指数L\'{e}vy模型的多层蒙特卡罗

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英文标题：
《Multilevel Monte Carlo For Exponential L\\\'{e}vy Models》
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作者：
Mike Giles, Yuan Xia
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We apply multilevel Monte Carlo for option pricing problems using exponential L\\\'{e}vy models with a uniform timestep discretisation to monitor the running maximum required for lookback and barrier options. The numerical results demonstrate the computational efficiency of this approach. We derive estimates of the convergence rate for the error introduced by the discrete monitoring of the running supremum of a broad class of L\\\'{e}vy processes. We use these to obtain upper bounds on the multilevel Monte Carlo variance convergence rate for the Variance Gamma, NIG and $\\alpha$-stable processes used in the numerical experiments. We also show numerical results and analysis of a trapezoidal approximation for Asian options.
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中文摘要：
我们使用具有统一时间步长离散化的指数L\\{e}vy模型来监控回望期权和障碍期权所需的运行最大值，将多级蒙特卡罗应用于期权定价问题。数值结果表明了该方法的计算效率。我们推导了一类广泛的L\\\'{e}vy过程的运行上确界的离散监控引入的误差的收敛速度估计。我们利用这些来获得数值实验中使用的方差Gamma、NIG和$\\alpha$稳定过程的多级蒙特卡罗方差收敛速度的上界。我们还展示了亚式期权梯形近似的数值结果和分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Multilevel_Monte_Carlo_For_Exponential_Lévy_Models.pdf (320.05 KB)

2022-5-6 01:08:29 上传

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关键词：蒙特卡罗 蒙特卡 Applications Quantitative Monte Carlo

对于指数定价，我们将采用Monte'Monte'DateCarlo'Evxialem方法。对于指数定价，我们将采用Monte'DateCarlo方法。对于回望和障碍选项，我们推导了一类广泛的L′evyprocess的运行上确界的离散监控引入的误差收敛速度的估计。然后，我们利用这些来获得方差Gamma、NIG和α稳定过程的多级蒙特卡罗收敛速度的上界。我们还提供了亚洲选项梯形应用程序的分析。数值实验证明了该方法的有效性。多级蒙特卡罗指数L\'evy模型亚洲期权lookbac k期权障碍期权数学科目分类（2010）65C05 91G60JEL分类C15 C631简介指数L\'evy模型基于资产收益遵循aL\'evy过程的假设[25,10]。资产价格followst=Sexp（Xt）（1.1），其中X是（m，σ，ν）-L\'evy过程Xt=mt+σBt+ZtZ{|≥1} zj（dz，ds）+ZtZ{z |<1}z（J（dz，ds）-ν（dz）ds）Mike GilesMathematical Institute and Oxford Man Institute of Quantitative Finance，Oxford University邮件：Mike。giles@maths.ox.ac.ukYuan牛津大学夏曼数学研究所和牛津曼定量金融研究所。夏。cn@gmail.com2Michael B.Giles，Yuan Xiam，其中m是常数，Bt是布朗运动，J是跳跃测度，ν是theL’evy测度（c.f。

[24]中的定理42。带跳跃的模型直观地解释了指数期权市场和外汇市场的隐含波动率偏差和微笑（见[10]第11章）。跳转恐惧主要集中在股票市场的下行，这会为低行使期权带来溢价；跳跃风险在外汇市场中是对称的，因此隐含波动率具有微笑形状。[10]中的第7章表明，建立在纯跳跃过程上的模型可以重现资产回报的实际情况，比如重尾和增量的不对称分布。由于没有扩散成分的纯跳跃过程有限活动无法生成真实路径，因此允许跳跃活动处于有限状态是很自然的。在这项工作中，我们讨论了不确定性纯跳跃指数L’evy模型，特别是由方差伽马（VG）、正态逆高斯（NIG）和α稳定过程驱动的模型，并允许直接模拟增量。我们有兴趣在期权定价问题S中估计预期的现值E[f（S）]。在欧式期权的情况下，可以直接采样und Erling L’evy过程的最终值，但在亚洲、回望和障碍期权的情况下，期权值取决于L’evy过程的函数，因此有必要对其进行近似。对于带有回溯选项的VG模型，[13]中的c收敛结果表明，使用标准蒙特卡罗方法和均匀时间步长离散化来实现O（ε）均方根（RMS）误差需要O（ε）-2） 路径，每个路径都带有O（ε-1） 时间步长，导致O（ε）的计算复杂性-3).在简单布朗扩散的情况下，Giles[16,17]引入了一种多层蒙特卡罗（MLMC）方法，降低了O（ε）的计算复杂性-3） to O（ε）-2） 为了各种各样的回报。

