相干混沌利率模型

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英文标题：
《Coherent Chaos Interest Rate Models》
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作者：
Dorje C. Brody and Stala Hadjipetri
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The Wiener chaos approach to interest rate modelling arises from the observation that the pricing kernel admits a representation in terms of the conditional variance of a square-integrable random variable, which in turn admits a chaos expansion. When the expansion coefficients factorise into multiple copies of a single function, then the resulting interest rate model is called coherent, whereas a generic interest rate model will necessarily be incoherent. Coherent representations are nevertheless of fundamental importance because incoherent ones can always be expressed as a linear superposition of coherent elements. This property is exploited to derive general expressions for the pricing kernel and the associated bond price and short rate processes in the case of an n-th order chaos model for each $n$. The pricing formulae for bond options and swaptions are obtained in closed forms for a number of examples. An explicit representation for the pricing kernel of a generic---incoherent---model is then obtained by use of the underlying coherent elements. Finally, finite-dimensional realisations of the coherent chaos models are investigated in detail. In particular, it is shown that a class of highly tractable models can be constructed having the characteristic feature that the discount bond price is given by a piecewise flat (simple) process.
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中文摘要：
利率建模的维纳混沌方法源于这样一个观察：定价核允许以平方可积随机变量的条件方差表示，而这反过来又允许混沌展开。当展开系数分解为单个函数的多个副本时，所得的利率模型称为一致的，而一般的利率模型必然是不一致的。然而，相干表示具有根本重要性，因为非相干表示总是可以表示为相干元素的线性叠加。利用这一性质，在每n$为一个n阶混沌模型的情况下，导出了定价核和相关债券价格及短期利率过程的一般表达式。债券期权和互换期权的定价公式是以封闭形式给出的。然后，通过使用基本的相干元素，得到了一般的非相干模型的定价核的显式表示。最后，详细研究了相干混沌模型的有限维实现。特别地，证明了可以构造一类高度可处理的模型，其特征是贴现债券价格由分段平坦（简单）过程给出。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：利率模型 Presentation Quantitative coefficients Differential

布鲁内尔大学和帝国理工学院工作文件相干混沌利率模型Dorje C.Brody·Stala HadjipetriJuly 242018Abstract利率建模的维纳混沌方法产生于这样一个观察，即定价核允许以平方可积随机变量的条件方差表示，这反过来又允许混沌扩展。当扩展系数分解为单个函数的多个副本时，所得的利率模型称为不一致，而通用利率模型则必然是不一致的。尽管如此，相干表示仍然非常重要，因为非相干表示总是可以表示为相干元素的线性叠加。利用这一性质，在n阶混沌模型的情况下，导出了定价核的一般表达式，以及相关的债券价格和短期利率过程。在许多例子中，债券期权和互换期权的定价公式是以封闭形式得到的。然后利用潜在的相干元素，得到了一般非相干模型定价核的显式表示。最后，详细研究了相干混沌模型的有限维实现。特别是，它表明，一类高度可处理的模型可以被构造，具有一个特征，即dis count bond price由一个分段的fl at（简单）过程给出。关键词定价核·条件方差表示·维纳混沌展开·福克空间·相干态多杰·C·布罗迪布鲁内尔大学数学系Uxbridge UB8 3PH，U KE mail:多杰。Brody@brunel.ac.ukStalaHadjiPetride数学系，伦敦帝国理工学院，伦敦SW7 2AZ，英国邮箱：斯大拉。哈德吉佩特里08@imperial.ac.uk2多杰C。

