信息在双交易者市场中的作用

为了证明这一点，最好选择τ完全等同于τ：因此我们首先确定S=S，K=K，I=I。这意味着两个交易者的初始条件是相同的。此外，我们还要求λinf=0.5（只是为了验证这些想法），ωs=ωs=：ωs，ωc=ωc=：ωcandOhm= Ohm. 因此，τ的哈密顿量与τ的哈密顿量相同。这意味着两个交易者的矩阵Tjin（3.4）是相等的：T=Tand，显然，两个交易者的投资组合在时间演化过程中是一致的：π（T）=π（T）=：π（T）。有趣的是ω和ωc的值越高，投资组合的振荡幅度就越小：就像在非常不同的系统中一样[5]，在这种简单的情况下，自由哈密顿量的参数表现为交易者的一种惯性，限制了越来越多的振荡宽度。在图1中，我们绘制了S=30、K=15和I=5以及ωS=ωc=20的π（t），Ohm= Ohm= 3（左），对于ωs=ωc=2，Ohm= Ohm= 3（右）。我们在这两种情况下都能看到π（t）的振荡，但在这两种情况下，振荡的范围（和频率）非常不同。现在让我们考虑这样一种情况：最初（即t=0时）以同样的方式（S=S=30，K=K=15，i=i=5）准备的两个交易者不再完全相等：我们再次将ωS=ωS=：ωc=ωc=：ωc，但我们现在假设Ohm> Ohm. 特别是，在图2中，我们绘制了选择ωs=1，ωc=2的π（t）（左）和π（t）（右），Ohm= 5和Ohm= 1.在图3中，参数为ωs=1，ωc=2，Ohm= 10及Ohm= 1.44.9044.9244.9444.9644.9845.00图1：ωs=ωc=20（左）和ωs=ωc=2（右）的π（t）图43.544.044.545.0图2：ωs=1的π（t）（左）和π（t）（右），ωc=2，Ohm= 第五条Ohm= 1我们再次看到Ohm产生较小的振幅（较大的惯性）和较大的频率。

事实上，从图1-3中也可以明显看出，theomega影响函数πj（t）的（伪）频率：似乎信息损失越大，投资组合价值的变化越频繁。从这两个图中可以明显看出，自由哈密顿量的值实际上在相互作用系统的时间演化中起着相关的作用。这很有趣，因为如果我们取λinf=0，那么π（t）和π（t）在时间上都保持不变：无信息=> 不许动！我们现在考虑的不是这个模型的其他方面，而是一个不同的方面。744.844.945.0图3：π（t）（左）和π（t）（右）表示ωs=1，ωc=2，Ohm= 10及Ohm= 1更有趣的哈密顿量，基于LoI与交易者周围的外部世界（谣言、新闻、事实等）有关的想法。我们感兴趣的哈密顿量只是上一节介绍的哈密顿量的一个推广版本。主要区别在于，两对信息算子（i，i+）和（i，i+）被两个类似的算子族取代，它们用实数标记：（i（k），i+（k））和（i（k），i+（k）），其中k∈ R可以被视为一个波数，满足交换规则[in（k），i+m（q）]=δn，mδ（k- q） 11，所有其他换向器为零。哈密顿量现在是H=H+Hinf，H=Pj=1（ωsj^sj+ωcj^Kj+RROhmj（k）^Ij（k）dk），Hinf=λinfPj=1RRij（k）（s+j+c+j）+i+j（k）（sj+cj）dk。（4.1）模型再次承认了一些运动积分：^Mj:=^Sj+^Kj+^Ij=^πj+^Ij，其中^πj=^Sj+^Kjis，与之前一样，τjand^Ij=RR Ij（k）dk的组合算子是它的完整LoI。