本文的目的是研究指数L’evy过程是否能获得类似的效益。许多研究人员已经研究了L’evy过程最大运行的模拟方法。参考文献[15]发展了一种适用于有控制偏差的非致死L’evy过程函数的自适应蒙特卡罗方法。给出了出口概率的小时间渐近展开式，并给出了可计算的误差边界。对于在载体接近过程起点时评估退出概率，该算法明显优于均匀离散。参考文献[20]开发了一种新的维纳-霍普夫蒙特卡罗方法来生成XT，sup0≤T≤TXt在[14]中进一步扩展到MLMC，得到了计算复杂度为O的均方根误差εε-3.对于具有有界变差和O的L'evy过程ε-4.对于变化有限的过程。该方法不能直接应用于VG、NIG和α-稳定的过程。参考文献[12,11]对MLMC进行了调整，使其适用于具有p分期付款的列夫驱动的SDE，即Lipsch-itz w.r.t.上确界范数。如果L’evy过程不包含布朗过程，参考文献[11]得到Oε-(6β)/(4-β)上界在最坏情况下的计算复杂度，这里β是BG指数，稍后将确定。与那些先进的技术相比，我们采用基于L’evy过程的非形时间步长离散化的离散监控最大值作为近似值。工作大纲如下。首先，我们回顾了指数L’evy模型的多级蒙特卡罗方法，并介绍了我们将在数值实验中考虑的三个L’evy过程。

为了对loo-kback和Barrier的多级方差进行分析，我们发现了一大类L’evy过程的离散监测运行最大值的收敛速度，这些过程的L’evy测度对于小跳跃具有幂律行为，并且具有指数尾。在此基础上，我们通过限定多水平估计量的方差得出结论。然后用三种不同的指数L’e vy模型给出了应用于亚式期权、回望期权和障碍期权的多层蒙特卡罗数值结果。2.基于时间间隔[0，T]上的指数L’evy模型的路径相关支付P的多层蒙特卡罗（MLMC）方法，letbPl用M表示其近似值l尺寸为h的单位时间步长l= M-lT在水平面上l; 在后面报告的数值结果中，我们使用M=2。由于期望算子的线性，我们有以下等式：E[bPL]=E[bP]+L∑l=1E[bPl-英国石油公司l-1]. （2.1）Letby表示使用NPATH的E[bP]的标准蒙特卡罗估计，以及l > 0，我们使用Nl估计E[bP]的独立路径l-英国石油公司l-1] usingbYl= N-1.lNl∑i=1bP（一）l-bP（一）l-1.. （2.2）对于为BP（i）生成的给定路径l, 我们可以计算EBP（i）l-1在lyingL\'evy路径下使用相同的方法。多层次方法利用了以下事实：l:= V[bPl-英国石油公司l-1] 减少l, 还有一个dapnl最大限度地降低计算成本，以达到预期的均方根误差。[18,19]中的以下定理总结了这一点：定理2.1让P表示St和letbP的函数l用均匀时间步长h的离散表示相应的近似l= M-lT

如果存在依赖性估计l基于NlMonte Carlo样本，每个样本都具有复杂性l, 和正常数α，β，c，c，csuch th atα≥β（andi）1E[bPl-P]≤ chαlii）E[由l] =（E[bP]，l = 0E[bPl-英国石油公司l-1], l > 0iii）V[bY]l] ≤ cN-1.lhβliv）Cl≤ cNlH-1.l,然后存在一个正常数csuch，对于任何ε<e-这里是土地的价值观l其中，多级估计器BY=L∑l=0bYl,4.迈克尔·B·贾尔斯，袁霞与boundMSE之间有一个中等偏误≡呃-E[P]）i<ε的计算复杂度C有界C≤cε-2，β>1，cε-2（对数ε），β=1，cε-2.-(1-β)/α, 0 <β< 1.在后续的数值结果和分析中，我们将重点讨论多级方差收敛速度β，因为它对确定计算复杂性至关重要。3 L’evy模型要呈现的数值结果使用以下三种模型。3.1方差伽马（VG）参数集（σ，θ，κ）的VG过程是具有特征函数E[exp（iuXt）]=（1）的L’evy过程X-iuθκ+σuκ）-t/κ。VGprocess的L′evy度量是（[？]ab le4.5 in ct04）ν（x）=κ| x | eA-B | x |，其中A=θσ，B=pθ+2σ/κσ。VG过程的一个优点是，其附加参数使其能够满足股票收益的偏度和峰度（见[10]第7.3节）。另一个是它很容易被模拟，因为我们有一个从属函数表示Xt=θGt+σBGtin，其中B是一个布朗过程，而从属函数G是一个带参数（1/κ，1/κ）的伽马过程。为了便于共同计算，我们遵循[25]第6.2.2节中的平均值修正定价措施，无风险利率r=0.05。让我们看看(-rt）应该是鞅。

