股票价格密度和隐含波动率的渐近分析

从（66）、（69）和（70）中可以得出：ak- ck，-埃德克≤ak- （k+1）-埃德克+ck，-- （k+1）-埃德克≤ δ（k+1）-edk+δck，-埃德克≤ δck，-埃德克。这就完成了引理3的证明。下面的断言可以很容易地从（38）、（63）和（68）中导出。定理11。存在一个正常数，比如G（t，u）- U-D-λs，r（u）≤ 铜-D-λs，r（u）（71）表示所有u>0。在（71）中，根据（64）选择参数r和s的值。从定理11可以看出，为了理解函数g（t，u）的渐近行为→ ∞, 我们必须研究（71）中出现的分数积分在u的大数值下的表现。使用（63）和（67），我们得到了u-D-λs，r（u）=sΓZcosh（右）√（1）- y） dy=sΓ泽尔√uzz（1）- z） dz+sΓ泽-R√uzz（1）- z） dz（72）andu-D-λs，r（u）=sΓZcosh（右）√（1）-y） dy=sΓ泽尔√uzz（1）- z） dz+sΓ泽-R√uzz（1）- z） dz。我们有-R√uzz（1）- z） dz=z+z=OU-1.. （74）事实上，（74）中的第三个积分是OE-R√U, 而第二个积分可以通过两次分段积分来估计。类似地，Ze-R√uzz（1）- z） dz=OU-1.（75）美国→ ∞. 此外，泽尔√uzz（1）- z） dz=er√乌泽√u（z）-1） z（1）- z） dz=er√尤兹-R√uy（1）- y） (二)-y） 伊迪。对于较小的y值，我们有（1-y） (二)-y） y=√2y+cy+··。利用沃森引理（见[10]，第103页），我们得到了√uzz（1）- z） dz=er√U√2ΓR-U-+ OU-（76）作为y→ ∞. 同样，泽尔√uzz（1）- z） dz=er√UΓR-U-+ OU-（77）作为y→ ∞.现在，我们准备阐述并证明本文的主要结果之一。定理12。设H（t，·）和H（t，·）分别为（44）和（45）定义的函数。下面的渐近公式成立：H（t，x）=√π（ηλtp）expηλtqη+η- λt（日志x）-exp{2pηλtpplog x}1+O（日志x）-（78）as x→ ∞, andH（t，x）=√π（ηλtq）expηλtpη+η- λtlogx-exp（pηλtqrlogx）1+Ologx-!!（79）as x→ 0.证明。公式（78）来自公式（71）和公式（72）-（77）。

这里我们考虑到参数r和s的值由（64）给出。公式证明（79）使用了相同的公式，我们将其作为练习留给感兴趣的读者。5具有双指数跳跃的Heston模型中股票价格密度的渐近行为在本节中，我们研究了扰动Heston模型中边际密度的渐近行为。我们的第一个目标是描述随机变量X（2）t的分布的绝对连续部分H的密度的渐近性。回想一下du（2）t（X）=e-λtdδ（x）+H（t，x）dx，x>0，其中H（t，x）=H（t，x）x-η-1χ{x>1}+H（t，x）xη-1χ{0<x<1}（见（42））。从定理12可以清楚地看出，下面的断言成立。推论3。对于每t>0，H（t，x）=√π（ηλtp）expηλtqη+η- λt（日志x）-exp{2pηλtpplog x}x-η-1.1+O（日志x）-（80）作为x→ ∞, andH（t，x）=√π（ηλtq）expηλtpη+η- λtlogx-exp（pηλtqrlogx）xη-11+Ologx-!!（81）作为x→ 0.接下来我们将考虑扰动Heston模型的情况，其中跳跃部分占主导地位。定理13。固定t>0，假设1+η<A，则以下渐近公式适用于具有双指数跳跃的Heston模型中的股价密度Dt:Dt（x）=√πmη（D（1）t）（ηλtp）expηλtqη+η- λt（日志x）-exp{2pηλtpplog x}x-η-1.1+O（日志x）-（82）作为x→ ∞. 这里D（1）是由（35）定义的随机变量X（1）的密度。定理14。固定t>0，假设ea>η- 1.对于具有双指数跳跃的赫斯顿模型中的股价密度Dt，以下渐近公式成立：Dt（x）=√πm-η（D（1）t）（ηλtq）expηλtpη+η- λtlogx-exp（pηλtqrlogx）xη-11+Ologx-!!（83）as x→ 0.备注3。符号mη（D（1）t）和m-公式（82）和（83）中的η（D（1）t）代表边缘密度D（1）t的动量（见（6））。

