关于分位数公式的注记

这相当于а′（·）先严格增加，然后严格减少，即а（·）是一个严格的S形函数。4.一种新的松弛方法本文的第二个主要思想是介绍一种简单的松弛方法来解决问题（5）。问题（5）的目标相对于决策分位数是凹的，因此我们可以应用拉格朗日乘子法。问题（5）相当于问题supq（·）∈GJ（Q（·））=Zu（Q（x））- λQ（x）~n′（x）dx，（7）对于某些拉格朗日乘子λ>0，在这个意义上，它们承认相同的最优解。解决上述问题（7）的一种简单方法是逐点最大化其拉格朗日（7）中的被积函数），以获得逐点解q（x）：=arg maxny:u（y）- λy~n′（x）o=（u′）-1（λν′（x）），x∈ (0, 1).然而，这个逐点解可能不是G中的分位数函数。事实上，Q（·）是一个半分位数函数，当且仅当它增加时，这相当于φ（·）是凹的。这正是金周（2008）为解决这个问题而提出的假设。本文的新思想是用问题（7）的拉格朗日函数δ（·）代替φ（·），从而：（i）新的代价函数给出了问题（7）的上界；（ii）新问题可以通过逐点最大化新拉格朗日来解决；（iii）在逐点解中，新旧成本函数之间没有差距。这种方法允许我们完全解决问题，而无需对函数φ（·）进行任何假设。我们首先需要找到一个宽松的成本函数。为此，让δ（·）是一个绝对连续的函数，如zu（Q（x））- λQ（x）~n′（x）dx 6Zu（Q（x））- λQ（x）δ′（x）dx，（8）每Q（·）∈ G

设置δ（0）=~n（0）和δ（1）=~n（1），并应用富比尼定理，其内质（8）等价于zx（~n）- δ（x）dQ（x）60，（9）每Q（·）∈ G、 这显然相当于δ（·）在[0,1]上占主导地位。在这种情况下，我们有（10）Zu（Q（x））- λQ（x）~n′（x）dx 6Zu（Q（x））- λQ（x）δ′（x）dxZu（Q（x））- λQ（x）δ′（x）dx，其中最后一个不等式是通过逐点最大化新拉格朗日：Q（x）：=arg maxny:u（y）得到的- λyδ′（x）o=（u′）-1（λδ′（x）），x∈ [0, 1].（11） 为了使q（·）成为分位数函数，我们要求δ（·）是凹的。为了使Q（·）成为问题（7）的最佳解决方案，在（10）之前，haveZ是有效的u（Q（x））- λQ（x）~n′（x）dx=Zu（Q（x））- λQ（x）δ′（x）dx，（12）或等效的Z（u′）-1（λδ′（x））~n′（x）- δ′（x）dx=0。应用富比尼定理，并使用δ（0）=~n（0）和δ（1）=~n（1），上述恒等式等价于（13）Z（u′）-1（λδ′（x））~n′（x）- δ′（x）dx=Zδ（x）- ~n（x）D（u′）-1（λδ′（x））= λZδ（x）- ~n（x）u′\'（u′）-1（λδ′（x））dδ′（x）=0。由于δ（·）在[0,1]上占主导地位，u′（·）<0，并且δ（·）是凹的，根据最后一个恒等式，δ′（·）在{x的任何子区间上必须是常数∈ [0,1]：δ（x）>~n（x）}。把迄今为止获得的关于δ（·）的所有要求放在一起，我们看到δ（·）应该（i）支配[0,1]上的φ（·），δ（0）=φ（0）和δ（1）=φ（1）；（ii）在[0,1]上是凹的；以及（iii）成为{x]上的一员∈ [0,1]：δ（x）>~n（x）}。因此，我们得出结论，δ（·）必须是[0,1]：δ（x）=sup06a6x6b61（b）上的φ（·）的凹包络- x） ν（a）+（x）- a） ~n（b）b- a、 x∈ [0, 1].（14） 另一方面，如果δ（·）是[0,1]上的φ（·）的凹包络，则（9）和（13）成立。

