股票价格密度和隐含波动率的渐近分析

然后，对于x的大值，我们有| J（x）|≤ xρl（x）Z∞xxy-σ-εU（y）dyy≤ xρ-εl（x）xεMU（σ）。自从g∈ 兰特MU（σ）<∞, 我们得到了j（x）=O（xρl（x）g（x））asx→ ∞. （19） 仍然需要估计J。表示byel和eg函数l和g，由（x）的正常数外推，∞) 到[0，∞). 塞内尔∈ 规则。此外，条件2和functionsel和eg的定义暗示了functionsel，eg，el-1-1在[0]上局部有界，∞). 现在，利用定理5，我们看到对于每个δ>0，存在一个常数a>0，使得| el（xv）-el（x）|≤ Ael（x）eg（x）max{vδ，v-δ} 对于所有v>0和x≥ 0.回顾函数SEL和eg的定义，我们发现对于x>x和v>xx，|l（xv）- l（x）|≤ Al（x）g（x）max{vδ，v-δ}. （20） 根据（20）中的估计，对于每个δ>0，存在x>0，取决于δ，因此| J（x）|≤ Axρl（x）g（x）Z∞xxmax{vδ，v-δ} vρU（v）-1） dvv≤ Axρl（x）g（x）Z∞max{vδ，v-δ} vρU（v）-1） dvv，（21）对于所有x>x。不难看出，对于足够小的δ值，（21）中的最后一个积分是有限的。在这里，我们使用mu（s）的fa c t∞ 无论如何≤ s≤ τ和不等式σ<ρ<τ。现在，（21）意味着j（x）=O（xρl（x）g（x））a s x→ ∞. （22）接下来，考虑公式（18）、（19）和（22），我们将o btainI（x）=MU（ρ）[xρl（x）]+o（xρl（x）g（x））（23）作为x→ ∞. 最后，很容易看出公式（16）、（17）和（23）暗示了公式（14）。在（15）成立的特殊情况下，这建立了定理8。接下来我们将在通则中证明定理8。假设定理8的公式中的条件成立。然后存在x>0，使得对于所有x>x，f（x）=xρl（x）+xρl（x）η（x），其中η是一个可测函数，使得|η（x）|≤ 啊（x），对于所有的x>x，对于一些康斯坦塔>0。把f（x）=f（x）χ{0<x<x}，f（x）=xρl（x）χ{x>x}，f（x）=xρl（x）η（x）χ{x>x}。鱼际 f（x）=UM f（x）+UM f（x）+UM f（x）。

（24）将上述定理8的特殊情况应用于函数f，我们得到 f（x）=MU（ρ）[xρl（x）]（1+O（g（x））（25）as x→ ∞. 此外，正如（17）中所说的推理，我们得到 f（x）=O（xρl（x）g（x））（26）as x→ ∞.接下来我们将估计函数 f、 使用与函数估计相同的想法 f、 但是，我们将使用函数el=lh而不是函数l∈ Rg。此外，h∈ R |ε|，其中ε是函数h（见推论1）的公式（9）中出现的函数。我们有el（xv）el（x）- 1.≤l（xv）l（x）- 1.h（xv）h（x）+h（xv）h（x）- 1..因此，el∈ Rg+|ε|。很明显嗯 f（x）≤ AxρZ∞xxvρl（xv）h（xv）U（v）-1） dvv。现在，在公式（23）的证明中，我们可以看到 f（x）=O（xρl（x）[h（x）+h（x）g（x）+h（x）|ε（x）|]）=O（xρl（x）h（x））（27）as x→ ∞.最后，考虑到公式（24）-（27），我们发现公式（14）成立。这是托勒姆8的完整证明。一个类似的定理刻画了接近零的Mellin余解的渐近行为。定理9。假设可测函数U的Mellin变换mu至少在str-ipσ中收敛≤ R （z）≤ τ在哪里-∞ < σ < τ < ∞. 设f是（0，∞), 并假设以下条件成立：1。f（y）-1） =y-ρl（y）（1+O（h（y））作为y→ ∞ ρ在哪里∈ （σ，τ），l∈ RGG∈ R、 h∈ Z.上一公式中的函数g和h满足g（y）→ 0和h（y）→ 0为y→ ∞.2.函数g，l-1和g-1在区间（x，∞) 对于某些x>0.3的情况。函数y7→ yτf（y）-1） 在a>0.ThenUM的每个区间（0，a）上有界 f（x）=mu（ρ）[xρl（x-1） [1+O（g（x）]-1） ）+O（h（x）-1） ）作为x→ 0.证明。定理9源自定理8，适用于函数sef（x）=f十、-1.安第乌（x）=U十、-1..

