逐步增加信息下的结构条件

当X∈ Mloc（F），由于sup0≤s≤·Xs∧τ≤ sup0≤s≤·Xs∈ A+loc（F） A+loc（G）。这就结束了这个命题的终结。下面介绍三种变换之间的相互作用。提议3.2。让X，Y∈ M0，loc（F）和准左连续。那么下面的例子就成立了。（a） 我们有[bX（b），Tb（Y）]=[bY（b），Tb（X）]=Z-eZI]]0，τ]]o[Y，X]。（3.8）因此，当X，Y∈ M0，loc（F），由hbx（b），Tb（Y）iG=I]]0，τ]]hT（X），Y iF=I]]0，τ]]hT（Y），T（X）iF给出。（3.9）（b）下列等式保持hbx（b），bX（b）iG=I]]0，τ]]Z-oeZo[X，X]F、 （3.10）Tb（T（M））=Tb（M），和\\T（M）（b）=cM（b）。（3.11）证据。由于X和Y的准左连续性，这两个过程I]]0，τ]]Z-1.-ohX，米凡兹-一] ]0，τ]]I{eZ>0}o[Y，m]p、 票价连续变化。因此，我们推导出[bX（b），Tb（Y）]=Xτ- 一] ]0，τ]]Z-1.-o总部、miF、bY（b）-eZI]]0，τ]]o[Y，m]+Z-一] ]0，τ]]I{eZ>0}o[Y，m]p、 F=Xτ，Yτ-eZI]]0，τ]]o[Y，m]=Z-eZI]]0，τ]]o[Y，X]。X和Y的对称作用导致[bY（b），Tb（X）]=Z-eZI]]0，τ]]o[Y，X]。这证明了（3.8）。为了证明断言（a）的第二个陈述，我们结合方程式（3.8）和引理a.2，以及derivehbX（b），Tb（Y）iG=Z-eZI]]0，τ]]o[X，Y]p、 G=I]]0，τ]]I{eZ>0}o[X，Y]p、 F=I]]0，τ]]ohT（X），Y如果=I]]0，τ]]ohT（X），T（Y）如果。这就结束了断言（a）的证明。再次感谢X的准左连续性，我们得到了hbx（b），bX（b）i=hXτ- 一] ]0，τ]]Z-1.-ohX，miF，Xτ- 一] ]0，τ]]Z-1.-ohX，miFi=I]]0，τ]]o[X，X]。因此，把这个w和引理A.2结合起来，（4.49）紧随其后，而（3.11）是I{eZ=0}I[[0，τ]]的直接结果≡ 这个命题的证明。对于任何拟左连续X，以下命题将关于（bX（b），G）的可积性与关于（T（X），F）的可积性联系起来∈ Mloc（F）。提议3.3。

让我∈ M0，loc（F）由（2.1）给出，并假设M是准左连续的。然后存在一个唯一的（P dhT（M）iF-a.e.）F-可预测的过程e~n->0}oeZo[M，M]p、 F=e kohT（M）iF和0≤ e~n≤ 1.（3.12）此外，以下断言成立。（a） 它认为I{e~n=0}ocM（b）≡ 0和θpeаI{eа>0}∈ Lloc（cM（b），G），对于任何θ∈ Lloc（M，F）。（b） 设θGbe为G-可预测过程。那么θG∈ Lloc（cM（b），G）当且仅当存在可预测的过程ssθ，使得θG=θon]]0，τ]]和θpe k I{Z-≥δ}∈ 对于任何δ>0的情况，Lloc（T（M），F）。证据为了证明满足（3.12）的e~ns的存在性，我们考虑n:=Z-oM+I{Z->0}o[M，M]- I{Z->0}ohM，miF，这是一个局部平方可积的拟左连续F-局部鞅，其跳数由下式给出：N=eZM因此，GKW分解的直接应用导致了一个唯一对（e~n，L）的存在∈ Lloc（T（M），F）×M0，loc（F）使得n=e koT（M）+L，hT（M），LiF≡ 0.根据N的定义，我们很容易得出[N，T（M）]=[N，M]=eZI{Z->0}o[M，M]。因此，通过对上述两个sid进行补偿，（3.12）中的第一个等式紧随其后。