自激Hawkes过程的分支比近似

7在这种情况下，不会收敛到一个大的有限常数，而是收缩到零，导致1- ~n~ W-.我们用指数模拟了这样一个过程 =0.35，切割系数τ=1.0。使我们的模拟达到平均事件率∧的稳态≈ 1.我们通过选择n=0.99和u=0.01，使我们的工艺非常接近临界值。我们模拟了一个维隆周期T=1×10，并丢弃了前0.9×10，以确保过程接近平稳（在0.9×10时∧>0.99）。在图3中，我们展示了使用公式（7）和各种窗口的branchingratio估计结果。我们注意到，我们得到的分支比估计值在很大程度上取决于所用窗口大小的选择。为了捕捉过程中存在的所有相关性，并获得接近真实输入值n=0.99的估计值，我们必须在非常大的范围内，通过选择非常大的W值来探索相关性。根据W定律，所获得的分支确实随窗口大小而变化-, 与核φ（τ）的积分类似，见图3.10-310-210-1100101102103104105106107窗口大小W10-210-11001-~n（W）中值“ruWσW#~W-0.35图。3: 1 - 模拟近临界（n=0.99， =0.35）幂律霍克斯过程。1的值- ~n我们得到的比例大约为~ W-0.35W为大尺寸。请注意，模拟过程仅为“接近临界”（分支比n=1）- 1 × 10-2） 因此，对于非常大的W，曲线能级的作用和收敛到1×10-2.V.经验应用A。重温闪电崩盘为了证明这个简单估计器的有效性，我们重复了Filimonov&Sornette[3]的闪电崩盘日分支比率分析。我们认为，在金融危机之前和之后的交易时间中，10分钟的时间是不重叠的。

对于每10分钟，我们计算所包含的纵向=10秒的60个窗口中中间价格变化数量的样本均值和方差。将所得值插入式（7）中，以获得每个周期分支比的近似值。结果如下图所示。4.11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00时间（EST）0.30.40.50.60.70.80.91.0n方差估计器，W=10sExponential MLE Fit，1秒随机10601080111000114014014014011801200price图。4：使用均值-方差估计器再现Filimonov&Sornette的流动比率分析。我们的结果与通过最大化指数模型的可能性（1秒随机）获得的结果进行了很好的比较。虚线是E-mini S&Pprice。这些点被放置在分支比率估计的10分钟周期的末尾。阴影区域是自举重采样产生的[10%，90%]置信区间。注意，这个简单的估计是有偏差的，对于一般的W，通常会低估R的值∞-∞ν（t）dt和分支比。由于我们考虑了窗口大小W=10s，因此我们在图4中系统性地低估了n，因为对该数据的测量在区间之外有支持[-10s，10s]-在超过10s的标度下，事件率仍然存在显著的自相关。然而，我们已经确定，大约10到30秒的窗口大小W会产生我们的数据上的分支比率估计值，这与在秒内随机（应用于[3]中的方法）后通过拟合指数模型得到的结果一致请注意，我们的最大似然系数中没有β，但它会自然地在最大似然系数的值上稳定下来。我们观察到该值^β非常大，为10-310-210-1100101102103104105106W（秒）10-210-11001-^n（西）~W-0.37图。

5: 1 - n，2010年E-mini标准普尔中价变动的分支比率作为窗口大小函数的估计值。估计了全年的平均值和方差。幂律行为的变化发生在100秒左右。请注意，我们已经“缝合”了所有包含至少一个事件的5分钟常规交易时间（美国东部时间09:30至16:00）（这解决了半天丢失数据的问题）。然后，我们将每5分钟的事件计数除以全年计算的交易日每5分钟的标准化平均事件率，对日内的季节性进行去趋势化。取决于时间戳的随机周期。当我们在每毫秒内随机化时间戳时，我们得到^β-1.≈ 10-2对于2010年的周期，但以更大的间隔进行随机分组（例如菲利莫诺夫和索内特的秒内随机分组）可以防止β-1避免超过随机等级的数量级。注意，由于我们的W=10s结果与使用Filimonov&Sornette[3]方法获得的结果一致，他们的程序也必须低估分支比率。为了在期望值中收敛于真n，我们必须在W的极限下采用等式（7）→ ∞.图5显示了2010年迷你标准普尔期货合约的中间价格变化。我们注意到，随着窗口大小的增加，分支比率以一种非平凡的方式收敛到n=1。正如[20]中所述，对于短时间尺度和长时间尺度下的内核结构，在大约五分钟的时间内可以检测到两种状态。分支比随着标度指数逐渐趋向于Sn=1.0 = -0.37与[20]中估算的14年期0.45的值兼容。

