密不可分的金融体系

定理1（b）使用了与[1]相同的证明，因此被省略。4.1定理1的证明下文第（I）-（VIII）项中所述参数及其值的推导源自[1]中的工作，因为将对方邻居的数量从2更改为2r不会对其产生影响。为了完整起见，附录中提供了这些推导。（一） t=0时可在t=1时展期的最大借款金额由以下公式得出：DmaxRi，0=右- B+XRi，0<1以及上述银行借款的预期收益Dmaxis B.（II）在所有银行都购买对方保险的稳定系统中，违约保险的价格perunit为安全=1- βn- βpn（上标“safe”表示被保险系统）。（三） 在一个所有银行都购买对方保险的稳定系统中，银行为项目的单位投资借入的金额是安全的=1.-pn右- B+X+pnL（IV）在银行决定不购买保险的传染系统中，银行为项目isD的单位投资借入的金额=1.- P右- B+X+ PL（V）在一个传染系统中，银行决定不购买保险，贷款金额的利率为isRi,0=1 - p1-LRH- B+X！8巴斯卡·达斯古塔和拉克希米·卡利戈贝德（六）佩特姆=1.- βnn- 1.BRH+X- L- B1.- β+RL+βB- 自然对数- 1..（七） pf。aut=1.- βRH+X- B- RLRH+X- L- B1.- β-βn右- RL.（八） 小鱼。aut，pr，aut，pf。自动，上标s.aut、r.aut和f.aut分别代表安全自给自足、风险自给自足和完全自给自足。引理1。pind=I1.- ββB（引理1非正式地表示，坏状态的概率必须至少为pind=I）1.-ββb银行的收益超过其交易对手保险的成本）。证据

当以下情况成立时，单个银行保持投保而不是偏离对方保险的私人动机（在不平等的左边，第一项是没有银行违约时的赔付，第二项是银行的任何交易对手违约时的赔付，第三项是投资于购买银行交易对手保险的资金，第四项是银行的股权）：所有被保险银行的收益≥ 除一家未被保险的银行外，所有银行的收益≡ β1 -1+2r请注意！B+β2rpnB+I- 萨菲2rI-1.- 安全≥ β1 -（1+2r）。请注意！B-1.- 安全≡ β2rpnB+I- 萨菲2rI≥ 0≡ β2rpnB+I-1.- βn+βpn！2rI≥ 0≡2βrpBn+2βrpIn-2rIn+2rβIn-2βrpIn≥ 0≡ βrpB- rI+rβI≥ 0≡ βrpB≥ 里- rβI≡ β-pB≥ 我- βI≡ P≥我1.- ββB==> pind=I1.- ββB引理2。psoc=2Ir1.- βN- 1.RH+X- L- B1.- β.（非正式地说，引理2表示坏状态的概率必须最多为psoc=2Ir（1）-β） （n）-1） （右+X）-L-B（1）-β） ）的社会效益超过其交易对手保险的社会成本）。证据

当且仅当以下条件成立时，该系统的社会效益大于对方保险的社会成本：密集纠缠的金融系统9所有被保险银行的效益≥ 未投保银行的收益≡ β1 -1+2rpnB+β2rpnB+I！- 萨菲2rI-1.- 安全≥ β1.- PB-1.- D≡ βB-β-Bpn-2βBp-rn+2βBp-rn+2βI-prn-1.- βn+βpn！2rI- 1 +1.-pnRH+X- B+p Ln≥ βB1.- P- 1 +1.- P（右+X）- B） +PL≡ βB-βBpn+2βI-prn-2rIn+2βrIn-2βI-prn- 1+RH+X- B-pRHn-pXn+pBn+pln≥ βB- pβB- 1+RH+X- B- 公屋- pX+pB+pl≡ -β-Bpn-2rIn+2βr-In-p RHn-PxN+PbN+Pln≥ -pβB- p RH- PX+PB+PL≡ -β-Bpn-p RHn-pxn+pbn+pln+pβB+prh+px- p B- PL≥2RIn-2βRIn≡ P- βB- 右- X+B+L- nβB+nRH+nX- nB- nL≥ 2Ir1.- β≡ PβB（n- 1） +RH（n）- 1） +X（n）- 1) - B（n）- 1) - L（n）- 1)≥ 2Ir1.- β≡ P≥2Ir1.- βN- 1.βB+RH+X- B- L≡ P≥2Ir1.- βN- 1.RH+X- L- B（1）- β)因此psoc=2Ir1.- βN- 1.RH+X- L- B（1）- β). 推论1。如果每家银行只有两个交易对手，则r=1，因此psoc=2I（1- β)N- 1.RH+X- L- B（1）- β).引理3（风险自给自足的失败概率）。pr.aut=（1）- β） nn- 1X1-2r！2rrXK=0K！（2r）- K） !！RH+X- L- B（1）- β) -（nβ- 1） Xn- 1.1.-2r！2rrXK=0K！（2r）- K） !！（引理3的非正式解释如下。如果一家银行拥有足够的股权，即使其所有交易对手破产，也能生存下来，那么该银行可能会被迫减少借款，这是不可取的。但是，如果该银行决定偏离风险自给自足，那么如果真正的项目交付人- 2ru。如果银行选择风险自给自足，则失败的概率由PR给出。aut=（1）- β） nn-1X1-2r！2rPrK=0K！（2r）- K） !！RH+X-L-B（1）-β)-（nβ-1） Xn-1.1.-2r！2rPrK=0K！（2r）- K） !！).证据对于处于风险自给自足状态的银行来说，他们借款较少，因此如果其邻国破产，银行可以在t=1时展期偿还债务，但不需要在t=2时生存。

