弱相依随机向量的尾部

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英文标题：
《Tails of weakly dependent random vectors》
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作者：
Peter Tankov
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We introduce a new functional measure of tail dependence for weakly dependent (asymptotically independent) random vectors, termed weak tail dependence function. The new measure is defined at the level of copulas and we compute it for several copula families such as the Gaussian copula, copulas of a class of Gaussian mixture models, certain Archimedean copulas and extreme value copulas. The new measure allows to quantify the tail behavior of certain functionals of weakly dependent random vectors at the log scale.
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中文摘要：
对于弱相关（渐近独立）随机向量，我们引入了一种新的尾相关函数测度，称为弱尾相关函数。新的度量是在copula的层次上定义的，我们计算了几个copula族，例如高斯copula、一类高斯混合模型的copula、某些阿基米德copula和极值copula。新的度量允许在对数尺度上量化弱相关随机向量的某些泛函的尾部行为。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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2022-5-5 19:43:29 上传

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关键词：Applications Quantitative Differential Application Probability

弱相依随机向量的尾*摘要针对弱相关（渐近独立）随机向量，我们引入了一种新的尾相关函数测度，称为弱尾相关函数。新的度量是在copula的层次上定义的，我们计算了几个copula族，例如高斯copula、一类高斯混合模型的copula、某些阿基米德copula和极值copula。新的度量允许在对数尺度上量化弱相关随机向量的某些泛函的尾部行为。关键词：尾部相关性，渐近独立性，copulas，正则变化，高斯混合SMSC 2010:60F10，62G321简介本文的目的是提出一种描述渐近独立性（弱尾部相关性）的新方法，并用这种方法研究尾部概率的共态行为，如EPR[min（X，…，Xn）≥ t] 作为t→ ∞ （1） orPr[X+··+Xn≤ t] 作为t→ 0和X≥ 0, . . . , Xn≥ 0.（2）当向量（X，…，Xn）的分量渐近独立时。在多元极值理论中，渐近独立是指当一个随机向量的任意两个分量在适当的尺度上同时大的概率与任意一个分量大的概率相比可以忽略不计时的情况。这确保了向量的独立副本序列的适当重整化分量最大值变得渐近独立。渐近独立随机向量的分量在通常意义上可能是相依的。

例如*法国巴黎迪德罗大学概率与现代饮食实验室。电子邮件：tankov@math.univ-巴黎狄德罗。众所周知，对于任何非退化协方差矩阵，多元高斯分布都是渐近独立的（Sibuya，1959）。渐近独立性是一种自然属性，通常在来自许多不同应用领域的数据中观察到（De Haan和De Ronde，1998；Maulik et al.，2002；Draisma et al.，2004；Ledford和Tawn，1997，1996；He ffiernan et al.，2005），并且是许多广泛使用的模型的固有特征，例如金融领域。除了已经提到的多元高斯模型外，还可以引用多元广义双曲模型（Schlueter and Fischer，2012），以及更普遍的具有指数衰减混合变量的所有高斯混合模型（见下文第3节）。因此，理解随机向量的渐近独立性是很重要的。在文献中，渐近独立性通常是利用隐藏规则变化的性质引入的（Resnick，2002；Maulik和Resnick，2004；Resnick，2007），这是Ledford和Tawn（1996，1997）引入的尾部依赖系数的一个补充。回想一下，一个值为[0]的随机向量，∞)如果存在函数b（t），则称nis为多变量规则变化→ ∞ 作为t→ ∞ 一个非负氡测量值ν6=0，例如PrhXb（t）∈ ·我→ ν（3）as t→ ∞ 在锥E=[0]上测度的模糊收敛意义下，∞]n\\{0}。现在，X被称为具有隐藏正则变量的性质。如果除（3）外，还存在一个非递减函数b*（t）→ ∞ 这样b（t）/b*（t）→ ∞ 作为t→ ∞ 还有一个氡测量*6=0，使PrhXb*（t）∈ ·我→ ν*（4） 在圆锥体上*:= E\\∪ni=1Li，其中Li是第i个坐标轴。

