与机器相连的多期交易预测市场

（2013），他们使用一套合理的公理来描述定价机制。我们将其结果应用到我们的框架中。允许Xt≡ Xat，t在时间t与做市商的交易。考虑两种情况：1）在时间t与做市商的交易十、2）与做市商进行交易Xand立即被另一笔交易跟进十、 在哪里X=X+一个自然的要求是购买成本X应等于采购总成本桑德X.如果我们接受这个属性，那么我们总能找到一个函数c:X→ R因此（Abernethy等人，2013年）ct(Xt）=c(X+··+Xt-1+ Xt）- c(X+··+Xt-1). （4.3）如果定价规则具有（4.3）的形式，我们称其为路径独立的，并重新加载符号c以表示ct。5多期交易市场的机器学习目标请记住，本文的主要目标是在机器学习和我们新的预测市场模型之间建立密切的联系。在我们开始分析多期交易市场之前，我们先介绍一下我们希望利用我们的市场的机器学习环境。许多机器学习任务可以在以下通用框架下进行解释：给定一组从空间中采样的数据Ohm 以及一个假设空间P，其中包含一类Ohm, 我们想从P中找出一个最能描述数据的概率。通常我们使用函数F:P→ R表示“最佳”性能的特征，从而使F最小化的概率为最佳概率。从形式上讲，这涉及到一个优化问题∈PF（P）（5.1）对于信息来自数据或模型不同部分的特定问题，F的形式为F=PnFn，即共享同一域P的一组泛函的总和（详见第7节示例）。

我们将证明，多周期市场有效地定义和优化了一个F（P）=PnFn（P）的机器学习任务。这种联系是通过两个步骤建立的：首先，我们表明市场确实有一个全球目标，然后表明在温和的条件下，市场优化了机器学习问题minP的双重性∈PPnFn。5.1市场的全球目标我们表明，多期交易市场最小化了全球目标。优化是通过市场交易动态依次完成的，也就是说，只要asit与做市商进行交易，代理将有助于最小化这一全球目标。这一论点在以下命题1（市场的全球目标）中正式化。具有路径独立定价规则的多周期市场（算法2）的市场庄家旨在最小化全局目标L=c（Y）+Xn∈Aρn（Xn），Y=Xn∈AXn，（5.2）通过执行顺序优化算法，该算法由市场交易流程（参见（4.1）和（4.2））实现：Xt=arg最小值Xtρat（Xat，t-1+ Xt+wat，t-1.- ct(Xt）），（5.3a）Xn，t=Xn，t-1+1（n=at）Xt，（5.3b）wn，t=wn，t-1.- 1（n=at）ct(Xt），（5.3c）Yt=Yt-1+ Xt，（5.3d）如果算法在时间t收敛，即。对于所有t>t，Xt=0，然后{Xn，t}，yt达到（5.2）中目标L的局部极小值。证据当时只有经纪人会和做市商交易，所以Xt=Xat，t。对于时间t，对于任何试剂，t之前计算的所有量都可以作为常数处理，因为它们不能再被修改。因此，（5.3a）中最小化的泛函与以下泛函具有相同的最佳点(Xt）=ρat（Xat，t）-1+ Xt+wat，t-1.- ct(Xt）- ρat（Xat，t）-1+wat，t-1). （5.4）将平移不变性的性质应用于lt，我们得到了lt(Xt）=ρat（Xat，t）-1+ Xt）- ρat（Xat，t）-1） +ct(Xt）。（5.5）对所有lt求和，并用lt表示此总和，这是一个函数。

