弱相依随机向量的尾部

假设Z是一个正随机变量，密度ρ（s）满足ρ（s）=e-θs+o（s），s→ ∞θ>0时。让X被X定义=√ZY+Zu。然后o对于i=1，n、 ln Pr[Xi≤ x]~2θp2θσi+ui- uix，x→ -∞.o X的copula具有弱的下尾依赖函数χ（λ，…，λn）=maxiλiminvnq2θv>Rv+（)u>v）-§u>vo，其中最小值在集合中占据五、∈ Rn，vi≥ 0，i=1，n、 nXi=1viλi（q2θ+～ui- ui）≤ 1..请注意，在一般情况下，aGaussian混合物的弱下尾依赖函数可能取决于相关矩阵R、归一化平均向量¨u和衰减率θ，因为所有这些参数都会影响随机向量的依赖结构。然而，在对称情况下（u=0），很容易看出弱下尾依赖函数仅依赖于相关矩阵。推论1。让X=√其中Y是以相关矩阵R为中心的高斯向量，假设为非退化，Z满足命题3的假设。那么，χ（λ，…，λn）=maxiλiminw∈N√w> ∑w，其中矩阵∑具有系数∑ij=Rijλiλj。命题3和推论1提高了我们对混合变量指数衰减的高斯混合模型的尾相关性的理解。例如，取u=0，我们得到χ（1，…，1）=minw∈N√w> Rw<1，只要相关矩阵R是非生成的。因此，通过命题1，我们得出结论：混合变量呈指数衰减的高斯方差混合模型没有强的尾部依赖性。

特别是，对于n=2，R=1ρ1！和χ（1，1）=r1+ρ，我们恢复并扩展了Schlueter和Fischer（2012）的主要结果，其中该值是针对广义双曲分布计算的。更准确地说，在本参考文献中，弱尾依赖系数（对于左尾）定义为limu→02 ln（u）ln C（u，u）- 1，对应于2χ（1，1）- 在我们的符号中为1，并且等于tor1+ρ- 1.命题3的证明基于Gulisashvili和Tankov（2014）的以下估计。引理2。设Y为具有非退化协方差矩阵B的中心高斯向量，并设u∈ 注册护士。假设Z是一个随机变量，其值为（0，∞) 允许密度ρ假设ρ（s）≤ 总工程师-θsfor s≥ 1，其中θ>0和c>0是常数。然后，存在C>0，使得对于足够大的k，PrhnXi=1eYi√Z+μiZ≤ E-基≤ 总工程师-C*θk，其中c*θ=薄荷≥0maxw∈nnθt+（1+tu>w）2w>Bwto=maxw∈n2θp2θw>Bw+（u>w）- u>w.（9）o假设ρ（s）≥ 总工程师-θsfor s≥ 1，其中θ>0和c>0是常数。然后，存在C>0，使得对于足够大的k，PrhnXi=1eYi√Z+μiZ≤ E-基≥ Ck-氖-C*θk，命题3的证明。在命题3的假设下，对于每一个ε>0，我们可以找到常数c>0和c>0，从而-（θ+ε）s≤ ρ（s）≤ 总工程师-(θ-ε） s，s≥ 1.使用引理2的边界，取对数，对于足够小的x，lnc- n ln lnx+c*θ+εlnx≤ ln PrhnXi=1eXi≤ xi≤ ln C+C*θ-εln x.除以ln x并传递到极限x→ 0到getc*θ+ε≥ lim supx→0ln公关Pni=1eXi≤ 十、ln xlim infx→0ln公关Pni=1eXi≤ 十、自然对数≥ C*θ-ε.自从c*θ在θ中明显是连续的，ε是任意的，我们得出结论limx→0ln公关Pni=1eXi≤ 十、ln x=c*θ.将此结果应用于单个组件Xi，我们得到limx→0ln Pr[eXi≤ x] Lnx=2θp2θσi+ui- ui.因此，ln Pr[eXi≤ x] 当x趋于0时缓慢变化，根据定理1，χ（λ。