这进一步表明，通过（10）和（12），在（11）中定义的Q（·）是问题（7）的最佳解决方案。把迄今为止得到的所有结果放在一起，注意到u（·）是严格凹的，我们得出结论，定理1问题（7）有唯一的最优解（u′）-1（λδ′（x）），x∈ （0,1），其中（14）中定义的δ（·）是[0,1]上的φ（·）的凹面包络。问题（5）当且仅当ifZ（u′）时才允许最优解-1（λδ′（x））ν′（x）dx=x表示解λ>0，在这种情况下（u′）-1（λδ′（x）），x∈ （0，1），是问题（5）的唯一最优解。证据上述论点表明（u′）-1（λδ′（x）），x∈ （0，1）是问题（7）的最优解。由于u（·）是严格凹的，最优解是唯一的。支持问题（5）允许一个最优解。那么，当someλ>0时，该解必须是问题（7）的最优解，其形式必须为（u′）-1（λδ′（x）），x∈ (0, 1).这应该是问题（5）的可行解决方案，即soZ（u′）-1（λδ′（x））~n′（x）dx=x。另一方面，假设z（u′）-1（λδ′（x））ν′（x）dx=x对于某些λ>0的情况为真。请注意，所有Q（·）的zq（x）~n′（x）dx=xf∈ Q、 sosupQ（·）∈QZu（Q（x））dx=supQ（·）∈QZu（Q（x））- λQ（x）~n′（x）dx+λx6 supQ（·）∈广州u（Q（x））- λQ（x）~n′（x）dx+λx，其中最后一个不等式是由Q引起的 G.右边的优化问题只不过是问题（7），所以唯一的解是（u′）-1（λδ′（x）），x∈ (0, 1).该解属于qasr（u′）-1（λδ′（x））ν′（x）dx=x，因此它是左侧问题的可行解，因此，它是问题（5）的最优解。由于u（·）是严格凹的，问题（5）的最优解是唯一的。证据是完整的。根据定理1，问题（2）的最优解由g给出*（x） =（u′）-1(λδ′(ν-1（x））=（u′）-1(λδ′(1 - w（1）- x） ）），x∈ （0,1），与《夏周》（2012）第14页上的最后一个身份相同。

也就是说，我们的方法产生的结果与夏和周（2012）的结果相同。很明显，我们的变量变化和松弛方法比夏和周（2012）中的变量演算方法更简单、更简洁，后者广泛采用凸分析。如果假设φ（·）具有特殊形状，例如He和Zhou（2011）中的反向S形函数，He和Zhou（2012）中的S形函数，那么我们可以得到δ（·）的表达式，从而得到G*（·）减少到这些工作中获得的结果。问题（1）的可行性、适定性、可达性和唯一性问题非常重要且难以回答。为了避免这些问题，文献中使用了各种假设来确保解的存在性和唯一性（例如，见Jin and Zhou（2008）、Jin、Zhang and Zhou（2011）、He and Zhou（2011、2012））。在下一节中，我们将利用定理1，将问题（1）与EUT下的经典Merton投资组合问题联系起来，其可行性、适定性、可达性和唯一性问题是s tudiedin Jin、Xu和Zhou（2008）。这种联系还发展了一种解决问题（1）的新方法，它避免了处理分位数公式问题（2）。5 RDUT和EUT模型之间的联系根据定理1，分位数函数显然是问题（5）的最优解，当且仅当它是问题的最优解supq（·）∈eQZu（Q（x））dx，（15）式中：=Q（·）∈ G:ZQ（x）δ′（x）dx=x.由于δ′（·）在减小，函数f-1eρ（x）：=δ′（1）- x） ，x∈ （0，1）属于G，可以看作是某个正随机变量eρ的分位数函数。

可以选择eρ与ρ共单调，这是自此假设的。然后=Q（·）∈ G:ZQ（x）δ′（x）dx=x=Q（·）∈ G:ZQ（x）F-1eρ（1）- x） dx=x.现在，我们看到问题（15）可以被视为问题（2）的一个特例，其中概率加权函数w（·）被单位函数替换，pricingkernelρ被eρ替换。我们在这里指出，新的定价核eρ可能是原子的，这不满足假设1。实际上，eρ是无原子的当且仅当其分位数函数F-1eρ（·）严格地在增加。这是δ（·）的等价物，δ（·）严格凹为F-1eρ（·）=δ′（1）- ·), 并且也相当于作为严格凹形的φ（·），因为δ（·）是φ（·）的凹包络。回顾问题（1）和问题（2）之间的关系，将问题（15）与投资组合选择问题联系起来是很自然的∞u（x）dFX（x），受制于E[Eρx]=x，x>0。请注意∞u（x）dFX（x）=E[u（x）]，对于任何x>0，上述问题与问题supxe[u（x）]，（16）服从E[Eρx]=x，x>0。这是EUT下的经典Merton投资组合选择问题。在ρ为无原子的假设下，我们将问题（2）与问题（1）联系起来。然而，我们不能像以前那样直接将问题（15）与问题（16）联系起来，因为问题（16）中的新定价核eρ可能不是无原子的。Xu（2014）的以下结果将问题（15）与问题（16）联系起来，其中不需要对eρ进行假设。两个随机变量X和Y称为协单调if（X（ω′）- X（ω））（Y（ω′）- 在P下Y（ω））>0 实际上，eρ=δ′（1- Fρ（ρ））在当前设置中。

