绘制系统性风险图：关键程度和故障分布

虽然这种近似显然无法捕捉单个网络的动态，但它确实为研究给定随机网络集合中的故障统计提供了一个易于处理的起点。在这种近似下，我们得到了以下结果（材料、方法和SI）。首先，可以通过ashF i=Xk来估计预期的故障数≥1kp（k）q（k）+··，（6）式中q（k）=Pk*l=1p（l | k）是指相邻或受冲击的河岸被视为次临界程度的概率，并且d ots表明，IHA较高邻域的贡献被忽略。这里p（k）是度分布（节点具有度k的概率），p（l | k）是条件度分布（连接到具有度k的节点的节点具有度l的概率）。请注意，公式（6）意味着非分裂性神经网络（对于非分裂性神经网络，受冲击银行的邻居具有次临界程度的概率q（k）随邻居k的数量增加而增加）更容易受到传染图2：N=53和z=4的样本网络中的故障：从左到右，Cayley树，ER网络，BA网络。黑色节点表示震惊的银行，红色节点表示失败的银行，绿色节点表示安全的银行。这里R=1.02，R=1.01，f=50%和∧=3%。而不是分类的或不相关的[Newman，2002]。其次，我们证明了网络是否为泊松分布（p（k）~ zk/k！）或幂律分布（p（k）~ K-γ） ，失效分布与度分布本身具有相同的渐近行为。在scalefree情况下，这尤其意味着P（F）具有指数γ的幂律法洛夫，因此是厚尾的。

这一结果可以解释为表达了前面提到的无标度网络的“稳健但脆弱”特性：即使当预期的故障数hF i较低时，单一冲击仍可能导致网络的很大一部分损坏。3.3数值测试为了测试这些发现的有效性，我们分析了两种随机网络，其中条件概率分布p（l | k）明确为平均度z的函数（至少在大极限下）：经典的Erd"os-R\"enyi（ER）模型[Erd"os and R\"enyi，1959]，具有泊松度分布，以及Barab\'asi-Albert（BA）模型[Barab\'asi and d Albert，1999]，具有scalefree度分布p（k）~ K-3、对于这两种网络类型，我们为平均度数z的每个值生成了10个随机网络。我们对这些网络中的每一个都用数值求解了等式（3），并使用等式（2）计算了诱发故障的数量F。在此基础上，我们确定了每个z的平均失效次数和经验失效分布，并将其与我们的平均场估计值进行了比较。最后，我们检查了使用有向网络（随机和缩放）不会产生显著不同的结果，从而证实了假设（i）作为有用的第一近似值的有效性。图3a显示了在参数范围R=1.02、R=1.01、f=50%和∧=3%（其中k* 10.2); 另请参见图S1。无论网络拓扑如何，我们发现，在后一种情况下，我们可以检查（6）是否减少到hF i=Pk*l=1lp（l）=qz，其中q（k）=q独立于k。前提是网络是不对称不相关的，即。

当k时，p（l | k）与k无关>> L再见。数值计算的平均故障次数XF\\Erdès-雷诺网络HN=100Lèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè232平均度数z的函数，解析估计（圆）和数值估计（点）。虚线表示临界度数k的值*. 在低z下，经验值和理论值之间的差异是由于第二邻域的贡献，在我们的近似中为负值。0.00010.0010.010.1故障次数F故障分布PHFLErd"os-雷诺网络HN=500；z=8Lk0。00010.0010.010.1pHkL0。00010.0010.010.1故障次数F故障分布PHFLBarabasi-阿尔伯特网络HN=500；z=8Lk0。00010.0010.010.11.pHkL（b）经验（条形）和预测（点）故障分布的对数标度直方图，对于N=500和z=8的10ER和BA网络集合；插图显示了相应的deg ree分布。对于左∧和右∧的网络（R=3.01，R=50%）和右∧的网络（R=3.01）。观察scalefree网络的“健壮但脆弱”性质：虽然最大预期故障数低于ER网络，但灾难性故障的概率要高得多。只要平均程度不太小，hF i的值与OUR估计值（6）非常接近。低z的这种差异有一个简单的解释：虽然我们在平均场近似中忽略了它们的贡献，但我们在Cayley树中看到，第二个和更高邻域失败的可能性是z的递减函数。

