模型不确定性与投资组合下的套利与对偶性

T- 1，因为{t<τ}∈ B(Ohmt） ，H′t（·）是u.m。；此外，H′t（·）等于Ht（·）∈ Ht（·）或0∈ Ht（·）。因此H′∈ H.然后fτ+（H′·S）T=fτ+（H·S）τ≥ x P- q、 s，这意味着x≤ β、 因此π（f）≤ β.相反，对于x<β，存在（H，τ）∈ H×T，使得fτ+（H·S）T≥ x P- q、 那么我们也有fτ+（H·s）τ≥ x P- q、 s。。为了了解这一点，让我们定义D:={fτ+（H·S）τ<x}和H′：=（Ht{t≥τ}∩D） t∈ 我们得到（H′·S）T=[（H·S）T- （H·S）τ]1D≥ 0便士- q、 s.，和（H′·s）T>0p- q、 在D.NA（P）上的s意味着D是P极的。因此x≤ π（f），因此是β≤ π（f）。可以看出π（f）=β=supτ∈Tsup{x:H∈ H:fτ+（H·S）T≥ x、 P- q、 s.}=su pτ∈TinfQ∈QEQ[fτ+BQT]，其中我们对上述最后一个等式应用定理6.1。（ii）定义：Ohmt7→ R*, Vt=supQ∈Qtsupτ∈TtEQ“fτ（ω，·）-τ -1Xi=tAQi（ω，·）#。可在Vtis u.s.a.显示t=1，T和（Vt）- BQt）这是eachQ的超级艺术风∈ Q.根据定理5.1，存在H∈ H使得v+（H·S）τ≥ fτ，P- q、 s。，τ ∈ T因此，supτ∈TsupQ∈QEQ[fτ- BQτ]=V≤π（f）。相反的不平等很容易看到。备注6.1。在（6.3）和（6.4）中，惩罚术语分别为BQ和BQτ。事实上，与上面（i）中的论点类似，我们可以证明^π（f）：=inf{x：τ ∈ TH∈ H，s.t.x+（H·s）τ≥ fτ，P- q、 s.}=supτ∈Tinf{x:H∈ H、 s.t.x+（H·s）τ≥ fτ，P- q、 s.}=supτ∈Tinf{x:H∈ H、 s.t.x+（H·s）t≥ fτ，P- q、 s.}（6.5）=supτ∈TsupQ∈QEQ[fτ- 虽然提前知道π和π并不意味着提前知道π。^π（f）在数学上和财务上都是有意义的≤ π（f）。然而，有趣的是，当bq消失时（例如，当Ht（·）是一个圆锥体时），那么^π（f）=π（f）。

FTAP和带期权的多期超级套期保值让我们使用第3节中的设置。另外，设g=（g，…，ge）：OhmT7→ Rebe Borelmeasureable，每个GI都被视为一个期权，在t=0时，ich可以且只能在没有限制的情况下进行交易。在不丧失普遍性的情况下，我们假设每个选项的价格为0。在本节中，我们说NA（P）golds if for any（H，H）∈ H×Re，（H·S）T+hg≥ 0便士- q、 美国==> （H·S）T+hg=0 P- q、 s。。显然，NA（P）是NA（P）的结合体。定义7.1。f:OhmT7→ 如果存在x，R是可复制的（通过股票和期权）∈ R、 h∈雷恩·H∈ H、 x+（H·S）T+hg=f或x+（H·S）T+hg=-f、 LetQg:={Q∈ Q}=0:g。以下是本节的主要结果：定理7.1。推论6.1中的假设成立。还假设gi不可通过Stocks和其他选项复制∈ L（Q），i=1，e、 然后我们有以下内容。（i） NA（P）g对每一个P都有充要条件∈ P、 存在Q∈ qg主导P。（ii）让NA（P）golds。让f：OhmT7→ R是可测量的，因此f∈ L（Q）。那么π（f）：=inf{x∈ R:（H，H）∈ H×Res.t.x+（H·S）t+hg≥ f、 P- q、 s.}=supQ∈QgEQ[f]。（7.1）此外，存在（H，H）∈ H×Re，表示π（f）+（H·S）T+hg≥ f P- q、 s。。（iii）另外假设H=-H.让NA（P）ghold和f：OhmT7→ 可测量的满足感∈ L（Qg）。那么以下是等价的：（a）f是可复制的；（b） q7的映射→ EQ[f]是Qg上的常数；（c） 尽管如此，P∈ P存在Q∈ Qgsuch that P<< Q和EQ[f]=π（f）。此外，市场是完全的，而且只有当Qgis是一个独生子女时。证据我们首先在（ii）中证明了最优超级套期保值策略的存在。它可以表示为π（f）=infh∈Reinf{x∈ R:H∈ H.s.t。