在这里，我们考虑了（3）、（4）和（5）。3赫斯顿模型在本节中，我们收集了赫斯顿模型的几个已知结果，这是一种流行的随机波动性模型。在续集中假设利率r等于零。赫斯顿模型中的股票价格过程X和方差过程Y满足以下随机微分方程组：dxtt=uXtdt+√YtXtdWtdYt=（a）- bYt）dt+c√YtdZt，（28）式中∈ R、 a≥ 0，b≥ 0，c>0。在（28）中，W和Z是相关的标准布朗运动，即dhW，Zit=ρdt和ρ∈ (-1, 1). 在赫斯顿模型中，股票价格的分布utof的密度为D（1）t。过程X和Y的初始条件将分别用X和Y表示。[21]中介绍并研究了赫斯顿模型。我们有xt=xexput-ZtYsds+ZtpYsdWs,在μ=0和x=1的情况下，以下公式适用于Heston模型中的密度D（1）：D（1）t（x）=Ax-AexpnAplog xo（日志x）-+交流电1+O（（对数x）-)（29）作为x→ ∞, and d（1）t（x）=eAxeAexp（eArlogx）logx-+ac1+Ologx-!!（30）作为x→ 0.公式（29）和（30）中出现的常数将在下面描述。在ρ=0的情况下，公式（29）和（30）在[19]中得到；在[14]中，公式（29）和（30）在ρ=0的情况下得到-1 < ρ < 0 . 关于这些和类似结果的更详细讨论见[18]。对于l x和u，我们得到了（1）t（x）=Bx-AexpnAplog xo（日志x）-+交流电1+O（（对数x）-)（31）作为x→ ∞, and d（1）t（x）=eBxeAexp（eArlogx）logx-+ac1+Ologx-!!（32）作为x→ 0.在（3.1）和（32）中，常数带宽定义如下：B=Axeut-A.-1andeB=eAxeuteA-（32）的证明使用（29）和以下简单公式：expnrplog x+ro=expnrplog xo1+O（（对数x）-), 十、→ ∞, R∈ R、 R∈ R、 和（logx+R）R=（logx）R1+O（（对数x）-), 十、→ ∞, R∈ R、 R∈ R.（32）的证明是相似的。

它基于公式（30）。接下来，我们将为公式（29）和（30）中出现的常数提供明确的公式。考虑到≥ 1.确定s byT订单时刻的爆炸时间*（s） =sup{t≥ 0:E[Xst]<∞},对于任何t>0，让s+是由s+=s+（t）=sup{s定义的上临界力矩≥ 1:E[Xst]<∞}.对于赫斯顿模型，爆炸时间T*是明确已知的（见[4,22]）。然后，可以从t确定固定t的临界时刻*（s+（t））=t。前面的等式表示s+（t）≥ 1是函数T的广义逆*(·).下临界力矩定义如下：-= s-（t） =inf{s≤ 0:E[Xst]<∞}.对于固定t>0，数量σ+=-T*（s）ss=s+和κ+=T*（s）ss=s+分别称为上临界斜率和上临界曲率。同样，低临界斜率和曲率由σ定义-= -T*（s）ss=s-和κ-=T*（s）ss=s-我很高兴。在公式（29）中，常数A、A和Aare由A给出=√π--强迫症-acc2ac-σ-交流电-+×exp-Ycρs+- bc+κ+cσ+-atc（cρs）+- b）×q（b）- cρs++c（s）+- s+）cs+（s+- 1） sinhhtq（b）- cρs++c（s）+- s+）i2ac，A=2p2yc-1σ-+,andA=s++1。此外，constantseA、eA和andeAin公式（30）如下：=√π（2y）1/4-a/cc2a/c-1/2σ-空调-1/4-经验-Ys-ρc- bc+κ-cσ--atc（cρs）-- b）PB- 2bcρs-+ 反恐精英-(1 - (1 - ρ） s-)反恐精英-（s）-- 1） 新罕布什尔州- 2bcρs-+ 反恐精英-(1 - (1 - ρ） s-)!2ac，eA=2p2yc-1σ--,安第斯山脉=-（s）-+ 1).注意，上述常数取决于t。备注1。