，λn）=maxiλic*λi=2θp2θσi+ui的θ- ui。然而，由于χ仅取决于copula，因此它对于转换ui7是不变的→ αiui和σi7→ αiσifor i=1，n对于任意向量α∈ 有积极的成分。因此，对于任意λi>0，人们总是可以找到αi>0，使得λi=2θp2θ（αiσi）+（αiui）- αiui.为了完成证明，将其替换为c的表达式*θ，并在优化问题中改变变量vi=wiαiσi2θ。阿基米德连接函数回忆起给定一个函数φ：[0，1]→ [0, ∞] 它是连续的，严格递减的，并且它的逆φ-1是完全单调的，带生成元φ的阿基米德copula由c（u，…，un）=φ定义-1{φ（u）+··+φ（un）}。下面的简单结果给出了阿基米德copula的弱下尾依赖函数。当lnφ-1是有规律变化的，包括带有φ的甘贝尔连接-1（t）=exp(-t1/θ）和其他几个家族。提议4。设C是一个具有生成函数φ的阿基米德copula。（i） 。如果lnφ-1在不同的时间点上有规律的变化+∞ 当指数α>0时，则χ（λ，…，λn）=max（λ，…，λn）λ1/α+··+λ1/αnα（ii）。如果lnφ-1在不同的时间变化缓慢+∞, 然后χ（λ，…，λn）=1标记4。lnφ-1 E在0处有规律地变化对于C处于Gumbel copula的最大吸引域是足够的（Genest and Rivest，1989）。然而，对于弱下尾依赖函数的存在，我们需要lnφ-1.在不同的时间点+∞ 这是一种不同的情况。备注5。当lnφ-1有规律地变化，但不是缓慢地变化+∞,命题1意味着copula C在左尾中没有强依赖性，这意味着强尾依赖系数λ等于零。当φ-1变化缓慢，情况不那么清楚。对于阿基米德copula，强尾相关系数由λL=limu给出↓0C（u。

，u）u=limu↓0φ-1{φ（u）+··+φ（un）}u=limt→∞φ-1（nt）φ-1（t）。因此，当φ-1在不同的时间缓慢或有规律地变化+∞, λLexists是严格正的，所以对于所有的λ，…，χ达到其上界χ（λ，…，λn）=1，λn≥ 然而，当λL=0而χ（λ，…，λn）=1时，也存在一些情况。实际上，函数φ-1（u）=e-{ln（1+u）+}+是维度为2的阿基米德copula的一个有效的逆生成函数，并且在+∞ （这意味着λL=0）但lnφ-1.慢悠悠的。证据首先假设-1随指数α>0而有规律地变化。通过定义χ，χ（λ，…，λn）=limu→0max（λ，…，λn）ln ulnφ-1{φ（uλ）+··+φ（uλn）}=limu→0max（λ，…，λn）lnφ-1（φ（u））lnφ-1{φ（eλln u）+··+φ（eλnln u）}根据正则变函数的反演定理（Bingham et al.，1989），函数u7→ φ（eu）在不同温度下有规律地变化-∞ 指数为1/α。因此，对于任何ε>0且u足够小的情况，（1- ε） （λ1/α+··+λ1/αn）φ（u）≤ φ（eλlnu）+··+φ（eλnln u）≤ （1+ε）（λ1/α+···+λ1/αn）φ（u），我们使用lnφ的规则变化得出结论-1以及ε是任意的这一事实。这个案子的证据是-1缓慢变化的情况与此类似。极值连接函数弱下尾依赖函数可以交替表示如下。χ（λ，…，λn）=-最大λiln limt→∞C{（e）-λ） t，（e）-λn）t}t.（10）设C为极值copula（De Haan and Ferreira，2007，第6章），即满足C（u1/m，…，u1/mn）m=C（u，…，un），m的copula∈ N*, （联合国）∈ [0,1]n，其中n*表示除零以外的一组自然数。由（10）可知，C的弱下尾依赖函数由χ（λ，…，λn）=-maxiλiln C（e）-λ, . . .