这导致漂移m=r+κ-1log（1+θκ）-σκ).将参数r表示转换为我们使用的定义后，[25]表6.3中的校准给出σ=0.1213，θ=-0.1436,κ= 0.1686.指数L'evy模型的多层蒙特卡罗53.2正态逆高斯（NIG）具有par a米集（σ，θ，κ）的N-IG过程是具有特征函数E[exp（iuXt）]=exp的L'evy过程Xtκ-tκ√1.-2iuθκ+κσuL′evy测度ν（x）=Cκ| x | eAxK（B | x |），其中A=θσ，B=pθ+σ/κσ，C=pθ+2σ/κπσ√κ.Kn（x）是第二类修正贝塞尔函数（见[10]第4.4.3节）。澳大利亚证券交易所→ 0，K（x）~x+O（1），而作为x→ ∞, K（x）~ E-xqπ2 | x|1+O|x|.在模拟方面，NIG过程可以表示为Xt=θIt+σBIt，其中subord inator是一个带参数的逆Ga-ussian过程（κ，1）。[10]中的算法6.9可用于生成逆高斯样本。使用平均值修正定价方法得出tom=r-κ-1+πCBκ-1qB-（A+1）。根据[25]中的校准，我们使用参数σ=0.1836，θ=-0.1313，κ=1.2819，再次使用无风险利率r=0.05.3.3谱负α稳定过程标量谱负α稳定过程h作为形式的L'evy度量；参见[23]中的第1.2.6节：ν（x）=B|x |α+1{x<0}表示0<α<2和一些非负B。我们按照参考文献讨论特征函数e[exp（iuXt）]=exp的α稳定过程的另一个参数化-tBα| u |α1+isgn（u）tanπα, 如果α6=1，E[exp（iuXt）]=exp-tB | u|1+iπsgn（u）log |u|, 如果α=1，（3.1），其中sgn（u）=| u |/u，如果u6=0，sgn（0）=0。谱负过程没有正跳，它有一个有限的指数矩E[exp（uXt）][4]。对于这种情况，平均校正漂移ism=r+Bαsecαπ。α-稳定过程的样本路径可以用[5]中的算法生成。在[4]之后，我们使用参数α=1.5597和B=0.1486.6。

贾尔斯，袁霞4关键数值分析结果多级校正的方差，Vl= V[bPl-英国石油公司l-1] 取决于连续监测和离散监测的Xt上限之间的差异，定义为单位时间间隔asDn=sup0≤T≤1Xt- maxi=0,1，。。。，nXi/n.为了推导回望型支付的弱收敛阶，我们考虑了文献中广泛研究的e[Dn]。例如，[13]、[8]和[9]利用Spitzer恒等式[26]导出了跳跃扩散、VG、NIG p过程的渐近展开式，以及一般L’evy过程的估计。Chen[8]的一个关键结果如下：定理4.1假设X是一个具有三重（m，σ，ν）的标量L’evy过程，具有有限的一阶矩，即Z{X |>1}X |ν（dx）<∞.那么Dn=sup0≤T≤1Xt- maxi=0,1，。。。，nXi/nsatis Fies1。如果σ>0E[Dn]=O（1/√n） )；2.如果σ=0且X是有限变量，即R{X|<1}X|ν（dx）<∞E[Dn]=O（对数n/n）；3.如果σ=0且X为有限变量，则th enE[Dn]=o（n-1/β+δ），其中β=infα> 0:Z{x |<1}x |αν（dx）<∞是X的Blumenthal-Getoor指数，δ>0是一个非常小的严格正常数。VG过程的最终变化为Blum-enthal-Getoor指数为0；黑化过程与Blumenthal Getoor指数1之间存在一定的差异。它们对应于定理4的第二和第三种情况。分别为1。对于多水平方差分析，我们需要更高的Dn矩。在纯布朗的情况下，Asmussen等人（[1]）得到了Dn的渐近分布，进而给出了E[Dn]的交感行为。[13] 将结果扩展到具有非零扩散的有限活动跳跃过程。然而，在本文中，我们关注的是有限的活动跳跃过程。因此，我们的主要新结果是关于纯跳跃L’evy过程的DNP收敛速度。