换句话说，在隐藏的规则变化下，概率Pr[Xi≥ Xi，Xj≥ xjt]对于任何I6=j的衰变都是有规律的，但速度比单个分量的尾部概率更快。隐藏规则变化理论及其最近的扩展（Das等人，2013年）允许量化尾部概率的渐近行为，如（1）或（2），但它非常适合于具有胖幂律尾和尾部等效裕度的分布，并且不容易适用于（比如）在金融中广泛使用的指数尾部衰减模型。另一种（但相关的）研究渐近独立性内相关性的方法是，观察到，例如，对于同分布正随机变量，在某些情况下，可以使用秩变换来解决非等效裕度问题，这保留了隐藏的规则变化（He Offernan et al.，2005），它不保留某些尾部泛函的结构，人们希望在风险管理应用程序中计算这些尾部泛函。下尾的渐近独立性意味着limx↓0Pr[X≤ 十、Xn≤ x] Pr[x≤ x] =0，通过研究对数标度上的相关极限，可以从多元分布函数中提取关于“剩余”相关性的信息。这导致了所谓的弱尾依赖系数（Coles等人，1999年；Schlueter和Fischer，2012年；Hashorva，2010年；He offernan，2000年），通常定义为（对于二维copula C的较低指数而言）→02 ln uln C（u，u）- 1.（5）该系数是在连接函数的水平上定义的，因此不需要对利润率进行长期假设。

它存在于远低于隐藏正则变化所需的严格条件下（因为这里只对对数尺度渐近感兴趣），但弱尾依赖系数的知识并不能提供关于函数（1）或（2）的信息，它们也依赖于边缘。在本文中，我们发展了弱尾依赖函数（5）的一个函数扩展，我们称之为弱尾依赖函数。对于copula的下尾，弱尾依赖函数由χ（λ，…，λn）=limu定义→0最小uλiln C（uλ，…，uλn），λ，λn≥ 0.（6）弱尾依赖函数对弱尾依赖系数的扩展在精神上与尾依赖函数对强尾依赖系数的扩展有些相似（Joe等人，2010；Kl–uppelberg等人，2008，2007）。我们计算了常用的copula族的弱尾依赖函数，特别是高斯copula和具有指数衰减混合变量的所有高斯混合模型，并表明（1）或（2）等泛函的对数标度符号在边缘弱假设下用弱尾依赖函数表示。特别是（见定理1），如果X，Xnare值为（0，∞), 具有存活功能的“F”，\'\'fn和生存copula C，因此对于k=1，n、 ln’Fk（x）~ λkln¨F（x）as x→ +∞ 对于某些常数λ和函数F，ln Pr[min（X，…，Xn）≥ [t]~miniln‘Fi（t）’χ（λ，…，λn），作为t→ +∞, 式中，利用公式（6）从copula C计算出¨χ。另一方面（见推论2），如果X，Xnare随机变量的值为（0，∞), 用分布函数F，fn和copula C，对于k=1。

n，ln-Fk（x）随着x的变化而缓慢变化↓ 0和LN Fk（x）~ λkln F（x）对于某些常数λ和某些函数F，则ln Pr[x+···+Xn≤ [t]~miniln-Fi（t）χ（λ，…，λn），作为t↓ 0.分布函数缓慢变化的假设包括所有具有规则变化左尾的分布，以及参数族，如对数正态分布、伽马分布、威布尔分布和金融数学文献中的许多分布。对数标度上的渐近等价假设确保了成分定律具有相似的渐近行为，但并不是很严格：例如，不同的成分可以遵循具有不同参数的对数正态分布，或者具有具有具有不同指数的规则变尾。因此，我们的方法提供的信息比隐藏的规则变化（允许计算尖锐的渐近性）少，但另一方面，它适用于更广泛的环境。论文的其余部分结构如下。第2节介绍了弱尾相关函数的定义和基本性质。第3节给出了普通copula族弱尾依赖函数的显式形式。最后，第4节介绍了弱尾部依赖函数与尾部概率（如（1）和（2））的渐近性之间的联系，并用一个来自金融数学的例子说明了该理论。在本文中，我们写f~ g as x趋向于whenverlimx→af（x）g（x）=1和f。g wheneverlim supx→af（x）g（x）≤ 1.我们记得，函数f被称为缓慢变化的函数，当x趋于0时，函数f的值会缓慢变化→0f（αx）f（x）=1对于所有的α>0。最后，我们定义n:={w∈ 注册护士：威斯康星州≥ 0，i=1，n、 nXi=1wi=1}。我们还记得随机向量的copula（Y。

