相干混沌利率模型

不同地说，我们有代表X（n）∞=西克斯（北）∞（φi），（80）为了清楚起见，我们写了x（n）∞（φi）=Z∞Zs···Zsn-1φi（s）φi（s）·φi（sn）dWsn··dWsdWs（81）18 Dorje C.Brody，Stala Hadjipetrifor，针对不同随机变量的每个i。因此，通过计算π（n）t=Et，可以得到与任意n阶混沌模型相关的定价核西克斯（北）∞（我）！-Et“XiciX（n）∞（φi）#！。（82）根据martinga-le关系Et[X（n））可以很容易地计算（82）右边的第二项∞（φi）]=X（n）t（φi）。计算（82）右侧的第一项显然有点复杂。我们的程序如下。首先，从（81）中观察随机变量X（n）∞（φi）可以写成以下递归形式：X（n）∞（φi）=Z∞φi（t）X（n）-1） t（φi）dWt。（83）通过使用Wiener-Ito等距的条件形式，得出ethx（n）∞（φi）X（n）∞（φj）i=X（n）t（φi）X（n）t（φj）+Z∞tφi（u）φj（u）EthX（n-1） u（φi）X（n）-1） u（φj）idu。（84）递归关系（83）在X（n）上的一个应用-1） 然后，通过对维纳-伊托等距的条件形式的另一种使用，我们可以证明（84）右侧的条件展开式中包含的内容是约化为n- 2.通过迭代，我们发现ethx（n）∞（φi）X（n）∞（φj）i=nXk=0hφi，φji（k）tX（n）-k） t（φi）X（n）-k） t（φj），（85）为了简单起见，我们写了φi，φji（k）t=∞ZtsZt·sk-1Ztφi（s）φj（s）·φi（sk）φj（sk）dsk··ds，（86）带hφi，φji（0）t=1。

把这些放在一起，我们由此推导出以下表达式：π（n）t=Xi，jcicj“nXk=0hφi，φji（k）tX（n-k） t（φi）X（n）-k） t（φj）- X（n）t（φi）X（n）t（φj）#=Xi，jcijnxk=1hφi，φji（k）tX（n）-k） t（φi）X（n）-k） t（φj）（87）表示非相干模型中的定价核。相干混沌利率模型19例1：作为一个示例，考虑n=2的情况，并假设混沌扩展涉及一对函数的叠加：Φ（s，s）=Xi=1ciφi（s）φi（s）。（88）在这种情况下，经过一些基本计算，我们得到了定价核的以下表达式：π（2）t=2cRt（φ）（1）- Qt（φ））+（1- Qt（φ））+2cRt（φ）（1）- Qt（φ））+（1- Qt（φ））+2ccRt（φ）Rt（φ）Z∞tφ（s）φ（s）ds+ccZ∞tφ（s）φ（s）ds. （89）这里，我们已经为两个高斯过程写出了Rt（φi）=Rtφi（s）dWs，i=1，2。因此，我们看到，在这种情况下，定价核是两个高斯状态变量{Rt（φ）}和{Rt（φ）}的简单交叉多项式。类似的结果自然适用于更高的n，以及展开式中更多的项。例2：更一般地说，我们可以考虑一个“非相干”模型，它由不同混沌阶的相干项组合而成。作为一个示例，假设X∞由一阶和N阶相干混沌元素的组合给出：X∞= X（1）∞（φ） +X（n）∞(φ). （90）采用条件方差并利用（85），相关pricingkernel的形式如下：π（n）t=1- Qt（φ）+nXk=1hX（n-k） t（φ）i（k！）+2X（n）-1） t（φ）∞Ztφ（s）φ（s）ds，（91），由此可以很容易地导出相应的m结构动力学。8相干混沌模型的有限维实现在本节中，我们考虑平方可积函数的希尔伯特空间被有限维希尔伯特空间近似（或替换）的情况。

