相干混沌利率模型

（200 9）进一步讨论混沌扩展技术及其在随机分析中的作用。因此，对于利率建模，我们可以看到，通过在（21）中替换（22），定价核由一组确定性量的向量Φ参数化：Φ=φ、 φ（s），φ（s，s），φ（s，s，s）···, （23）其中Φ本身是s平方可积函数的Hilbert空间的直和的Fock空间F的元素。Φ的元素称为维纳混沌系数，或维纳-伊托混沌系数，这些系数充分表征了X中的信息∞. 自从X∞确定定价核{πt}，进而确定债券价格过程{PtT}，每个利率模型可以视为取决于其维纳-伊托混沌系数的具体情况。8 Dorje C.Brody，Stala Hadjipetri4相干混沌展开Fock空间F中有一类特殊的向量，称为“相干向量”，它具有许多期望的特征。让我们考虑张量积H（n）=L（R+）L（R+）···Hilbert空间n个拷贝的L（R+）。H（n）的一般元素可以写成φ（s，s，·sn）的形式；其中，F的相干向量由H（1）元素到H（n）元素的映射生成。具体而言，给定φ（s）∈ H（1）=L（R+），我们考虑退化形式φ（s，s，··，sn）=φ（s）φ（s）的H（n）元素。φ（sn）。（24）相干向量的重要性在于，此类向量的总和inH（n）构成恒等式的解决方案，即这些向量通常不是正交的，但仍然是完整的。因此，H（n）的任意元素可以表示为（可能不可数）相干向量的线性组合形式。更一般地说，给定一个元素φ（s）∈ H（1）我们可以生成形式为φ的相干fock向量=1，φ（s），φ（s）φ（s），····，φ（s）φ（s）。φ（sn）.

（25）那么F的任意元素同样可以表示为相干向量的线性组合。Brody&Hughsto n（2004）指出，相干向量的完整性对于混沌扩展的意义如下。我们首先观察到，如果Φφ是相干的，那么相关的随机变量Xφ∞由混沌展开式（22）产生，其形式为xφ∞=∞Xn=0∞ZsZ··sn-1Zφ（s）φ（s）·φ（sn）dWsn··dWsdWs, （26）其中n=0项假定为单位。由于伊藤（1951），我们现在使用以下标识：TZsZ··sn-1Zφ（s）φ（s）·φ（sn）dWsn··dWs=Qn/2Tn！HnRTQ1/2T！，（27）式中rt=Ztφ（u）dWu，Qt=Ztφ（u）du，（28），式中hn（x）=n！n/2Xk=0(-1） kxn-2kk！（n）- 2k）！2k（29）相干混沌利率模型9表示埃尔米特多项式，满足生成函数关系exp德克萨斯州-T=∞Xn=0tnn！Hn（x）。（30）Hermite多项式ls在高斯随机变量相关性中的作用是众所周知的（例如，参见Schoutens 2000）。在这里，我们简单地指出，如果Y和Z是标准正态随机变量，则ne[Hn（Y）Hm（Z）]=（e[Y Z]）nδmn，（31），这是因为厄米特多项式与标准正态密度函数正交。通过比较（27）和（30），我们由此推导出xφ∞= 经验Z∞φ（s）dWs-Z∞φ（s）ds. （32）因此，考虑到相干矢量和线性的完整性，任意F∞-可测平方可积随机变量∞允许一个简单的代表∞=XjcjexpZ∞φj（s）dWs-Z∞φj（s）ds, （33）其中{cj}ar e常数满足Pjcj<∞, 式中φj（s）∈ L（R+）foreach j是一个确定的平方可积函数，其中（33）中的和是形式的，在不可数的情况下可以用适当的积分代替。

显然，对于任意Ft可测平方可积随机变量，类比结果通常成立，也就是说，任何这样的随机变量都可以用对数正态分布随机变量的线性组合来表示。不同的是，对数正态随机变量在s平方可积随机变量空间中是稠密的。Brody&Hughston（2004）将这一显著事实应用于确定定价核和其他数量（如债券价格、风险溢价和各种利率）的一般表达式，因为X的条件方差∞在（33）中，很容易以封闭形式计算。5相干混沌利率模型本研究的出发点是更仔细地研究每个n的n阶混沌模型。也就是说，我们关注的是由formX（n）的混沌扩展产生的利率模型∞=Z∞Zs···Zsn-1φ（s，s，…，sn）dWsn···dWsdWs（34）10 Dorje C.Brody，Stala Hadjipetrifor每个n，其中φ（s，s，…，sn）∈ H（n）。如上所述，任何此类函数φ（s，s，…，sn）都可以表示为φ（s）φ（s）·φ（sn）形式的（可能不可数）相干函数的线性组合。因此，我们的策略是首先计算出由H（n）的相干元素产生的利率模型，我们将其称为n阶相干混沌模型，然后考虑它们的线性组合，以获得定价核的更一般的n阶混沌模型。接下来，我们回想一下，从（27）开始，它跟在一个连贯的元素后面，我们有x（n）∞=Qn/2∞NHnR∞第一季度/第二季度∞!X（n）t=Qn/2tn！HnRtQ1/2t！，（35）我们写了X（n）t=Et[X（n）∞].