这将在后面用于计算多层蒙特卡罗校正项V的方差l用于回望和障碍选项。指数L’evy模型的多层蒙特卡罗7定理4.2设X为纯跳跃L’evy过程，并假设其L’evy测度ν（X）满足| X|-1.-α≤ν（x）≤C | x|-1.-α、 对于| x |≤ 1.ν（x）≤ 经验(-C | x |），对于|x |>1，（4.1），其中C，C，C>0，0≤α<2是常数。然后是p≥ 1Dn=sup0≤T≤1Xt- maxi=0,1，。。。，nXi/nsatis文件[Dpn]=O（1/n），p>2α；O（logn/n）pα, P≤ 2α.此外，如果x在光谱上是负的，即对于x>0，ν（x）=0，则ne[Dpn]=（O（n-p） ，0≤α< 1;ON-p/α+δ, 1.≤α< 2;对于任何δ>0的情况。我们将在后面的第7节中给出这个结果的证明。6.注意，对于p=1，定理4.2中的一般界限比Chen对α<的结果稍微尖锐，对于α=，它是相同的，并且没有Chen对<α<2的结果那么紧；对于α<1，谱负界比Chen的结果稍微尖锐，对于1，谱负界是相同的≤α<2.5 MLMC分析5。1亚洲期权我们考虑对Lipschitz算术亚洲回报P=P（S）的分析，其中S=ST-1ZTexp（Xt）dt。P是Lipschitz，因此| P（S）-P（S）|≤ LK | S-S |。我们使用梯形近似来近似积分：bS:=ST-1n-1.∑j=0h经验Xjh+经验X（j+1）h, （5.1）而近似的回报是thenbP=P（bS）。8迈克尔·B·贾尔斯，袁晓霞，5。1设X是指数L’evy模型下的标量L’evy过程。IfB，S如上文所定义，andR{z |>1}e2zν（dz）<∞, thenEh（bS）-S） i=O（h）。证据将在第7节稍后给出。1.

利用Lipschitz性质，数值逼近的弱收敛性f由下式给出：E[bPl-P]≤ LKEh | bSl-S|i≤ 斯里兰卡E[（bS）-S） ]1/2，而M LMC方差的收敛遵循Vl≤ 呃（英国石油公司l-英国石油公司l-1） 我≤ 2 Eh（英国石油公司l-P） i+2 Eh（血压l-1.-P） 我≤ 2LKEh（英国学士）l-S） i+2LKEh（bS）l-1.-S） i.5.2回望期权在指数L’evy模型中，矩母函数E经验q sup0≤T≤TXt对于较大的q值可以是有限的。为了避免由此产生的问题，我们考虑了一个有界的ed payoffP=exp的alookbac k看跌期权(-rT）（K-Sexp（m））+，（5.2），其中m=sup0≤T≤TXt。注意P是m的Lipschitz函数，因为我们有| P′（x）|≤ K.在不丧失一般性的情况下，我们假设T=1。由于Lipschitz的特性，我们E[P]-英国石油公司l]≤kE[Dn]式中n=Ml=H-1.l. 因此，我们得到了Theora过程所覆盖的收敛性。1，利用定理给出的收敛率。为了分析方差，Vl= V[bPl-英国石油公司l-1] 首先，我们注意到：；0≤ max0≤我≤MlXi/Ml- max0≤我≤Ml-1Xi/Ml-1.≤ sup0≤T≤1Xt- max0≤我≤Ml-1Xi/Ml-1=dn，其中n=Ml-1.因此，我们有l≤ 呃（英国石油公司l-英国石油公司l-1） 我≤ 柯[Dn]。理论4。2然后提供以下关于VG、Nig和光谱负α-稳定过程方差的边界。提议5。2设X是指数L’evy模型下的标量L’evy过程。对于Lipschitz回望看跌期权支付（5.2），我们得到了以下多水平方差收敛速度结果：1。如果X是方差伽马（VG）过程，那么n Vl= O（h）l);2.如果X是正态逆高斯过程，那么Vl= O（h）l|原木l|);3.