从（29）和（30）可以看出(-A、 eA）属于Mellin变换形式MD（1）t的域。4具有双指数跳变的Heston模型可以是强度λ>0的标准泊松过程，并考虑由jt=NtXi=1（Vi）定义的复合泊松过程- 1） ，t≥ 0，其中为正同分布随机变量，使得随机变量Ui=log Vi的分布密度为双指数。这意味着g（u）=pηe-ηuχ{u≥0}+qηeηuχ{u<0}。其中η>1，η>0，p和q是正数，因此p+q=1。η>1的条件是随机变量JT具有有限期望的必要条件和充分条件。S.Kou介绍并研究了基于上述跳跃过程的Bla-ck-Scholes模型的扰动（见[23]，另见[24]）。在[20]中，我们考虑了Heston模型的类似扰动。扰动Heston模型中的股价过程和方差过程Y满足以下随机微分方程组：deXt=ueXt-dt+√YteXt-dWt+eXt-dJtdYt=（a）- bYt）dt+c√YtdZt。（33）复合泊松过程J独立于标准布朗运动W和Z。过程X和Y的初始条件分别用X和Y表示。不难看出ext=xexp（ut-ZtYsds+ZtpYsdWs+NtXi=1Ui）。（34）第（34）条中等式的有效性源自多尔-戴德公式（例如，见[26]）。具有双指数跳跃的赫斯顿模型是一种混合随机模型。实际上，使用公式（34），我们可以将processeX分解为以下过程的乘积：X（1）t=xexput-ZtYsds+ZtpYsdWs（35）和x（2）t=exp（NtXi=1Ui）。（36）注意X（1）=X，其中ex是（28）描述的赫斯顿模型中的股价过程。还要注意的是，对于每个t≥ 0，我们有EhX（2）ti<∞ （见下文备注2）。让我们把Tt=PNti=1Ui。

随机变量TTI的分布由dut（y）=e给出-λtdδ（y）+G（t，y）e-ηyχ{y>0}+G（t，y）eηyχ{y<0}dy，（37）y在哪里∈ (-∞, ∞) δ是y=0时的δ值。前面公式中的函数和Gin由g（t，u）定义=∞Xk=0akuk，u>0，（38）且ak=ηk+1k！∞Xn=k+1πnPn，k+1，（39）和g（t，-u）=∞Xk=0bkuk，u>0，其中bk=ηk+1k！∞Xn=k+1πnQn，k+1。（40）前面公式中的数字π取决于t。它们由π=e定义-λtandπn=e-λt（λt）n（n！）-1对于所有n≥ 1.此外，数字Pn，k=n-1Xi=kN- K- 1i- K镍ηη+ η我-Kηη+ ηN-ipiqn-我（41）代表所有人1≤ K≤ N- 1，和qn，k=n-1Xi=kN- K- 1i- K镍ηη+ ηN-我ηη+ η我-荷兰皇家电信-iqifor all 1≤ K≤ N- 1.我们还有Pn，n=Pn和Qn，n=Qn。公式（37）可以使用[23]中的命题B.1推导（见[20]中的推导，或[18]第10.8节）。由（37）可知，随机变量X（2）t的分布u（2）t（X）=e-λtdδ（x）+H（t，x）dx，x>0。（42）在（42）中，δ是x=1时的增量度量，函数H由H（t，x）=H（t，x）x定义-η-1χ{x>1}+H（t，x）xη-1χ{0<x<1}，（43），其中h（t，x）=G（t，logx），x>1，（44）和h（t，x）=G（t，logx），0<x<1。（45）下一节提供了（39）和（40）中系数akand Bk的有用近似值。定理10。存在与k无关的正常数c和c，并且0<ak-贝克≤ cbakk+1，k≥ 0，（46）和0<bk-bbk≤ cbbkk+1，k≥ 0，（47）式中bak=expηλtqη+η- λt（ηλtp）k+1k！（k+1）！，K≥ 0，且bbk=expηλtpη+η- λt（ηλtq）k+1k！（k+1）！，K≥ 0.证明。因为我≥ 1和m≥ i+1，放γk+m，k+i=M- 2i- 1.k+mk+iηη+ η我-1.ηη+ ηM-ipk+iqm-i、 从（39）和（41）中可以看出，对于所有k≥ 1，ak=∞Xi=0ak，i，（48）式中，0=ηk+1k！πk+1pk+1andak，i=ηk+1k！∞Xm=i+1πk+mγk+m，对于所有i≥ 1.我们有ak，0+ak，1=e-λt（ηλtp）k+1k！（k+1）！\"1 +∞Xm=2（m- 1)!ηλtqη+ηM-1#=经验ηλtqη+η- λt（ηλtp）k+1k！（k+1）！=贝克。