3b反过来，在相同的财务参数值下，绘制z=8的ER和BA随机网络故障P（F）的经验分布和我们的分析估计（在材料和方法中给出）。在这里，我们也发现数值结果和我们的平均场近似预测之间的一致性非常好；图3b特别证实了当P（k）为时，P（F）为厚尾。财务参数的这些值（以及任何其他值，如K*. 如果将原始问题（3）的复杂性与我们的平均场ap近似的极端复杂性进行对比，则SI）是显著的。对我们来说，这个结论是我们研究的主要内容：关于临界度k的表达式*作为财务p参数的函数，公式（5），系统性风险的分析结果不仅是可能的，而且直观明了。4讨论我们考虑了金融变量（如利率、杠杆率和金融风险）对银行间系统相对于单个冲击的稳健性的影响。首先关注常规网络，我们获得了临界度的显式公式，低于临界度故障开始通过网络传播。在此基础上，我们展示了如何推导出随机（可能是强异构）网络中预期故障数和故障分布的简单而可靠的近似值。我们工作的有趣扩展可能包括银行间风险敞口与网络程度之间的非线性关系、重叠投资组合、多重或概率冲击以及多重周期动力学。尽管我们的模型具有高度的稳定性，但我们的结果为系统性风险的重要方面提供了新的启示，例如传染与利率政策之间的关联[Freixas et al.，2010]。

利用利率、流动性要求和杠杆率的合理值，我们发现临界度为k*从5到10的顺序。FedFu nds市场的一项实证分析[Soram–aki等人，2007]发现平均度为z 但几乎一半的银行的out学位低于4，因此很容易受到传染。在2008年金融危机中，银行间网络的平均等级下降，增加了系统性风险[Minoiu和Reyes，2013]。虽然监管机构并不直接控制金融网络的拓扑结构，但了解已有的利率、杠杆和流动性要求工具如何影响临界程度是很有用的。我们观察到临界度k的公式（5）*减少到1/（R）- 1） 在高杠杆、低流动性的限制下。极限值可以用“成本效益”的经验法则表示，如下所示。如果i银行把l借给j银行，而j不偿还i，我将失去l；另一方面，如果j用从i借来的钱进行了成功的投资并全额偿还，j将获得利润（R- 1） l.临界度k*就是潜在损失l与潜在收益（R）的比率- 1） 每一笔交易的l。鉴于评估实际金融网络稳健性的问题非常困难，这个简单的经验法则可以证明是一个方便的“零阶”近似。更重要的是，这种解释与一个看似无关的问题建立了直接联系：汉密尔顿（Hamilton，1964）著名研究的合作演化条件。

参考文献[Ohtsuki et al.，2006]最近将他的见解扩展到了图表和社交网络，表明“如果利他行为的收益b除以成本c，超过了邻居的平均数量k，即b/c>k，那么自然选择有利于合作”。这一简单规则与我们在高杠杆、低流动性银行间网络中发现的冲击传播规则完全相同：临界程度由促进系统性传播的活动（分别为合作和银行间借贷的收益）与抑制系统性传播的活动（分别为合作成本和外部收益）的比率给出。这种意想不到的联系支持了霍尔丹和梅在2008年危机后倡导的生态和金融融合[霍尔丹和梅，2011年]，并指出aSee[Soram–aki等人，2007年]对贷款规模和网络程度之间相关性的实证测量。更准确地说，自然选择有利于合作的标准是b/c>knn，其中knn是平均n近邻度，参见[Konno，2011]。网络资源共享的统一视角。材料与方法网络在本文中，我们考虑了三类网络：Cayley树、ER网络和BA网络。它们的定义如下：Cayley Trees是没有循环的图，其中每个节点连接到固定数量的邻域。给定一个（任意选择的）“根”节点i，距离iisk（k）d处的节点数- 1） d-1.oER网络s是最简单的随机网络：给定N个节点，每个可能的边都包含在网络中，概率为pφ，独立于其他边。当N>> 1，这是泊松度分布P（k）=e的随机网络的结果-ZKK！，（7） 式中z=φ（N- 1） 是平均学位。