布罗迪，斯大拉·哈吉佩特里1简介30多年来，利率建模一直在发展，产生了各种各样的方法，体现了不同的重点（例如，见詹姆斯和韦伯2000年、凯恩斯2004年、布里戈和梅奎罗2006年、菲利波维奇2009年、比约克2009年、卡莫纳和特兰奇2010年）。最近引起一些关注的一种方法是基于定价核的规定，从中推导出利率动态。定价核心方法的主要优点是，它允许以一致和透明的方式处理和定价各种衍生产品，包括不同的资产类别（参见Cochrane 2005）。Flesaker&Hughston（1996、1997、1998）就是一个早期的例子，他引入了一种方法，以一种规范的方式将利率正性结合起来。该方法的扩展包括Rutkowski（1997）和Jin&Glasserman（2001）。同样在积极利益背景下，罗杰斯（1997年、2004年）基于定价核属于某一类概率潜力的观察，开发了一种定价核建模的“潜在方法”。本文的目的是发展一类新的利率模型，称为“一致利率模型”，在定价核心范式内。一致利率模型是在定价核的维纳混沌展开的背景下出现的，最初由Hughston&Rafailidis（2004）提出，他观察到，足以描述定价核的潜力类别允许某种随机变量的条件方差的表示，并提出利用维纳-伊藤混沌展开对底层随机变量进行建模和标定。

Brody&Hughston（2004）进一步扩展了利率建模的混沌方法，其中利用函数空间上的微积分获得了布朗过滤背景下无套利正期限结构动力学的最一般形式。另请参见格拉塞利和赫德（20 05）和格拉塞利和筑本（2011），以了解在利率建模的“超TOC”方法中的进一步重要贡献。在本文中，我们将用两种不同的方法来解释pricingkernel的基于混沌的模型：（a）通过计算每个混沌阶上混沌模型的一般表示；（b）引入基于函数空间的混沌模型的有限维实现。考虑到这些目标，本文组织如下。在第2-4节中，我们将简要回顾背景材料，以便读者不太熟悉这些材料，从而使本论文合理地独立。具体而言，在第2节中，我们根据Hughston&Rafailidis（2004）的公理框架，简要描述了定价核心及其在财务模式中的作用。第3部分总结了导致Hughston&Rafailidis（2004）（另见Bj¨ork2007）条件方差表示的论点，以及校准的相关混沌展开。在第4节中，我们解释了Brody&Hughston（2004）提出的相干混沌表示的定义及其在利率建模中的作用。相干混沌利率模型3在第5节中，我们引入了n阶相干混沌模型的概念，并推导了该模型中定价核、短期利率、债券价格和风险溢价的一般表示。第6节给出了相干利率模型推导定价公式的明确示例。

具体而言，债券期权和互换期权以封闭形式获得。相干混沌模型很重要，因为它们构成了一般利率模型的基石。具体而言，一般利率模型可以用基础相干成分的线性叠加形式表示（按照第4节中的解释），因此是不相干的。通过利用线性结构，我们能够导出n阶非相干混沌模型定价核的一般表达式第7组。在第8节中，我们通过研究相干混沌模型的有限维实现来稍微改变方向。我们注意到，由平方可积函数的有限维Hilbert空间的一个元素给出的混沌系数。当这个系数被有限个Dirac delta函数的平方根所取代时，所得到的系统可以在有限维Hilbert空间中处理。相应的利率模型是“简单”的，因为定价核心和债券价格过程由分段步长函数给出，其中步长从独立高斯随机变量的非线性函数中采样。有限维变现示例的理念是，它可以用于确定有限数量的初始债券价格，而无需依赖插入法。虽然得到的模型相当初级，但我们发现它们仍然有一些价值。我们在第9节进行简要讨论和进一步评论。2利率建模的定价核心方法估值和风险管理的定价核心方法可能是得出金融建模中各种常见结果的最直接途径。

