指数L\'{e}vy模型的多层蒙特卡罗

如果X是一个光谱负的α稳定过程，α>1，那么Vl= Oh2/α-δl,对于任何小的δ>0。指数L′evy模型95.3障碍期权的多层蒙特卡罗方法我们考虑了一个有界的上下障碍期权，其贴现收益p=exp(-rT）f（ST）1{sup0<t<TSt<B}=exp(-rT）f（ST）1{m<log（B/S）}，（5.3），其中m=sup0<t<TXt，和| f（x）|≤F是有界的。在水平面上l, 数值近似为bpl= 经验(-rT）f（ST）1{bml<日志（B/S）}。（5.4）bml= max0≤我≤MlXihl.我们对NIG和光谱负α稳定过程的分析需要以下相当普遍的结果。提议5。3.如果m是一个随机变量，在B的邻域中具有局部有界密度，bm是m的数值近似，那么对于任何p>0，都存在一个常数Cp（B），使得{m<B}-1{bm<B}< Cp（B）公里- bmkp/（p+1）p.证明这个结果首先由Av ikainen（引理3.4 in[2]）证明，但我们在这里给出了一个更简单的证明。如果对于某些固定X>0，我们有| m-B |>X和| m-bm |<X，然后m<B-1bm<B=0。因此，E[|1m<B-1毫米<B |]≤ P[|m-B|≤ 十] +P[|m-bm|≥ X]≤ 2ρsup（B）X+X-pkm- BMKPP，第一项是由于m的密度的局部b oundρsup（b），第二项是由于马尔可夫质量。通过对w.r.t.X的上界进行微分，我们发现通过选择Xp+1=pρsup（B）km，它是最小化的- bmkpp，然后我们得到了所需的边界。我们对方差伽马过程的分析需要根据L’evy过程的性质定制更清晰的结果。提议5。

4如果XT是一个满足定理4条件的标量pu-re跳跃L′evy过程。2对0≤α≤, m和bmnare连续且离散监控的Xt的上确界，m在B的邻域中有一个局部有界密度{m<B}-1{bm<B}= O（n）-1/（1+2α）+δ），对于任何δ>0。证据将在第7节后面给出。7.上述两个命题都需要一个条件，即对于所有严格正值，上确界m具有有界密度。关于L’evy过程的上确界有相当多的研究[6,7,21,22]。尤其是[7]中支持位置2的评论表明，稳定的迈克尔·B·贾尔斯（Michael B.Giles）和广泛的对称从属布朗运动满足了该条件。不幸的是，本文中的VG和NIG过程不是对称的，因此目前它们不在当前理论的范围内，但正在开发的新理论[3]将把这一特性扩展到更大类别的L’evy过程，包括bothVG和NIG。现在我们定义了估计量的弱收敛性和多级方差收敛性。提议5。5设X是指数L’evy模型下的标量L’evy过程。

对于向上和向外的障碍期权收益（5.3），在数值近似（5.4）下，假设m有界密度，我们有以下多级校正方差和弱误差的收敛速度：–如果X是方差伽马（VG）过程，则l= O（h1-δl);EhbP-圆周率= O（h1-δl)其中δ为任意正数如果X是一个NIG过程，那么vl= O（h1/2）-δl);EhbP-圆周率= O（h1/2）-δl)其中δ为任意正数如果X是一个α>1的谱负α稳定过程，那么l= Ohα-δl;EhbP-圆周率= Ohα-δl其中δ为任意正数。证明了多级校正项的方差为Vl≤ 呃（英国石油公司l-英国石油公司l-1） 我≤ 2 Eh（英国石油公司l-P） i+2 Eh（血压l-1.-P） i.对于向上和向外的障碍选项，由于回报是有限的，我们有（bPl-P） 我≤ FE{bmn<log（B/S）}-1{m<log（B/S）},E[bPl-P]≤ F E{bmn<log（B/S）}-1{m<log（B/S）},其中n=Ml.VG过程的边界来自命题5。4以及定理4.2的结果。指数L′evy模型的多层蒙特卡罗11从命题5中取p=1得到NIG系数的界。3与陈的结果定理4.1一起。光谱负α-稳定过程的界来自Pro position5。3以及定理M4.2的结果。定理4.2 giveskm-bmkp/（p+1）p≡ （E[|m-bm | p]）1/（p+1）=O（hp（p+1）α-δp+1）。然后，我们通过将p取为足够大的值来获得所需的界。6数值结果我们有三种不同的L’evy模型的数值结果：方差G a mma、无rmalInverse Ga ussian和α稳定过程，以及三种不同的选择：亚洲、回望和障碍。当前代码基于Giles的MATLAB代码[17]，我们使用该代码生成标准数值结果和一组四个函数。前两个图对应于一组实验，以研究两个HBP的方差和均值是如何变化的l和BPl-英国石油公司l-1随级别变化l.