注意，在取极限W时→ ∞ 我们考虑了事件发生率在重要时间尺度上的变化，由平稳的霍克斯模型来解释。为了解决[3]中事件数据的精度有限的问题，作者在报告时间戳的第二秒内统一随机化时间戳。1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013次。10.20.30.40.50.60.70.8N方差估计，W=20指数MLE拟合，1秒随机化图。6：使用Filimonov&Sornette[3]的方法对15分钟窗口的分支比率进行估计，并使用窗口大小为W=30s的均值-方差估计器进行估计。请注意，我们的MLE结果与[3]中给出的图有所不同。我们将其归因于数据来源的差异或中间价格变化的识别。B.反应性：1998-2013年使用均值-方差估计，我们还可以很容易地得出[3]的结果，该结果表明，自1998年以来，标准普尔未来市场的反应性一直在增加。为此，我们只设置了参数w=30s，并在15分钟内估计分支比率。在图6中，我们展示了这些估计值的2个月中值，以及使用指数最大似然法在秒内随机化后获得的branchingratio估计值的中值。由于我们预计数据中的最小相关时间尺度在过去几十年中有所降低（由于技术进步导致延迟降低），我们现在重新进行实验，但窗口大小遵循摩尔定律，以保持WT中事件的平均数量大致恒定。更确切地说，每18个月窗户的大小会减少一半；这很好地描述了市场高频活动的增加，见[20]。实验结果如图所示。

7.确认核积分在时间上近似不变，前提是测量窗口被适当地重新调整，以考虑市场中相互作用的变化速度。我们发现这一点非常显著，因为这表明金融市场中的自我反应量是规模不变的，并且没有因高频交易而显著增加。六、 我们引进了一个简单的Hawkes自激点过程分支比的估计。该方法可直接应用于经验事件1998 2000 2002 2006 2008 2010 2012 20140.00.20.40.60.81.0nW0=30sW0=2minW0=5minW0=30minIG。7：使用窗口大小的均值-方差估计器估计2个月期间的分支比率，该估计器遵循摩尔定律：Wt=We-c（t）-t） 用c=- 对数（1/2）/（18个月）和t=1998。我们再次将常规交易时间段拼接在一起，并根据每年的日内U型趋势对事件计数进行趋势分析。当W被适当地重新标度时，对于W的所有值，分支比率估计值随时间大致恒定，对于大的W数据，分支比率估计值趋于n=1.0，因为它只需要对事件率的平均值和方差进行初步计算。该估计器不受似然最大化方法中核选择这一有争议问题固有的偏差的影响，而且它避免了复杂的数值最小化技术的需要。尽管它很简单，我们的估计器可以准确地重现使用这种先验方法得到的分支比结果。

本文给出的估计量确实是一个基于A的估计量，但它可以在大W和T的极限下渐近无偏，因此我们观察到E-mini S&P期货合约的经验中间价格变化的分支比率接近于统一，与之前的理论和经验结果一致[20]。此外，我们还证明，如果允许窗口大小按照摩尔定律进行缩放，并适应过去五年市场互动的变化速度，则恢复的分支比近似值是恒定的，支持[20]中霍克斯核和分支比随时间变化的先验观察。最后，让我们重申上面提出的警告：霍克斯对金融市场活动的分析得出结论，这一过程必须至关重要。然而，市场的动态很可能更加复杂，需要方程（1）定义的霍克斯过程中没有的非线性。在这个问题上做更多的工作将非常有趣，而且我们小组正在取得进展。感谢我们感谢V.菲利莫诺夫就这个话题进行了许多富有成效的讨论。我们还感谢N.贝科特、J.科克尔科伦、M.波特、I.马斯特罗马特奥、P.布兰科和J.多尼尔提供了有趣而有用的评论。[1] A.G.霍克斯，“一些相互激发的点过程的光谱”，生物计量学58（1970）83。[2] A.G.Hawkes，“一些相互激发点过程的点谱”，《皇家统计学会期刊》，B系列33第3期，（1971）438–443。[3] V.Filimonov和D.Sornette，“量化金融市场的流动性：预测流动性崩溃”，物理评论E 85（2012）056108。[4] T.Ozaki，“霍克斯自我激励点过程的最大似然估计”，《统计数学研究所年鉴》31（1979）145–155。B部分[5]T.E.哈里斯，分支过程理论。

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