指数L\'{e}vy模型的多层蒙特卡罗

（7.5）我们定义σε=Z{Z|≤ε} zν（dz），（7.6），因此V[Rεt]=σεt。这三个量，με，λε和σε都将在随后的数值分析中起主要作用。我们通过所有时间步上的连续最大值和两点最大值之间的差来计算Dn：Dn=sup0≤T≤1Xt- maxi=0,1，。。。，nXin≤ maxi=0，。。。，N-1D（i）n（7.7），其中随机变量sd（i）n=sup[in，i+1n]Xt-最大值Xi+1n，Xin24迈克尔·B·贾尔斯、袁夏元是独立的，分布相同。如果我们现在确定（i） Xt=Xin+t-辛，（i） Xεt=Xεin+t-Xεin，（i） t=t-在里面（i） Rεt=Rεin+t-Rεin，thenD（i）n=sup[0，n]（i） Xt-（i） Xn+= sup[0，n]（i） Xεt+（i） Rεt+με（i） t-（i） Xεn+（i） Rεn+μεn+≤ sup[0，n]（i） Xεt+（i） Rεt-（i） Xεn+（i） Rεn++|με| n≤ sup[0，n]（i） Xεt-（i） Xεn++||εn+sup[0，n]（i） Rεt+-（i） Rεn+≤ sup[0，n]（i） Xεt-（i） Xεn++||εn+2 sup[0，n]（i） Rεt（7.8）我们使用（a+b）的地方+≤ a++b+和a=（i） Xεn+（i） Rεn+μεn，b=-第一个不等式中的με，以及=（i） Xεn+（i） Rεn，b=-（i） 第二个不等式中的Rε。设Z（i）n:=sup[0，n]（i） Xεt-Xεn+和S（i）n:=sup[0，n]（i） Rεt. 那么，对于p≥1，Jensen不等式使用[Dpn]≤Emax0≤i<n（Z（i）n+|με| n+2s（i）n）p≤3p-1Emax0≤i<n（Z（i）n）p+（||ε|/n）p+2pmax0≤我S（i）nP≤3p-1n-Eh（sup[0，n]Xεt-Xεn+)pi+3p-1（||ε|/n）p+3p-1pEhmax0≤我S（i）npi（7.9），在最后一步中，我们使用了以下事实：（i） Xεt的分布与Xεt的分布相同。现在的任务是将第一项和第三项限定在（7.9）的最后一行。7.3 sup[0，n]Xεt的界动量-（Xεn）+定理7.1设X是一个标量L′evy过程，具有一个三元组（m，0，ν），设Xεt，με，λε和σε如第7.2节所定义。指数L’evy模型的多水平蒙特卡罗25tXεttXεtssssFig。

10:Xεtin的行为——在曲线[0，n]中一次或两次跳跃的情况下。然后提供λε≤n、 对于任何p>1的情况，都存在一个常数kphsup[0，n]Xεt-Xεn+圆周率≤ 金伯利进程εp+Lε（p）λελεn，（7.10），其中Lε（p）=pRx>εxp-1λxdx是一个取决于L′evy度量值ν（x）的函数。证明LetZ=sup[0，n]Xεt-Xεn+.我们将通过分析有限活动过程Xεtin在单个区间[0，n]的跳跃行为来确定E[Zp]的上界。N是跳跃的次数。如果N≤1，那么Z=0，而如果N=2，那么Z≤min（|Y |，|Y |）。这可以从图10所示的不同场景中Xεt的行为中看出。更一般地说，如果N=k，k≥2，然后Z>x==>  1.≤ J≤ K-1 s.t。J∑l=1Yl> 十、K∑l=j+1Yl> x==>  j、 js。TYj>xk-1.Yj>xk-1.SincePj、 js。TYj>xk-1.Yj>xk-1.≤∑（j，j）PYj>xk-1.Yj>xk-1.=k（k）-1） P|Y |>xk-1..26迈克尔·B·贾尔斯，袁霞，下面是[Zp | N=k]=pZxp-1P[Z>x | N=k]dx≤k（k）-1） pZxp-1P|Y |>xk-1.dx=k（k-1） pλεZxp-1.Z{| Z |>x/（k）-1） }{ε<|z}ν（dz）dx=k（k-1） p+1pλεZxp-1.Z{Z}>x}{ε<|Z}ν（dz）dx≡ dk，pεp+Lε（p）λε, （7.11）式中，dk，p=k（k-1） p+1。我们是天堂[Zp]=∞∑k=2E[Zp | N=k]P[N=k]≤εp+Lε（p）λε经验-λεn∞∑k=2dk，pλεnkk！对于kp=P+2.对于任何k，都存在这样的情况≥ kp，dk，p≤Cpk！（k）-kp）！，所以∞∑k=2dk，pλεnkk！≤金伯利进程-1.∑k=2dk，pλεnkk+内容提供商∞∑k=kpλεnk（k）-kp）！≤金伯利进程-1.∑k=2dk，pλεnkk+内容提供商λεnkpexpλεn≤ 金伯利进程λεn对于某些常数Kp，最后一步使用λε≤n、 因此，我们得到了E[Zp]的最终结果≤ 金伯利进程εp+Lε（p）λελεn.7.4 sup[0，T]| RεT |命题7的界动量。2设X是一个标量L′evy过程，有一个三元组（m，0，ν），设Rεt，με，λε和σε如第7.2节所定义。

