自激Hawkes过程的分支比近似

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英文标题：
《Branching ratio approximation for the self-exciting Hawkes process》
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作者：
Stephen J. Hardiman and Jean-Philippe Bouchaud
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We introduce a model-independent approximation for the branching ratio of Hawkes self-exciting point processes. Our estimator requires knowing only the mean and variance of the event count in a sufficiently large time window, statistics that are readily obtained from empirical data. The method we propose greatly simplifies the estimation of the Hawkes branching ratio, recently proposed as a proxy for market endogeneity and formerly estimated using numerical likelihood maximisation. We employ our new method to support recent theoretical and experimental results indicating that the best fitting Hawkes model to describe S&P futures price changes is in fact critical (now and in the recent past) in light of the long memory of financial market activity.
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中文摘要：
我们引入了一个与模型无关的霍克斯自激点过程分支比近似。我们的估计器只需要知道足够大的时间窗口内事件计数的均值和方差，这些统计数据很容易从经验数据中获得。我们提出的方法大大简化了霍克斯分支比率的估计，霍克斯分支比率最近被提出作为市场内生性的代理，以前使用数值似然最大化进行估计。我们使用我们的新方法来支持最近的理论和实验结果，表明从金融市场活动的长期记忆来看，描述标准普尔期货价格变化的最佳拟合霍克斯模型实际上是至关重要的（现在和最近）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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PDF下载：
--> Branching_ratio_approximation_for_the_self-exciting_Hawkes_process.pdf (537.27 KB)

2022-5-6 00:52:16 上传

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关键词：Hawk maximisation Applications Experimental Econophysics

自激Hawkes过程的分支比率近似Stephen J.Hardiman和Jean-Philippe BouchaudCapital Fund Management，法国巴黎大学街23号，75007号（日期：2014年10月10日），我们为Hawkes自激点过程的分支比率引入了一种独立于模型的近似。我们的估计器只需要知道足够大的时间窗口内事件计数的均值和方差，这些统计数据很容易从经验数据中获得。我们提出的方法大大简化了霍克斯分支比率的估计，最近提出的霍克斯分支比率是市场内生性的近似值，以前使用数值似然最大化进行估计。我们使用我们的新方法来支持最近的理论和实验结果，结果表明，从金融市场活动的长期记忆来看，描述标准普尔期货价格变化的最佳霍克斯模型实际上是至关重要的（现在和最近）。I.自激霍克斯过程霍克斯模型[1,2]是一个简单而有力的框架，用于模拟或建模时间上聚集的事件的到来（例如地震冲击和余震、神经尖峰序列和金融市场上的交易）。在一维中，该模型是一个计数过程N（t），其强度λ（t）（单位时间内的预期事件数）由常数项u和作为事件历史函数的“自激”项给出。λ（t）=u+Zt-∞φ（t）- s） dN（s）（1）这个自激术语通过内生反馈产生事件聚集：过去的事件对未来事件的发生率有贡献。φ(τ ) ≥ 0是“影响内核”，它决定了过去在滞后τ发生的事件的权重。

基底强度u和内核形状φ（t）是需要改变的参数。核函数的一个常用选择是指数函数φ（τ）=αe-βτ[3,4]但一般来说，要使用的内核应该取决于要建模的数据的应用程序或动态。注意，对于φ（t）=0，模型简化为具有恒定强度u的泊松过程。通过采用等式（1）两侧的期望值，并假设平稳性（即有限平均事件率e[λ（t）]=λ），我们可以将过程的平均事件率表示为∧=u/（1）- n）≥ 式中n=Rφ（τ）dτ。我们可以在霍克斯过程和众所周知的分支过程[5]之间创建一个直接映射，其中外源性“母”事件以u的强度发生，并可能产生x个额外的内源性“子”事件，其中x来自meann的泊松分布。这些反过来可能会产生更多的“子”事件等。与Hawkes核的积分相对应的值n是分支比，它决定了模型的行为。如果n>1，意味着每个事件通常会触发至少一个额外事件，则该过程是非平稳的，可能会在有限时间内爆炸[6]。然而，对于n<1的情况，该过程是固定的，并且已被证明在建模事件的聚集到达时非常有用，在包括神经生物学[7]、社会动力学[8,9]和地球物理学[10,11]在内的各种应用中都是如此。霍克斯模型最近也在金融领域得到了许多应用[12–14]，尤其是作为对影响金融交易所限价指令簿的高频事件进行建模的一种手段[15–19]。霍克斯框架在金融领域的一个新应用是作为衡量金融市场内生性或“灵活性”的一种手段[3,6]。