Xu（2014）证明了即使ρ不是无原子的，也可以选择eρ与ρ共单调。定理2 IfeX*是问题（16）的最优解，则其分位数函数是问题（15）的非最优解。另一方面，ifeQ*（·）是问题（15）的最优解，然后*:=情商*(1 - U）是问题（16）的最优解，其中U是均匀分布在单位区间（0，1）上的任意随机变量，且与eρ为协单调。根据这个结果，我们可以将问题（16）与问题（1）联系起来。定理3*成为问题（16）的最佳解决方案*（·）是它的分位数函数。然后*:=情商*(1 - w（Fρ（ρ））是问题（1）的最优解。另一方面，如果X*是问题（1）的最优解，则存在唯一分位数函数EQ*（·）如此*=情商*(1 - w（Fρ（ρ）））。此外，情商*(1 - U） 是问题（16）的最优解，其中U是单位区间（0，1）上均匀分布的任意随机变量，且具有eρ。证据供应thateX*是问题（16）的最佳解决方案*（·）是它的量子化函数。根据定理2，等式*（·）是问题（15）和问题（5）的最优解。因此，G*（x） ：=eQ*(ν-1（x）），x∈ （0，1）是问题（2）的最优解。因此，通过（3），X*= G*(1 - Fρ（ρ））=eQ*(ν-1(1 - Fρ（ρ））=eQ*(1 - w（Fρ（ρ））是问题（1）的最优解。另一方面，如果X*是问题（1）的最优解。然后乘以（3），X*= G*(1 - Fρ（ρ）），其中G*（·）是问题（2）的最优解。因此，eQ*（x） ：=G*（ν（x）），x∈ （0，1）是问题（5）和问题（15）的最优解。根据定理2，等式*(1 - U）是问题（16）的非最佳解决方案。证据是完整的。上述结果表明，在RDUT下求解投资组合选择问题（1）相当于在EUT下求解问题（16），这比前者容易得多。

此外，后者不需要解决分位数优化问题。这为我们提供了一种解决投资组合选择问题的新方法（1）。在文献中，假设了各种条件，以避免研究问题（1）的可行性、适定性、可达到性或唯一性问题（参见，例如，金和周（2008）、金、张和周（2011）、何和周（2011、2012））。根据上述结果，问题（1）的问题减少到问题（16）的问题。然而，问题（16）的这些问题在金、徐和周（2008）中得到了解决，问题（1）也是如此。同样，问题（2）、（5）和（15）的这些问题也得到了解决。注3问题（16）的最优解可直接用拉格朗日乘子法求得。因此，其分位数函数可以在不求解问题（15）的情况下获得。在没有量化技术的情况下，我们从来没有用这种方法来解决问题。另一方面，这个结果也告诉我们，函数优化问题（2）可以通过求解概率优化问题（16）来解决。这是一个重要且具有挑战性的问题，我们能否将这一思想应用到其他函数优化问题中。注4新的定价核eρ不依赖于效用函数u（·）。备注5问题（1）是时间不一致的，而问题（16）是时间一致的。随着时间的推移，研究他们之间的关系会很有趣。6.结论性意见在本文中，我们考虑了RDUT下的一个投资组合选择问题。我们提出了一种短、简洁、易于理解的方法来解决这个问题。该方法包括两个关键思想。首先是改变变量，以揭示分位数公式问题中需要考虑的关键函数。

第二种方法是放松拉格朗日，以找到一个可实现的上限。我们的方法也可用于处理CPT/RDUT下的投资组合选择和最优停止问题，以及许多其他具有法律不变偏好测度的模型。本文的第二个贡献是，在RDUT下解一个投资组合问题等价于在EUT下解一个经典的Merton投资组合问题。后者避免了分位数优化问题的研究，可以用经典的动态规划和概率方法求解。Xu（2014）获得的定理2在连接这两个问题上起到了关键作用，因为新的定价核不能被假定为一般无原子。本文的第三个贡献是解决了RDUT下投资组合选择问题的可行性、充分性、可达性和唯一性问题。最后但并非最不重要的是，我们证明了求解函数优化问题可以简化为求解概率优化问题。这个想法可能适用于其他功能优化问题。致谢。作者感谢编辑和匿名推荐人仔细阅读了手稿，并提出了有用的建议，这些建议使论文的版本得到了极大的改进。参考文献[1]考克斯、J.C.和黄春福（1989）：当资产价格遵循一个差异过程时的最优消费和投资组合策略，《经济学杂志》，第49卷，第33-83页[2]考克斯、J.C.和黄春福（1991）：金融经济学中发生的一个变分问题，《数理经济学杂志》，第20卷，第465-487页[3]何，X.D，和周小燕（2011）：通过分位数进行投资组合选择，数学金融，第21卷，第203-231页[4]何，X.D.，和周小燕（2012）：希望，恐惧和抱负，出现在数学金融[5]金，H.，Z.Q.徐和X.Y。

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