那是因为Ezi{Z->0}o[M，M]是不减损的，并且由[T（M），T（M）]主导，我们认为0≤ e~n≤ 1，证明了（3.12）。（a） 为了证实断言（a），一方面，我们注意到hi{e~n=0}ocM（b）iG=I{e~n=0}ohcM（b）iG=e~nZ-I{e~n=0}I]]0，τ]]ohT（M）如果≡ 0.另一方面，我们计算θpeаI{eа>0}ocM（b）iG=θeаI{eа>0}ohcM（b）iG=θZ-I{eИ>0}I]]0，τ]]ohT（M）iF。因此，断言（a）紧跟在这些等式之后。（b） 注意等式（θG）ohcM（b）iG=θZ-一] ]0，τ]]eZo[M，M]p、 F=（θpeа）Z-一] ]0，τ]]ohT（M）如果。然后，断言（b）由这个等式和命题A.1-（c）组合而成。

这就结束了这个命题的终结。3.2一类G-局部鞅的Galtchouk Kunita Watanabe本小节研究了当M小于M0，loc（F）时Tb（M）相对于tocM（b）的GKW分解。事实上，我们证明了这种分解总是适用于pe~noTb（M）而不是Tb（M）。定理3.4。让我∈ M0，loc（F）由（2.1）给出，T（M）由（3.6）给出。假设Mis准左连续，那么下面的断言成立。（a） 有一个∈ M0，loc（G）使[eL，cM（b）]∈ M0、loc（G）和PEаoTb（M）=Z-peаI{eа>0}ocM（b）+peаeL。（3.13）（b）对于任何准左连续N∈ M0，loc（F），存在唯一的对（θN，LN），属于toLloc（T（M），F）×M0，loc（G）和satisfe~noTb（N）=Z-θNpeаI{eа>0}ocM（b）+peаLN[LN，cM（b）]∈ M0，loc（G），（3.14），θN:=dhN，T（M）iFdhT（M）iF。（3.15）证据。对于任意局部平方可积F-局部鞅N，表示T（b，N）（N）asT（b，N）（N）：=bN（b）-一] ]0，τ]]Z-oTb（Nn），其中Nn:=I{eZ≥N-1} o[N，m]-我{eZ≥N-1} o[N，m]p、 F.（3.16）很明显，T（b，n）（n）在Mloc（G）中收敛到Tb（n），NN在Mloc（G）中收敛，hT（b，n）（n），cM（b）iG收敛到hTb（n），cM（b）iG。此外，还直接应用了T（b，n）（n）关于e~n的GKW分解-1/2ocM（b），因为这两个过程都属于Mloc（G），导致toT（b，n）（n）=θnpe~nocM（b）+Ln。（3.17）这里θ是一个F-可预测的p过程，使得θn∈ Lloc（e）-1/2o厘米（b），克）和英寸∈ Mloc（G）与HLN、cM（b）iG≡ 因此，见第3.3-（b）位，我们得出结论θnI{Z-≥δ}∈ Lloc（T（M），F），对于任何δ∈ (0, 1).现在，我们重点证明θn在Lloc（cM（b），G）中收敛于θ，或等价地θnocM（b）在空间M0，loc（G）中收敛。

为此，我们考虑一个F-可预测的p过程η∈ Lloc（cM（b），G），相当于ηpeДI{Z-≥δ}∈ 任何δ的Lloc（T（M），F）∈ （0,1）和d（θn+k）- θn）ηohcM（b）iG=θn+k- θnpeаηpeаhcM（b）iG=hθn+k- θnpeаI{eа>0}ocM（b），ηpeаocM（b）iG=hT（b，n+k）（n）- T（b，n）（n），\\ηpe~noMiG=hTb（Nn+k）- Nn），\\ηpe~noT（M）iG=I]]0，τ]]hNn+k- Nn，ηpe~noT（M）如果。自ηpe~noT（M）∈ M0，loc（F）和序列nn在M0，loc（F）中收敛，我们推导出（θn）nisa-Cauchy序列在Lloc（cM（b），G）中，因此存在唯一的θ∈ Lloc（cM（b），G）使得θ与Lloc（cM（b），G）中的θ相交。