在[3]中，作者考虑了1998年至2010年间E-mini标准普尔未来合同的中间价格变化，并观察到最佳拟合指数核模型的分支比率n在此期间一直在稳步增加，从n≈ 1998年为0.25至n≈ 2010年为0.65（参见下面的图6）。他们认为，这一观察结果表明，近年来，随着高频和算法交易的兴起，市场变得更加活跃，因此更容易出现市场不稳定和所谓的“泡沫崩溃”。然而，在[20]中，我们认为，随着观察窗的扩大，中等价格变化的事件率（在1998年和2011年均可检测到）存在长期依赖性，因此最佳拟合的平稳霍克斯模型实际上必须是关键的，即分支比n=1。这得到了理论论证和对市场数据的实证测量的支持。然而，让我们坚持认为，只有当人们相信霍克斯过程能够准确地反映市场的现实时，这个结论才成立。很有可能，市场的动态更为复杂（例如，涉及方程式（1）定义的霍克斯过程中没有的非线性），但在霍克斯过程的框架内表示这种动态的最佳方法是选择n=1，并带有长范围的影响核。在本文中，我们介绍了霍克斯过程分支比率的一个简单近似值，它允许我们忠实地再现[3]的结果，该结果将统计数据作为市场不稳定性的度量和崩溃预测的度量。我们的近似方法的优点在于它非常简单：只需在一个足够大的时间窗口内估计事件计数的均值和方差。

这种近似也避免了[3]中采用的非常复杂的方法[4]固有的许多缺陷[21]。估计器接受一个参数，时间窗口大小W，在此期间我们测量事件计数的均值和方差。我们注意到，当我们使用我们的估计器对标准普尔电子期货市场的中间价格变化进行估算时，其窗口大小为W，则分支比率估计值会随着时间的推移而增加，如[3]所述。然而，如果我们允许窗口大小适当扩展（每18个月大小减半），以适应市场上不断减少的交互延迟，我们将恢复[20]中提出的恒定分支比率估计值。这一结果再次表明，需要一种尺度不变的方法，或者至少是尺度敏感的方法来衡量金融市场事件的“重现性”。二、最大似然估计在t、t、…、时观察到的事件（如中间价格变化），T在区间[0，T]中，可以通过最大化参数θ集合上的对数似然[4，22]来拟合霍克斯模型。对数L（t，…，tn |θ）=-在指数核θ={u，α，β}的情况下，ZTλ（t |θ）dt+ZTlogλ（t |θ）dN（t）（2）。在实践中，由于缺乏封闭形式的解决方案，使用数值技术获得了使对数可能性最大化的模型参数{710u，^α，^β}。然后，分支比估计为^n=^α/^β。然而，使用该程序作为估算Hawkes branchingratio n=Rφ（τ）dτ的方法存在许多缺陷[21]。