E-λn）.4弱相依随机向量的尾部渐近在本节中，我们将展示如何使用弱尾部相依函数来表征弱相依随机向量分量的某些泛函的对数尺度尾部行为。我们的第一个例子表明，在边缘相对较弱的假设下，弱相关随机向量的分布函数的尾部的对数尺度渐近行为可以从弱尾部相关函数推导出来。定理1。（i） 让X，Xnbe（a，b）中有值的随机变量，其中b∈ R∪{+∞} 具有边际生存函数¨F，满足以下假设的Fn和生存连接对于每个k=1，n、 ln’Fk（x）~ λkln¨F（x）as x↑ b对于某些常数λk>0和某些函数“F”——copula C允许弱上尾依赖函数“χ”。那么limx↑bln Pr[最小（X，…，Xn）≥ x] miniln Pr[Xi≥ x] ＝χ（λ，…，λn）。（ii）让X，Xnbe（a，b）中值的随机变量，其中a∈ R∪{-∞} 用边际分布函数F，fn和copula C满足以下假设对于每个k=1，n、 ln Fk（x）~ λkln¨F（x）as x↓ 对于某些常数λk>0和某些函数F，copula C允许一个弱的低尾依赖函数χ。那么limx↓aln Pr[max（X，…，Xn）≤ x] miniln Pr[十一]≤ x] =χ（λ，…，λn）。证据我们只证明了第一部分，第二部分的证明非常相似。首先，观察这个pr[min（X，…，Xn）≥ x] =Pr[x≥ 十、Xn≥ x] =C{F（x），…，\'Fn（x）}。根据该定理的假设，对于任何ε>0且x足够接近b，`F（x）λk（1+ε）≤\'\'Fk（x）≤\'F（x）λk（1）-ε） ，k=1，n、 因此，C{F（x）λ（1+ε），…，\'F（x）λn（1+ε）}≤ Pr[min（X，…，Xn）≥ x]≤ C{F（x）λ（1）-ε), . . .

，F（x）λn（1）-ε） }通过定义弱下尾依赖函数，对于足够接近b的x，我们得到了‘F（x）’χ-1（λ，…，λn）（1+ε）maxiλi≤ Pr[min（X，…，Xn）≥ x]≤“F（x）”χ-1（λ，…，λn）（1）-ε） 取对数并利用ε是任意的这一事实表明↑bln Pr[最小（X，…，Xn）≥ x] maxiλiln\'F（x）=χ-1（λ，…，λn）和相应的↑bln Pr[最小（X，…，Xn）≥ x] ln miniPr[Xi≥ x] =\'\'χ-1（λ，…，λn）。在边缘分布函数对数尺度上缓慢变化的假设下，同样的渐近行为扩展到随机向量的更复杂函数。推论2.o让我们 [0, ∞)nbe一个可测量的集合，使得存在0<k<k<∞用[K，∞)N A. [k，∞)让X，Xnbe值为（0，∞) 用边际生存函数F，Fn和Survival满足以下假设：对于每个k=1，n、 这是一个缓慢变化的过程+∞ 和令人满意的Fk（x）~ λkln F（x）as x↑ +∞对于一些常数λk>0和一些函数F，copula C允许一个弱的上尾依赖函数¨χ。那么limx↑+∞ln Pr[（X，…，Xn）∈ xA]miniln Pr[Xi≥ x] =χ（λ，…，λn.）让我们 [0, ∞)一个有界可测集，存在0<k<k<∞ 用[0，k]n A. [0，K]让X，Xnbe随机变量的值在（0，∞) 用边际分布函数F，满足以下假设的F和Copula C对于每个k=1，n、 ln Fk在零处缓慢变化，满足ln Fk（x）~ λkln F（x）as x↓ 0对于一些常数λk>0和一些函数F，copula C允许一个弱的低尾依赖函数χ。那么limx↓0ln Pr[（X，…，Xn）∈ xA]miniln Pr[Xi≤ x] =χ（λ，…，λn）。备注6。取A={x∈ 注册护士：xi≥ 0，i=1。

