关于分位数公式的注记

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《A Note on the Quantile Formulation》
---
作者：
Zuo Quan Xu
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  Many investment models in discrete or continuous-time settings boil down to maximizing an objective of the quantile function of the decision variable. This quantile optimization problem is known as the quantile formulation of the original investment problem. Under certain monotonicity assumptions, several schemes to solve such quantile optimization problems have been proposed in the literature. In this paper, we propose a change-of-variable and relaxation method to solve the quantile optimization problems without using the calculus of variations or making any monotonicity assumptions. The method is demonstrated through a portfolio choice problem under rank-dependent utility theory (RDUT). We show that this problem is equivalent to a classical Merton\'s portfolio choice problem under expected utility theory with the same utility function but a different pricing kernel explicitly determined by the given pricing kernel and probability weighting function. With this result, the feasibility, well-posedness, attainability and uniqueness issues for the portfolio choice problem under RDUT are solved. It is also shown that solving functional optimization problems may reduce to solving probabilistic optimization problems. The method is applicable to general models with law-invariant preference measures including portfolio choice models under cumulative prospect theory (CPT) or RDUT, Yaari\'s dual model, Lopes\' SP/A model, and optimal stopping models under CPT or RDUT.
---
中文摘要：
许多离散或连续时间的投资模型归结为最大化决策变量分位数函数的目标。这个分位数优化问题被称为原始投资问题的分位数公式。在某些单调性假设下，文献中已经提出了几种解决此类分位数优化问题的方案。在本文中，我们提出了一种变量变化和松弛方法来解决分位数优化问题，而不使用变分法或任何单调性假设。该方法通过秩相关效用理论（RDUT）下的投资组合问题进行了验证。我们证明了该问题等价于期望效用理论下的经典Merton投资组合问题，其效用函数相同，但定价核不同，由给定的定价核和概率加权函数明确确定。利用这个结果，解决了RDUT下投资组合选择问题的可行性、适定性、可达性和唯一性问题。研究还表明，求解函数优化问题可以简化为求解概率优化问题。该方法适用于具有规律不变偏好测度的一般模型，包括累积前景理论（CPT）或RDUT下的投资组合选择模型、Yaari的对偶模型、Lopes的SP/A模型以及CPT或RDUT下的最优停止模型。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
PDF下载：
--> A_Note_on_the_Quantile_Formulation.pdf (223.55 KB)

2022-5-6 02:02:36 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：分位数 Optimization Quantitative Assumptions Formulation

关于左权序分位数公式的注记*香港理工大学2014年4月7日离散或连续时间环境中的任何投资模型归结为最大化决策变量分位数函数的目标。这个量化优化问题被称为原始投资问题的分位数公式。在某些单调性假设下，文献中提出了求解此类分位数优化问题的几种方案。在本文中，我们提出了一种新的变量变换和松弛方法来解决分位数优化问题，而不需要使用变量矩阵或任何单调性假设。该方法通过秩相关效用理论（RDUT）下的一个投资组合问题进行了验证。我们证明了该问题等价于期望效用理论下的经典Merton投资组合问题，该问题具有相同的效用函数，但不同的定价核由给定的定价核和概率加权函数明确确定。利用这个结果，重新解决了RDUT a下投资组合选择问题的可行性、适定性、可达性和唯一性问题。同样，解决函数优化问题可能会简化为解决概率优化问题。