请注意，Hermite多项式中出现的参数Rt/Q1/2T对于每个t都是标准的正态分布随机变量；因此，根据（31），我们发现鞅{X（n）t}0≤T≤∞它们相互正交。当我们分析更一般的“非相干”模型时，将在下面的计算中利用这一特性。现在让我们转向定价核的确定：π（n）t=EtX（n）∞-X（n）t. （36）为了分析这些表达式，我们对一对不同阶的埃尔米特多项式使用以下乘积恒等式（参见Janson 1997，第28页）：Hn（x）Hm（x）=m∧nXk=0mknkKHm+n-2k（x），（37）其中m∧ n=最小值（m，n）。设置m=n，我们得到hn（x）=nXk=0nknkKH2（n）-k） （十）。从（29）开始，我们有x（n）t=n/2Xk=0(-1） 克朗-2ktQktk！（n）- 2k）！2k，（39）通过平方X（n）tof（35）并利用（38），我们得出X（n）t=nXk=0Qkt[2（n- k） ]！X（2n）-2k）tk！[（n）- k） ！]。（40）采用极限t的相干混沌利率模型→ ∞ 在（40）中代入（36）中的结果，我们得到π（n）t=nXk=0[2（n- k） ]！(1 - Qkt）X（2n-2k）tk！[（n）- k） ！]，（41）式中，我们对函数φ（s）进行单位正规化，使Q∞= 1.这是与n阶相干混沌模型相关的定价核的预期表达式。我们从（35）中观察到，在这种情况下，{π（n）t}由2n阶的多项式给出- 高斯过程{Rt}的2。在获得定价核心的表达式后，我们可以确定各种感兴趣的量的表示。为此，让我们推导出该模型中短期利率和风险溢价过程的表达式。具体而言，由于（6），我们观察到这些过程是由定价核心的漂移和波动引起的。

简单的计算表明r（n）t=φ（t）π（n）tnXk=0[2（n- k） ]！Qk-1tX（2n-2k）t（k）- 1)! [（n）- k） ！]（42）且λ（n）t=-φ（t）π（n）tnXk=0（1）- Qkt）[2（n）- k） ]！K[（n）- k） ！]X（2n）-2k-1） t，（43）其中我们利用了关系dx（2n-2k）t=X（2n）-2k-1） tφ（t）dWt（44）在（43）中。至于贴现债券，从（13）可以看出，债券价格过程采用高斯过程{Rt}多项式的比率形式：P（n）tT=nPk=0[2（n）-k） ]！(1-QkT）X（2n-2k）tk！[（n）-k） ！]nPk=0[2（n-k） ]！(1-Qkt）X（2n-2k）tk！[（n）-k） ！]，（45）初始期限结构p（n）0T=1- QnT。（46）这特别表明，在单因素设置的情况下，相干混沌模型完全由初始项结构表征。当然，在单因素模型的情况下，这种约束是可以解释的，对于单因素模型，唯一的模型“参数”是一个确定性的标度函数φ（t），很自然地，这种函数自由度应该由初始屈服曲线明确确定。另一方面，一般情况仅通过以适当的方式对相干混沌模型进行线性叠加而获得。在我们研究这些一般情况之前，让我们先研究一下单因素不同混沌模型的一些衍生定价公式。12 Dorje C.Brody，Stala Hadjipetri6相干混沌模型中的衍生工具定价公式我们回顾了通用衍生工具定价的表达式（12）。本节的目的是在大量示例模型中推导债券期权和互换期权的定价公式。