它还提供了一个深入了解风险、风险规避和风险投资产生的回报之间关系的视角，当资产价格跃升到一个可能很难从其他方法中理解的想法时（Brody et al.2012）。基于这些原因，我们将采用pricingkernel方法进行利率建模。在本节中，我们将简要回顾定价核心的概念。特别是，我们发现遵循Hughston&Rafailidis（2004）提出的公理化方法很方便。下面列出的公理既不是最小的，也不是唯一的（另见Brody&Hug hston 2004、Ro gers 2004、Hughston&Mina 2012），然而，我们发现Hughston&Rafailidis（2004）中采用的方法导致了我们在最方便的情况下所需的定价核心的理想表示，因此我们将以此为出发点。我们的建议如下。我们用固定概率空间对经济进行建模(Ohm, F、 P），其中概率测度P是物理概率测度。我们为这个空间配备了标准的增强过滤设备4多杰·C·布罗迪，斯大拉·哈吉佩特里{Ft}0≤t<∞由一个或多个独立维纳过程{Wαt}0的系统生成≤t<∞, α = 1, . . . , k、 我们还假设资产价格是连续半鞅(Ohm, F、 P），这将使我们能够利用随机微积分的各种标准结果。

考虑到这种设置，Hughston&Rafailidis（2004）假设存在一个定价核，一个严格正的Ito过程{πt}t，从而证明了经济中不存在套利≥0on(Ohm, F、 P），这样以下一组公理成立：（a）存在一个严格递增的绝对连续资产，其价格过程为{Bt}t≥0代表货币市场账户。（b） 给定一个具有价格过程{St}t的任何资产≥0并使用Ft适应的分割过程{Dt}t≥0，由Mt=πtSt+ZtπsDsds（1）定义的过程{Mt}是一个P-鞅。（c） 存在一种资产负债率票据，它提供连续的股息率，使其价值随时间保持不变。（d） 存在一个圆盘计数键{PtT}0系统≤T≤T≤∞具有限制的横截性质→∞PtT=0，P- a、 s.（2）从公理（a）出发，我们推导出一个适应Ft的短速率过程{rt}t的存在性≥0使得所有t的rt>0≥ 0和thatdBt=rtBtdt。（3） 由于货币市场账户是一种不支付股息的资产，因此根据公理（b），过程{ρt}t≥定义为ρt=πtBt（4）的是马丁酒。请注意，最多只能存在一个进程（a）和（b）。由于πt>0和Bt>0的事实，ρt对所有t也呈三重阳性≥ 因此，{ρt}是一个正鞅，我们不能写ρt=-一类Ft适应向量值过程{λt}t的ρtλtdWt（5）≥0.在这里和下面的内容中，为了简单起见，我们将写λtdwt来表示向量innerproductPkα=1λαtdWαt。作为（3）、（4）和（5）的序列，定价核满足的动态方程取f rmdπt=-rtπtdt- 我们可以写出πt=6或λt-Ztrsds-ZtλsdWs-Ztλsds.

（7） 相干混沌利率模型5由于定价核是鞅和严格递减过程的乘积，因此{πt}是满足Et[πt]的上鞅≤ πt.现在考虑一种无违约贴现（Zero息票）债券系统。Weassume，根据公理（d），经济在所有时间范围内都支持这种贴现债券系统。我们为一种无违约的到期日贴现债券的价值定价，这种债券在到期日支付一个单位的货币。由于贴现债券不支付股息，我们从公理（b）推导出每个到期日的过程{πtPtT}0≤T≤这是一个鞅，我们用{MtT}0来表示≤T≤然后从方程（4）得出，ptt=MtTBtρT。（8）由于{MtT}是一个参数鞅族，因此存在一个向量值族{σtT}0≤T≤t我们可以写的是MtT=MtT（σtT- λt）dWt。（9） 根据伊藤的积和商规则，从方程（3）、（5）、（8）和（9）可以看出，贴现债券系统满足的动力学方程由dptt=PtT（rt+λtσtT）dt+PtTσtTdWt（10）给出，也可以写成PtT=P0TBtexp的形式ZtσsT（dWs+λsds）-Ztσ性传播疾病. （11） 因此，我们记录了{σtT}0过程≤T≤T固定T为T-到期贴现债券波动率，而{λT}T≥0衡量每波动率风险投资产生的高于短期利率的超额回报率。如上所述，定价核心法也为未定权益的估值提供了一种有效的方法。因此，例如，如果HT是竞争对手在时间T的支付，那么根据公理（b），我们发现在时间T的导数的值由HT=Et[πTHT]πT给出。（12）特别是对于单位现金流HT=1，如果我们现在取极限T，我们得到债券定价公式ptt=Et[πT]πT.（13）→ ∞ 在（13）中，利用（2），我们发现这一限制→∞Et[πT]=0，P-a.s。