为了得到Hestondensity矩的显式公式，我们可以使用等式（D（1）t）=Ehexp{s log X（1）t}i（84）和Hestondensity模型中对数价格矩母函数的已知显式公式（例如，见[12]中的公式（3））。备注4。注意，如果1+η=A，公式（82）就变得毫无意义。事实上，如果前面的等式成立，那么mη（D（1）t）=∞ （使用（29））。类似地，ifeA=η- 1，然后我-η（D（1）t）=∞（使用（30）），公式（83）不成立。定理13的证明。回想一下，我们在Hestonmodel中用D（1）t表示股价密度。注意，随机变量exp{Tt}的分布u（2）tof有一个单数分量a音调（参见（42））。然而，我们仍然可以使用类似于公式（1）的公式来估计Dt。我们有dt（x）=e-λtD（1）t（x）+D（1）tM H（t，·）（x）。（85）我们的下一个目标是应用定理8来描述（85）中最后一项的渐近行为。我们把U（x）=D（1）t（x），ρ=-η-1，l（x）=H（t，x），f（x）=H（t，x），σ=-A、 τ=eA，h（x）=0。那么，σ<ρ<τ。事实上，条件1+η<Ais相当于σ<ρ。此外，因为- 1（利用函数D（1）和（30）的可积性），我们得到ρ<τ。现在，根据注释1和emma 2，我们可以看到，公式中的条件是8倍。它跟在D（1）tM后面 H（t，·）（x）=md（1）t(-η- 1） x-η-1H（t，x）1+O（日志x）-（86）as x→ ∞. 最后，不难看出（29）、（80）、（85）、（86）和条件1+η<Aimply公式（82）。这就完成了定理13的证明。定理14的证明与定理13相似。它基于T heorem 9、（30）、（43）、引理2、（81）和（85）。我们把细节留给感兴趣的读者。接下来，我们将解释密度dt在赫斯顿部分占主导地位的情况下的行为。定理15。固定t>0，假设1+η>A。

然后，在具有双指数跳跃的Heston模型中，以下渐近公式适用于股票价格密度Dt:Dt（x）=E-λt+mA-1（H（t，·））Bx-Aexp{Aplog x}（log x）-+交流电1+O（日志x）-（87）作为x→ ∞.定理16。固定t>0，假设ea<η- 1.对于具有双指数跳跃的Heston模型中的股价密度Dt，以下渐近公式成立：Dt（x）=he-λt+m-eA-1（H（t，·））ieBxeAexp（eArlogx）logx-+ac1+Ologx-!!（88）作为x→ 0.备注5。回想一下这些符号-1（u（2）t）和m-eA-公式（87）和（88）中的1（u（2）t）代表边际分布u（2）t的矩（见（6））。为了计算公式（87）和（88）中出现的力矩，我们可以使用与公式（84）类似的公式，以及根据非对称双指数定律分布跳跃幅度的经验跳跃模型中对数价格的力矩评级函数的显式公式（例如，见[16]中b=0和σ=0的公式（1））。备注6。在1+η=A的极端情况下，公式（87）不成立，因为在前面的条件下，我们有m-eA-1（u（2）t）=∞ （使用（42）、（43）和（80））。同样，公式（88）如果ea=η则无效-1，因为在这种情况下，我们有m-eA-1（u（2）t）=∞ （使用（42）、（43）和（81））。定理15和16可以使用定理8和9从公式（31）、（32）和（85）中导出。6.在具有双指数跳跃的Heston模型中，为了创建风险中性环境，我们假设以下无套利条件适用于扰动Heston模型中的参数：u=λqη+1-pη- 1.. （89）这里我们考虑r=0。那么（34）定义的过程就是鞅（见[18]第10.8节）。请注意，证明使用了均值校正参数（例如，参见[18]中的引理10.40，或[27]，第79-80页）。