相关的激励约束是：10 Bhaskar DasGupta和Lakshmi KaligounderRH+2r！X2rrXK=0K！（2r）- K） !！- Rr。auti，0Dr。aut≥ B≡ Rr。auti，0Dr。aut≤ 右- B+2r！X2rrXK=0K！（2r）- K） !！t=0时投资者的盈亏平衡条件为：Dr.aut=pnL+1.-pnRr。auti，0Dr。aut≡ Dr.aut=pnL+RH- B-pnRH+pnB+1.-pn2r！X2rrXK=0K！（2r）- K） !！如果且仅当以下条件成立时，银行才决定在传染系统中不偏离风险自给自足：传染系统中的支付≥ 风险自给自足的回报≡ β (1 - p） B-1.- D≥ β(1 - p）RH+X- Rr。auti，0Dr。aut+ βn- 1np B-1.- 奥特博士≡ βB- pβB- 1+RH+X- B- p RH- Px+Pb≥β - βRH+X- RH+B-2r！X2rPrK=0K！（2r）- K） βn- 1np B- 1+pnL+RH- B-pnRH+pnB+1.-pn2r！X2rPrK=0K！（2r）- K） !！≡nn- 1(1 - β） X1-2r！2rPrK=0K！（2r）- K） ！！≥ p“RH+X- L- B（1）- β) -（nβ- 1） Xn- 11-2r！2rPrK=0K！（2r）- K） #这意味着公关。aut=（1）- β） nn- 1X1-2r！2rrXK=0K！（2r）- K） !！RH+X- L- B（1）- β) -（nβ- 1） Xn- 1.1.-2r！2rrXK=0K！（2r）- K） !！推论2。如果邻居的数量是2，那么r=1，thuspr。aut=（1）- β） nn- 1X1-+!RH+X- L- B（1）- β) -nβ- 1n- 1X1-+!!紧密纠缠的金融系统11≡ pr.aut=（1）- β） nn- 1X1-RH+X- L- B（1）- β) -nβ- 1n- 1X1.-≡ pr.aut=（1）- β） nn- 1XRH+X- L- B（1）- β) -nβ- 1n- 1.十、引理4（安全自给自足的失败概率）。ps.aut=（1）- β)nn- 1.2ru+X- BRH+X- L- B+βB+1- βn- 1.X+2ru- B（引理4的非正式解释如下。如果一家银行选择偏离安全自给自足，除非它直接受到低回报RL的影响，否则它将生存。即使真正的项目交付了RH，它也可以偿还债务。）-2ru。如果银行选择安全自给自足，则失败概率由ps.aut=（1）给出-β)nn-1.2ru+X-BRH+X-L-B+βB+1-βn-1.X+2ru-B).证据假设一家银行在t=2的情况下生存，即使其所有交易对手风险都已实现，以确保实际项目的回报是相对的- 2ru。