（14） 这表明定价核是一个势函数，即一个期望值随T渐近消失的右连续正Up ermartingale→ ∞.6 Dorje C.Brody，Stala HadjipetriMore特别指出，{πt}是一种典型的e-D势（用Meyer 1966年的语言）。这一观察结果促使罗杰斯（1997年）将所谓的潜在方法引入利率建模（另见罗杰斯2004年，比约克2007年）。因此，{πt}的具体化一方面导致债券价格动态以及相关的短期利率过程，另一方面导致一般未定权益的定价。正是由于这些原因，我们更愿意直接对{πt}建模。如上所述，其中一种方法是在利率建模的基础上考虑某些类型的潜力；我们将在这里考虑的另一种方法是使用维纳超扩展技术来建立利率模型。3条件方差和维纳混沌展开我们将遵循Hughston&Rafailidis（2004）的观察结果，即定价核可以用F的条件方差的形式表示∞-可测平方可积随机变量。这个想法如下。我们以积分形式πT写出（6）- πt=-ZTtrsπ-sds-ZTtλsπsdWs，（15）并在（15）的each侧取Ft条件期望，以获得πt=Et[πt]+Et“ZTtrsπsds#。（16）现在取极限t→ ∞ 我们推导出定价核的以下隐式关系：πt=EtZ∞trsπ-sds. （17） 注意，由于{πt}和{rt}都是Ft自适应的，所以向量值过程{ηt}t≥0由ηt=kXα=1ηαtηαt=rtπt（18）定义，也适用于Ft。显然，每个t的向量ηt≥ 0仅在SO（k）-旋转自由度下是唯一的。对于这个等价类的任何给定代表元素{ηt}，我们根据以下公式定义一个Ft鞅{Xt}：Xt=ZtηsdWs。

（19） 一致混沌利率模型7然后我们有∞- Xt=Z∞tηsdWs，（20），根据条件维纳-伊托等距，我们推导出πt=Eth（X∞- Et[X∞])i、 （21）我们将这个恒等式称为定价核的条件方差表示。上述分析表明，要对定价核心进行建模，必须对随机变量X进行建模∞这是希尔伯特空间L的一个元素(Ohm)对于平方可积随机变量，更精确地说，是L的子空间的一个元素(Ohm) 由F组成∞-可测量的随机变量。Hughston&Rafailidis（2004）的建议是采用维纳混沌展开法对随机变量X进行“参数化”∞, 求出定价核{πt}，并利用所得结果得到各种导数的定价公式；它允许我们在混沌展开中校准函数参数。具体来说，随机变量X∞允许对formX进行独特的扩展∞= φ+Z∞φ（s）dWs+Z∞Zsφ（s，s）dWsdWs+·，（22）式中φ=E[X∞], φs=φ（s）∈ L（R+）是一个单变量的平方可积函数，φss′=φ（s，s′）∈ L（R+）L（R+）是两个变量的（对称）平方可积函数，依此类推。我们顺便说一句，混沌扩展的概念是由维纳在他的开创性论文《齐次混沌》（维纳1938）中提出的；而关于随机积分的表述（22）是由于伊藤（1951）。我们指的是池田和渡边（1989年）、努亚拉特（1995年）、詹森（1997年）、马利亚文（1997年）、Oksendal（1997年）和迪努诺等人。