在本节中，假设条件（89）成立。具有双指数跳跃的Heston模型中的看涨期权定价函数C和P由C（T，K）=Eh（eXT）定义- K） +i和P（T，K）=Eh（K）-分别是eXT+i。在前面的公式中，T是到期日，K是履约价格。在具有双指数跳跃的Heston模型中，隐含波动率I（T，K），T>0，K>0定义如下。在Black-Scholes模型中，隐含波动率I（T，K）等于波动率σ=σ（T，K）的值，因此C（T，K）=CBS（T，K，σ）。这里的符号CBS代表Black-Scholes模型中的callpricing函数。在续集中，到期日T将是固定的，我们将把函数C、P和I仅视为执行价K的函数。在具有双指数跳跃的Heston模型中，隐含波动率I的渐近行为将使用理论ms 13-16中提供的股票价格密度的渐近公式来描述。我们将从大规模罢工的案例开始。通过分析理论13和15中的公式，我们发现，如果股价密度dt满足条件dt（x）=rx，那么理解隐含波动率的行为非常重要-rexp{rplog x}（log x）r1+O（日志x）-（90）作为x→ ∞, 其中r>0，r≥ 0、r>2和r∈ R.定理17。假设条件（90）成立。那么下面的渐近公式对于隐含波动率是有效的：I（K）=√√T(√R- 1.-√R- 2） rlogKx+r√2T√R- 2.-√R- 1.+2r+1√2T√R- 2.-√R- 1.日志logKxqlogKx+√2Tlog√R- 1.√R- 2(√R- 1.-√R- 2)√πr+r√2T（r）- 2)-（r）- 1)qlogKx+r（2r+1）√2T（r）- 2)-（r）- 1)logKxlogKx+OlogKx！（91）作为K→ ∞.证据为了简单起见，我们假设x=1。一般情况下的证据是相似的。从[18]中的（90）、推论7.13以及[18]中的orem 8.10得出：→ ∞,C（K）=r（r）- 1） （r）- 2） （log K）rexp{rplog K}K2-R1+O√日志K.

（92）因此→ ∞,对数c（K）=对数r- 1） （r）- 2） r- rlog log K- rplog K+（r）- 2） 原木K+O√日志K. （93）此外，中值定理和（93）意味着logC（K）=logk+loga- 2） +O√日志K作为K→ ∞. 接下来，使用[18]中的定理9.16，λ=r- 2和∧（K）=√记录K，我们得到（K）=√√Thp（r）- 1） 对数K+L（K）-p（r）- 2） 日志K+L（K）i+O日志K（94）作为K→ ∞, 其中l（K）=-rplog K-r+对数K+log（r- 1） （r）- 2） r- 对数（r）- 2） +日志√R- 1.-√R- 2.√πr- 1、从（94）可知i（K）=√√T“√R- 1plog Ks1+L（K）（r）- 1） 日志K-√R- 2plog Ks1+L（K）（r）- 2） 日志K#+O日志K（95）作为K→ ∞. 现在，我们来看看这个公式√1+h=1+h-h+OH, H→ 在（95）中，通过简化，我们得到了x=1的公式（91）。这就完成了定理17的证明。下一个theo-rem刻画了具有双指数跳跃的Heston模型中大冲击时隐含波动率的渐近行为。定理18。设T>0，假设1+η<A，则公式（91）适用于r=√πmη（D（1）T）（ηλtp）expηλtqη+η- λT,r=2pηλtp，r=η+1，r=-.另一方面，如果1+η>A，则公式（91）适用于r=E-λT+mA-1（H（T，·））B、 r=A，r=A，r=-+交流证明。定理18源自定理13、15和17。备注7。在K.Gao和R.Lee[15]的文章中，给出了一个四项渐近公式和阶数的误差估计（日志K）-, K→ ∞, （96）在负相关Heston模型中发现了隐含波动性（见[15]，Corolla ry8.1）。利用（29）和定理17，我们可以得到一个更精确的五项渐近公式和O阶误差估计（日志K）-1.作为K→ ∞. 这个公式中的第五项是clog log Klog K。前面的表达式比（96）中的表达式快。[15]中公式d包含较弱误差估计的原因如下。