因为银行需要足够的股权来生存，即使真正的项目产生收益- 2ru，我们有- 2ru- Rs.auti，0Ds。aut≥ 0≡ Rs.auti，0Ds。aut≤ 右- 2在t=0时，投资者的盈亏平衡条件为：Ds。aut=1.-pnRs.auti，0Ds。aut+pnL≡ Ds。aut=1.-pn右- 2ru+PNLBank不会偏离传染性系统的安全自给自足，当且仅当以下条件成立：传染性系统中的支付≥ 安全自给自足中的支付≡ β1.- PB-1.- D≥ β1.-pnRH+X- Rs.auti，0Ds。aut-1.- Ds。aut≡ βB- pβB- 1+RH+X- B- p RH- PX+PB+PL≥β -pβnRH+X- RH+2ru- 1+RH- 2ru-pnRH+pn2ru+pnL≡ βB- pβB+X- B- 公屋- PX+PB+PL≥ βRH+βX- βRH+2βru-pβRHn-pβXn+pβRHn-2pβ跑- 2ru-pnRH+pn2ru+pnL≡ βB+X- B- βX- 2βru+2ru≥pnnβB+nRH+nX- nB- nL- βX- 2rβu- 右+2ru+L！≡ (1 - β） X- (1 - β） B+2ru（1- β） 12巴克尔·达斯古塔和拉克希米·卡利戈文≥pnnβB+RH（n- 1） +nX- nB- L（n）- 1) - βX+2ru（1- β） +X- X+B- B+βB- βB！≡ (1 - β） n2ru+X- B≥ pβB（n- 1） +RH（n）- 1） +X（n）- 1) - B（n）- 1) - L（n）- 1） +X（1）- β） +2ru（1）- β) - B（1）- β)!≡ (1 - β） nn- 1（2Ru+X）- B）≥ pβB+RH+X- B- L+1- βn- 1（X+2ru）- B） !！≡ P≤ (1 - β)nn- 1.2ru+X- BRH+X- L- B+βB+1- βn- 1.X+2ru- B这意味着ps.aut=（1- β)nn- 1.2ru+X- BRH+X- L- B+βB+1- βn- 1.X+2ru- B.推论3。如果邻居的数量是2，那么r=1，然后thusps。aut=1.- βnn- 1.2u+X- BRH+X- L- B+βB+1- βn- 1.X+2u- B引理5。在均衡状态下，银行对冲其所有交易对手风险，即银行内生签订场外交易合同。证据

当且仅当传染均衡中对冲的收益>不对冲的收益时，银行对冲其所有交易对手风险≡ β1.- PB> β1.- P2r！2rB+2ru0！（2r）- 0)!+B+（2r- 2） u1！（2r）- 1)!+B+（2r- 4） u2！（2r）- 2） ！+····+B+（2r- 2r）u2r！2r-2r！！≡ B> 2r！2rB+2ru0！（2r）- 0)!+B+（2r- 2） u1！（2r）- 1)!+B+（2r- 4） u2！（2r）- 2)!+ · · · +B+（2r- 2r）u2r！2r-2r！！≡ B> 2 u rrXK=02r- 2KK！（2r）- K） !！2r-rXK=02r！K（2r）- K） !！这满足了不平等性（4），因此银行对冲了所有的交易对手风险。密集纠缠的金融系统13让成功项目的回报是RH+|i-r | Xk=|i-1 |εk-| 我-2r | Xk=|i-（r+1）|εk.假设如果交易对手实现了其未被边缘化的风险，则银行在t=2时破产-u、 如果银行无法在t=2时偿还其债务，即RH，则为真- u<Ri，0D≡ 右- u<RH- B+X≡ u>B- Xif银行亏损时倒闭-在其未对冲的对手风险敞口上，当损失大于-u对其未对冲的对手风险敞口表示担忧。推论4。如果对方邻居的数量为2（即r=1），则B>2u2- 00! (2 - 0)!+2.- 21! (2 - 1)!!-2.0! (2 - 0)!+2.1.(2 - 1)!!≡ B> 2u和u>B- 引理6。当相邻交易对手的数量少于n/2时，如果一个或多个交易对手违约，银行选择回避，因为银行未被对冲，导致其债务在t=1时未被展期。证据如果一家银行在t=0时借入Dmax（Rl，0），并且如果该银行的预期收益率较低，则债务融资不会在t=1时展期。由于RL<L，债权人将希望终止该项目。