x+（H·S）T≥ F- 汞，磷- q、 s.}=infh∈ResupQ∈QEQ[f- hg]，即对于任何Borel可测函数f：OhmT7→ R满足f∈ Lg（Q），f是可复制的。我们将推论6.1应用于上述第二个等式。我们声称0是凸集i的相对内点：={EQ[g]：Q∈ Q} 。如果没有，那么就存在一些h∈ 重新布线h 6=0，使等式[hg]≤ 任何Q都是0∈ Q.然后使用S，π（hg），满意度π（hg）计算hg的超级套期保值价格≤ 0乘以推论6.1。因此，根据定理6.1，存在H∈ H、 使（H·S）T≥ 汞磷- Qs当汞的价格为0时，NA（P）乘以（H·S）T- hg=0 P- q、 这与每个GIS和其他选项无法复制的假设相矛盾，ash 6=0。因此，我们证明了0是定义φ：Re7的一个相关内点→ R、 φ（h）=supQ∈QEQ[f- hg]，观察π（f）=infh∈Reφ（h）=infh∈跨度（I）φ（h）。现在我们将证明存在一个紧集K span（I），求π（f）=infh∈Kφ（h）。（7.2）为了做到这一点，我们将证明，对于特定球外的任何h，都满足φ（h）≥ φ（0），这证明了索赔。现在，因为0是I的相对内点，所以存在γ>0，这样bγ：={v∈ 跨度（I）：| | v | |≤ γ}  I.考虑球K:={h∈ 跨度（I）：|h |≤ 2 supQ∈QEQ | f |/γ}。那么对于任何h∈ span（I）\\K，存在Q∈ 问：这样吗-hEQ[g]>2 supQ∈QEQ | f |（选择Q s.t.等式[g]处于相同的方向-h位于B（γ）的圆周上。这意味着φ（h）≥ supQ∈量化宽松[-汞]- supQ∈QEQ | f |>supQ∈QEQ | f |=φ（0）。因为这样的h是次优的，所以π（f）=infh∈Kφ（h）。另一方面，观察|φ（h）- φ（h′）|≤ supQ∈Q | EQ[f- 汞]- 等式[f]- h′g]|≤ supQ∈QE |（h）- h′）g|≤ ||H- h′| | supQ∈QEQ[| | g | |]，即φ是连续的（实际上是Lipschitz）。因此存在一些h*∈ K Re，使得π（f）=infh∈ResupQ∈QEQ[f-hg]=supQ∈QEQ[f-H*g] =inf{x∈ R:H∈ H.s.t。

