股票价格密度和隐含波动率的渐近分析

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Asymptotic analysis of stock price densities and implied volatilities in
  mixed stochastic models》
---
作者：
Archil Gulisashvili and Josep Vives
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  In this paper, we obtain sharp asymptotic formulas with error estimates for the Mellin convolution of functions, and use these formulas to characterize the asymptotic behavior of marginal distribution densities of stock price processes in mixed stochastic models. Special examples of mixed models are jump-diffusion models and stochastic volatility models with jumps. We apply our general results to the Heston model with double exponential jumps, and make a detailed analysis of the asymptotic behavior of the stock price density, the call option pricing function, and the implied volatility in this model. We also obtain similar results for the Heston model with jumps distributed according to the NIG law.
---
中文摘要：
本文得到了函数Mellin卷积的带误差估计的尖锐渐近公式，并用这些公式刻画了混合随机模型中股票价格过程边际分布密度的渐近行为。混合模型的特殊例子是跳跃扩散模型和带有跳跃的随机波动率模型。我们将我们的一般结果应用于具有双指数跳跃的Heston模型，并详细分析了该模型中股票价格密度、看涨期权定价函数和隐含波动率的渐近行为。对于跳跃分布符合NIG定律的Heston模型，我们也得到了类似的结果。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> Asymptotic_analysis_of_stock_price_densities_and_implied_volatilities_in_mixed_s.pdf (368.08 KB)

2022-5-6 01:05:00 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：股票价格 波动率 Quantitative distribution volatilities

混合随机模型中股价密度和隐含波动率的渐近分析Sarchil Gulisashvilia，Josep VivesbadDepartment of Mathematics，俄亥俄大学，雅典，俄亥俄州，45701，我们得到了（0，∞), 并利用这些公式刻画了混合随机模型中股票价格过程边际分布密度的渐近行为。混合模型的特殊例子是跳跃扩散模型和带有跳跃的随机波动模型。我们将我们的一般结果应用于具有双指数跳跃的Heston模型，并详细分析了该模型中股票价格密度、看涨期权定价函数和隐含波动率的不对称行为。对于Heston模型，我们也得到了类似的结果，跳跃分布符合NIG定律。关键词：混合随机股价模型；梅林卷积；具有双指数跳跃的Heston模型；隐含波动率。1简介混合模型中股票价格的随机行为由随机过程X=X（1）X（2）描述，其中X（1）和X（2）是完全过滤概率空间上严格正的独立可积过程(Ohm, F、 {Ft}，P）。混合模型的重要例子是跳跃扩散模型和具有L’evy类型跳跃的随机波动模型。关于带有跳跃的模型的更多信息，请参见[11]和[27]。本文得到了特殊混合随机股价模型中股价分布密度和隐含波动率的带误差估计的渐近公式。

假设混合随机模型中随机变量X（1）和X（2）的分布u（1）和u（2）分别允许密度D（1）和D（2）t。然后，股票价格的分布utof也允许密度Dt，可以用梅林卷积Dt（x）=D（1）tM表示 D（2）t（x），x>0（1）（梅林卷积的定义如下）。[13]中提到了两个独立随机变量乘积的分布密度是其密度的梅林卷积。在[5]（另见[9]）中，D.Arandelovi’c获得了半直线（0，∞). 然而，Arandelovi\'c的公式不包含------------------------------------------电子邮件地址：gulisash@ohio.edu（A.Gulisashvili），约塞普。vives@ub.edu（J.Vives）。误差估计。在本文的2.3小节中，建立了Mellin卷积的误差估计渐近公式（见定理8和9中的公式）。这些公式解释了阿兰德洛维奇的结果。本文用它们刻画了特殊混合随机股价模型中股价密度的渐近行为。请注意，R.a.Handelsman和J.s.L e w（见[28]第3.4节）获得了梅林卷积在不同约束条件下的交感展开式，这些约束条件与Arandelovi’c的工作和本文中施加的约束条件不同。下面的例子之一是具有不对称双指数跳跃的赫斯顿模型。本文得到的定理13和14涉及混合模型跳跃部分占主导地位的情况，而定理15和16涉及赫斯顿部分占主导地位的情况下股价密度的a辛。在[20]早些时候获得了较弱的估计值。