，Yn）是一个函数C:[0，1]n:[0，1]，满足假设odC是Lebesgue-Stieltjes积分意义上的一个正度量，oC（u，…，un）=0，当至少一个k的uk=0时，oC（u，…，un）=uk ui=1，当所有i 6=k时，以及≤ Y伊恩≤ yn]=C（Pr[Y≤ y] ，Pr[Yn≤ （y，…，yn）∈ 注册护士。根据Sklar定理，copula存在，并且当Y，它们是连续的。我们参考Nelsen（1999）了解有关copulas的详细信息。2弱尾依赖函数定义1。copula C的弱下尾依赖函数χ（λ，…，λn）由χ（λ，…，λn）=limu定义→0miniln uλiln C（uλ，…，uλn），（7）当所有λ，λn≥ 0，使得λk>0至少为1k，标准约定为ln 0=∞ 和1/∞ = 0.备注1。因此，本文将重点放在弱尾函数上。copula的其他尾部的弱尾部依赖函数可以用类似的方式定义。例如，copula C的weakuper尾依赖函数由¨χ（λ，…，λn）=limu定义→0最小uλiln C（uλ，…，uλn），其中C是与C相对应的生存copula。从本文给出的弱下尾依赖函数的性质和形式可以很容易地导出weakuper尾依赖函数的性质及其形式。备注2。假设u>0时C（u，…，u）>0，且letbC（z，…，zn）=C（e-ZE-对于z，锌≥ 0.那么（7）等于tolnbC（λz，…，λnz）~ -maxiλiχ（λ，…，λn）z作为z→ +∞.因此，弱尾相关函数的存在是一种多变量正则变分性质，其指数为对数尺度上的copula对数的1。

由于这种对数尺度变换的存在，弱尾相关函数的存在与原始尺度下分布的规则变化特性没有直接关系，特别是，它不是由隐藏的规则变化特性暗示的。弱下尾相关函数的性质copula的弱下尾相关函数χ（λ，…，λn）为0阶齐次函数：对于所有r>0，χ（rλ，…，rλn）=χ（λ，…，λn）。它相对于copula的一致性顺序增加，并允许以下边界（上界是由于copula上的Frechet-Hoe效应上界）：0≤ χ（λ，…，λn）≤ 1.对于copula C的独立性⊥（u，…，un）=u。我们得到了χ（λ，…，λn）=maxiλiPiλi。对于完全相关的copula Ck（u，…，un）=min（u，…，un）得到了上界。更重要的是，如以下命题所示，对于任何下尾强尾依赖系数非零的copula，弱下尾依赖函数等于其上界。因此，尾部相关性的这种度量与成分具有交感独立性的分布相关。在陈述结果之前，我们回顾一下以下定义。定义2。acopula C的强尾依赖系数（对于下尾）由λL=limu定义↓0C（u，…，u）u，只要存在极限。当λL>0时，copula在下尾具有渐近依赖性。提议1。假设copula函数C具有强尾依赖系数λL>0。然后，C的弱下尾依赖函数等于上界：χ（λ，…，λn）=1，λ, . . . , λn≥ 0.证明。根据λL的定义，对于任何ε>0且u足够小的情况，C（u，…，u）≥ （λL）- ε） u.利用copula在每个参数中增加的事实，我们得到了，对于通常很小的，lnc（uλ。