由于T（b，n）（n）在s步M0，loc（G）中收敛到Tb（n），我们推断ln在M0，loc（G）中收敛到L∈ M0，位置（G）。很容易检查[L，cM（b）]∈ M0，loc（G）和pe~noTb（N）=eθocM（b）+pe~noL.（3.18），然后通过考虑N=M并使用命题3.2和3.3，我们推导出θe~nZ-一] [0，τ]]ohT（M）iF=eθohcM（b）iG=hpeаoTb（M），cM（b）iG=peаohTb（M），cM（b）iG=peаI]]0，τ]]ohT（M）iF。这证明了eθ与Z重合-/因此，N=M时的（3.18）变为φTb（N）=Z-这证明了断言（a）。为了证明断言（b），我们考虑N∈ Mloc（F），我们应用关于T（M）的N的GKWdecomposition。这意味着存在唯一对（θN，L），它属于Lloc（T（M），F）×M0，loc（F）和satifiesn=θNoT（M）+L，hT（M），LiF≡ 注意我们有Tb（N）=θNoTb（T（M））+Tb（L），Tb（T（M））=Tb（M），和htb（L），cM（b）iG=I]]0，τ]]ohL，T（M）如果≡ 因此，通过把LN:=Tb（L）+θNoeL，我们推导出hLN，cM（b）iG≡ 0和（4.55）紧随其后，将其与断言（a）进行梳理。这就结束了定理的证明。推论3.5。设M是M0的拟左连续元，loc（F），使得MM≡ 0

然后tb（M）=cM（b）。推论的证明是直接基于f作用的，在这种情况下，e~n=Z-.3.3模型（Sτ，G）的特殊情况和示例我们从证明结构条件在S或m连续时成立开始本小节。定理3.6。如果（S，F）满足SC的市场价格bλF，且S或m是连续的，则模型（Sτ，G）完全满足SC，其风险bλGis的市场价格由bλG:=bλF+β（m）Z给出-!一] [0，τ]]，带β（m）：=dhm，MSiFdhMSiF。（3.19）证据。假设（S，F）满足SC的市场价格bλFand S=S+MS+bλFohMS，MSiF，其中m∈ M0，loc（F）和bλF∈ Loc（M，F）。为了符号简单，我们将M:=MSandcM:=I]]0，τ]]]M- （Z）-)-1I]]0，τ]]ohM，miF，（3.20），这是一个G-局部平方可积局部鞅。然后Sτ在G下的Doob-Meyer分解由Sτ=S+cM+bλFI]]0，τ]]hM，MiF+（Z）给出-)-1I]]0，τ]]ohM，miF。（3.21）因此，只要我们找到一个G-可预测过程bλG，就可以进行证明∈ Lloc（cM，G）使得bλFI]]0，τ]]ohM，MiF+（Z-)-1I]]0，τ]]hM，miF=bλGohcMiG。（3.22）为此，由于m是局部有界的，因此m相对于m（在F下）的GKW分解意味着F-可预测过程β（m）的存在∈ Lloc（M，F）与局部平方可积局部鞅M⊥这样m=m+β（m）om+m⊥嗯，我⊥如果=0。（3.23）因此，bλFI]]0，τ]]ohM，MiF+Z-一] [0，τ]]ohM，miF=bλF+β（m）Z-!一] [0，τ]]ohM，MiF。（3.24）S或m的连续性导致hM，miF=0，eZo[M]=Z-o[M] ，和HCMIG=[cM]p、 G=（[M]τ）p，G=Z-一] ]0，τ]]eZo[M]p、 F=I]]0，τ]]hMiF。通过在（3.24）中插入上述等式，我们得到τ=S+cM+bλGohcMiG，市场价格为riskbλG:=bλF+β（m）Z-!一] ]0，τ]]。（3.25）很明显bλG∈ 由于（Z）的局部边界，Lloc（cM，G）-)-1I]]0，τ]]。这就结束了对REM的证明。推论3.7。假设S是一个局部鞅（即。