然后{Xt}LT=min{Xt}TXt=1lt(Xt）=TXt=1分钟Xtlt(Xt）=TXt=1lt(Xt）。（5.6）这里Xt是从（5.3a）中获得的最佳点。将（5.5）替换为（5.6）TXt=1lt(Xt）=TXt=1ρat（Xat，t-1+ Xt）- ρat（Xat，t）-1） +TXt=1ct(Xt）。（5.7）注意，在时间t时，对于任何代理人，n6=atit不进行交易Xn，t=0，所以ρn（Xn，t-1+ Xn，t）- ρn（Xn，t）-1) = 0, n 6=在。（5.8）因此，RHS的第一次求和在（Xat，t-1+ Xt）- ρat（Xat，t）-1） =TXt=1Xn∈Aρn（Xn，t）-1+ Xn，t）- ρn（Xn，t）-1） =Xn∈Aρn（Xn，T）- ρn（Xn，0）。（5.9）由于定价规则是路径独立的，因此RHS上的第二次求和为1ct(Xt）=TXt=1ct（Yt）- ct（Yt）-1） =c（Yt）- c（0），（5.10），其中Yt=Ptτ=1Xτ和Y=0。因为Xn，0=0，对于任何t和n6=atXn，t=0，我们有y=tXτ=1Xτ=tXτ=1Xaτ，τ=tXτ=1Xn∈A.Xn，τ=Xn∈AtXτ=1Xn，τ=Xn∈AXn，t，t>0。（5.11）最后，将（5.9）（5.10）和（5.11）替换为（5.6），并将剩下的术语合并为min{Xt}LT=min{Xt}c（YT）+Xn∈Aρn（Xn，T）- c（0），（5.12），其中YT=Pn∈A.Xn，T。这是一个最小L的顺序最小化方案。最后，如果市场在时间T收敛，我们得到Xn=Xn，Tand Y=YT，导致局部最小L。命题1是理解市场机制的关键。尽管市场的建立是为了让代理人根据自己的偏好行事，但市场机制确保了全球目标的确立，代理人将在优化自身目标的同时，为优化全球目标做出贡献。因此，交易过程为实现这一全球目标提供了一个合理的算法。5.2通过凸分析的原始-对偶表示一个问题是（5.2）在机器学习问题中并不常见。应该以某种方式引入对这一目标的不同看法。事实上，在对风险度量和定价规则形式的温和要求下，全局目标形成了优化问题minP的对偶∈PPnFn（P）。

风险度量的要求是凸性（3.4）。定价规则的要求是双重基础（Abernethy等人，2013）。然而，为了完成我们的讨论，我们展示了一个例子，在第75.2.1节中使用了（5.2）更多关于凸风险度量的内容。Artzner等人（1999）和F¨ollmer and Schied（2002）表明凸风险度量的形式为ρ（X）=supQ∈P（等式[-X]- α（Q）），（5.13），其中P是(Ohm, F） 这样，Q是绝对连续的w.r.t.P，且等式[X]定义良好。随着等式[X]的增加，风险度量值降低，但这种影响会受到函数α的惩罚。（5.13）本质上是一个勒让德-芬切尔变换，符号略有变化（Boyd和Vandenberghe，2004）。5.2.2基于对偶的定价规则我们继续遵循Abernethy等人（2013）的想法，并将其基于对偶的定价规则应用于我们的问题。作者指出，基于二元性的定价规则具有良好的动机，因为它们满足一些自然条件，如无套利。基于二元性的定价规则是路径独立的，并且有一个formc（X）≡ supQ∈P（等式[X]- R（Q））=R*（十） ，（5.14）其中R*表示R的Legendre-Fenchel变换。注意，在他们的工作中，R需要是凸的，但这个条件可以放宽，因为对于任何R，我们都可以定义R≡ （R）*)*= C*替换R，因为它总是凸的（因为它是共轭对偶）和c=（R）*= R*.5.2.3原始问题现在我们准备好展示命题2（原始问题）。对于（5.13）中使用凸风险度量的代理和（5.14）中基于对偶的定价规则的做市商的多期市场，其全球目标是Minp的对偶∈PNXn=0Fn（P），（5.15），其中Fand Fn是共享同一个域P的泛函。具体来说，F=R在（5.14）中，而Fn=αnw其中α是代理n证明的惩罚泛函。

我们使用广义芬切尔对偶（Shalev Shwartz and Singer，2007）来推导（5.15）的拉格朗日问题。广义芬切尔对偶理论认为问题（5.15）的对偶是- min{Xn}∈XF*（Y）+NXn=1F*n(-Xn），Y=NXn=1Xn，（5.16），其中F*勒让德-芬切尔变换。我们为每个代理n构造凸风险度量。使用（5.13）并选择α=Fnρn（X）=supQ∈P（等式[-X]- Fn（Q））=F*n(-十） 。（5.17）对于定价规则（5.14），我们选择R=F，并获得c=F*. 将它们替换回对偶问题（5.16），我们最终得到- min{Xn}L=- min{Xn}∈Xc（Y）+NXn=1ρn（Xn）。（5.18）Abernethy等人（2013）代表证券{ξk}和股票{sk}市场。为了与我们的框架保持一致，我们将其表述更改为资产X（参见第2节）。这与具有不同符号的全局目标L（参见（5.2））相匹配。否定符号是必要的，因为拉格朗日对偶问题的下界是原始问题- min{Xn}L≤ 明普∈PNXn=0Fn（P），（5.19），并在强对偶成立时变得精确（Boyd和Vandenberghe，2004）。命题2为我们提供了两种在市场和机器学习之间建立联系的方法：1）如果我们使用我们的框架对市场进行建模，我们就可以确定市场的全球目标，然后是主要问题，这可以通过机器学习方法解决。2） 更有趣的是，考虑到形式为（5.15）的机器学习问题，我们可以将其转化为市场，并通过运行市场来解决问题，在此期间，我们可以利用一些市场特性，例如分布式环境和隐私，为了获得额外收益。6.相关工作建立预测市场模型并讨论其与优化的关系的想法并不新鲜，过去几年取得了一些重大进展。