具体来说，我们将研究二阶和三阶相干混沌模型的债券期权和互换期权的定价。6.1二阶相干混沌模型的债券期权定价在二阶相干混沌模型的情况下，从（41）可以看出，定价核由单个高斯状态变量Rt的以下二次函数给出：π（2）t=（1- Qt）（Rt- Qt）+（1- Qt）。（47）债券价格过程可以写成以下分数：P（2）tT=（1- QT）（Rt- Qt）+（1- QT）（1- Qt）（Rt- Qt）+（1- Qt）。（48）我们将利用（47）和（48）找到贴现债券上的欧洲式看涨期权的定价公式。特别是在r中，我们让t成为到期的债券的期权到期日≥ t、 而K是选择权。然后记住π（2）=在约定Q下∞= 我们在这里选择的，期权的初始价格是C（2）（t，t，K）=2eπ（2）tP（2）tT- K+= 2呃Rt[（1）- QT）- K（1）- Qt）]- Qt（1- QT）+（1- QT）-K（1）- Qt）+= 2呃AZt+B+i、 （49）式中Zt=Rt/√Qt是一个标准正态随机变量，其中=Qt[（1- QT）- K（1）- Qt]，（50）和b=(1 - QT）- K（1）- Qt）- Qt[（1）- QT）- K（1）- Qt）。（51）因此，该模型中c all option的定价问题归结为二次方程Az+B=0的根。让z，zdenote根：z=-R-BAand z=+r-BA，（52）我们必须根据系数A和B的签名来考虑不同的情况。我们将继续逐案检查。相干混沌利率模型13（i）如果A=0，那么B=（1）- QT）（QT- Qt）>0，因为Qt>Qt，所以选项总是在钱里，我们有c（2）=P（2）0T- KP（2）0t=（1）- QT）（QT- Qt），（53），也就是2B，从（49）中可以明显看出。（ii）如果A>0，则B>0。这是因为A>0意味着k<1-QT）/（1-Qt）。

因为B=（1）-QT）-Qt（1-QT）-K（1）-Qt），K上的界意味着B>（1+Qt）（Qt）- Qt）但由于Qt>Qt，我们有B>0。在这种情况下，Az+B总是正的，所以赎回权总是在货币中过期。这种期权的价格是thusC（2）=rπZ∞-∞（Az+B）e-zdz=P（2）0T- KP（2）0t=（1）- QT）- K（1）- Qt），（54），也就是2（A+B）。（iii）如果A<0且B≤ 0，则支付永远不会为正，从而产生一个价值为零的无价值期权。（iv）唯一重要的情况是当我们有A<0和B>0时。那么二次多项式在区间（z，z）上是正的，我们有c（2）=rπZzzAz+BE-zdz=（P（2）0T- KP（2）0t[1- 2N（z）]+4Azρ（z）Qt，（55），其中N（z）表示标准累积正态分布函数，ρ（z）表示相关密度函数。一个简短的计算表明，在这种情况下，给出对冲期权所需的基础债券头寸的期权增量如下所示： = 1.- 2N（z）+2Azρ（z）（P0T）- KP0t）（4Az- 1). （56）因此，我们看到，在一个二阶相干混沌模型中，贴现债券期权的定价，以及关联对冲组合的确定，是完全可处理的。作为一个示例，让我们考虑一下选择φ（s）=λ的情况-1exp(-λs）表示某个常数λ。如上所述，在相干混沌模式l中，这就是我们计算初始b价和买入价所需的全部。在左面板上的图1中，我们展示了买入价与其执行价之间的关系。这里，债券到期日固定在T=10，期权到期日固定在T=3，我们将λ设为0.1。在图1的右侧，我们展示了不同到期日的看涨期权价格相对于债券价值的变化。

在这里，期权到期日被选择为t=5，债券到期日从100到零不等，打击被固定为0.7，我们设定了λ=0.03.14多杰·C·布罗迪，斯大拉·哈吉佩特里菲格。1：左面板：在φ（s）=（0.1）的二阶相干混沌模型中，买入价格作为固定到期日（T=10）和固定期权到期日（T=3）的履约函数-1exp(-0.1s）。右面板：赎回价格作为初始债券价格的函数，债券价格通过将数学T从100更改为5而变化。其他参数设置为t=5、K=0.7和φ（s）=（0.03）-1exp(-6.2二阶相干混沌模型中的交换期权定价事实证明，交换期权也可以以封闭形式进行估值，其方式类似于Hughston&Rafailidis（2004）的可分解二阶混沌模型。在这种情况下，合同的支付可以表示为：H（2）t=1- P（2）tTn- KnXi=1P（2）tTi！+，（57）式中Ti，i=1，n、 是指定的未来付款日期。然后由期望值给出交换选项的初始值：H（2）=2Eπ（2）t1- P（2）tTn- KnXi=1P（2）tTi+= 2呃AZt+B+i、 （58）式中Zt=Rt/√QT的定义与之前一样。然而，在目前的情况下，我们有a=Qt[（QTn- Qt）- KnXi=1（1- QTi）]（59）相干混沌利率模型15andB=（QTn- Qt）+KQtnXi=1（1）- QTi）-KnXi=1（1- QTi）。（60）换句话说，互换期权的估值与看涨期权的估值完全相同，只是a和B的系数稍微复杂一些。把z+B=0的根写成zand Zf，我们得到如下结果：（i）当A<0和B≤ 0，交换期权显然毫无价值。（ii）如果A>0 A和B≥ 那么我们有h（2）=P（2）0t- P（2）0Tn- KnXi=1P（2）0Ti。（61）（iii）如果A<0且B>0-B/A>0，那么我们有h（2）=2（A+B）[N（z）- N（z）]+2A[zρ（z）- zρ（z）]=P（2）0t- P（2）0Tn- KnXi=1P（2）0Ti！[1 - 2N（z）]+4Azρ（z）。