左上角的曲线图显示了对数（方差）的值，因此logV[bP]的直线斜率的绝对值l-英国石油公司l-1] 表示V的收敛率βl在条款2.1的条件i）中。同样，对数| E[bP]的直线斜率的绝对值l-英国石油公司l-1] |右上角的p段表示OM 2.1条件i）下的武器会聚率α。底部两个图对应于一组MLMC计算，以获得所需精度ε的不同值。左下角绘图中的每一行对应于Nemo多层计算，并显示样本数Nl在每个层面上。注意，随着ε的变化，MLMC算法会自动决定需要多少级别来减少或适当地减少微弱错误。每个水平的最佳样本数基于m个多水平校正方差的经验估计l, 以及使用拉格朗日乘数来确定如何最好地最小化给定目标精度的总体计算成本。[19]中给出了算法的完整描述。右下角的曲线图显示了计算复杂度C随期望精度ε的变化。在最好的情况下，MLMCcomplexity为O（ε）-2） 因此，该图是εC与ε的对比图，这样我们可以看到是否实现了这一点，并将其复杂性与标准蒙特卡罗方法的复杂性进行比较。6.1亚式期权我们考虑的亚式期权是一种算术亚式所有期权，贴现付款p=exp(-rT）max0，S-K,式中，T=1，r=0.05，S=100，K=100，and=ST-迈克尔·B·贾尔斯，袁霞l-8-6-4-2PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-14-12-10-8-6-4-2PlPl- Pl-10 2 4 6水平lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。1：方差伽马模型中的亚式期权对于一般的L’evy过程，直接对积分过程进行采样并不容易。

我们使用梯形近似B:=ST-1n-1.∑j=0h（expXjh+经验X（j+1）h),其中n=T/h是时间步数。回报近似值为thenbP=exp(-rT）最大值（0，bS）-K）。在多级估计器中，近似imationbPl在水平面上l 使用nl:=2.l时间步。图1、2、3分别为VG、NIG和α稳定模式ls。右上角的数值结果表明近似二阶弱收敛。使用标准蒙特卡罗方法，左上角的图显示，指数L’evy模型的多级蒙特卡罗水平为130 2 4 6l-8-6-4-2PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-20-15-10-5PlPl- Pl-10 2 4 6水平lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。2：正态逆高斯模型中的亚式期权方差近似独立，因此，标准蒙特卡罗计算的计算成本为O（ε）-2nl) = O（ε）-2.5). 将该成本乘以ε以创建右下角的复杂度图，标度成本为O（n）l) 因此，当降低ε需要增加最底层L的值时，随着ε的降低，逐步进行goesup。另一方面，对于VG，MLMC估计的方差收敛速度约为1.2，对于NIG，为2.0，对于α稳定模型，为2。因为在这三种情况下，我们都有β>1，所以MLMC定理给出了一个复杂性，即O（ε）-2） 这与右下角图中的结果一致，该图显示MLMC估计器的εC变化很小。对于这种亚洲选择，MLMC的效率是标准MC的3-8倍。收益不大，因为弱收敛的高速度意味着在大多数情况下只需要4个级别的竞争，因此成本只有2=16的差异14 Michael B.Giles，Yuan Xia0 2 4 6 levell-10-5便士lPl- Pl-10 2 4 6水平l-15-10-5PlPl- Pl-10 2 4 6水平lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。