我们将讨论与我们密切相关的工作。Chen和Vaughan（2010）首次表明，评分规则的制定者所做的实际上是无悔学习。他们的研究集中在做市商身上，而代理人不是直接建模的，这就为整个市场提供了一个框架。Storkey（2011）根据对市场、证券和代理的定义，定义并分析了一类预测市场。代理由EUT建模，即代理通过最大化其预期效用而具有理性。通过分析市场的均衡状态，作者表明，市场可以从代理人那里聚集信念，输出未来事件的概率分布。作者没有讨论精确的市场机制，也没有给出市场的全球目标，因此很难将这些市场与优化程序联系起来。Penna等人（2012）给出了另一个重要进展，他们将市场评分规则作为市场机制应用于Storkey（2011）的框架。这项工作表明，由于大量代理人的投资组合来自需求分布，整个市场实现了随机镜像下降。一个担忧是，他们建议使用EUT对代理进行建模，但他们不使用EUT来解决代理的最佳组合。Premachandra和Reid（2013）部分解决了这个问题，他们推导出了特定类型预期公用事业的解决方案。Sethi和Vaughan（2013）也研究了类似的环境。他们更多地关注市场动态的趋同，并展示了市场如何通过使用数字证据来聚合信念。6.1风险度量和EUT在这里，我们证明选择风险度量作为代理决策规则是合理的。首先，RiskMeasures的产值可以被视为无风险资产，标准的线性操作对此有很好的定义。

相比之下，预期效用输出的数字只具有抽象意义，即衡量代理人的满意度。此外，风险度量通过定义强制平移不变性，但预期效用函数一般不具有这种性质。借助于平移不变性，财富w总是可以从风险资产X中分离出来，这意味着最优投资组合不依赖于w。这避免了将w与聚合权重关联起来的麻烦，因为它们之间的关系高度不一致，并且在不同的效用下会发生显著变化（Storkey等人，2012）。最后，我们总是可以从任何预期效用中导出一个风险度量ρuF（F¨ollmer et al.，2004）ρu（X）≡ inf{m∈ R|EP[u（X+m）]≥ u} ，（6.1），其中P是代理人的个人信念。事实上，这种风险度量的输出是风险溢价，即人们为了接受这种风险资产而想借的最少金额。那么一个明智的决策规则应该是找到一种能够将溢价降至最低的资产，这就形成了我们的决策规则。例如，考虑HARA效用uh（x）=1- γγax1- γ+bγ、 a>0，ax1- γ+b>0。（6.2）由此产生的凸风险度量是具有以下惩罚函数α（Q）=γaη的度量-1/η(-u） 1/γEdQdPη1/η+ (1 - γ） ba，（6.3），其中1/η+1/γ=1。HARA的一个特例由b=1和γ给出→ -∞, 这导致了指数效用函数uE（x）=- 经验(-斧头）。