这些运动积分的存在具有我们在上一节中已经讨论过的经济意义，这里不再重复。τjc算子的海森堡运动方程很容易找到：ddtsj（t）=-iωsjsj（t）- iλinfraj（k，t）dk，ddtcj（t）=-iωcj（t）- iλinfraj（k，t）dk，ddtij（k，t）=-我Ohmj（k）ij（k，t）- iλinf（s（t）+c（t））。（4.2）我们将在ωsj=ωcj=：ωj的简化假设下求解该系统。这在技术上是方便的，因为在这种情况下，上述系统可以被方程组（ddtcj（t）=-iωjcj（t）- iλinfraj（k，t）dk，ddtij（k，t）=-我Ohmj（k）ij（k，t）- iλinf（2cj（t）+e-iωjt（sj（o）- cj（0）））。（4.3）众所周知，在这种情况下如何进行[5]：我们首先以整体形式重写第二个方程，然后在上面的第一个方程中替换该公式。现在，假设Ohmj（k）=Ohmjk的一些积极因素Ohmj、 回忆起那件事-我Ohmjk（t）-t） dk=2πOhmjδ（t）- t） 对于合适的g（t），Rtg（t）δ（t-t） dt=g（t），经过一些标准计算，我们推断出cj（t）=e-iωj+2πλinfOhmJt××cj（0）1+e2πλinfOhmjt！-sj（0）e2πλinfOhmjt- 1.- iλinfZRij（k）η（1）j（k，t）dk#。（4.4）这里我们定义了函数η（1）j（k，t）=i（ωj）- Ohmjk）+2πλinfOhmJ经验i（ωj）- Ohmjk）+2πλinfOhmJT- 1..如前一节所述，我们感兴趣的是，首先，整个系统中h.i状态的^Kj（t）=c+j（t）cj（t）的平均值，即交易商及其水库的状态。

对于形式为Xsm的每个运算符 Yres，XSM是股票市场的运营商，YRESA是水库的运营商，我们有HXSM Yresi:=h k G，Xsm k Giωres（Yres）。在这里，与前一节中介绍的向量类似，定义了φG=φS，K，S，K，而ωres（.）是满足标准性质[5]的状态，ωres（11res）=1，ωres（ij（k））=ωres（i+j（k））=0，ωres（i+j（k）il（q））=N（i）j（k）δj，lδ（k）- q） ，对于合适的函数N（I）j（k）。此外，对于所有的j和l，ωres（ij（k）il（q））=0。然后我们发现nkj（t）：=Dc+j（t）cj（t）E=E-4πλinfOhmjt×（4.5）×NKj（0）1+e2πλinfOhmjt+NSj（0）e2πλinfOhmjt- 1!+ λinfZRN（I）j（k）|η（1）j（k，t）| dk,在这里，我们引入了，与NKj类似，NSj（t）：=Ds+j（t）sj（t）E。现在使用sj（t）=cj（t）+E的事实-iωjt（sj（0）- cj（0）），我们还可以推导出nSj（t）的时间演化，结果是beNSj（t）=NKj（t）+e-2πλinfOhmjtNSj（0）1- e2πλinfOhmjt！- NKj（0）1+e2πλinfOhmjt！！++NKj（0）+NSj（0）。（4.6）现在很容易推导出投资组合πj（t）=NKj（t）+NSj（t）的渐近行为。经过一些计算，并假设N（I）j（k）=N（I）jis常数在k中，我们推导出Δπj:=limt→∞πj（t）- πj（0）=-πj（0）+2λinfOhmjN（I）jZRdk4πλinf+Ohmj（ωj）- Ohmjk）。积分可以用标准的复变技术来计算，我们得到以下结果Δπj=-πj（0）+N（I）j.（4.7）在我们的想法中，这个结论不是特别有意义，因为它表明，在τ和τ之间，准备得更好的人，是从较小的投资组合开始，并且相关储层的N（I）j值更大的人：例如，如果π（0）=π（0）和N（I）>N（I），那么Δπ>Δπ。我们不太满意的是，显然，Hdo的参数在交易者的投资组合行为中不起任何作用，至少在长期范围内是如此。

这表明模型应该进一步改进，这实际上是下一节的内容。V储层生成信息本节专门讨论一个不同的、可能更有趣的模型，在该模型中，储层（而不是直接与意向书相连）用于生成到达交易商的信息。更详细地说，哈密顿量是H=H+Hint，H=Pj=1（ωsj^sj+ωcj^Kj+Ohmj^Ij+RROhm（r） j（k）^Rj（k）dk），Hint=Pj=1hλinfij（s+j+c+j）+i+j（sj+cj）+ γjRR（i+jrj（k）+ijr+j（k））dki，（5.1）其中^Rj（k）=r+j（k）Rj（k），^Sj，^Kjand^ij的定义如第三节所述，并假设以下CCR，[Sj，s+k]=[cj，c+k]=[ij，i+k]=11δj，k[Rj（k），r+l（q=11δj，l）]（k）- q） ，所有其他换向器都为零。这里由运营商Rj（k）、r+j（k）和^Rj（k）对水库进行了描述，它被用来对所有谣言、新闻和外部事实进行建模，这些因素共同创造了最终信息。这个哈密顿量包含一个自由正则部分H，而Hint中的两个贡献分别描述了：（i）第三节中考虑的相同机制：当LoI增加时，Portfolio的值减少，反之亦然；（ii）当储层的“价值”增加时，LoI增加，反之亦然。例如，考虑到Hintwe中的贡献ijr+j（k），当大量新闻、谣言等到达交易者时，LoI会降低（以便交易者更好地了解情况）。再一次，在（5.1）中没有考虑τ和τ之间的相互作用，因为这不是本文的主要目的。与之前的模型一样，在时间演化过程中保留了一些自伴算子。这些算子是^Mj=^Sj+^Kj+^Ij+^Rj=^πj+^Ij+^Rj，j=1,2。这里，与第三节中介绍的算子相比，onlynew算子是^Rj=RRr+j（k）Rj（k）dk。然后我们可以检查[H，^Mj]=0，j=1，2。