因此，（48）、（49）和（50）意味着：≤ ak-贝克=∞Xi=2ak，i=e-λt（ηλtp）k+1k！（k+1）！∞Xi=2（k+i）·（k+2）（i）- 1)!ηη+ η我-1pi-1.∞i（xmt）1+λ-1（m）- 2)!（m）- 我- 1)!（m）- i） !！ηη+ ηM-智商-我≤ βbakk+1∞Xi=2i！（一）- 1)!ηη+ η我-1（λtp）i-1.∞Xj=0（λt）j+1（j+i）- 1)!J（j+1）！ηη+ ηj+1qj+1，（51），其中β为正常数。因为我≥ 2和j≥ 1.我们有（j+i）- 1)!我J≤（j+i）ii！≤ βei1+ji我≤ βei+j，其中β为正常数。在证明之前的估计时，我们使用了斯特林公式。现在，不难看出（51）中的最后一个双系列收敛，由此可知（46）中的估计是有效的。（47）中估计值的证明是相似的。这就完成了定理10的证明。接下来我们将进一步简化公式（46）和（47）。SetC=ηλtp2πexpηλtqη+η- λt, B=ηλtp，C=ηλtq2πexpηλtpη+η- λt, B=ηλtq，并考虑以下顺序：d=C，dk=CBke2kk2k+2，k≥ 1，（52）和L=C，lk=CBke2kk2k+2，k≥ 1.推论2。以下公式适用：|ak- dk|≤αk+1dk，k≥ 0，（53）和| bk- lk|≤αk+1lk，k≥ 0，（54），其中α和α是一些正常数。证据我们需要m:n的渐近斯特林公式=√2πnn+e-N1+ON（55）as n→ ∞. 不难看出，使用（46）和（55）thatak=expηλtqη+η- λt（ηλtp）k+1k！KK1+k1+Ok+1= 经验ηλtqη+η- λt（ηλtp）k+1k！KK1+Ok+1=2πexpηλtqη+η- λt（ηλtp）k+1e2k2k+21+Ok+1作为k→ ∞. 这建立了（53）。（54）的证明类似。4.1函数的性质在本小节中，我们研究（44）和（45）中定义的函数的渐近行为。首先将表明，这些函数与余数之间的变化缓慢。引理1。对于每t>0，函数x7→ H（t，x）和x7→ H（t，x）-1） 属于Zygmundz类证明。让我们假设t>0。

因为函数x7→ H（t，x）在x>1时增加，函数φα（t，x）=xαH（t，x），其中α>0，也在增加。还有待证明函数ψα（t，x）=x-αH（t，x）最终会下降。我们有ψ′α（t，x）=-αx-α-1G（t，对数x）+x-α-1G′（t，对数x）。因此，条件ψ′α（t，x）≤ 0相当于条件‘（t，logx）G（t，logx）≤ α对于所有x>xα，它依次等价于条件G′（t，logx）G（t，logx）→ 0（56）为x→ ∞. 现在很明显，这需要证明（56）。利用函数G的定义，我们得到了G′（t，logx）G（t，logx）=P∞k=1akk（对数x）k-1P∞k=0ak（对数x）k（57），其中系数由（39）定义。不难看出，使用（46）来表示所有k≥ 2.卡卡-1.≤ck+1（58），有些c>0。因此，对于每一个ε>0，都存在一个正整数kε，使得kak≤ εak-1所有k>kε。它由（57）thatG′（t，logx）G（t，logx）得出≤Pkεk=1akk（对数x）k-1P∞k=1ak（对数x）k+ε。（59）很明显，对于固定ε，（59）右侧的第一项在x时趋于0→ ∞. 现在，不难看出条件（56）成立。这就完成了函数x7引理1的证明→ H（t，x）。函数x7的证明→ H（t，x）是相似的。备注2。根据（42），Z R、 引理1表示过程t7→ X（2）tisan可积过程。引理2。对于每t>0，函数x7→ H（t，x）和x7→ H（t，x）-1） 属于Rg类，其中函数g由g（x）=（logx）给出-.证据函数x7→ H（t，x）是一个与Zygmundclass越来越不同的函数。因此，必须证明存在ec>0，这样xh′（t，x）H（t，x）≤ ec（对数x）-（60）对于所有x>x（见推论1和（10））。