在这种网络中缺乏相关性意味着条件度分布——一个节点连接到一个度为khas度l-的节点的概率仅为p（l | k）=lp（l）/z。BA网络是通过随机增长过程获得的。从m个初始节点上的一个完整图开始，每个新节点被添加到m个现有节点上，其概率与现有节点已经拥有的链路数量成正比。在大时间限制下，该过程定义了一个具有（条件）度分布的相关随机网络[Fotouhi和Rabbat，2013]p（k）=2m（m+1）k（k+1）（k+2），（8）p（l | k）=mklk+2l+1-2m+2m+1k+l-zl-Mk+l+2l!, （9） k在哪里≥ M平均度数由z=2m表示。故障分布考虑具有度分布p（k）和条件度分布p（k | l）的随机网络。假设这个函数的阶数为k，q（k）=Pk*l=1p（l | k）是指受冲击银行的高风险为次临界程度的概率。根据我们的“平均场”假设，ifail的第一个邻域的概率由F个邻域具有亚临界度的概率q（k）F乘以概率[1]给出- q（k）]k-FTK- F个邻域具有超临界度，乘以k个邻域中F个失败邻域的选择数。通过将其与k个邻域的概率p（k）进行权衡，我们得出atP（F）=Xk≥Fp（k）kFq（k）F[1- q（k）]k-F+（较高邻居的贡献）。（10） 然后，通过评估hF i=PF，获得预期故障数（6）≥1F P（F）（见SI）。

注意，表达式（10）是复杂网络上渗流的经典理论的重要体现，其中[Cohen et al.，2001]表明，移除节点的一部分qo后，度分布p′（k′）由p′（k′）=Pk以旧的d度分布p（k）的s表示≥k′p（k）kk′qk（1）- q） k′-k、 这并不奇怪：我们平均场近似的全部目的是将一个动力学问题（还款计算）简化为一个拓扑问题（失败仅取决于程度）。大F渐近现在我们考虑当F>> 1（因此适用于k级银行>> 1） 假设q（k）在这个极限下独立于k。（这等于说，当| k时，相邻节点的角度k和l之间的相关性变得无关紧要。）- l|>> 1.这对ER和BAnetworks都适用。）让我们分别考虑泊松分布和幂律分布网络（参见SI f规则）泊松网络。给定泊松度分布p（k）=e-zzk/k！，恢复（10）是严格向前的，并且给定SP（F）=e-zq（zq）FF！。（11） 因此，在泊松分布网络中，故障分布是泊松分布，平均值为zqScalefree网络。对于无标度网络，我们观察到，当γ是一个整数，对于足够大的k，Pochhammer符号（k）γ=k（k+1）。（k+γ）- 1） 可以在度分布p（k）中代入kγ~ 1/kγ。这允许显式执行求和（10），yieldingP（F）~qFF（F，F+1；F+γ；1- q） （F）γ~qγ-1Fγ，（12）在第二步中，我们使用了高斯超几何参数[Temme，2003]。

γ的解析延拓表明，对于非整数γ，P（F）也是指数γ的标度函数。在这两种情况下，P（F）的尾部与自身的度分布具有相同的性质（泊松或幂律）。致谢我们感谢2013年圣达菲研究所复杂系统暑期学校（该项目的发起地）的参与者和员工，感谢他们给我们带来了非常激动人心的体验。我们特别感谢T.J.Carter、R.Martinez和M.M.King，感谢他们在本研究早期的帮助，感谢B.Vaitla博士提醒我们注意参考文献[Ohtsuki et al.，2006]。感谢与V.Bonzom进行的有益讨论。该研究所周边的研究部分由加拿大政府通过加拿大工业部和安大略省研究和创新部提供支持。参考文献。Acemoglu、A.Ozdaglar和A.Tahbaz Salehi。金融网络中的系统性风险和稳定性。哥伦比亚商学院研究论文第13-4号，2013年1月。阿吉翁、博尔顿和德瓦特里邦。在一个自由的银行体系中，传染性的银行倒闭。欧元。经济部。牧师。，44（4-6）：713-718，2000年5月。R.Albert、H.Jeong和A.-L.Barab\'asi。复杂网络的容错和攻击能力。《自然》（伦敦），406（6794）：378-3822000年7月。艾伦和盖尔。金融传染。J.波利特。经济。，108（1）：2000年2月1日至33日。F.艾伦、A.巴布斯和E.卡莱蒂。金融危机：理论与证据。阿努。牧师。鳍经济。，2009年12月1日至11日。N.阿林·阿米帕蒂、S.卡帕迪亚和R.M.梅。模型社会系统的规模和复杂性。过程。纳特尔。阿卡德。Sci。美国，109（45）：18338-183432012。A.B.阿什克拉夫特和D.杜菲。联邦基金市场的系统性流动性不足。是经济部。牧师。，97（2）：221-225，2007年5月。A-L.巴拉巴西和R.阿尔伯特。随机网络中的伸缩现象。《科学》286（5439）：509-5121999。A.巴拉特，M。

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