这意味着，时间上不变的是每个交易者的投资组合、投资意向书和储备投入的总和。一旦发生，现金或股票数量在时间上保持不变，就没有普遍的需要，事实上也没有必要。现在可以很容易地推导出海森堡微分运动方程：ddtsj（t）=-iωsjsj（t）- iλinfij（t），ddtcj（t）=-iωcj（t）- iλinfij（t），ddtij（t）=-我Ohmjij（t）- iλinf（sj（t）+cj（t））- iγjrrj（k，t）dkdtrj（k，t）=-我Ohm（r） j（k）rj（k，t）- 我是jij（t）。（5.2）在上一节中，为了简化处理，我们要求ωsj=ωcj。然而，考虑到我们已经推断出的结果，我们现在将避免做出这种假设。我们在这里没有给出这个系统解决方案的细节，细节可以通过[5]来推导。我们只讨论主要步骤。首先，我们把最后一个方程改写成积分形式：rj（k，t）=rj（k）e-我Ohm（r） j（k）t- iγjZtij（t）e-我Ohm（r） j（k）（t）-t） 我们在微分方程ij（t）中替换它。假设Ohm（r） j（k）=Ohm（r） 如前一节所述，我们推导出thaddtij（t）=-我Ohmj+πγjOhm（r） j！ij（t）- iγjZRrj（k）e-我Ohm（r） jktdk- iλinf（sj（t）+cj（t））。（5.3）在本节的其余部分中，我们将在这样的假设下工作，即与其他因素相比，这个等式中的最后一个因素可以忽略。换句话说，我们认为λ很小。然而，我们的程序比简单地在H中考虑λinf=0要好一些，因为我们将在（5.2）中的两个方程中保留这一项的影响。

现在求解（5.3）的简化表达式，并替换（5.2）中第一个方程中的解ij（t），我们发现：sj（t）=e-iωsjtsj（0）- iλinfαj（t）ij（0）- λinfγjZRrj（k）η2，j（k，t）dk, （5.4）其中我们定义了αj（t）=e（iωsj）-Γj）t- 1iωsj- Γj，η2，j（k，t）=Ztη1，j（k，t）e（iωsj-Γj）tdt，其中Γj=iOhmj+πγjOhm（r） j，η1，j（k，t）=e（Γj-我Ohm（r） jk）t- 1Γj- 我Ohm（r） jk。从（5.2）中可以清楚地看出，对于cj（t），可以推导出一个完全类似的解。唯一的区别是，ωsj应该被ωcj取代。系统的状态扩展了上一节的状态：对于表单Xsm中的每个操作符 Yres是股票市场的运营商，Yres是水库的运营商，我们有HXSM Yresi=h k G，Xsm k Giωres（Yres）。在这里，形式为ФG=ФS，K，I，S，K，I的νGis与第三节中的形式完全相同，而ωres（.）状态是否再次满足ωres（11res）=1，ωres（rj（k））=ωres（r+j（k））=0，ωres（r+j（k）rl（q））=N（r）j（k）δj，lδ（k）- q） ，对于一个合适的函数N（r）j（k），如第四节所示。同样，对于所有的j和l，ωres（rj（k）rl（q））=0。NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（t）NSj（0）和（0）NJ（0）和NSj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）sj（0）S），就是NSj（t）和nkj（t）的和。我们感兴趣的是πj（t）在长时间尺度上的变化：Δπj:=limt，∞πj（t）- πj（0）。公式（5.5）表明，如果γjis足够小，则积分贡献预计对Δπj的贡献不大。因此，我们将不在本节的其余部分中考虑它。现在我们发现Δπj=λinfIj(Ohm（r） j）πγj+（ωsj）- Ohmj）(Ohm（r） j）+πγj+（ωcj）- Ohmj）(Ohm（r） j）！。