很容易看出，在（60）中的估计相当于如下：G′（t，logx）G（t，logx）=O（日志x）-（61）作为x→ ∞.我们有G′（t，logx）G（t，logx）=（logx）-1P∞k=1akk（对数x）kP∞k=0ak（对数x）k=（对数x）-1P[√对数x]k=1akk（对数x）k+P∞k=[√对数x]+1akk（对数x）kP∞k=0ak（对数x）k≤ （日志x）-+ （日志x）-1P∞k=[√对数x]+1akk（对数x）kP∞k=0ak（logx）k.（62）接下来，利用（62）中的（58），我们得到了‘（t，logx）G（t，logx）≤ （日志x）-+ （日志x）-1P∞k=[√对数x]+1cak-1k+1（对数x）kP∞k=1ak（对数x）k≤ （日志x）-+ c（对数x）-P∞k=[√对数x]+1ak-1（对数x）kP∞k=1ak（对数x）k=O（日志x）-作为x→ ∞. 这就确定了估算值（61）。函数x7的引理2的证明→ H（t，x）就这样完成了。对于函数X7→ Ht、 x, 证据是相似的。回想一下G（t，·）=P∞k=0akuk（见（38）），其中系数由（39）给出。将网络辅助功能seg（t，·）和bg（t，·）定义如下：eG（t，u）=Xk=0dkukandbG（t，u）=∞Xk=0dkk+1uk，其中≥ 0，序列d由（52）给出。那么（53）意味着| G（t，u）-例如（t，u）|≤ αbG（t，u）。函数segandbg定义为某些幂级数的和。我们的下一步是将这些函数与一些标准函数进行比较。通过分析系数dk的结构，我们猜测以下函数族可能有用：λs，r（u）=s cosh（r√u）=∞Xk=0edkuk，u≥ 0，r>0，s>0，（63），其中K=sr2k（2k）！。它是clear thated=s。此外，使用斯特林公式，我们可以看到edk=sr2ke2k√π22kk2k+1+OK作为k→ ∞. 接下来，比较系数dkanddk，我们看到如果我们设置=2√πCand r=2pB，（64）然后| dk- （k+1）-埃德克|≤ δ（k+1）-对于某些δ>0和所有k，edk（65）≥ 0

最后，根据（53）和（65）可知，系数Akandedk满足以下条件：|ak- （k+1）-埃德克|≤ δ（k+1）-对于某些δ>0和所有k≥ 0.4.2 Riemann-Liouville积分在本小节中，我们只考虑由具有正系数的处处幂级数给出的函数的分形积分。设f（u）=P∞n=0不能是R上的一个函数，使得所有n的cn>0≥ 0和函数F（z）=P∞n=0Cnz是C上的一个整函数。对于α<0，theRiemann-Liouville分数积分Dαf定义如下：Dαf（u）=Γ(-α） Zuf（y）（u）- y）-α-1dy。（67）那么下面的公式是有效的：Dαf（u）=u-α∞Xn=0cn，αcnun，（68），其中cn，α=Γ（n+1）Γ（n- α+1）（参见[25]第5节中黎曼-刘维尔积分的定义，以及[25]第3节中的公式（3.2））。我们将进一步刻画序列cn，α的渐近行为。使用伽马函数的交感公式，即公式Γ（u）=√2πuu-E-U1+OU作为你→ ∞, 我们得到了cn，α=e |α|（n+1）n+|α|+（n+|α|+1）n+|α|+（n+1）|α|1+ON= e |α|n+1n+|α|+1n+|α|+1（n+|α|+1）（n+1）（n+1）|α|1+ON= e |α|1.-|α| n+|α|+1n+|α|+1（n+1）|α|1+ON作为n→ ∞.不难证明，对于每一个c>0，1.-cxx=e-C1+O十、作为x→ ∞. 因此，cn，α=（n+1）|α|1+On+1作为n→ ∞, 因此（n+1）|α|=cn，α1+On+1（69）as n→ ∞. Sincecn，αn+1=Γ（n+1）（n+1）Γ（n+|α|+1）≤ cΓ（n+1）（n+|α|+1）Γ（n+|α|+1）=cΓ（n+1）Γ（n+|α|+2）=c·cn，α-1，公式（69）意味着存在一个常数δ>0（n+1）|α|- cn，α≤ δcn，α-1（70）适用于所有n≥ 0.我们的下一个目标是综合上述系数的各种估计。引理3。存在一个常数δ>0，使得ak- ck，-埃德克≤ δck，-edkfor all k≥ 0.证明。