很容易检查与指数效用UE相关的风险度量是否正是（3.6）中θ=a的熵风险度量（F¨ollmer and Schied，2002）。7示例在本节中，我们使用三个示例来说明多周期交易市场和机器学习之间的联系。7.1意见汇集意见汇集问题是预测市场模型的常见设置（Barbu and Lay，2012；Storkey等人，2012）。Garg等人（2004）表明，意见库的目标是最小化一系列分歧的加权和。尤其是对数意见库的目标是tominP∈PXnwnD[P | | Pn]，（7.1），其中D[·| |·]是KL散度，{wn}是权重参数。现在考虑一个有限离散样本空间上一组概率的对数意见池Ohm 与K州合作。为了建立一个与日志意见库相匹配的市场，我们首先在同一空间定义一个市场Ohm 并介绍Arrow Debreu证券公司。我们引入N个代理，并分配一个唯一的概率Pn∈ A将代理人n视为其个人信仰。根据（3.6），代理人n的风险度量的形式为ρn（sn）=θnlogKXk=1pke-θnsn，k，（7.2），其中，我们让θn匹配权重wnbyθ-1n=wn。为了简单起见，我们选择了对数市场评分规则市场庄家（Hanson，2007）c（s）=θlogKXk=1eθs0，k.（7.3）01000200500-2.5-2-1.5-1-0.50.0市场目标LTPrimar Optimum 0 100 200 300 400 500-0.10-0.050.000.050.100.00.20.40.60.81.01.21.41.6 c（·）股票交易价值100 200 300 5000.40.50.60.70.8价格平均价格100 150 200 300 350 400 450 5000.630.640.650.660.670.680.69价格平均价格无偏agg。有偏见的agg。图1:Arrow Debreu证券在二元事件ω上定义的市场。

实验设置类似于有偏硬币市场（Penna et al.，2012），因为所有代理都从ω的统一先验开始，每个代理都在私下观察5个ω样本后建立自己的后验信念。区别在于，这里只涉及有限数量的N=10的代理。t=300后，市场的整体目标收敛到（7.4）的否定（左上角，参见（5.19）），而市场价格收敛到接近无偏聚集的位置，但有一点偏向0。5由于做市商有偏见的统一信念（右上角和右下角，参见（7.5））。市场可以使用算法2运行。图1和图2显示了两个典型的模拟结果。这个市场的主要问题是（应用命题1和命题2）minP∈PθD[P | | P]+Xn∈AθnD[P | | Pn]，（7.4），其中域P=Kis是K维中的概率单纯形，P=均匀（K）是K维中的离散均匀分布K.在这种情况下，最优P可以解析求解。还记得θ吗-1n=Wn，我们有∝伊恩∈APwn/（θ）-1+Pn∈Awn）n.（7.5）自从我们引入做市商以来，总信念P不是代理人信念的纯加权产品，而是偏向于P。然而，当人口足够大，以至于Pnθ-1n θ-1.做市商的影响可能被忽略，我们最终将得到纯粹的代理人信念的集合（Pennaet al.，2012）。7.2贝叶斯更新我们给出了第二个例子，首先建立一个市场，然后将机器学习问题与市场相匹配。让我们在一个连续的样本空间上建立一个市场Ohm = R.我们只定义一种证券ξ（ω）=ω，因此资产X=sω。我们只介绍一个代理。同样，该代理的特征是熵风险度量，系数θ和P=N（u，σ）为正态分布。

（3.6）isMX中的矩母函数(-θ） =EP[e-θsω]=e-θsu+σθs/2，（7.6），因此风险度量是ρ（s）=-su+σθs/2。对于做市商，我们使用二次市场评分规则c（s）=θs/2。现在，我们可以使用算法2和一个代理来运行这个市场。0 1000 2000 3000 4000 5000-25-20-15-10-50市场目标LTPrimar optimum0 100 200 300 400 500-0.3-0.2-0.10.00.10.20.00.51.01.52.0 c（·）股票交易价值0.1000 2000 3000 400050000.30.40.50.60.70.80.9价格平均价格0.100 200 300 400 5000.30.40.50.60.70.80.9价格平均价格无偏agg。有偏见的agg。图2：一个与图1相同的市场，但有N=100个代理。增加人口后，收敛速度会慢得多（左上角和右上角）。在t=500（左下和右下）之前，市场价格没有表现出趋同的迹象。相比之下，平均价格很快收敛到总信念。有了更多的代理人参与，做市商在聚合中的权重就会降低，从而形成更接近无偏见的聚合信念。这是意料之中的，对于大量人口来说，市场应该重现有偏见的硬币市场的结果（Penna等人，2012年）。可以证明，该市场对高斯分布进行了贝叶斯最大后验概率（MAP）更新，其中先验信息由做市商提供，可能性信息由代理提供。考虑估计一元高斯N（u，σ）的设置。我们只需要从一组N个数据点D={x，x，…，xN}计算出足够的统计数据。为了解释清楚，我们假设我们只关心平均参数u的贝叶斯更新，并认为σ是一个固定常数。在平均值（u|u，σ）之前引入一种共轭酸∝ 经验-θ(u - u)2σ, （7.7）式中θ-这就是所谓的伪计数。