可以说，其中最重要的一点是，以这种方式对n进行的任何估计都将严重依赖于核模型的选择（例如指数、幂律等）。可能是Chosen模型无法令人满意地描述观测到的事件，因此，从最大似然法中提取的分支比的意义值得怀疑。如[21]所示，在存在不完美事件数据的情况下使用该方法时，也必须小心。在他们的一个图中，作者给出了一个（负）对数似然曲面，该曲面具有两个极小值，即上述方法不是唯一一种用于确定金融应用中霍克斯过程参数的方法，事实上，最近的一份出版物[18]提出了一种快速但仍然参数化的方法，用于确定多元指数霍克斯过程。（一个本地，一个全球）。全局日志可能性最小值实际上只不过描述了毫秒内的数据包聚集，毫秒是由在不同时间到达交换的事件被捆绑并记录在同一时间戳中的处理器产生的。随后在短时间间隔内（本例中为一毫秒）对时间戳进行随机化，会产生虚假的高频相关性，从而使全局最小值变得无关紧要。局部对数似然最小值实际上更好地解释了“真正的”低频动力学，但它在解释纯粹的高频聚类方面做得很差，并且受到较低对数似然的惩罚。事实上，当[21]的作者选择满足这个局部最小值时，他们证实了[20]中给出的结果。因此，我们认为有必要在一个人的样本中进行额外的检查（如非参数方法[15]），以支持通过可能性最大化获得的结果。

为了解决因模型选择而产生的分支比率估计中的陷阱，我们在下一节中提出了一个简单的独立于模型的分支比率近似工具，该工具准确地再现了[3]之前的结果，并指出了描述市场的相关Hawkes过程的关键性。三、 分支比nw的均值-方差估计从核函数的Fourier变换与自协方差ν（τ）=E的Fourier变换的一般表达式开始[dN（t）dN（t+τ）dt]-事件率的∧。（有关推导，请参见[1,15]）。^ν(ω) =Λ1.-^φ(ω)（3） 设置ω=0，我们得到了分支、平均事件率和自协方差积分之间的关系（在平稳情况下为n）≤ 1） Z∞-∞ν（t）dt=∧1.-R∞φ（t）dt≡Λ(1 - n） （4）因此，为了推导平稳Hawkes过程的分支比，我们只需要找到∧andR的值∞-∞ν（t）dt。估算∧很简单，它由单位时间内事件的经验平均数给出。估计∞-∞ν（t）dt，我们考虑长度为W的窗口中总事件计数nw的方差。理论上，这由以下公式得出：σW=E“ZWt=0dN（t）dtdtdtzwt=0dN（t）dtdtdt#- （λW）=ZWt=0ZWt=0ν（t）- t） dt=ZWt=0ZW-tτ=-tν（τ）dt dτ=ZWτ=-Wν（τ）（W）- |τ|）dτ≤ WZ∞-∞ν（τ）dτ（5）然后我们注意到：。ν（t）→ 0表示| t |>R2。W R使（W）- |t |）/W≈ 1为所有| t |<r第σW≈ WZ∞τ =-∞ν（τ）dτ（6），我们使用公式（4）发现：≈ 1.-quWσW:=n（7），其中uW=λW是在一个大小为W的窗口中落下的事件的平均数。上面的表达有一个非常直观的解释。当方差等于事件率时，过程服从泊松统计，n=0。高于事件率的方差的任何增加都表明一些正相关，并且在aHawkes框架内，正分支比率。等式中的注释。