，n，Pxi≤ 1} 例如，在第二部分中，我们可以计算Pr[X+··+Xn]的渐近性≤ x] 作为x→ 0.关于边际分布的假设包括，例如，在零处规则变化的分布以及在零处缓慢变化的分布。它排除了零衰减非常快的分布，例如正态逆高斯分布。请注意，当Fis定期变化时，可以放松对A的假设，只假设A∈ (0, ∞)在第一部分中，A在第二部分中有界。证据为了证明这两部分非常相似，我们将重点放在推论的第二部分。根据A，Pr[max（X，…，Xn）的假设≤ [xk]≤ Pr[（X，…，Xn）∈ xA]≤ Pr[max（X，…，Xn）≤ xK]。另一方面，由于lnf（x）在零处缓慢变化，ln Pr[Xi≤ [Kx]~ ln Pr[Xi≤ [kx]~ ln Pr[Xi≤ x] 作为x→ 例子在这个例子中，我们展示了如何使用本文中获得的渐近结果来分析多维Black-Scholes模型中期权组合的尾部行为。需要强调的是，多维Black-Scholes模型不能充分描述市场压力时期的市场运动（McNeil et al.，2010）。然而，这个模型，以及更普遍的多元高斯分布，仍然被实践者广泛用于日常风险管理，因此，在这个模型中理解投资组合的尾部行为非常重要。固定一个时间范围T，并让（X，…，Xn）表示n个风险资产在该时间范围内对数周转的向量。对于i=1，…，则T日的资产价格由Si=exi给出，n其中，我们假设在不损失一般性的情况下，所有资产的初始值均标准化为1。我们假设n个风险资产遵循多维Black-Scholes模型。这意味着向量（X。

，Xn）是高斯分布，wedenote由BT表示协方差矩阵，由uT表示平均向量。我们感兴趣的是n风险资产上的欧式看涨期权组合的尾部行为。为了简化讨论，我们假设投资组合中每个风险资产只包含一个选项，但该设置显然可以扩展到任意数量的选项。期权的对数行距用（k，…，kn）表示，到期日用（T，…，Tn）表示，其中Ti>T表示i=1，n、 假设利率为零，T日第i期权的价格由Black-Scholes公式给出（Black and Scholes，1973）：Pi=eXiN（d+）- 伊金（d）-), d±=Xi- kiσi√钛- T±σi√钛- T、 σi=pBii，其中N是标准正态分布函数。对于现实世界中的风险管理应用程序来说，假设用于期权定价的波动率σi为常数且等于√比伊。在实践中，我们需要假设股票收益率和波动率的多元高斯分布，或者引入所谓的叠加波动率偏斜，即假设σiis是Si的（通常是递减的）确定性函数。因此，这个例子应该被视为一个玩具例子，其主要目的是说明和激励论文的理论。这一理论在全面风险管理中的应用有待进一步研究。以下命题阐明了概率型[P+··+Pn]的渐近行为≤ z] 当z趋于0时。令人惊讶的是，尽管Black-Scholes模型中的资产收益率曲线非常细（高斯），但期权组合的分布具有幂律尾。这反映了期权比股票风险大得多的事实。提议5。

