持不变。那么NA（P）成立的充要条件是∈ P、 存在问题∈ Q占主导地位，第2.2页。定理2.1的证明。让我们首先证明下面的引理，这是定理2.1的简化版本，当P由一个单一概率测度组成时。引理2.1。让P∈ P(Ohm) 假设2.1水资源信托基金持有。那么NA（P）成立，如果且只有i f存在Q~ P，这样EQ|S|<∞ 和EQ[HS]≤ 0，对于任何H∈ H.证据。效率是显而易见的。我们将分两步来证明这一必要性。我们假设|S |<∞ （参见[5，引理3.2]）。第一步：在这一步中，我们将展示K- L+在L中是封闭的，其中K:={HS:H∈ CH（P）}。设Xn=Hns- YnP→ 十、 在哪里∈ CH（P）和Yn≥ 0.假设不丧失一般性→ 十、 P-a.s。。如果（Hn）没有界，那么让0<| | Hnk |→ ∞ 而且我们有Hnk | | Hnk||S=Xnk | | Hnk | |+Ynk | Hnk||≥Xnk | | Hnk | |。沿着另一个子序列两边取极限，我们得到Hs≥ 0个P-a.s.有些人∈ Rdwith | | H | |=1。由于CH（P）是闭合的，Hs∈ CH（P）。由NA（P），HS=0 P-a.S.，而H∈ N（P）∩ N⊥（P）={0}。这与| | H | |=1相矛盾。

因此，（Hn）是有界的，并且存在一个子序列（Hnj）j收敛于某个H′∈ CH（P）。然后呢≤ Ynj=Hnjs- Xnj→ H′s- X=：Y，P-a.s。。那么X=H′s- Y∈ K- L+。第二步：从第一步，我们知道K′：=（K- L+）∩ L中的一个封闭凸锥，包含-L∞+. 也由NA（P），K′引起∩ L+={0}。然后Kreps-Yan定理（参见[8，Theorem1.61]）暗示了Q的存在~ P与dQ/dP∈ L∞+（P），使得等式[H]S]≤ 0代表anyH∈ H备注2.1。[8，第9章]分析了单一概率测度约束下的FTAP。然而，尽管这个想法很有见地，但结果并不正确：我们需要的是生成的锥CH（P）的封闭性，而不是H（P）的封闭性。（从这个意义上讲，我们的结果不同于[7]；在[7]中，重要的是相应投影的接近性。）下面是[8，定理9.9]的反例。例2.2。考虑单周期模型：有两个股票，路径空间为{（1，1）}×{（s，0）：s∈ [1, 2]}; letH:={（h，h）：h+（h）- 1)≤ 1}.成为一套可接受的交易策略；设P是在[1,2]上均匀分布的路径空间上的概率测度。很容易看出，NA（P）成立，d H满足[8，第350页]中的假设（a）、（b）和（c）。L et H=（H，H）使HS=0，P-a.S.然后h（S-1） =h，P-a.s.，这意味着h=h=0。根据[8，备注9.1]，H也满足了[8，第350页]中的假设（d）。假设[8，定理9.9]成立，那么存在Q~ P，使得eq[HS]≤ 0, H∈ H.（2.1）自Q~ P、 情商- 1) > 0. 拿（h，h）∈ H，H>0，H/H<EQ（S- 1). 然后呢- 1) - h> 0，这与（2.1）相矛盾。在f act中，不难看出，在这个例子中，CH（P）={（h，h）：h>0或h=h=0}不是闭合的。引理2.2。假设2.1（i）成立。然后存在P′∈ P、 以至于⊥（P′）=N⊥（P） NA（P′）成立。证据

表示H:={H∈ CH（P）：|H | |=1}。不管怎样∈ H N⊥（P） ，由NA（P）可知，存在SPH∈ P、 使PH（HS<0）>0。可以进一步说明，存在εH>0，因此对于任何H′∈ B（H，εH），PH（H′）S<0）>0，（2.2），其中B（H，εH）：={H′∈ Rd:| | H\'\'- H | |<εH}。结果表明，存在一些δ>0，使得pH（HS<-δ) > 0. 当存在一些M>0时，PH（HS<-δ, ||S | |<M）>0。取εH:=δ/M，我们对任何H′都有∈ B（H，εH），PH（H′）S<0||S | |<M）>0，而黑猩猩（2.2）。因为 ∪H∈HB（H，εH）和H是紧的，从假设2.1来看，存在H的有限覆盖，即H ∪ni=1B（Hi，εHi）。设P′=Pni=1aiPHi，其中Pni=1ai=1，ai>0，i=1，n、 然后是P′∈ P、 和P′（H对于任何H，S<0）>0∈ H.显然，N⊥（P′） N⊥（P） 。I f N⊥（P′）=N⊥（P） ，然后让P′=P′。否则，以H为例∈N⊥（P）∩ N（P′）。然后就有了R∈ P、 使得R（H）s6=0）>0。设R′=（P′+R）/2。然后是P′<< R′∈ P、 因此N⊥（R′） N⊥（P′）。自从H∈ N（P′）\\N（R′），我们有⊥（R′）%N⊥（P′）。如果N⊥（R′）$N⊥（P） ，然后我们可以类似地构造R′∈ P、 就这样>> R′和N⊥（R′）%N⊥（R′）。自从⊥（P） 是一个有限维向量空间，经过这些步骤，我们可以找到这样的P′∈ P支配P′和N⊥（P′）=N⊥（P） 。不管怎样∈ H、 P′（H）自P′起S<0）>0>> P′。NA（P′）持有的这个小鬼谎言。定理2.1的证明。效率。如果没有，就存在H∈ H和P∈ P、 那么s≥0，P- a、 s.和P（H）S>0）>0。以Q为例∈ Q和Q>> P然后EQ[HS]≤ 0，这与H相矛盾s≥ 0 Q- a、 s.和Q（H）S>0）>0。必然性以P为例∈ 通过引理2.2，存在P′∈ P以至于N⊥（P′）=N⊥（P） 安德娜（P′）坚持。设R:=（P+P′）/2∈ P.然后N⊥（R） =N⊥（P′）=N⊥（P） ，因此CH（R）=CH（P），它是凸的，根据假设2.1是封闭的。此外，NA（P′）意味着对于anyH∈ CH（R）\\{0}=CH（P′）\\{0}，P′（H）S<0）>0，因此R（H自R起S<0）>0>> P′\'。这表明NA（R）成立。