在证明其结果时，Gao和Lee使用了[14]中的公式（4.2），这是Heston模型中call Pricing函数的渐近公式，相对误差估计为（日志K）-. 然而，在公式a.4中，含有[ty]。更准确地说，是力量-在误差估计中，该公式可以用幂代替-. 实际上，需要将公式（4.1）中的表达式在[14]中积分两次。公式（4.1）是负相关Heston模型中股票价格密度的渐近公式，包含正确的相对误差估计（日志x）-. 注意，在boo k[18]中[14]结果的表述中，负相关Heston模型中调用优先级函数的渐近公式包含一个正确的误差项（见[18]中的公式（8.2 8））。备注8。[29]和[16]研究了寇的模型中隐含波动率在大罢工时的交感行为。由于寇的模型是具有双指数跳跃的Black-Scholes模型，因此跳跃部分始终占主导地位。事实上，BlackScholes模型中的股价密度的衰减是对数正态的，而Kou模型中的初始部分的密度是一个规则变化的函数。[16]的作者得到了一个关于四项隐含效用的符号公式，以及O阶误差估计（日志K）-如[15]所述。用五项和O阶误差估计得到类似的展开式并不难（日志K）-1.作为K→ ∞,利用本文建立的定理8、12和17。我们的下一个目标是描述小冲击下隐含波动率的渐近行为。这里我们借用了[18]第9.7节中使用的各种想法。为了简短起见，我们再次假设x=1。集合G（K）=KPK-1.. 那么G是一个通话定价函数。

相应的边缘密度如下：eDT（x）=x-3DT十、-1.（97）（见[18]中的备注9.20）。现在，使用定理14和16，公式（97），以及i（K）=IG的事实K-1.（参见[18]中的引理9.23），我们得到以下断言。定理19。设T>0，假设ea>η- 1.下面的公式适用于具有双指数跳跃的赫斯顿模型中的隐含波动率：I（K）=√√T(√s+1-√s） rlogxK+s√2T√s-√s+1+2s+1√2T√s-√s+1log logxKplogxK+”√2Tlog√s+1√s(√s+1-√（s）√πs+s√2Ts-（s+1）#plogxK+s（2s+1）√2Ts-（s+1）！对数logxKlogxK+OlogxK（98）作为K→ 0.In（98），s=√πm-ηD（1）T（ηλtq）expηλtpη+η- λT,s=2pηλtq，s=η，s=-.另一方面，ifeA<η- 1，则（98）与=E-λT+mA-1（H（T，·））eB，s=eA，s=eA+1，s=-+ac.7更多应用本节讨论的示例是随机s股票价格模型，该模型是赫斯顿模型与特殊指数L’evy模型的混合。扰动模型中的对数价格过程是具有正态逆高斯n边值的L’evy过程（NIG过程）。我们将在上面提到的扰动Heston模型中描述大冲击下隐含波动率的渐近行为。小罢工时的行为可以用类似的方式来描述。O.Barndorff Nielsen在[6]和[7]中分别介绍了正态逆高斯分布和NIG过程（另见[8]）。为了简单起见，我们将只考虑对称中心的NIG过程。一般情况也可以类似地处理。L etα>0且δ>0，设W（α）t=Wt+αt，t≥ 0是带漂移的布朗运动，设A是由At=infns>0:W（α）s=δto给出的逆高斯过程。再考虑一个独立的标准布朗运动：fWt，t≥ 0.然后通过Yt=fWAt，t定义NIG过程≥ 0

