与机器相连的多期交易预测市场

后部isp（u| D，u，σ）∝ p（u|u，σ）p（D |u，σ）∝ 经验-θ(u - u)2σ经验-N（u）- \'-x）2σ∝ 经验-θ(u - u)2σ-θ(u - u)2σ, （7.8）式中，u=’x表示数据集的样本平均值，θ=N-1.如果我们的目标是计算MAP分布，那么我们有一个优化问题L=minu∈Rθ（u）- u)2σ+θ(u - u)2σ. （7）微升≡θ(u - u）2σ，F（u）≡θ(u - u）2σ，（7.10），因此我们有L=minu∈射频（u）+F（u）。由于Fand Fare是凸的，我们可以将Fenchel的性质应用于问题L，这就给出了下面的对偶问题- L=分钟∈射频*（s） +F*(-s） ，（7.11）其中F*是FF的Legendre-Fenchel变换*（s） =supu∈卢比u- F（s）=su+σθs，（7.12）和类似的F*（s） =su+σθs。选择超参数u=0，σ=1，我们最终得到- L=分钟∈Rθs+-su+σθs= 分钟∈Rc（x）+ρ（s）。（7.13）这正是代理人的目标。由于s和u彼此是对偶的，市场在平均参数的对偶空间中执行贝叶斯更新（MAP估计）。7.3逻辑回归在第三个例子中，我们讨论了一个经典的机器学习问题。给定一个数据集D={xm，ym}|xm∈RK，ym={+1，-1} ，m=1，M}，我们想用l正则化建立逻辑回归模型。目标isL=minw∈RKMMXm=1log1+eym（w·xm）+λkwk，（7.14），其中k·k是lnorm。为了将这个问题转化为一个市场，我们使用（5.2）和命题1。让样本空间成为生成数据的空间Ohm ≡ RK∪{+1, -1} 每个未来状态都与Ohm, ω={x，y}。定义证券，每个证券都是ξk（ω）=yxk。我们引入了N=K个代理人，使得代理人N=K只对第K个证券ξK的交易感兴趣。因此，代理人N持有的证券K的份额为sn，K=1（N=K）wk，资产为Xn=sn·ξ=wnξN。市场库存为s=Pnsn=w。设c（w）为（7.14）的RHS的第一项，并将代理人N的风险度量定义为ρN（sn）=λsn/2。

最后我们得到l=minwc（w）+KXk=1λwk=min{sn}c（s）+NXn=1ρn（sn）。（7.15）现在市场已经准备好按照算法2运行。为了展示与特定清理方法的更深层次的联系，我们注意到，每一轮的代理n的目标是最小wk，tc（wt）-1+wk，t）+（wk，t-1+wk，t）/2。由于这个问题的解决方案不是解析式的，所以每次都要精确地求解这个目标的最小值是非常昂贵的。为了解决这个问题，我们可以放宽代理行为是理性最优的条件，让代理接受一个投资组合，只要它比其当前位置ρn（^sn，t）<ρn（^sn，t）更好-1).具体而言，代理商可以采取措施，以获得最佳解决方案。这可以通过以下规则实现wk，t=-愚蠢的c（w）+λwkw=重量-1，（7.16）其中a>0调整为ρn（^sn，t）<ρn（^sn，t）-1). 实际上，可以通过回溯线搜索选择a（Boyd和Vandenberghe，2004）。我们在上面设计的市场有效地实现了一种协调搜索算法（Luo和Tseng，1992）。注意，我们可以通过只使用一个代理并允许它交易所有证券来匹配逻辑回归问题，而不是引入N=K代理。这将产生标准的梯度下降法。8结论本文建立并讨论了一个新的市场预测模型。我们使用风险度量，而不是对模型代理的预期效用，这导致了一个分析性的市场框架。我们表明，我们的市场作为一个整体，通过其市场动态优化了某些全球目标。基于这个结果，我们在机器学习和市场之间建立了密切的联系。未来的一项工作将是使用凸优化工具对该框架进行详细分析（Boyd和Vandenberghe，2004）。一个特别有趣的话题是找到市场融合的条件。