（5） σW/W是r的有偏估计∞-∞ν（τ）和一般情况下，W将低于其理论值。这意味着等式（7）通常会低估分支比率，并且仅在极限W内变得精确→ ∞.在实践中，为了估计总长度为T=mW的经验样本的分支比率，我们用它们的样本估计值替换等式（7）中的均值和方差项：△uW=WNTT≡mmXi=1NW（i）（8）~σW=m- 1mXi=1（西北（i）- §uW）（9）以这种方式获得的估计对于大T W.i.e.m 1.对于最大尺寸W，我们始终可以通过增加T和NW的观测数m，确保我们对NW方差的估计在期望的最大误差范围内，以期望的最小概率进行。此外，我们可以通过允许W非常大来使等式（6）精确。然而，请注意，对于任何一个有限的m，在所有可能实现的过程中，n的平均值实际上是-∞! 这是因为一个值√σW=0总是有非零概率的可能。出于这个原因，我们选择呈现我们估计的中值。四、 数值模拟和实施注意事项在图1中，我们测试了上一节中描述的估计过程，这些过程模拟了具有各种分支比率的指数霍克斯过程。为此，我们确定β=1.0，但α=n在0范围内变化≤ α ≤ 0.95. 我们选择基本强度u=1- 确保每个过程具有相同的平均事件率∧=1。我们使用[23]中所述的模拟算法1模拟时间T=10的过程。这个过程容易受到边缘效应的影响，因此我们忽略了大小为10的初始周期，以确保过程在研究期间接近平稳。我们在窗口sizeW=20的情况下估计分支比率，其显著大于我们过程β的相关时间尺度-1= 1.

然而，窗口sizechosen也非常小，因此我们有大量的独立观测值m=（0.9×10）/20，用以可靠地估计N的方差。我们发现我们的分支比估计值和模拟的输入分支比之间有很好的一致性，见图1。然而，请注意，我们的近似值并没有系统地低估分支比率，因为我们的有限窗口大小并没有完全覆盖自相关函数的支持区域。这在图1中对于大n尤为明显。我们现在研究窗口大小对获得的估计值的影响。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0n=模拟0的α/β。00.20.40.60.81.0nmedian“1-r¨uW¨σ2W#精确值图。1：将均值-方差分支比近似方法应用于指数核形式和尺度参数β=1.0的模拟Hawkes过程。α变化以确定分支比率，μ变化以保持平均事件率固定在∧=1.0。对T=100000s的过程进行了模拟，并使用方程7对窗口大小为W=20的分支比进行了估计。平均值和[5%，95%]置信区间是在每个参数集的100个过程中计算的。（6）为了准确起见，我们必须选择一个更大的。然而，对于有限的样本量，大W意味着小m=（T/W），因此用于估计事件计数nW方差的统计能力较低。这种折衷如图2所示，我们模拟了指数霍克斯过程的集合，参数α=0.75，β=1.0和u=0.25。我们注意到，对于增加窗口大小W，我们估计的密集带收敛于预期值N=0.75。然而，当我们将窗口大小设置得太大时，我们会因估计方差而产生显著误差。

为了将该程序实际应用于经验数据，我们建议选择窗口大小足够大，以捕获事件率中存在的大部分自相关，但窗口大小足够小，可以获得该窗口中事件计数方差的可靠估计。通过自举重采样，我们可以从时间序列的单一实现中估计出分支比率的上下置信区间。公式（9）的简单方差估计不是最优的，可以通过使用重叠窗口或蒙特卡罗抽样方案（例如，通过替换选择随机窗口）来改进。10-1100101102103104窗户尺寸W0。00.20.40.60.81.0北（西）中位“1”-r|uW|σ2W#精确值n=0.75图。2：将均值-方差分支比近似方法应用于模拟数据。阴影区域代表[5%，95%]置信区间。我们注意到，随着窗口大小的增加，分支比率估计收敛于0.75的预期值。对于非常大的W，我们缺乏足够数量的事件计数观测，无法精确估计NW的方差，置信区间也会大幅增长。B.幂律核最后，我们测试了（接近）临界幂律霍克斯过程的估计程序，最近的一些出版物认为这是一种很好的金融事件数据的估计方法[15,20]。具体地说，我们考虑一个具有anOmori定律形式的核：φ（τ）=nτ(τ+ τ )(1+)在n=1且0< < 0.5该过程将表现出长程依赖性，自相关函数ν（τ）将以幂律形式渐近衰减：ν（τ）~ τ-(1-2.)[20, 24]. 因此，对于较大的τ，自相关函数的积分是发散的，在sizeW窗口中，事件计数的方差随着σW的增加而增加~ W1+2. 等式中的quWσW项。