然后Rεtsatis fies“sup[0，T]| RεT | p#≤金伯利进程Tp/2σpε+TR{124; z|≤ε} |z | pν（dx）, p>2；KpTp/2σpε，1≤ P≤ 2，（7.12）其中Kpis a constan t取决于p.指数L’evy模型的多级蒙特卡罗27 ny 1的证明≤P≤2，根据Jensen不等式和Doob不等式（c.f.定理19和[24]中的20），Esup0≤T≤T | RεT | p≤ Esup0≤T≤T | RεT|p/2≤ 2pEh | RεT | ip/2=2pTp/2σpε。对于任何p>2，伯克霍尔德-戴维斯-冈德不等式（c.f.定理73，见[24]）给出sup0≤T≤1 | Rεt | p≤ Eh[Rε]p/2i，其中[Rε]是Rεt的二次变化。我们可以使用[24]中证明Eh[Rε]p/2i的方法≤ Kp“Z{|Z|≤ε} zν（dz）p/2+Z{| Z|≤ε} |z | pν（dz）#=Kpσpε+Z{124; Z|≤ε} |z | pν（dz）其中，kpi是一个常数，依赖于p。为了将结果扩展到n个任意时间间隔[0，T]，我们使用时间坐标的变化，T′=T/T，以及相关的变化L′evy度量eν′（dz）=Tν（dz）来获得“sup[0，T]| RεT | p”#≤ 金伯利进程Tp/2σp/2ε+TZ{124; z|≤ε} |z | pν（dz）.7.5最大值的边界动量0≤i<nS（i）n建议7。3设X为标量纯跳跃L′evy过程，L′evy测度ν（X）满足esC | X|-1.-α≤ν（x）≤C | x|-1.-α、 as | x |≤ 1.对于常数C，C>0和0≤α<2. 如果S（i）不符合第7.2节的规定，且λε≤n、 然后是p≥1，任意δ>0存在一个常数Cp，δ，它不依赖于n，ε，因此max0≤i<nS（i）nP≤Cp，Δεp-δ.在α=0的特殊情况下，δ=0.28的这种界成立。Michael B.Giles，由命题7证明。2，对于q>2，Emax0≤i<nS（i）nQ≤ n Esup[0，n]| Rεt | q≤ Kqn1-q/2σqε+Z{| Z|≤ε} |z | qν（dx）.回顾∑ε（7.6）的定义，由于ν（x）的假设，我们有∑qε≤2C2-αq/2εq-qα/2，Z{| Z|≤ε} |z | qν（dx）≤2Cq-αεq-α.给定p≥ 对于任何q>max（2，p），Jensen不等式都可以使用max0≤i<nS（i）nP≤ Emax0≤i<nS（i）nQp/q≤ Kp/qq“2C2-αq/2ε-αnq/2-1+2Cq-α#p/qεp-αp/q。如果α=0，则立即获得所需的边界。