正如我们所观察到的，当涉及大量代理时，就会出现随机性，这被认为是任何真实市场的本质（Penna et al.，2012）。致谢这项工作得到了微软剑桥研究院博士奖学金项目的支持。参考文献Abernethy，J.，Chen，Y.，和Vaughan，J.W.（2013）。通过凸优化有效做市，并与在线学习相连接。ACM Trans。经济部。计算机。，1(2):12:1–12:39. 2,6,8,9阿尔茨纳，P.，德尔巴恩，F.，埃伯，J.-M.，和希思，D.（1999年）。一致的风险度量。数学金融，9（3）：203-228。3、9Barbu，A.和Lay，N.（2012年）。艺术预测市场分类介绍。《机器学习研究杂志》，13:2177-2204。11Boyd，S.P.和Vandenberghe，L.（2004年）。凸优化。剑桥大学出版社。9、10、14、15Brahma，A.，Chakraborty，M.，Das，S.，Lavoie，A.，和Magdon Ismail，M.（2012）。做市商。《第13届ACM电子商务会议记录》，EC\'12，第215-232页，美国纽约州纽约。ACM。5Chen，Y.和Pennock，D.（2007年）。有限损失做市商的实用框架。第二十三届艺术情报不确定性年会（UAI-07）会议记录，第49-56页，俄勒冈州科瓦利斯。奥艾出版社。4陈，Y.和沃恩，J.W.（2010）。通过无悔学习对预测市场有了新的认识。《第11届ACM电子商务会议纪要》，EC\'10，第189-198页，美国纽约州纽约。ACM。1，10F–ollmer，H.和Schied，A.（2002年）。风险和交易约束的凸度量。《金融与随机》，6（4）：429-447。3，9，11F–ollmer，H.，Schied，A.，和Lyons，T.J.（2004）。随机金融：离散时间介绍。斯普林格，第二修订版。4、11Garg，A.，Jayram，T.，Vaithyanathan，S.，和Zhu，H.（2004）。

普遍意见汇集。在阿美。11汉森，R.（2007）。模块组合信息聚合的对数市场评分规则。《预测市场杂志》，1（1）：3-15。4,5,11Kreyszig，E.（2007）。介绍功能分析与应用。威利。通用域名格式。林斯迈耶，T.J.和皮尔逊，N.D.（2000）。风险价值。《金融分析师杂志》，56（2）：第47-67页。4罗，Z.和曾平（1992）。关于凸微分极小化的坐标下降法的收敛性。优化理论与应用杂志，72（1）：7-35。14新泽西州佩纳、医学博士里德和R.M.弗隆吉略（2012年）。解读预测市场：一种随机方法。F.佩雷拉、C.伯格斯、L.博图和K.温伯格编著：《神经信息处理系统的进展》25，第3275-3283页。2004年12月13日。用于对冲、下注和信息聚合的动态对等市场。《第五届ACM电子商务会议记录》，EC\'04，第170-179页，美国纽约州纽约。ACM。5本诺克，D.M.和威尔曼，M.P.（1996年）。为贝叶斯推理建立市场模型。《第十二届国际艺术情报不确定性会议纪要》，第405-413页。摩根考夫曼出版公司，M.钱德拉和M.里德（2013年）。通过连续迷你交易聚合预测。在第五届亚洲机器学习大会（ACML 2013）上。10Sethi，R.和Vaughan，J.W.（2013）。与自动做市商的信念聚合。技术报告，纽约微软研究院。10 Shalev Shwartz，S.和Singer，Y.（2007）。凸重复对策与芬切尔对偶。在《神经信息处理系统的进展》第19期，第1265-1272页，马萨诸塞州剑桥，Sch¨olkopf，B.，Platt，J.，和Hoffman，T.，编辑。麻省理工学院出版社。9斯托基，A.（2011年）。机器学习市场。

JMLR研讨会和会议记录，第15卷，第716-724页。1,2,10Storkey，A.，Millin，J.，和Geras，K.（2012）。机器学习市场中的智能代理和财富更新。在第29届国际机器学习大会（ICML 2012）上。11冯·诺依曼，J.和摩根斯坦，O.（2007）。博弈论与经济行为（纪念版）。普林斯顿大学出版社。3 Wolfers，J.和Zitzewitz，E.（2004年）。预测市场。《经济展望杂志》，18（2）：107-126。1 Yaari，M.E.（1987年）。风险下的双重选择理论。《计量经济学》，55（1）：95-115。3.