为了便于计算，我们使用Dirac delta函数，使函数φ（x）由加权的sum20 Dorje C.Brody，Stala Hadjipetriof有限个delta函数的平方根给出。有限维度的概念是生成一组模型，这些模型可以仅在有限数量的可用市场数据中进行校准，而不需要对所有不存在的到期日的超理论初始债券价格进行假设。接下来，我们首先回顾一下，我们已经制定了规范化公约∞=Z∞φ（s）ds=1。（92）因此，φ（s）可以解释为定义概率密度函数，但在有限维空间中的影响除外。更重要的是，严格地说，我们继续在有限维希尔伯特空间中工作，但通过促进有限数量的分布而不是函数，效果分析减少到基于有限维希尔伯特空间的分析。因此，我们选择φ取以下形式：φ（s）=N+1Xi=1piδ（s- Ti），（93），其中δ（s）表示标准狄拉克δ函数，{Ti}i=1，。。。，目前市场上可获得价格的债券的不同到期日；N表示其中有多少个。系数{pi}是概率权重，因此0≤ 圆周率≤ 1和Pn+1i=1pi=1。对于φ的选择，积分Qt采用分段阶跃函数的以下形式：Qt=N+1Xi=1pi{Ti≤t} =N+1Xi=1{Ti≤t<Ti+1}iXj=1pj。（94）我们在（93）和（94）中指出，我们引入了一个任意的TN+1>TN，从而假定债券价格在该点变为零。请注意，TN+1不是一个到期日，而是一个任意的时间，超过了债券在市场上最长寿命的到期日。

TN+1的选择不会影响到期日为≤ TN；因此，以下分析不会受到TN+1选择随意性的影响。引入TN+1的原因仅仅是为了在有限维设置中满足公理（d）的渐近条件（2）。相反，如果我们没有引入TN+1，下面的讨论也不会受到影响。现在让我们考虑与（93）的正平方根相关的n阶相干混沌模型。使用P（n）0t的结果（46）中的表达式（94）进行的一个简短计算表明，相应的到期日为t的初始债券价格接受以下表示：P（n）0t=1-N+1Xi=1{Ti≤t<Ti+1}iXj=1pjn、 （95）相干混沌利率模型21Fig。2：初始债券价格P（n）0t是n=2的到期时间的函数。假设两个债券价格在T=1和T=4时给出；而在时间t=9时，债券价格假定为零。参数值为p=、p=、p=。为了说明当前模型中的初始期限结构，我们在图2中绘制了一个初始债券价格作为n=2的到期时间函数的示例。这里使用了三种到期日：T=1、T=4和“特别”选择的T=9。根据（95），在时间T（第一次跳跃发生的地方）到期的债券的初始值P0T为P0T=1- 请注意，当时的价格为P0T=1-（p+p）n等等。因此，在仅指定了两个数据点的二阶相干混沌模型中，我们的值为p0t=1- p、 P0T=1- （p+p）和P0T=1- （p+p+p）=0。由于假设到期日{Ti}i=1，。。。，在我们有债券价格的市场数据的地方，我们看到概率权重{pi}可以从贴现债券的初始市场价格进行校准。这又决定了函数φ（s），而函数φ（s）又决定了术语结构的后续动态。

让我们分析有限维模型中的结构动力学。首先，回想一下Thart~ N（0，Qt），所以为了确定高斯过程{Rt}的概率特性与φ（s）dWs的概率特性相同，其中φ（s）是形式（93），让我们考虑一个独立的高斯随机数族22 Dorje C.Brody，Stala HadjipetriFig。3：在n=2的有限维相干混沌模型的情况下，高斯分布{Rt}、其二次变化{Qt}和由此产生的定价核{πt}的样本路径模拟。这里选择的参数是pi=0.08，i=1时的Ti=i。当T>10时，p=0.2。变数~ N0，iXj=1pj对于i=1，N+1。（96）然后我们可以根据N=N+1Xi=1{Ti来表示高斯过程{Rt}≤t<Ti+1}ni（97），这里的等式当然适用于概率。通过使用（39）和（41），相应的定价核心可以在有限维模型中定义。在图3中，我们举例说明了n=2和n=10的{Qt}、{Rt}和{π（2）t}的典型样本路径。为了简单起见，我们选择了统一概率和等间距：pi=0.08，Ti=i表示i=1，10.类似地，在图4中，我们展示了相应的键合过程的样本路径，其中我们再次选择pi=0.08表示i=1，10，债券到期日T=10。相干混沌利率模型23Fig。4：n=2阶相干混沌模型中贴现债券价格过程{PtT}的样本路径模拟。这里选择的参数aspi=0.08表示i=1，10，到期日设置为T=10。债券价格会上下波动，但最终会收敛到其最终价值。