在第7节中，我们简要讨论了其他一些模型。在[23]（se e[24]）中，S.Kou介绍并研究了一个跳跃扩散模型，该模型实际上是Black-Scholes模型和双指数跳跃模型的混合体。在[2]例7.6中获得了Koumodel中股票价格分布函数的渐近公式（无误差估计）。在[29]和[16]中，对于Kou模型中的看涨期权定价函数，发现了一个带有误差估计的n渐近公式。在本文中，我们得到了一类模型的类似公式，包括具有双指数跳跃的Heston模型和Kou模型（见（92））。公式（92）中的误差或估计值比[16]中的好。在分析受双指数跳跃扰动的赫斯顿模型中的股价密度时，我们使用了[23]中获得的一些结果。有趣的是，在没有跳跃的赫斯顿模型中，股票价格密度的渐近行为与双指数跳跃部分相关的绝对连续部分的渐近行为相似（比较（31）与（78）和（32）与（79））。因此，在研究赫斯顿模型和双指数跳跃模型的混合中股票价格密度的交感行为时，我们必须考虑混合模型的哪一部分主导另一部分。这种二分法并不出现在Kou模型中，因为双指数跳跃部分总是支配Black-Scholes部分。请注意，在[16]中也观察到了无跳跃的赫斯顿模型和库恩模型中调用定价函数的渐近行为之间的相似性。股票价格密度的渐近公式可以用来研究期权定价函数的渐近行为和隐含波动率。

在本文的第6节中，我们得到了带有五个显式项的渐近公式，以及具有双指数跳跃的Heston模型中极值隐含波动率的误差估计。第7节建立了类似的Heston-mo-de-lwith NIG型跳跃公式。我们使用[15]和[18]中开发的一些方法来估计隐含波动率。对于[15]中没有跳跃的Heston模型，以及[29]和[16]中的Kou模型，建立了具有四个显式项的隐含效用的较弱的渐近公式。这些公式可以扩展到包括五项和误差估计。我们还想让读者注意到[3]中关于指数L’evy模型中隐含波动率的交感行为。接下来，我们将简要概述本论文的内容。在2.1小节中，我们定义了梅林卷积，并介绍了几个相关的数值。规律变化的函数在本文中起着重要作用。在第2.2小节中，收集了规则变化函数理论的各种定义和事实，而第2.3小节则致力于阿兰德洛维奇的理论及其推广。在第三节中，我们给出了赫斯顿模型中股票价格过程边际分布密度的已知渐近公式。第4节介绍了具有双指数跳跃的Heston模型。在这里，我们得到了关于扰动Heston模式l的跳跃部分的新结果。我们证明了与扰动Heston模型相关的指数l’evy过程的边际分布的绝对连续部分是规则变化的，并提供了表征其接近零和接近零的渐近行为的渐近公式。本文第5节讨论了具有双指数跳跃的Heston模型中的密度近似。

我们得到了扰动Heston模型中股票价格分布度的带误差估计的精确渐近公式（见定理13-16）。证明中使用了定理8和9中获得的Arandelovi’c定理的公式化。在第6节中，为具有双指数跳跃的Heston模型（见定理18和19）和更一般的模型中的隐含波动率提供了带误差估计的渐近公式。最后，第7节讨论了Heston模型中的隐含波动率，其跳跃分布符合对称中心的NIG定律。2梅林卷积和Ar andelovi’c理论在本节中，我们讨论了梅林变换和梅林卷积，建立了Arandelovi’c定理，考虑了梅林卷积的渐近性，并获得了Randelovi’c定理的基因化（定理8和9）。2.1梅林变换和梅林卷积定义1。设U是（0）上的可测函数，∞). U的梅林变换定义如下：MU（z）=z∞T-zU（t）dtt，z∈ C.（2）U的梅林变换域是所有z的集合∈ （2）中的积分绝对收敛。定义2。两个实勒贝格可测函数f和g在（0，∞)由FM定义 g（x）=Z∞f（t）-1x）g（t）dtt，对于存在积分的x>0的情况。这很清楚 g（x）=Z∞f（t）-1） g（xt）dtt。此外，fM g（x）=efM eg（x）-1） 式中，ef（u）=f（u）-1） 和eg（u）=g（u）-1） （4）对于所有u>0。我们还有meu（z）=mu(-z） 。（5） 设ub e[0]上的分布，∞), 让η为实数。分布u的阶矩η定义如下：mη（u）=Z∞tηdu（t）。