另一方面，如果0<α<2，则λε≥ CZ{ε<|z |<1}|z |α+1dz=2Cαε-α-1..自λε≤n这意味着ε-α≤Kα2Cn+1，因此ε-α/n是束缚态ed，因此存在一个常数C，使得emax0≤i<nS（i）nP≤Cεp-αp/q，通过选择足够大的q，使αp/q≤δ我们得到了期望的界。7.6理论证明4。2pλε≤n、 到（7.9）和（7.10）我们有了[Dpn] Emax0≤i<nS（i）nP|{z}1）+εpλεn |{z}2）+Lε（p）n |{z}3）+|με| np |{z}4），（7.13），其中符号uv表示存在与n无关的常数c>0，使得u<cv。考虑到L’evy测度的具体情况，我们现在可以对每个项进行约束，如果我们可以选择合适的ε→ 0作为n→ ∞ 所以（7.13）的RHS是收敛的，E的c收敛率Dpn指数L’evy模型的多层蒙特卡罗290<x<1，λx≤ CZx<| z |<1 | z |α+1dz+Z1<| z | exp(-C | z |）dz≤（2Clogx+l，α=0；lx）-α, 0 <α< 2.（7.14）其中l，lare constan与l≥ 2C-1，而x≥1，λx≤Zx<| z | exp(-C | z |）dz=2C-1exp(-Cx）。如果α>0，那么lε（p）=pZx>εxp-1λxdx≤ lpZx>εxp-1.{x<1}x-2α+1{x>1}exp(-2Cx）dx≤l、 p>2α；llogε+l，p=2α；lε-2α+p+l，p<2α。（7.15）式中，l，l是附加常数。如果α=0，很容易验证Lε（p）对p有界≥1，所以（7.15）适用于这种情况。给定0<ε<1，我们有|με|=M-Zε<| Z |<1zν（dz）≤|m |+| C-C |ε1-α-1α-1,α6= 1;|m |+| C-C | logε，α=1。（7.16）以λε为条件≤ n、 我们现在有了命题。3，Emaxi=1，。。。，nS（i）nPεp-δ、 对于任何δ>0.2）乘以（7.14），εpλεn N-1×（εplogε，α=0；εp-2α，0<α<2.3）乘以（7.15），Lε（p）n N-1×1，p>2α；对数ε，p=2α；ε-2α+p，p<2α。30迈克尔·B·贾尔斯，袁霞（7.16），|με| nP N-p×1+| C-C | pεp（1）-α),α> 1;1 +|C-C | logεp、 α=1；1,α< 1.在下文中，我们假设C6=C.1。

P≥ 2α.如果我们选择ε=cn-2/p，然后λεε-α nα/p，常数C可以非常小，因此λε≤ n对于足够大的n.取δ<p/2，我们发现（7.13）的主要贡献来自m3），给出了期望的结果E[Dpn]（n）-1，p>2α；logn/n，p=2α。1.≤ p<2α。我们可以用H？older的不等式给出EDpn≤ EDαnpα （对数n/n）pα。对于光谱负的情况，sup[0，n]Xεt-Xεn+= 0，因为XT没有正跳跃，而henceE[Dpn]≤ Emax0≤i<nS（i）nP+|με| np、 我们可以取ε=cn-1/α，再次选择常数C，使λε≤ n足够大n.然后我们得到[Dpn]N-p/α+δ，α≥ 1.N-p、 α<1。对于任何δ>0.7.7的命题5的证明。4.我们将要绑定的项分解为若干部分，然后平衡ir渐近阶，以获得所需的结果。注意，1{bmn<B}-1{m<B}=1，仅当m接近屏障或离散和连续监测的最大Dn=m之间的差异时- 大的。更准确地说，{bmn<B}-1{m<B}=1 F∪G、 其中F:={B≤ M≤ B+n-r} G:={Dn>n-r} r>0的情况有待确定。亨西{bmn<B}-1{m<B}≤ P[F]+P[G]。由于m，P[F]=O（n）的局部束缚ed密度，指数L’evy模型的多层蒙特卡罗-r） 。如果我们表示z（i）n=sup[0，n]（i） Xεt-（i） Xεn+.哪里（i） XTI如前第7节所述。2，然后（7.8）g ivesDn≤ max0≤i<nZ（i）n+|με| n+max0≤i<nS（i）nα<1，με有界，所以|με|≤n1-r、 对于足够大的n.因此，PDn>n-R≤ Pmax0≤i<nZ（i）n+max0≤i<nS（i）n>n-R≤ Pmax0≤i<nZ（i）n>n-R+ Pmax0≤i<nS（i）n>n-R.现在，max0≤i<nZ（i）n>0要求在9节中的一节中至少有两次跳跃。在一个特定的时间间隔内进行两次跳跃的可能性为1-经验-λεn1+λεnλεn如果λε≤ n、 还有亨塞普max0≤i<nZ（i）n>n-Rλεn.我们对剩余项使用马尔可夫不等式。