x+H·S≥ F-H*g、 P-q、 美国。然后到T heorem 6.1存在H*∈ H、 使得π（f）+（H*· S） T≥ F- H*GP- q、 s。。接下来，让我们通过归纳法同时证明（i）和（7.1）。对于e=0，（i）和（7.1）holdby定理2.1和推论6.1。假设e=k（i）和（7.1）保持不变，我们考虑e=k+1。我们首先考虑（i）。设πk（gk+1）为gk+1使用股票和期权g′=（g，…，gk）的超级套期保值价格。通过归纳假设，我们得到πk（gk+1）=supQ∈Qg′EQ[gk+1]。回想一下，gk+1的价格是0。然后NA（P）gimpliesπk（gk+1）≥ 如果πk（gk+1）=0，则存在（H，H）∈ H×Rk，s等于（H·s）T+hg′- gk+1≥ 0便士- q、 s。。然后用NA（P）g，（H·S）T+hg′法- gk+1=0，P- q、 这与gk+1不能被s和g′复制的假设相矛盾。因此，πk（gk+1）>0。类似πk(-gk+1）>0。这样我们就有了∈Qg′EQ[gk+1]<0<supQ∈Qg′EQ[gk+1]。然后存在Q-, Q+∈ Qg′satisfyingEQ-[gk+1]<0<EQ+[gk+1]。（7.3）那么对于任何P∈ P、 让Q∈ Qg′支配P。LetQ′：=λ-Q-+ λQ+λ+Q+。通过选择合适的λ-, λ、 λ+>0和λ-+ λ+λ+=1，我们有P<< Q′∈ 其中，g=g。接下来考虑（ii）中的（7.1）。当使用S和g′时表示超级套期保值价格πk（·），当使用S和g′时表示超级套期保值价格π（·），这与（7.1）中的定义一致。很容易看出π（f）≥ supQ∈QgEQ[f]，（7.4），我们关注反向不等式。必须证明这一点Qn∈ Qg′，s.t.方程[gk+1]→ 0和EQn[f]→ π（f）。（7.5）的确，如果（7.5）成立，那么我们定义q′n:=λn-Q-+ λnQn+λn+Q+，s.t.等式n[gk+1]=0，即Q′n∈ Qg，其中Q+，Q-来自（7.3）和λn-, λn，λn+∈ [0,1]使得λn-+λn+λn+=1。自EQn[gk+1]→0，我们可以选择λn±→ 0.然后EQ′n[f]→ π（f），wh ich暗示π（f）≤ supQ∈QgEQ[f]。因此，让我们集中精力证明（7.5）。通过翻译，我们可以假设π（f）=0。

如果（7.5）失败，我们有0/∈{EQ[（gk+1，f）]：Q∈ Qg′} 然后存在一个分离向量（y，z）∈ Rwith | | |（y，z）| |=1∈Qg′EQ[ygk+1+zf]<0。（7.6）根据归纳假设，我们得到0>supQ∈Qg′EQ[ygk+1+zf]=πk（ygk+1+zf）≥ π（ygk+1+zf）=π（zf）。显然，从上面的z 6=0。如果z>0，则正齐性π（f）<0，与π（f）=0的假设相矛盾。因此z<0。以Q′为例∈ Qg Qg′。然后由（7.6）0>EQ′[ygk+1+zf]=EQ′[zf]，因此EQ′[f]>0=π（f），这与（7.4）相矛盾。最后，让我们证明（iii）。很容易看出（a）==> （b）==> （c） 。现在让（c）等一下。L et（H，H）∈ H×结果π（f）+（H·S）T+hg≥ f P- q、 如果存在P∈ P满足P{π（f）+（H·S）T+hg>f}>0，然后选择一个Q∈ 主导P的是π（f）>EQ[f]=π（f），矛盾。因此π（f）+H·S+hg=fp- q、 例如，f是可复制的。如果市场是完整的，那么通过f=1A，我们知道q7→ Q（A）在Q上为常数∈ B(Ohm) 按（b）。正如任何概率测度都是由其在B上的值唯一确定的一样(Ohm),我们知道Q是一个单身汉。相反地，如果Q是一个单子，那么（b）成立，因此市场由（a）完成。A.一些技术成果的证明A。1.引理的证明3.1。证据修正t∈ {0，…，T- 1} 让∧o（ω） ：={y∈ Rd:yv≥ 0，为所有v∈ suppP（ω）(St（ω，·））}，ω∈ Ohmt、 （A.1）可以很容易地证明nct={ω∈ Ohmt:∧oH（ω） -Λo（ω） }，其中∧oH=∧o∩ 嗯。任何P∈ P(Ohmt） ，通过[5，（4.5）]，存在一个Borel可测映射∧oP:OhmtRd具有非空的闭合值，使得∧oP=∧oP-a.s。。这意味着图∧oP） 是Borel（见[2，定理18.6]）。然后可以直接从定义（1.1）中看出∧oH、 P:=∧oP∩ 这是u.m.多亏了-Λo, 集合nct，P={ω：λoH、 P（ω） -Λo(ω)} = ∩Y∈Qd{ω：距离（y，λ）oH、 P（ω））≥ 地区（y），-Λo（ω） ）是u.m。