（6） 不难看出，如果U是分布密度，那么mu（η）=M-η-1（U）对于MU.2.2正则变函数域中的所有真数η，本小节讨论了正则变函数理论的一些概念和结果。这些函数在本文中起着重要作用。关于规则变化函数的丰富信息来源于N.H.宾厄姆、C.M.戈尔迪和J.L.特格尔的书[9]。定义3。（0，∞) 称为随指数ρ有规律地变化∈ R如果每λ>0，f（λx）f（x）→ λρ（7）as x→ ∞. 指数为ρ的所有规则变化函数的类用Rρ表示。来自稀有类的函数称为慢变函数。下一个结果称为正则变函数的一致收敛定理。定理1（见[9]中的定理1.5.2]）。设f是（0）上的非负可测函数，∞).那么以下是正确的：1。假设f∈ Rρρρ>0，f在a>0的每个区间（0，a）上有界。那么公式（7）在λ中不一致地适用于每个区间（0，a），a>0.2∈ 公式（7）在每个区间[a，b]上以λ的形式表示，且0<a<b<∞.3.条件f∈ ρ<0的Rρ意味着公式（7）在λ中一致地适用于每一个参数[b，∞), b>0。慢变函数理论的另一个基本结果是表示定理（见[9]，定理1.3.1）。定理2。对于非负可测函数l，条件l∈ 以下x（exp）相当于Zxaε（u）udu, x>a，（8）对于some a>0，其中函数c和ε为c（x）→ C∈ (0, ∞) 作为x→ ∞ ε（u）→ 0作为u→ ∞.定义4。

函数l∈ 如果函数x7→ （8）中的c（x）在区间l[a]上是常数，∞) 对于一些人来说，a>0。设l是一个标准化的慢变函数。定理2显示了l（x）=expC+Zxaε（u）udu, x>a，（9）对于某些C∈ R和a>0，其中函数ε为ε（u）→ 0作为u→ ∞.对于标准化慢变函数l，我们有ε（x）=xl′（x）l（x）a.e.（10）（见[9]，第15页）。如果函数l是可微的，那么（10）中的等式适用于（a，∞).下面的课程是由A.Zygmund介绍的。定义5。定义在（0，∞) 如果函数φα（x）=xαl（x）最终递增，函数ψα（x）=x，则属于zygmund类Z-αl（x）最终会减少。下一条已知语句给出了Zy-gmund类的描述。定理3（见[9]中的定理1.5.5]）。Z类与标准化慢变函数类一致。本文讨论了具有误差估计的各种渐近公式。注意，在本文中，φ（x）=O（φ（x））表示为x→ ∞, 其中φ是实函数，φ是正函数，意味着存在c>0和x>0，使得|φ（x）|≤ cφ（x）for all x>x.φ（x）=O（φ（x））作为x的e解释→ 0是相似的。以下已知定义引入了带余数的缓慢变化函数（见[17]，另见[9]）。定义6。设l和g是（0，∞) 带g（x）→ 0作为x→ ∞.如果对于所有λ>1，l（λx）l（x），则调用函数l，它随余数g缓慢变化- 1=O（g（x））（11）as x→ ∞.我们将用Rg表示余数为g的缓慢变差函数类。不难看出这一点 R.带余数的慢变函数的统一m收敛定理如下。定理4（见[9]中的推论2.2.1]）。