3：在最底层的每个MC路径计算和最粗糙层的每个MLMC路径计算之间的负α稳定模型中的亚式期权。6.2回望期权我们所考虑的回望期权是一种对躺在地上的船的看跌期权，P=exp(-rT）（K- sup0≤T≤TSt）+=exp(-rT）（K-Sexp（m））+，其中m=sup0≤T≤TXt，T=1，r=0.05，S=100，K=110。我们使用d iscr etely monitored max作为近似值，因此BPl= 经验(-rT）（K-性别（bm）l))+, bml= max0≤J≤NlXjhl.指数L’evy模型的多层蒙特卡罗150 2 4 6层l-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6 8 10 12级别lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。4：带有方差伽马模型的回溯选项图4、5、6显示了VG、NIG和α稳定模型的数值结果。与亚洲选项相比，最明显的差异是弱收敛阶大大降低，在各自的c类中分别约为1、0.8和0.6。这种弱收敛性的降低导致了最接近水平的大幅提高，这反过来又大大增加了标准MC成本，但不会显著改变MLMC成本。因此，计算上的节省远大于Sian选项，节省高达30倍。N中不稳定的小波动l水平大于5是由于样本数量有限，方差估计较差。对于Barrier（障碍物）选项，该选项稍后也会出现。16迈克尔·B·贾尔斯，袁霞l-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6 8 10 12级别lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。5：正常反向高斯模型el6的回望选项。3屏障选项屏障选项是一种向上和向外的呼叫，payoffP=exp(-（右）圣-K） +{sup0≤T≤TS（t）<B}=exp(-（右）圣-K） +{m<log（B/S）}，T=1，r=0.05，S=100，K=100，B=115。

离散监控近似为BPl= 经验(-（右）圣-K） +{^ml<日志（B/S）}，bml= max0≤J≤NlXjhl对于屏障期权，与之前的期权相比，最显著的变化是MLMC方差的收敛速度β降低，其中β≈在三种情况下分别为0.75,0.5,0.6。对于β<1，MLMC-theo-rem证明了一个复杂度isO（ε-2.-(1-β） /α），其中α是wea k收敛速度。指数L’evy模型的多层蒙特卡罗l-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6 8 10 12级别lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。6：具有光谱负α稳定模型的回望选项MLMC复杂性不是O（ε-2） 从右下角的复杂地块上可以清楚地看到，但与标准MC计算相比，仍有显著的节省。18迈克尔·B·贾尔斯，袁霞l-4-2PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-6-5-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6 8 10 12级别lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。7：方差伽马模型中的屏障选项6。4总结与讨论表1总结了弱误差[bP]的收敛速度l-P] 还有MLMCVl= V[bPl-英国石油公司l-1] 由Pro位置5.1、5.2、5.5和数值实验中观察到的经验收敛速度给出。总的来说，分析和数值收敛速度之间的一致性相当好，这表明在大多数情况下，分析可能是sh arp。二者之间最明显的差距在于亚式期权在所有三种模式下的弱收敛阶；分析证明了一个O（h）界，而数值结果表明它实际上是一个O（h）。

数值结果可能并不令人惊讶，因为O（h）是光滑函数的梯形积分的收敛阶，因此，如果回报只是ofS的倍数，它是人们期望的阶。指数L’evy模型的多层蒙特卡罗190 2 4 6层l-4-2PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-6-5-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6 8 10 12级别lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。8：正常逆高斯模型中的屏障选项7。1命题的证明5。1.假设我们将真值和近似值之间的差异分解为可以单独绑定的部分：s-学士学位= 装货单-1.ZTexp（Xt）dt-N-1.∑j=0h（expXjh+经验X（j+1）h)= 装货单-1.N-1.∑j=0expXjhZ（j+1）hjh经验Xt-Xjh-1.dt-h exp（XT）+h.20迈克尔·B·贾尔斯，袁霞l-1PlPl- Pl-10 2 4 6水平l-5-4-3-2-1PlPl- Pl-10 2 4 6 8 10 12级别lε=0.005ε=0.01ε=0.02ε=0.05ε=0.1-2-1精度εStd MCMLMCFig。9：如果我们定义j=exp，则光谱负α稳定模型中的势垒选项Xjh,Ij=Z（j+1）hjh经验Xt-Xjh-1.dt，RA=-h exp（XT）+h，thenE学士学位-s= T-2SEN-1.∑j=0bjIj+RA≤ 2T-2秒EN-1.∑j=0bjIj+ E拉.指数L’evy模型的多层蒙特卡罗21表1：弱误差和方差V的收敛速度sl对于VG、NIG和α-稳定过程；δ可以是任何小的正常数。