（62）（iv）如果A>0且B<0-B/A>0，那么我们有h（2）=2N（z）P（2）0t- P（2）0Tn- KnXi=1P（2）0Ti！- 4Azρ（z）。（63）6.3三阶相干混沌模型的债券期权定价三阶纯相干混沌模型的定价核可以用π（3）t=6（1）的形式表示- Qt）X（4）t+（1- Qt）X（2）t+（1- Qt），（64），因此债券价格过程由p（3）tT=36（1）给出- QT）X（4）t+6（1）- QT）X（2）t+（1- QT）36（1- Qt）X（4）t+6（1）- Qt）X（2）t+（1- Qt）。（65）因此，在该模型中，贴现债券上的欧洲式c all期权在时间零点的价值可表示为asC（3）=E“π（3）tπ（3）P（3）tT- K+#= 3.嗯AZt+BZt+C+i、 （66）16多杰·C·布罗迪，斯大拉·哈吉佩特里这里我们定义了a=Qt[（1- QT）- K（1）- Qt]，（67）B=Qt(1 - QT）- K（1）- Qt）-Qt[（1）- QT）- K（1）- Qt]，（68）和c=(1 - QT）- K（1）- Qt）-Qt(1 - QT）- K（1）- Qt）+Qt[（1）- QT）- K（1）- Qt）。（69）四次多项式z+Bz+C的根可以很容易地得到：z=-s-B-√δ2A，z=-s-B+√δ2A，z=-z、 z=-z、 （70）式中δ=B- 4AC。因此，我们有以下结果：（i）如果A=0，那么B=Qt（1）- QT）（QT- Qt）和C=（1- QT）（QT-Qt）（Qt-Qt+1-Qt）。自从C≥ 0选项总是在金钱中，我们有C（3）=√2πZ∞-∞（Bz+C）e-zdz=（1）- QT）（QT- Qt）（1+Qt+Qt）。（71）（ii）如果A>0，以及-B-√δ ≥ 那么这意味着≤ -√δ. 对于C≤ 0，我们有。C>0是必要的，因为有四个根，在这种情况下，买入期权isC（3）=3！√2πZz-∞+Zzz+Z∞Z（Az+Bz+C）e-zdz=6（3A+B+C）（2N（z）+2N（z）- 1)-12（3A+B）（zρ（z）+zρ（z））-12A（zρ（z）+zρ（z））。（72）（iii）如果A>0-B-√δ<0，但-B+√δ ≥ 0则调用选项的初始值isC（3）=3！√2πZz-∞+Z∞Z（Az+Bz+C）e-zdz。（73）进行积分并注意z=-z、 我们发现C（3）=12（3A+B+C）N（z）- 12（Az+3A+B）zρ（z）。

（74）相干混沌利率模型17（iv）如果A>0和-B+√δ<0，然后C<0，选项的值为零。（v） 如果A<0且-B-√δ>0然后c（3）=3！√2πZ∞-∞（Az+Bz+C）e-zdz（75）=6（3A+B+C）。（76）（vi）如果A<0，且-B+√δ>0，但-B-√δ ≤ 0那么c（3）=3！√2πZzz（Az+Bz+C）e-zdz（77）=6（3A+B+C）（1）- 2N（z））+12zρ（z）（Az+3A+B）。（78）（vii）最后，如果A<0-B+√δ ≤ 0那么c（3）=3！√2πZzz+Zzz（Az+Bz+C）e-zdz=12（3A+B+C）（N（z）- N（z））+12zρ（z）（Az+3A+B）-12zρ（z）（Az+3A+B）。（79）总之，我们观察到，对于阶数n的相干混沌模型，定价核只是一个阶数2n的多项式-2在单高斯过程{Rt}。因此，对于期权或互换期权的估值，相关计算简化为在标准随机变量zt中取同阶多项式正部分的期望值。换句话说，问题归结为2n阶多项式根的识别- 2.由于这样一个基本的寻根法可以很容易地在数值上进行，因此我们发现，在五阶相干混沌模型的情况下，期权和互换期权价格的半解析表达式总是可用的。7.非相干混沌模型我们详细研究了相干混沌利率模型，以期将其推广到更一般的情况，我们可以称之为非相干混沌模型。如上所述，我们的主要观察结果是∞-可测平方可积随机变量X（n）∞与n阶混沌展开有关的可表示为“相干”对数正态随机变量X（n）的线性组合∞（φi）用于不同的结构函数φi（s）。