因此，存在一个Borel可测量的s etNct，P，这样Nct，P=Nct，P=NctP-a.s.因此[4，引理7.26]给出了Nctis u.m。这仍然需要证明Ntis的P极性。如果没有，则存在P*∈ 使*（Nt）>0。与上述论点类似，存在一个∧映射o*: Ohm具有Borel可测图（λo*),这样∧o*= ΛoP*-a、 s。。（A.2）设Φ（ω）：={（y，P）∈ (Λo*∩ Ht）（ω）×Pt（ω）：EP[ySt（ω，·）]>0}，ω∈ Ohmt、 那么Nt={Φ6=} P*-a、 根据第（3.2）、（a.1）和（a.2）款的规定。很容易看出（稍微滥用了旋转）图（Φ）=[图（Pt）×Rd]∩ [P](Ohm) ×图（λ）o*)] ∩ {EP[ySt（ω，·）]>0}∩ [P](Ohm) ×图（Ht）]是解析图。因此，根据扬科夫·冯·诺伊曼定理[4，命题7.49]，存在au。m、 选择器（y，P），使得（y（·），P（·））∈ {Φ6=}. As Nt={Φ6=} P*- a、 s.，y isP*-a、 美国对Nt进行套利。在{y上重新定义y=0/∈ Λo∩ Ht}，P是Pton{Φ=}. （这里我们重新定义{y/∈ Λo∩ Ht}而不是{Φ6=} 为了确保y（·）∈ Λo（·）所以圣≥ 0便士- q、 s.）所以我们有y（·）∈ Ht（·），P（·）∈ Pt（·），y圣≥ 0便士- q、 s.，和p（ω）{y（ω）P的St（ω，·）>0}>0*-a、 sω∈ 新界。（A.3）现在定义H=（H，…，HT-1) ∈ H满足度HT=y，Hs=0，s 6=t。也可定义*= P*|OhmT P Pt+1 . . .  PT-1.∈ P、 其中，Ps的任何u.m.选择器，s=t+1，T- 1.然后（H·S）T≥ 0便士- q、 安第斯和安第斯*{（H·S）T>0}>0 by（A.3），这与NA（P）相矛盾。A.2。引理3.2的证明。证据设Φ（ω）：={（R，^R）∈ P(Ohm) ×P(Ohm) : P（ω）<< R<<^R}，ω∈ Ohmt、 它有一个解析图，如[5，引理4.8]的证明所示。考虑一下ΞOhmtP(Ohm) ×P(Ohm),Ξ（ω）：={（Q，^P）∈ P(Ohm) ×P(Ohm) : 情商|St（ω，·）|<∞, 等式[y]St（ω，·）]≤ 0, Y∈ Ht（ω），P（ω）<< Q<<^P∈ Pt（ω）}。回想一下分析集ψh定义的假设3.1（iii）。我们有这个图（Ξ）=[ψHt×P(Ohm)] ∩ [P](Ohm) ×图（Pt）]∩ 图（Φ）是解析图。