当z趋于0时，ln Pr[P+··+Pn≤ z]~在津福∈nw>σw，其中∑是一个n×n矩阵，元素由∑ij=BijTσiσjp（Ti）给出- T）（Tj- T）。证据PPn是高斯随机变量（X，…，Xn）的明显增函数和连续函数。因此，（P，…，Pn）的copula是具有相关矩阵的高斯copula，元素为Rij=Bijσiσj。它仍然用来表征P，…，Pn的分布函数的渐近行为，请注意。让√Xi=Xi- uiTσi√t对于i=1，n和definefi（x）=euiT+xσi√TN{d+（x）}- ekiN{d-（x） }，d±（x）=xrTTi- T-uiT+kiσi√钛- T±σi√钛- 那么，~xi是一个标准正态随机变量。来自著名的等价物CEN（x）~E-x | x|√2π，x→ -∞,人们很容易推断出thatfi（x）~σi（Ti）- T）xT√2πeki-D-（x） ，x→ -∞. （11） 取对数，我们得到fi（x）~ -xT2（Ti）- T），x→ -∞安德夫-1i（u）~rTi- TTlnu，u→ 0.因此，Pisatis fiesln Pr[Pi]的分布函数≤ x] =ln N{f-1i（x）}~ -F-1i（x）~ -钛- TTlnx，x↓ 0，因此推论2的假设满足λi=Ti- t和F（x）=1/x，然后应用命题2和推论2得出结果。数字说明图1以对数标度绘制了三种不同资产上的三种看涨期权组合的分布函数。参数的数值为b=0.2 0.1 0.10.1 0.2 0.10.1 0.1 0.2, u =- 0.1- 0.1- 0.1.时间范围为T=0.25（年），期权对数罢工为ki=0，i=1、2、3的期权到期日为Ti=0.5。这些价值可以被认为是金融市场的典型价值。该图绘制了期权组合的分布函数，以及带有斜率infw的直线∈nw>由命题5预测的∑wP，在对数刻度中。

我们在分布函数的左尾观察到幂律衰变，衰变率（对数图的斜率）似乎接近理论预测。我们强调的事实是，我们的结果可能不会用于实际计算分布函数，因为它们只提供对数尺度的渐近性。然而，他们对分布的尾部行为提供了充分的概念。与隐藏规则变化相比，当资产和期权相同时，多维Black-Scholes模型中期权组合的左尾行为也可以使用隐藏规则变化进行分析。对于本图的假设，假设投资组合包含两个选项（n=2），将一般情况留待进一步研究。让子=-1/ln{1- N（~Xi）}表示i=1，2。众所周知（韦勒和库利，2014年，第6页），对于所有z，z>0，t PrhZb（t）>z，Zb（t）>zi→ （zz）-2ηas t→ ∞式中η=（1+ρ）/2和b（t）=U-1（t）其中u（t）=t1/ηL（t），L（t）=（1+ρ）3/2（1- ρ)-1/2（4πlnt）-ρ/(1+ρ). （12） 对于所有x，x>0，Pr[P-1> 德克萨斯州，P-1（tx）]=Pr[Z>g（tx），Z>g（tx）]，0.0001 0.001 0.01 0.1 10值0。00010.011概率Monte Carlo CDFAsymptoteFigure 1：多维Black-Scholes模型中三个看涨期权组合分布函数的左尾。其中i=1，2，gi（t）=-自然对数1.- NF-1iT.作为t→ ∞, 显然，gi（t）~ ~gi（t）：=NF-1iT.此外，使用等价物（11）和N的渐近展开式-1例如，在（Blair等人，1976年，第828页）中，很容易证明-1i（u）=fi{N-1（1/u）}~ 西乌蒂-T（lnu）1-T2（Ti-T）e-ciq2TTi-Tln uwhereCi=2T√2πσi（Ti）- T）3/2eci-ki（2√π） TTi-Tand ci=uiT+kiσi√钛- T+σi√钛- T.换句话说，~g-1i（u）=uTTi-TLi（u），其中Li是一个随u缓慢变化的函数→ ∞. 因此，gi（t）=tTi-TTLi（t），其中Li随t缓慢变化→ ∞.