，uλn）ln u≤ln（λL）- ε） max lnλu表示↓0ln C（uλ，…，uλn）ln u=max（λ，…，λn）。结合这一点和连接词的Frechet-Hoe-offing上界，证明是完整的。不同copula家族的强尾依赖系数在Nelsen（1999）中列出；贺福南（2000年）。特别是，我们知道高斯copula具有渐近独立性（Sibuya，1959）。相比之下，所有具有规则变尾的椭圆分布的copula，尤其包括t-copula，都具有渐近依赖性（Hult和Lindskog，2002），因此，对于这些copula，弱尾相关函数等于1.3弱下尾相关函数对于普通copula族高斯copula，具有相关矩阵R的高斯copula是具有相关矩阵R和非恒定分量的任何高斯向量的唯一copula（它不依赖于平均向量和分量的方差）。下面的命题刻画了高斯copula的弱下尾相关函数。提议2。设C是一个n维高斯copula，其相关矩阵R为det r6=0。那么，χ（λ，…，λn）=maxiλiminw∈nw>∑w，对于所有λ，λn>0，其中矩阵∑具有系数∑ij=Rij√λiλj，1≤ i、 j≤ n、 证据。设X=（X，…，Xn）为中心高斯向量，协方差矩阵∑如上所述。证明基于以下引理。引理1。设X为n维中心高斯向量，协方差矩阵∑假定为非退化。然后存在正常数c和c，以及一个带1的整数n≤ \'n≤ n因此，对于所有足够大的z，c|z|ne-z2明∈nw>∑w≤ Pr[X≥ ZXn≥ z]≤C|z|ne-z2明∈nw>w（8）证明。

该证明基于Hashorva和H¨usler（2003）给出的多元高斯尾估计。以t=z1为例，使用本参考文献命题2.1中介绍的符号，我们可以看到（i）|它|不依赖于zand，我们设置了| n=|它|；（ii）每∈ 对于某些常数ci>0，hi=ciz；（iii）在（Hashorva and H¨usler，2003，等式（1.2））中定义的函数R（t）与1/t相当于t→ +∞; 最后（iv）常数αt=minx≥tx>∑-1x=zminx≥1x>∑-1x。利用拉格朗日乘子的方法，我们进一步得到了minx≥1x>∑-1x=最大λ≥0分钟∈Rnx>-1x- λ> （十）- 1） =最大λ≥0-λ> ∑λ+λ>=最大ρ≥0，w∈N-ρw>∑w+ρ=maxw∈西北⊥∑w；所以αt=zminw∈西北⊥∑w.则（8）中的上界和下界遵循Hashorvava和H¨usler（2003）中的公式（3.8）。从上述引理出发，利用中心高斯向量的对称性，我们推导出Ln Pr[X≤ ZXn≤ z]~ -z2 infw∈nw>z趋于∑-∞. 将其应用于单个高斯变量yieldsln Pr[Xi≤ z]~ -zλi，z→ ∞.现在结合这些估计，得到ε和z足够小，-z（1+ε）2 infw∈nw>∑w≤ ln Pr[X≤ ZXn≤ z] =lnc（Pr[X≤ z] ，Pr[Xn≤ z] )≤ lnc（e）-zλ（1）-ε), . . . , E-zλn（1）-ε)).让u=e-z（1）-ε） /2，这导致1+ε（1）- ε） infw∈nw>wln u≤ lnc（uλ，…，uλn）。除以miniln uλ，利用ε是任意的这一事实，我们最终得到maxiλiinfw∈nw>∑w≤ 林素普→0最小uλlnc（uλ，…，uλn）。上限可以用类似的方式获得。下一个结果描述了高斯均值-方差混合的边缘尾行为和弱的低尾依赖函数。提议3。设Y=（Y，…，Yn）>是具有相关矩阵R的中心非退化高斯变换器，并设u∈ Rn，σi=√对于i=1，如果i=1，N