在根据（95）给出的初始b和b价格重新计算的点上，价格跳跃。总结本节内容，我们发现使用有限维方法，可以构建一类基本的、高度易处理且易于校准的模型。这些模型的特点是贴现债券过程是分段的，债券价格在任何时候的分布由标准正态随机变量多项式的比率决定。这些模型中出现的债券价格过程也可以被视为是对更复杂的连续过程的“简单”近似。为了说明这些模型中的典型债券价格是如何表现的，在图5中，我们展示了债券价格动态的一个示例，其中“网格大小”是图4中所示的十倍。在这方面值得注意的是，尽管高斯过程Rt=Rtφ（s）dws通常看起来是连续的，但由于（93）中出现了分布，因此产生的过程包含跳跃，如图3.9结论和讨论所示，本论文的目的是对各阶相干混沌利率模型进行深入分析，认为它们构成了基本模型24 Dorje C.Brody，Stala HadjipetriFig。5：n=2阶相干混沌模型中贴现债券价格过程{PtT}的样本路径模拟。这里选择的参数是i=1时的pi=0.008，100，债券到期日为T=10。债券价格会上下波动，但最终会收敛到其最终价值。在根据（95）给出的初始b和b价格重新计算的点上，价格跳跃。对于一般（不连贯）利率模型。

我们发现，对于纯n阶相干混沌模型，定价核由一个2n阶多项式给出-高斯状态变量的2。这导致了债券价格、风险溢价和短期利率过程的相当简单的表达式。此外，我们还表明，在所有这些模型中，可以推导债券期权和互换期权定价的解析或半解析公式，最多涉及基本多项式根的数值确定。虽然单因子相干混沌模型本身比基本高斯利率模型更具局限性，但由于每个相干混沌模型仅依赖于一个函数自由度，因此限制性太大。然而，对于更真实的模型，必须采用第4节中描述的相干混沌元素的线性叠加。在最常见的情况下，定价内核的结果表达式有点麻烦，尽管它从来都不容易处理。然而，出于实际目的，仅考虑少量（两个或三个）相干向量似乎是足够的，以便生成ich和灵活的利率模型。我们希望本文给出的结果将为进一步研究这一方向奠定基础。相干混沌利率模型25通过比较，我们提请注意最近在Grasselli&Tsujimoto（2011）中对三阶混沌模型实施了混沌模型，选择φ（s）=α（s）、φ（s，s）=β（s）和φ（s，s，s）=γ（s）。

与行业中当前首选的模型相比，他们的模型更接近正向曲线，参数更少。因此，一个有趣的扩展是，根据前面的讨论，考虑以下推广的实施：φ（s）=α（s）、φ（s，s）=β（s）β（s）和φ（s，s）=γ（s）γ（s）γ（s）γ（s），并检查推广的模型对正向曲线和波动曲线的拟合程度。关于有限维模型的分析，值得进行以下观察。为了简单起见，如果我们设置N=1，那么正式的weare会导致formRt=Ztpδ（s）的表达式- T） dWs（98）对于高斯过程{Rt}，其先验意义不易解释。在本文中，我们通过为每个t识别一个概率定律与Rt相同的替代r andom变量，绕过了（98）形式及其推广过程的直接处理，并使用这种替代表示来描述利率动力学。对于形式（98）的随机积分的更直接的分析，Colombeau（1990）的分布乘法演算可能是有用的。我们把这种分析推迟到另一个场合。参考文献1。《连续时间的套利理论》，第三版。牛津：牛津大学出版社（2009）2。T.比约克：利率理论的主题。在运筹学和管理科学手册中，J.R.Birge&V.Linetsky，编15，377-435（2007）3。Brigo，D.，Mercurio，F.：利率模型理论与实践：带着微笑、通货膨胀和信用。斯普林格（2007）4。布罗迪，哥伦比亚特区，休斯顿，L.P.：混沌与连贯：利率建模的新框架。《皇家学会会刊》。460, 85-110 (2004)5.

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