像≡ S是连续的，orm是连续的，则（Sτ，G）满足SC，其市场风险价格为β（m）Z-1.-一] ]0，τ]]。本小节旨在通过几个例子说明，在某些随机时间内，SC可能会被违反。提案3.8。假设随机基(Ohm, A、 F=（英尺）t≥0，P）支持强度为λ的泊松过程n，股票价格（用X表示）由dxt=Xt给出-ψdKt，其中，ψ>-1，ψ6=0，Kt=Nt- λt.那么以下断言成立。（a） 如果τ=αT+（1- α） T，其中Ti=inf{T≥ 0:Nt≥ i} ，我≥ 1, α ∈ （0，1），则Xτ不满足SC（G）。（b） 如果τ=（αT）∧ T、 然后（Yτ，G）满足SC，其中Y:=K.Proof。a） 这里我们证明断言（a）。为此，我们从Aksamit等人[4]中回忆起，Az’emasupermartingale Z和m的形式为：Z=I[[0，T[+φmI[[T，T[]，m=1- φmI]]T，T]]K，其中φmt=e-λkk（t）-T） 。（3.26）那么，很容易计算出z-I[[0，τ]]ohX，miFt=-1Z-一] ]T，τ]]X-ψφmohKiFt=-λZtZu-一] [T，τ]]Xu-ψuφmudu=-λZtXu-ψuI]]T，τ]]duandDbX（b），bX（b）EGt=I[[0，τ]]ohX，XiFt+Z-I[[0，τ]]o十、m(十）p、 Ft=λZtXu-ψuI[[0，τ]]du- λZtZu-徐-ψuφmuI]]T，τ]]du=λZtXu-ψuI[[0，T]]du，其中bx（b）通过（3.7）定义。因此，不存在G-可预测过程bλ∈ Lloc（bX（b））令人满意-I[[0，τ]]ohX，miF=bλoDbX（b），bX（b）EG，（3.27）因为]]T，τ]]和[[0，T]]是不相交的。这证明了断言（a）。b） 这一部分证明了断言（b）。由于[1，例2.12]中的计算，在τ的情况下，我们得到了∧τ=Nt∧τ- τ ∧ t、 bY（b）t=Yt∧τ-Zτ∧tβuβu+1du，β：=α-1.- 1>0，YτE（θobY（b））是G-局部鞅，其中E（θobY（b））是θobY和θu的随机指数：=（1+βu）/（1+2βu）- 1 = -（βu）/（1+2βu）。因此，由于θ是局部有界的，我们推导出e（θ除以（b））∈ Mloc（G）。

因此，直接应用定理2.6可以得出结论，Yτfull fill SC.这就结束了命题的证明。3.4（Sτ，G）的一般情况下，以下是本节的第一个主要结果，在这里，我们详细讨论了S为准左连续时的问题（Prob1）。定理3.9。假设S是拟左连续的。那么下面这些是等价的。（a） （Sτ，G）满足SC.（b）对于任何δ>0，模型（I{Z-≥δ} oS（0），F）满意度SC及其市场风险价格λ（0，F）满意度（λ（0，F）Z-+ β（0，m））（e~n）-1/2I{Z-≥δ、 e~n>0}∈ Lloc（T（M），F），其中（0）：=S-XI{eZ=0<Z-}MS=：S+T（M）+A（0），A（0）：=A-XI{eZ=0<Z-}太太p、 F.（3.28）此外，对于（sτ，G）和（I{Z），风险λ和λ（0，F）的市场价格-≥δ} oS（0），F）分别与λG=Z有关-eλ（0，F）+β（0，m）eаI{eа>0}I]]0，τ]]和Z-eλ（0，F）=p，F（eλGI]]0，τ]]e~n- β（0，m）Z-, （3.29）式中，β（0，m）：=dhm，T（m）iFdhT（m）iF，和e~n：=deZo[M，M]p、 FdhT（M）如果。（3.30）证据。这个定理的证明分两步进行。第一步证明（b）==> （a） ，而第二步恰恰相反。第一步。这里我们证明（b）==> （a） 。为此，我们假设断言（b）成立。然后，S的准左连续性意味着M:=MS的准左连续性。我们首先回顾了命题3.3中命题3.2和（3.11）的一些有用等式，如下所示。hTb（M），cM（b）iG=I]]0，τ]]ohT（M）iF，和hTb（M），cM（b）iG=I]]0，τ]]ohm，T（M）iF，Tb（T（M））=Tb（M），和\\T（M）（b）=cM（b）。设τδ为G-停止时间，使得]]0，τ∧τδ]]  {Z-≥ δ} ，这是可能的，因为-1.-一] [0，τ是G-lo胼胝体。由于Sτ=（S（0））τ和S（0）满足SC，我们推导出F-可预测过程λ（0，F）的存在性，使得A（0）=eλ（0，F）ohT（M）如果。