根据命题7。2，Ehmax0≤我S（i）n圆周率εp-δ和soPmax0≤i<nS（i）n>n-R Emax0≤我S（i）nP/N-RPεp-δnrp。结合这些元素，提供λε≤ n、 我们有{bmn<B}-1{m<B} N-r+εp-δnrp+λεn。将钻机右侧的前两项相等，得出ε=n-r（1+p）/（p-δ).如果α=0，则λε 对数ε logn，所以λε=O（n）是满足的。我们还有λεn（logn）n，因此对于任何r<1，我们有e{bmn<B}-1{m<B} N-r、 如果0<α<2，则λεε-αnrα（1+p）/（p-δ） ，因此λεnN-1+2rα（1+p）/（p-δ).平衡-兰德n-1+2rα（1+p）/（p-δ） ，给出λε=O（n）和r=1+2α1+pp-δ-1.（7.17）自r→1+2αasδ→0和p→∞, 对于r<1+2α的任何固定值，有可能选择适当的p和δ值来满足（7.17），从而得出{bmn<B}-1{m<B} N-r、 32迈克尔·B·贾尔斯，袁霞承认这项工作得到了中国奖学金委员会和牛津曼定量金融研究所的支持。我们要感谢本·哈姆布莱、安德烈亚斯·基普里亚努、洛伊克·乔蒙特、雅切克·马莱基和何塞·布兰切特的有益评论。参考文献1。Asmussen，S.，Glynn，P.，Pitman，J.：一维反射布朗运动模拟中的离散化误差。《应用概率年鉴》5（4），875–896（1995）2。Avikainen，R.：SDE泛函近似的收敛速度。金融与随机13（3），381-401（2009）3。J.布兰切特：《个人沟通》（2015）4。Carr，P.，Wu，L.：有限矩对数稳定过程与期权定价。《金融期刊》58（2），753–778（2003）5。钱伯斯，J.M.，Mallows，C.L.，Stuck，B.：一种模拟稳定随机变量的方法。美国统计协会杂志71（354），340–344（1976）6。乔蒙特，L.：关于列维过程的上确界定律。《概率史记》41（3A），1191-1217。(2013)7. Chaumont，L.，Malecki，J.：L’evy过程上确界密度的渐近行为。

亨利·彭加勒学院年鉴52（3），1178–1195（2016）8。Chen，A.：L’evy过程上确界的抽样误差。伊利诺伊大学香槟分校博士论文（2011年）。统一资源定位地址https://www.ideals.illinois.edu/handle/2142/263219.陈A，冯L，宋R：关于正态跳跃扩散过程上确界的监测误差。应用概率杂志48（4），1021-1034（2011）10。Cont，R.，Tankov，P.：带有跳跃过程的金融建模。查普曼和霍尔/CRC，伦敦（2004）11。Dereich，S.：采用高斯校正的L’evy驱动SDE的多级蒙特卡罗算法。《应用概率年鉴》21（1），283–311（2011）12。Dereich，S.，Heidenreich，F.：一种用于L’evy驱动的随机微分方程的多级蒙特卡罗算法。随机过程及其应用121（7），1565–1587（2011）13。Dia，E.，Lamberton，D.：在指数L’evy模型中连接离散和连续回望或后见之明选项。应用概率的进展43（4），1136–1165（2011）14。费雷罗·卡斯蒂利亚，A.，基普里亚努，A.E.，右舍伊克尔，苏里亚纳拉亚纳，G.：基于维纳-霍普夫因式分解的L’evy过程的多级蒙特卡罗模拟。随机过程及其应用124（2），985–1010（2014）15。Figueroa-L\'opez，J.，Tankov，P.：停止的L\'evy桥的小时间渐近性和具有受控偏差的模拟模式。伯努利，20（3），1126–1164（2014）16。Giles，M.：使用Milstein方案改进了多级蒙特卡罗收敛。摘自：A.Keller，S.Heinrich，H.Niederreiter（编辑）蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法2006，第343-358页。施普林格·维拉格，柏林，海德堡，纽约（2007）17。Giles，M.：多级蒙特卡罗路径模拟。运筹学56（3），607–617（2008）18。Giles，M.B.：多级蒙特卡罗方法。2012年：蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法。Springer Verlag（2012）19。

Giles，M.B.：多级蒙特卡罗方法。《数字学报》24259–328（2015）20。库兹涅佐夫，A.，基普里亚努，A.，帕尔多，J.，范沙伊克，K.：列维过程的维纳-霍普夫蒙特卡罗模拟技术。《应用概率年鉴》21（6），2171–2190（2011）21。库兹涅佐夫，A.：关于稳定过程的极值。《概率年鉴》39（3），1027–1060（2011）22。Kwasnicki，M.，Malecki，J.，Ryznar，M.：列维过程的最高权威。《概率年鉴》41（3B），2047-2065（2013）23。Kyprianou，A.：关于L’evy过程及其应用的介绍性讲座。柏林，海德堡，纽约（2006）24。Protter，P.：随机积分和微分方程。Springer Verlag，柏林海德堡纽约（2004）25。肖滕斯，W.：L’evy金融过程：金融衍生品定价。新泽西州威利·布莱克威尔（2003）26。Spitzer，F.：一个组合引理及其在概率论中的应用。跨。艾默尔。数学Soc82（2），323–339（1956）