因此，我们可以应用Jankov von Neumann定理[4，命题7.49]来查找u.m.选择器Q（·），^P（·），从而（Q（·），^P（·））∈ Ξ（·）在{Ξ6=}. 我们在{Ξ=}. 根据定理2.1，假设3.1（ii）和NA（Pt（ω））成立，P（ω）∈ Pt（ω），那么Ξ（ω）6=. 因此，我们的构造满足引理中所述的条件。至于该图（Qt）是如何分析的，还有待进一步研究。使用与Ξ相同的参数，但忽略下限P（·），我们可以看到映射Ξ：OhmtP(Ohm) ×P(Ohm),Ξ（ω）：={（Q，^P）∈ P(Ohm) ×P(Ohm) : 情商|St（ω，·）|<∞, 等式[y]St（ω，·）]≤ 0, Y∈ Ht（ω），Q<<^P∈ Pt（ω）}有一个解析图。因为图（Qt）是正则投影下图（ΞΞ）的图像Ohmt×P(Ohm) ×P(Ohm) → Ohmt×P(Ohm), 它也是分析性的。A.3。引理5.1的证明。证据与[5，引理4.8]中的论点类似，我们可以证明setJ:={（P，Q）∈ P(Ohm) ×P(Ohm) : Q<< P}是可测的。因此，对于Ξ：OhmtP(Ohm)Ξ（ω）={Q∈ P(Ohm) : Q<< Pt（ω）}，图（Ξ）是解析的，因为它是解析集的投影[Ohmt×J]∩ [图（Pt）×P](Ohm)]向Ohmt×P(Ohm). 根据假设5.1（ii），函数^A：Ohmt×P(Ohm) 7.→ R*,^A（ω，Q）=A（ω，Q）1{EQ|St（ω，·）|<∞}+ ∞1{EQ|St（ω，·）|=∞}因此，图（Qt）=图（Ξ）∩ {^A<∞}是分析型的。A.4。引理5.3的证明。证据用R表示上面的右侧。设R=Q . . .  QT-1.∈ R.在不损失通用性的情况下，我们可以假设Qt：Ohmt7→ P(Ohm) Borel是否可测量，Qt（·）∈ 在{Qt6=}Qt-1:=Q . . .  Qt-1-a.s.，t=1，T- 1.设Φt（ω）：={（Q，P）∈ P(Ohm) ×P(Ohm) : Qt（ω）=Q<< P∈ Pt（ω）}，ω∈ Ohmt、 t=0，T- 1.与[5，引理4.8]中的论证类似，可以证明图（Φ）是解析的，因此存在u.m.选择器^Qt（·），^Pt（·），这样（^Qt（·），^Pt（·））∈ {Φt6=}. Weshall通过归纳法证明，对于t=0。

T- 1，Φt6= 对于t=0和{Φt=} 是Qt-t=1的1-null集。T- 1，并且存在一个非通用的Pt选择器，我们用Pt（·）表示：Ohmt7→ P(Ohm) 这样qt=^Q . . . ^Qt<< P . . .  Pt。然后通过设置t=t- 1，我们知道R=QT-1.∈ 问：很容易看出，在上述情况下，th=0。假设它在t=k<t时成立- 1.那么{Φk+1=}  {Qk+1（·）/∈ Qk+1（·）}是引理3.1和归纳假设的Qk零集。因此，^Qk+1=Qk+1Qk-a.s.，这意味着Qk+1=^Q . . . ^Qk+1。设置Pk+1=^Pk+1{Φ6=}+~Pk+1{Φ=}, 式中，~Pk+1（·）是安育。m、 选择Pk+1，我们有P . . .  Pk+1∈ Pk+1。自Qk+1（ω）<< Qk-a.s.ω的Pk+1（ω）∈ Ohmk、 结合归纳假设，我们得到了Qk+1<< P . . .  Pk+1。因此，我们完成了生产的证明。相反，对于任何R∈ Q、 我们可以写出R=Q . . .  QT-1，其中Qt：Ohmt7→ P(Ohm) 是一些Borel核，t=0，T- 1.然后Qt（ω）∈ Qt（ω）表示Qt-1-a.s.ω∈ OhmT-1.由于图（Qt）的分析，我们可以在Qt上修改Qt（·）-1-空集，使得修改的^Qt（·）是u.m.和^Qt（·）∈ 在{Qt6=}. 利用这种修正的正向归纳，我们得到了R=^Q . . . ^QT-1.∈ R参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglbock、F.Penkner和W.Schachermayer，资产定价基本原理和超级复制定理的无模型版本（2013年）。学习数学金融。可访问arXiv:1301.5568。[2] C.D.Aliprantis和K.C.Border，有限维分析。搭便车的向导。第三版，柏林：斯普林格，第三版，2006年。[3] E.Bayraktar，Y.-J.Huang和Z.Zhou，关于模型不确定性下的美国期权套期保值（2013年）。预印本，arXiv:1309.2982。[4] D.P.Bertsekas和S.E.Shreve，《随机最优控制》，科学与工程数学第139卷，学术出版社[Harcourt Brace Jovanovich出版社]，纽约，1978年。

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