因此，通过将所有这些与定理3.4相结合，我们导出了τ=S+（T（M））τ+（A（0））τ=S+cM（b）+Z-一] [0，τ]]ohm，T（M）iF+eλ（0，F）I]]0，τ]]ohT（M）iF=S+cM（b）+Z-一] [0，τ]]ohTb（m），cM（b）iG+eλ（0，F）I]]0，τ]]ohTb（m），cM（b）iG=S+cM（b）+β（0，m）+Z-eλ（0，F）e~nI]]0，τ]]ohcM（b）iG。因此，命题3.3的断言（e）意味着I{Z-≥δ、 e~n>0}（λ（0，F）Z-+对于任何δ>0 i ff i]]0，τ]]i{e~n>0}（λ（0，F）Z，β（0，m））/peа属于Lloc（T（m），F）-+ β（0，m））/e~n∈ 紧接着是Lloc（cM（b），G）和断言（b）。第一步到此结束。第二步。在此，我们证明（a）==> （b） 。假设（Sτ，G）满足SC，并用λ（G）表示其市场精神。然后由于Sτ=（S（0））τ=S+cM（b）+（A（0））τ+Z-1.-一] [0，τ]]ohm，T（M）如果存在与[0，τ]]上的λ（G）重合的F-可预测过程λ，我们得到（A（0））τ+Z-1.-一] [0，τ]]ohm，T（M）iF=eλ（G）ohcM（b）iG=λohcM（b）iG=λeаZ-1.-一] ]0，τ]]ohT（M）如果。然后通过对上述等式两边的F下进行补偿，得到Z-oA（0）=-hm，T（M）iF+λeаohT（M）iF=-β（0，m）+λe~nohT（M）iF。因此我们得出结论，i{Z-≥δ} oA（0）=-β（0，m）+λe~nZ-I{Z-≥δ} ohT（M）iF，以及(-β（0，m）+λe~nI{Z-≥δ} ）/Z-∈ Lloc（T（M），F）。这证明了（I{Z-≥δ} oS（0），F）满足任何δ∈ （0，1），以及（3.29）中的第二个等式，因为λ=p，F（eλGZ）-1.-一] [0，τ]]）。因此，（a）的证明==> （b） 完成了。这就结束了定理的证明。下一个定理放弃了S上的拟左连续性假设，并给出了S和τ的实用充分条件，使得r搜索模型（Sτ，G）完全满足SC定理3.10。假设（S，F）满足SC，市场风险价格用λF表示，且满足{MS6=0}∩ {eZ=0<Z-} =  和（eλFZ）-+ β（0，m））peаI{eа>0}∈ Lloc（M，F）。（3.31）然后（Sτ，G）满足SC，其市场风险价格用λG表示，用λG:=Z表示-p、 F（I{eZ>0}）eλF+β（0，m）p，F（I{eZ>0}）Z-eаI{eа>0}I]]0，τ]]。（3.32）证据。设N是F-局部鞅。

然后我们计算[Tb（N），cM（b）]=[Tb（N），Mτ]+G-局部鞅=Z-eZI]]0，τ]]o[N，M]+p，F(NI{eZ=0<Z-})oMτ+G-局部马丁盖尔=Z-eZI]]0，τ]]o[N，M]+p，F(NI{eZ=0<Z-})Z-一] [0，τ]]ohm，MiF+G-局部鞅。N.o]N.]N.]N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.NI{eZ>0}o[N，M]+p、 F+p，F(NI{eZ=0<Z-})Z-一] [0，τ]]ohm，MiF。