（5.6）现在让我们回忆一下，在t=0时，两个交易者是等价的：ωc=ωc=：ωc，ωs=ωs=：ωs，Ohm（r） =Ohm（r） 初始条件是S=S，K=Kand，I=I。τ和τ之间的主要区别是Ohm这比Ohm: Ohm> Ohm. 考虑到这一点，我们将考虑三种不同的情况：（a）γ=γ；（b） γ>γ；（c） γ<γ。换句话说，我们允许储层和H中的信息项之间存在不同的相互作用强度。让我们考虑第一种情况（a）：γ=γ和Ohm> Ohm. 在这种情况下，可以检查Δπ<Δπ，至少如果|ωc- Ohm| < |ωc- Ohm| 和|ωs- Ohm| < |ωs- Ohm|.请注意，在我们目前的假设中，如果Ohm和Ohm有效地大于ωc和ωs。因此，在这种情况下，结论是LoI越大，投资组合的价值增量越小。不用说，这正是我们期望在模型中找到的。在情况（b）中得出了完全相同的结论：γ>γ和Ohm> Ohm. 在这种情况下，这两个不等式产生了相同的结果：我们正在公布LoI的来源（一个来自手，一个来自交互），这意味着π的增量较小。案例（c）：γ<γ和Ohm> Ohm, 这是不同的。在这种情况下，虽然Himplies认为τ的信息量较小（或信息质量不够好），但不等式γ<γ的含义正好相反。结论是Ohm和Ohm, 存在一个（γ，γ）的临界值，这样我们就不会有Δπ<Δπ，相反的不等式，Δπ>Δπ。我们应该提醒一下，这些结论是在两个简化假设下推导出来的，即忽略（5.3）和（5.5）中最后的贡献。当然，更严格地说，我们也应该对这些近似值有一些控制。然而，我们不会在这里这样做。正如我们所看到的，这个模型是现实的，而且非常合理。

而且，这可能是事实Ohm< Ohm通过交换Ohm和Ohm.值得强调的是，在本文考虑的所有模型中，由于两个交易者不相互作用，而只与信息进行交互，因此完全没有必要将系统限制为一个简单的两个交易者股票市场。换句话说，只要我们对市场的初始阶段感兴趣，即第二节中引入的区间[0，t]，我们就可以很容易地将我们的所有模型和结论扩展到更大的市场，并且有大量的交易者。六、结论在本文中，我们提出了几个模型，将信息的作用纳入一个简化的、类似量子的股票市场模型中。特别是，我们考虑了交易者开始互动之前发生的情况，即在时间t=0时相同的交易者开始体验来自系统内部（第三节）或周围世界（第四节和第五节）的一些信息的阶段。每一个提出的模型都产生了一个有趣的动力学行为，特别是最后一个模型，似乎很有希望进行更深入的分析。我们研究的第二个自然步骤是分析一个市场的交易者在开始互动时会发生什么，比如说在第五节中，他们开始买卖股票。当然，第二节中介绍的交换哈密顿量Hex的自然选择如下所示，见[5]，Hex=νs+csc++s+csc+,它描述了τ从τ购买股份，并支付（第一项）或相反情况（第二项）的事实。注意，在十六进制中，我们隐含地假设股票价格为一。当然，一个更有趣的模型也应该包含一些合理的股价动态。

这很难，也是我们未来计划的一部分。本文还表明，通过使用量子力学的工具，我们能够在宏观环境中形成信息动力学。这里介绍的工作表明，即使使用了这些工具，经济直觉仍然是强大的：即信息水平的损失影响投资组合的增量价值，并且这一结论在≥ γ. 当交易者之间的互动在即将发表的论文中开始时，i）水平的作用；ii）可以考虑利率的类型。允许交易者之间进行交易的一个相关后果是，调查信息损失如何影响交易中潜在的套利行为。鉴于（不）存在的套利在允许使用无风险利率和资产定价方面发挥着如此重要的作用，我们很可能能够将信息损失水平（可能通过treshold值）与（不）存在的套利具体联系起来。因此，如果这种关系存在，那么本文中提出的方法的扩展可以提供一个合适的工具来更好地模拟任意集合的概念。致谢。B.感谢巴勒莫大学的财政支持。参考文献[1]F.Bagarello，《股票市场的运营方法》，J.Phys。A、 396823-6840（2006）[2]F.Bagarello，《股票市场与量子动力学：第二次量子化描述》，Physica A，386283-302（2007）[3]F.Bagarello，《简化股票市场及其量子动力学》，代表onMath。物理。，63，No.3381-398（2009）[4]F.Bagarello简化股票市场的量子统计方法，Physica A，3884397-4406（2009）[5]F。