让我∈ RGG在哪里∈ R.然后条件（11）在λ中的每一个区间[1，b]上保持一致，b>1。下一个陈述比定理4更有力，它提供了带余数的慢变函数一致收敛结果中变量λ的增长估计。定理5。固定δ6=0，设f和g为[0]上的正函数，∞) 以至于∈ 兰德夫∈ Rg。假设函数f，g，f和GARE在[0]上局部有界，∞). 然后存在A>0使得| f（λx）- f（x）|≤ Af（x）g（x）max{λδ，λ-δ} 对于所有λ>0和x≥ 0.定理m 5中的估计包含在[9]中定理3.8.6的（b）部分中。注意，条件f∈ R包含以下内容：f∈ O∏l=f g，因此定理3.8.6（b）中的条件成立（有关O∏类土地的定义，请参见[9]）。带余数的慢变函数的结构是已知的。下一个结果是带余数的慢变函数的表示定理（见[17]，另见[9]）。定理6。让g∈ 兰特g（x）→ 0作为x→ ∞. 然后我∈ Rgif和仅ifl（x）=expC+O（g（x））+ZxaO（g（t））t-1dt（12） 作为x→ ∞, C在哪里∈ R、 O函数是局部可积的。推论1。让我∈ Z.然后我∈ R |ε|，其中ε是公式（9）中出现的函数。证据因为l是一个标准化的慢变函数，所以公式（9）成立。这意味着公式（12）适用于g=|ε|。接下来，利用定理6，我们建立了推论1.2.3阿兰德洛维奇定理及其推广。下一个陈述由阿兰德洛维奇获得（见[5,9]）。定理7。假设函数U的Mellin变换mu至少在条带σ上收敛≤ R（z）≤ τ在哪里-∞ < σ < τ < ∞. 设f是（0，∞), 假设以下两个条件成立：1。f（x）~ xρl（x）为x→ ∞ ρ在哪里∈ （σ，τ）和l∈ R.2。

函数x7→ 十、-σf（x）在a>0的每个区间（0，a）上有界 f（x）~ mu（ρ）[xρl（x）]（13）as x→ ∞.注意，公式（13）中没有误差e估计值。下一个断言在某些附加限制下提供了这样的估计。定理8。假设可测函数U的Mellin变换mu至少在str-ipσ中收敛≤ R （z）≤ τ在哪里-∞ < σ < τ < ∞. 设f是（0，∞), 并假设以下条件成立：1。f（x）=xρl（x）（1+O（h（x））作为x→ ∞ ρ在哪里∈ （σ，τ），l∈ RGG∈ R、 h∈ Z.上一公式中的函数g和h满足g（x）→ 0和h（x）→ 0作为x→ ∞.2.函数g，l-1和g-1在区间（x，∞) 对于某些x>0.3的情况。函数x7→ 十、-σf（x）在a>0的每个区间（0，a）上有界 f（x）=mu（ρ）[xρl（x）]（1+O（g（x））+O（h（x）））（14）as x→ ∞.证据假设f（y）=yρl（y）表示y>y，（15），并将x=max{x，y}，其中xis如条件2中所示。然后我们有 f（x）=Zxxf（xv）U（v-1） v+dvz∞xxvρl（xv）U（v）-1） dvv=I（x）+I（x）。（16） 由于xv<xin是（16）中的第一个积分，条件3意味着：≤ cxσZxxvσU（v-1） dvv=cxσZ∞xxy-σ-1U（y）dy≤ cMU（σ）xσ。固定ε>0，使ε<ρ- σ、 考虑到lg∈ R.那么前面的估计就是I（x）=O（xσ）=O（xρ）-ε） 和henceI（x）=O（xρl（x）g（x））a s x→ ∞. （17） 因此，积分Ican可并入公式（14）中的误差项中。我们的下一个目标是估计积分I。很明显，I（x）=xρZ∞xx[l（xv）- l（x）]vρU（v-1） dvv+xρl（x）Z∞xxvρU（v）-1） dvv=xρl（x）Z∞vρU（v）-1） dvv- xρl（x）ZxxvρU（v）-1） dvv+xρZ∞xx[l（xv）- l（x）]vρU（v-1） dvv=mu（ρ）[xρl（x）]-xρl（x）Z∞xxy-ρU（y）dyy+xρZ∞xx[l（xv）- l（x）]vρU（v-1） dvv=mu（ρ）[xρl（x）]+J（x）+J（x）。（18） 固定ε>0，使ε<ρ- σ.