参数α控制边缘分布的尾部重量，而δ是尺度参数。让我们考虑一个混合d模型Xt=X（1）tX（2）t，t≥ 0，其中X（1）是（28）中定义的赫斯顿模型中的价格过程，而X（2）=exp{Yt}。如前所述，我们用D（k）t表示随机变量X（k）t的分布密度，k=1，2，用y的密度。密度d（2）t存在一个clos e d形式表达式。第三类血管功能的修改将在续集中需要。该函数由k（z）=z定义∞经验-z（u+u）杜。用（γ，0，ν）表示与过程Y相关的L′evy三重态。已知γ=2αΔπZK（αx）dx和ν（dy）=αΔπK（α| y |）| y | dy。以下公式适用于密度为（2）t:eD（2）t（y）=K（t）K（αpy+δt）py+δt，其中K（t）=αδteαδtπt。因此，对于所有的x>0，D（2）t（x）=k（t）xK（αp（logx）+δt）p（logx）+δt。前面的公式可在[27]中找到。已知k（z）=rπ2ze-Z1+OZ作为z→ ∞ （见[1]中的公式9.7.2]）。因此，d（2）t（x）=k（t）xrπ2αexpn-αp（logx）+δ到（（logx）+δt）1+O对数x（99）作为x→ ∞.因为对于每一个A>0和α>0，（（logx）+A）=（logx））1+O对数x安第斯潘-αp（对数x）+Ao=expn-αp（logx）o1+O对数x作为x→ ∞, 公式（99）表示d（2）t（x）=k（t）rπ2αx-α-1（对数x）-1+O对数x（100）作为x→ ∞.使用公式（100）和（31）不难看出，对于A<α+1，混合模型的赫斯顿部分占主导地位，而对于α+1<A，NIG部分占主导地位。我们的下一个目标是将EoREM 17应用于Heston+NIG模型。该模型的无ar比特率条件如下：α≥ 1和u=δ（pα- 1.- α） ，（101），其中u是赫斯顿模型中的漂移参数。回想一下，我们假设r=0。

条件（101）可以使用平均值修正参数（见第6节开头的参考文献）和NIG分布特征函数的显式公式（见[7]，另见[27]，第5.39节）获得。定理20。假设（101）中的无套利条件成立，让A<A+1。那么公式（91）对于R=mA的H eston+NIG模型中的隐含波动率有效-1.D（2）TB、 r=A，r=A，r=-+ac.此外，如果α+1<A，则公式（91）在r=k（t）rπ2αmα时有效D（1）T,r=0，r=a+1，r=-.定理20源自（31）、（100）、定理8和定理17。在K的情况下，可以得到一个类似的定理→ 我们把这个定理的公式和证明作为练习留给感兴趣的读者。备注9。本文提出的方法具有一定的通用性。它们可以用来逼近许多混合随机模型中的股价密度和隐含波动率。例如，我们可以用跳跃代替Heston模型，用跳跃代替Stein-Stein模型（Stein-Stein模型中股票价格密度渐近行为的讨论参见[18]），也可以使用不同于双随机过程或Ig过程的跳跃过程。我们只需要知道跳跃过程的边缘分布具有误差估计的公式的适当渐近性，这样的公式通常是可用的。8致谢作者感谢R.Lee和S.De Marco提出的宝贵意见，以及S.Gerhold提供的参考[13]和[28]。参考文献[1]M.Abramovitz和I.A.Stegun（编辑），《数学函数手册》，应用数学系列55，国家标准局，华盛顿特区，197 2。[2] J.M.P.阿尔宾和M。