如果其债务融资未在t=1时展期，银行将破产。如果对方邻居的数量2r小于n/2，则因对方风险导致的故障概率小于n/2n，即对方风险的概率小于/2。由于我们假设银行将考虑至少/2的交易对手风险概率来投保交易对手风险，因此当2r<n/2时，银行不会使用违约保险来投保交易对手风险。当2r≥n/2，交易对手风险的可能性至少为/2，因此银行将对冲交易对手风险。交易对手保险赔付发生的概率为2rpn（如果是私人视角）和概率（n-1） 从社会角度来看。因此，随着2r增加到n- 1.私人视角下的对方保险赔付概率与社会视角下的相同。当2r≥n/2，各银行将通过购买对方保险来对冲对方风险。当2r<n/2时，银行不会对冲交易对手的风险，因此，交易对手的失败将导致违反其激励约束，因此银行逃避，项目交付RL。设Dbe为t=1时要滚动的债务量。投资者将要求更高的利率，以实现收支平衡。设Ps为一家银行不违约的概率，Pf为一家银行违约的概率，Nd为任何一家银行违约的邻居的数量。因此，Ps=2r- nd2r和Pf=nd2r。

根据投资者的盈亏平衡条件，我们得到psri，1D+PfRL=D≡ Ri，1D=D- PfRLPs14 Bhaskar DasGupta和Lakshmi Kaligo在激励约束下为β（RH- Ri，1D+X）≥ βB≡ β-RH-D- PfRLPs+X！≥ βB≡ PsRH- D+PfRL+PsX≥ BPs≡ PsRH- D+PfRL+PsX≥ BPs≡ 附言RH+X- B+ PfRL≥ DIf如果银行最初借入了D，则其必须在t=1 isRi，0D=RH+X时展期的金额- B、 但实际的滚动量只有yps（RH+X）- B） +PfRL。推论5。若对方邻居的数量为2（即2r=2），默认银行的数量为1（即nd=1），则Ps=2r-nd2r=/2，Pf=nd2r=/2，然后RH+X- B+ PfRL≥ D≡RH+X- B+RL≥ DAppendix 1：剩余证明（I）Dmax=RH的证明-B+XRi，0<1银行以t=1生存且不承担风险的激励约束可以写为：如果银行施加了影响，则支付≥ 如果银行不施加影响，则支付≡ β[RH]- Ri，0D+X]≥ βB≡右- B+XRi，0≥ D≡ Dmax=RH- B+XRi，0<1 |{z}自Ri，0≥ 根据不等式（3），RH+X- B≤ 1（II）ssafe的证明=1-βn- 假设所有交易对手都投保了。保险公司必须持有2RI的资本金。如果所有银行都为其交易对手的失败投保，那么如果违约保险的每单位价格由盈亏平衡条件决定，保险基金将实现盈亏平衡。用上标“保险箱”来表示被保险系统，我们得到了密集纠缠的金融系统15t=2时保险基金中剩余的预期金额=t=0时保险基金必须预留的金额≡ β（2rI）- 2prI）=2rI- 2nrIs≡ β1.- P= 1.- ns≡ ssafe=1- βn- βpn（III）Dsafe的证明=1.-pn（右）- B+X）+P一旦投资者收支平衡，我们就1.-pnRsafeDsafe+pnL=Dsafe。

结合可借的最大金额，我们得到Dmax=RH- B+XRi，0==> RsafeDsafe=RH- 这证明了我们的索赔。（四） D的证明= (1 - p） （右）- B+X）+p如果所有银行都决定不购买保险，并持有最低金额的股权以展期偿还债务，那么这个系统就会传染。投资者总是会预测均衡和盈亏平衡，这意味着（1）- p） Ri，0D+ PL=D≡ D= (1 - p） （右）- B+X）+pl{z}自由（I）Ri，0D= 右- R的B+X（V）证明i,0=1-P1.-LRH-B+XRi，0D= 右- B+X |{z}by（I）≡ Ri，0=RH- B+XD≡ Ri，0=RH- B+X（1）- p） （右）- B+X）+pL |{z}因为，由（IV），D= (1 - p） （右）- B+X）+PL≡ Ri,0=1 - P1.-LRH-B+X‘16 Bhaskar DasGupta和Lakshmi Kaligounder（VI）关于pterm=（1）的证明- β)nn-1.BRH+X-L-B（1）-βB）+RL+βB-自然对数-1.如果一家银行长期借款，银行可以借款到一定程度，使他/她在长期借款和逃避这两个时期之间有所不同，以收集B+B。在长期贷款中，投资者在任何情况下都不能清算银行。由于仅在第二个阶段逃避显然是次优的，银行在这两个阶段都会逃避，并且t=0时的预期支付是B+B，因此处于良好状态的支付必须至少是B+B。