绘制系统性风险图：关键程度和故障分布

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因此，还款方程式（3）可以写成xi=明（里）- 1)(1 - Λ) + Λ1 - fk+Xj<->ixjk，rko+（16） 其中总和的范围超过i的邻域j。此外，由于在Cayley树中，所有银行i与震惊的银行i等值的距离相同，因此它们的还款xim必须采用公共值x（d），即0≤ x（1）<x（2）<··≤ rk。因此（16）变成了（0）=-1 + 2Λ1 - fk+x（1）+（17） 对于震惊的银行本身，x（d）=（R- 1)(1 - Λ) + Λ1 - fk+x（d）-1） k+（k- 1） x（d+1）k，d≥ 1（18）为其第一、第二和更高的邻居。从（17）和（18）可以很容易地计算出前几个临界度k*（d） 。通过定义第一临界度k*（1） 只有震惊的银行违约，维兹。x（d）=rk*（1） 对于d≥ 1、（19）oIre critical的第一个邻居，即。x（1）=（R）- 1)(1 - Λ) + Λ1 - fk*（1） +x（0）k*（1） +（k）*(1)- 1） r=rk*（1） （20）求解k的（17）和（20）*（1） 耶尔茨克*（1） =r（1）- f）- [r（1- f）+2∧- 1] +（R）- 1)(1 - Λ) + Λ. （21）同样，第二临界度k*（2） 对应于只有震惊的银行及其第一个邻居违约的情况，即。x（d）=rk*（2） 对于d≥ 2、（22）o我的第二个邻居很关键，即。x（2）=（R）- 1)(1 - Λ) + Λ1 - fk*（2） +x（1）k*（2） +（k）*(2)- 1） r=rk*（2） （23）假设r<（1- 2Λ)/(1 - f） 所以x（0）=0:k*（2） =s1+4r（1- f） （R）- 1)(1 - Λ) + Λ- 1.（24）观察k*（2） =O（k）*1/2（1）），因此为第二临界度k*（2） 生长速度比临界温度k慢得多*(1). 这表明，除了在极端情况下*(1)>> 1（只有当R→ 1和f，λ→ 0），在我们的模型中排除了故障直接传播到受冲击银行的第二个和更高邻域的情况（在假设（i- v） ）。B等式（6）的证明给定估计值（10），预期故障数hF i=PF≥1F P（F）可以写成ashF i=Xk≥1p（k）kXF=0FkFq（k）F[1- q（k）]k-F

（25）现在，使用牛顿的二项式公式很容易证明，对于任意两个数字X和Y，kXF=0FkFXFYk-F=kX（X+Y）k-1.（26）使用X=q（k）和Y=1的关系（26）- 式（25）中的q（k）给定i=Xk≥1kp（k）q（k）。（27）注意，对于不相关的网络（其中p（l | k）=lp（l）/z），q（k）独立于k，因此hF i=zq。C公式（1）的证明2.带参数（a，b，C）的高斯超几何函数定义为系列F（a，b；C；ζ）=∞Xn=0（a）n（b）n（c）nζnn！（28）式中（m）n=m（m+1）。（m+n）- 1） 是Poch-hammer符号，ζ是复数。（注意可能令人困惑的符号：Fis是高斯-海珀几何函数，F是由冲击引起的故障数。）它在大c参数极限下的渐近行为由Watson的六边形[O lver，2010，p.397]给出，特别是Rlimf→∞F（a，b；c+F；ζ）=1。（29）使用连接公式F（a，b；c；ζ）=（1）- ζ） c类-A.-bF（c）- a、 c- BCζ） ，（30）这件衣服很薄→∞F（a+F，b+F；c+F；ζ）=（1）- ζ） c-A.-b、 （31）考虑故障分布的表达式（10），假设故障数F足够大（因此q（k）有一个常数q），并插入p（k）形式的幂律度分布~ 1/（k）γ：P（F）~ qFXk≥F（k）γkF(1 - q） k-F=qFXn≥0（F+n）γF+nF(1 - q） 重写F+nF=（F+1）nn！（33）和（F+n）γ=（F）γ（F）n（F+γ）n，（34）我们得到p（F）~qFF（F，1+F；γ+F；1- q） （F）γ。（35）利用渐近公式（31），我们得到了atP（F）~qγ-1Fγ。（36）D平均失败次数：变化的利率和杠杆率。3.3我们研究了两个网络群中由单一冲击引起的平均故障数：Erd¨os-R¨enyi随机网络和Barab¨asi Albert scalefree网络。

具体而言，我们将我们的分析估计（6）与平均度z的每一个值在10个网络上求平均得到的数值结果进行了比较。图S1给出了进一步的结果，显示了改变杠杆率∧和外部利率R的影响。尽管理论（圆）和数值（点）之间的一致性对于所有考虑的值仍然是定性的，我们观察到，当∧和R变大时，系统差异在低z值时显著出现。这与临界度为k的制度相对应*& 15.在这样的制度下，受到冲击的银行的第二和更高级别的邻居很可能会失败，因为第二个关键度是k*（2） 变得明显大于零。

扩展我们的平均场近似是一个有趣的挑战，以便捕捉如此高的邻域效应。èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc3.0 0 0铜铜铜铜耶耶耶耶耶耶\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc%2耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶ccccccccccccccL=1%èL=2%èL=3%èL=4%èL=5%平均故障次数XF\\Barabási-Albert networks HR=3.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2耶耶耶耶耶\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\平均故障次数XF\\Barabási-Albert networks HL=3%L图S1：ER（顶部）和BA（底部）网络中的平均故障次数作为平均度数的函数，r=1.01，f=50%。圆圈代表我们的平均场估计（6），圆点代表N=100个银行的10个网络的数值平均结果。在左列中，我们在固定R=1.02时改变∧；在右栏中，我们在固定的∧=3%（右）处改变R。