数值计算是在数值实验的基础上进行的。VGnumerical analysis期权弱var弱varAsian OHOHO（h）OH回首O（h）Oh1。2.O（h | log h |）O（h）屏障Oh0。8.Oh0。9Oh1-δOh1-δNIG数值分析期权弱var弱varAsian OHOHO（h）OH回头看h0。8.Oh1。2.Oh1-δO（h | log h |）屏障Oh0。4.Oh0。5.Oh0。5.-δOh0。5.-δ光谱负α-稳定，α>1α=1.5597数值分析选项弱var弱varAsian OHOHO（h）OH回头看h0。6.Oh1。6.Oh1/α-δOh2/α-δ屏障Oh0。5.Oh0。6.Oh1/α-δOh1/α-δ我们有E拉= OH, 由于Bjwe和Ijwe Obstaine的独立性N-1.∑j=0bjIj= E“n-1.∑j=0bjIj+2n-1.∑m=1米-1.∑j=0bmImbjIj#=n-1.∑j=0E北京EIj+ 2n-1.∑m=1米-1.∑j=0E[bmImbjIj]。（7.1）定义A=2m+Re2z-1.-2z1 | z |<1ν（dz），我们有Ehbji=eA-jh。此外，由柯西-施瓦兹质量公司（EIj≤ 他Z（j+1）hjh经验Xt-Xjh-1.dt= hZhEh（exp（Xt）-1） idt=hA.嗯-1.-啊-2r呃-1.-右22迈克尔·B·贾尔斯，袁先浩认为1+x<ex<1+x+xf对于0<x<1，因此对于h<1/A，我们有一个-1.∑j=0E北京EIj< 安-1.∑j=0eA jh=AeAT-1啊-1h<（吃）-1） 现在我们计算（7.1）中的第二项。

注意，对于m>j，Imis独立于bmbjIj，而bm/bj+1独立于bj+1bjIj，son-1.∑m=1米-1.∑j=0E[bmImbjIj]=n-1.∑m=1E[Im]m-1.∑j=0Ebm/bj+1Ebj+1bjIj.首先，对于h<1/r，E[Im]=Zh（ert）-1） dt=r-1.呃-1.-右< 嗯。此外，我们还有Ebm/bj+1= 呃(m)-J-1）汉德bj+1bjIj= E经验2Xjh经验X（j+1）h-XjhZ（j+1）hjh经验Xt-Xjh-1.dt= E经验2XjhEexp（Xh）Zhexp（Xt）-1.dt= eA jhZhE[exp（Xh）-Xt]E[exp（2Xt）]-E[exp（Xh）]dt=eA jhZh呃(h)-t） 吃-呃dt=eA jherhe（A-r） h-1.-（A）-r） 哈-r、 因此，对于h<1/（A-r） ，n-1.∑m=1米-1.∑j=0Ebm/bj+1Ebj+1bjIj=e（A）-r） h-1.-（A）-r） A-注册护士-1.∑m=1米-1.∑j=0er（m）-j） heA jh=e（A-r） h-1.-（A）-r） h（A）-r） （e）（A）-r） h-1） n-1.∑m=1（eAmh）-呃）<热-1啊-1<A-1（吃-1).因此，E“n-1.∑m=1米-1.∑j=0bmImbjIj#=n-1.∑m=1E[Im]m-1.∑j=0Ebm/bj+1Ebj+1bjIj= O（h），因此我们可以得出结论，E学士学位-s= O（h）。指数L’evy模型的多级蒙特卡罗237.2 L’evy过程分解证明依赖于将L’evy过程分解为有限活动纯跳跃部分、漂移部分和包含非常小跳跃的剩余部分的组合。设X为（m，0，ν）-L′evy过程：Xt=mt+ZtZ{z|≥1} zj（dz，ds）+ZtZ{z |<1}z（J（dz，ds）-ν（dz）ds）。（7.2）有限活动跳跃部分由xεt=ZtZ{ε<|z | z J（dz，ds）=Nt定义∑i=1yi是截断小于ε的X的跳跃的复合泊松过程，假设满足0<ε<1。n的强度和yi的c.d.f是λε=Z{ε<| Z |}ν（dz）。（7.3）P[Yi<y]=λ-1εZ{Z<y}{ε<|Z}ν（dz）；漂移项的漂移率定义为με=m-Z{ε<|Z |<1}Zν（dz），（7.4），因此剩余项是一个鞅：Rεt:=ZtZ{Z|≤ε} z（J（dz，ds）-ν（dz）ds）。