（3.33）通过将其分别应用于N=M和N=M的情况，我们得到了htb（M），cM（b）iG=I]]0，τ]]I{eZ>0}o[M，M]p、 F+p，F(MI{eZ=0<Z-})Z-一] [0，τ]]ohm，MiF。（3.34）hTb（m），cM（b）iG=I]]0，τ]]p，F（I{eZ>0}）ohm，MiF+Z-一] ]0，τ]]十、MI{eZ=0<Z-}p、 F.（3.35）感谢{m6=0}∩ {eZ=0<Z-} = , 我们得到hTb（m），cM（b）iG=I]]0，τ]]p，F（I{eZ>0}）ohm，MiF，hTb（m），cM（b）iG=I]]0，τ]]hMiF。（3.36）因此，假设S用λF表示的市场价格满足SC（F），我们得到τ=S+Mτ+Aτ=S+Mτ+eλFI]]0，τ]]ohMiF=S+cM（b）+Z-1.-一] [0，τ]]ohm，MiF+eλFI]]0，τ]]ohMiF=S+cM（b）+Z-1.-p、 F（I{eZ>0}）-1I]]0，τ]]ohTb（m），cM（b）iG+eλFI]]0，τ]]ohTb（m），cM（b）iG=S+cM（b）+β（0，m）Z-+p、 F（I{eZ>0}）eλFp，F（I{eZ>0}）Z-e~nI]]0，τ]]ohcM（b）iG。最后一个等式由定理3.4给出。因此，我们得出结论，（Sτ，G）满足SC及其市场精神由（3.32）给出，它属于Lloc（cM，G），因为这相当于I{Z-≥δ} （λFZ）-+对于任何δ>0的情况，属于Lloc（T（m），F）的β（0，m））/pe~n。这就结束了定理的证明。备注3.11。（a） 如果S或m是准左连续的（即，它在F-可预测停止时间不跳变），则条件（3.31）相当于{s6=0}∩ {eZ=0<Z-} = .为了简单起见，我们将A=as和M=ms放在这里。实际上，由于S是一个特殊的半鞅，具有Doob Meyer分解S=S+M+a，我们得到A=p，F(（S）≡ 0，这一说法得到了证实。这种等价条件已经出现在[1]中随机时间停止下的无界有界风险（NUPBR）概念的研究中。

对于这种情况的财务和数学解释，我们建议读者参考本文。因此，通过上述条件，SC和NUPBR之间的这种联系增强了我们对准左连续情况的关注。（b） 以下过程vt:=X0<u≤tI{eZu=0<Zu-}Mu（3.37）定义明确，是一个变化有限的c`adl`ag过程。事实上，只要注意到存在一个F-停止时间bR，{eZu=0<Zu就足够了-}  [bR]]和V ar（V）t≤ |MbR | I[[bR+∞[[（c）重要的是要提到，在定理4.9中，我们不假设S或forS（0）的SC性质，而定理仅就F过程给出了SC性质对模型（Sτ，G）有效的完整而精确的表征。（b）se t{Z-≥ δ} 当δ在（0，1）中变化时，它与从G到最小过滤F的局部化性质转移密切相关。局部化从较大过滤到最小过滤，反之亦然的稳定性性质在[1]中建立。这一部分的第三个主要定理完全回答了问题（Prob2），d描述了随机时间模型，对于任意模型，在以τ停止后，SC性质保持不变。定理3.12。对任何人来说∈ M（F），我们将以下F-可预测过程ssИNgiven与ДN关联：=d（eZo[N]）p，FdhNiF。（3.38）以下断言是等效的。（a） {eZ=0<Z-} = , 和~nNI{Z-≥δ、 对于任何N，都是局部有界的∈ M（F）和任意δ>0。（b） {eZ=0<Z-} =  对于任意N，φNI]]0，τ]]I{~nN>0}是G-局部有界的∈ Mloc（F）。（c） 对于满足SC的任何模型（X，F），得到的模型（Xτ，G）也满足SC证明。这一证明将通过三个步骤实现。第一步证明（a）<==> （b） 。第二步涉及（a）==> （c） ，而第三步是（c）==> （a） 。第一步。让N∈ M0，位置（F）。