该方法适用于具有规律不变偏好测度的一般模型，包括累积前景理论（CPT）或RDUT下的投资组合选择模型、Yaari的对偶模型、Lopes的SP/A模型以及CPT或RDUT下的最优停止模型。关键词：投资组合选择/选择、行为金融、定律不变量、量化公式、概率加权/分离函数、变量变化、松弛方法、变量演算、CPT、RDUT、时间一致性、原子、无原子/非原子、函数优化问题。*香港理工大学应用数学系，香港。电子邮件：maxu@polyu.edu.hk.作者感谢香港普通研究基金（编号529711）、香港早期职业计划（编号533112）和香港理工大学的财政支持。1引言经典预期效用理论（EUT）作为一种不确定性下的选择模型，未能解释许多悖论。在提出的备选模型中，卡尼曼和特沃斯基（1979、1992）的累积前景理论（CPT）为这些悖论提供了最好的解释之一。该理论由三部分组成：S形效用函数、参考点和概率加权/失真函数。最后两个在大学里不见了。鉴于这些理论发展，考虑涉及概率权重函数的投资问题是很自然的。然而，概率权重函数使这些问题在时间上不一致，因此不能仅使用循环动态规划或概率方法来研究这些问题。Jin和Zhou（2008）在连续时间环境下，用概率加权函数研究了CPT下的投资组合选择问题。他们通过假设与定价核和概率加权函数相关的函数的单调性来解决这个问题。

然而，这一假设的局限性非常大，它排除了大多数通常使用的概率权重函数，包括特沃斯基和卡尼曼（1992）在布莱克-斯科尔斯市场环境中提出的概率权重函数。Jin，Zhang和Zhou（2011）在相同的假设下，考虑了相同的投资组合选择问题。He and Zhou（2011）研究了具有法律不变偏好度量的一般模型，包括EUT下的经典默顿投资组合选择模型、均值-方差模型、目标教学模型、Yaari对偶模型、Lop-es的SP/A模型、CPT下的行为模型，以及明确将VaR和CVaR纳入其目标和/或约束的模型。他们的工作向前迈进了一步，将金周（2008）中的单调性假设简化为分段单调性假设。结果包括Tversky和Kahneman（1992）、Tversky和Fox（1995）以及Prelec（1998）提出的概率权重函数。Xu和Zhou（2013）发起了CPT下连续时间最优停止问题的研究，并在asHe和Zhou（2011）相同的分段单调性假设下解决了该问题。夏和周（2012）通过采用变分法实现了突破。他们在秩相关理论（RDUT）下提出并解决了一个没有单调性假设的投资组合选择问题。他们的方法也适用于具有规律不变偏好测度的一般模型。然而，他们使用变异计算的技术，并广泛采用凸分析，因此他们的论点冗长、技术性强，难以遵循。本文在不做任何单调性假设的情况下，提出了一种新的、易于跟踪的方法来研究RDUT下的投资组合问题。

一个完整而紧凑的论证取代了《夏周》（2012）中冗长的变异演算论证。如果函数左凸右凹，则称为S形函数；反转S形，左边是凹面，右边是凸面。主要思想如下。在将投资组合问题转化为其量化公式后，我们改变变量，从目标中去除概率权重函数，揭示问题的本质。在文献中，最优解通常是通过逐点最大化目标中的拉格朗日来获得的。然而，这样的解可能不是一个量子函数。我们的想法是替换部分拉格朗日来放松问题，这样新问题就可以通过逐点最大化新拉格朗日来解决，然后证明在这个逐点解中新旧拉格朗日之间没有差距。通过这种方法，我们证明了在RDUT下求解一个投资组合选择问题，可以简化为在EUT下求解一个效用函数相同但定价核不同的经典Merton投资组合选择问题，该问题由给定的定价核和概率加权函数决定。此外，分位数优化问题在后者中得以避免。与夏和周（2012）一样，该方法适用于具有法律不变偏好测度的一般模型。在文献中，没有关于RDUT下投资组合选择问题的可行性、适定性、可达性和唯一性问题的研究。我们通过将RDUT下的投资组合选择问题与EUT下的经典Merton投资组合选择问题联系起来研究这些问题，Jin、Xu和Zhou（2008）已经完全解决了这些问题。本文的其余部分组织如下。

在第2节中，我们在RDUT下建立了一个portfoliochoice问题，并定义了其分位数公式。在第三节中，我们介绍了一个关键步骤——改变变量——来制定一个等价的分位数优化问题，在这个问题中，概率权重函数从目标中移除。在第4节中，这个问题用一种新的松弛方法完全解决了。在第5节中，我们展示了如何将RDUT下的投资组合问题转化为EUT下的等效经典Merton投资组合问题。本节还研究了RDUT下投资组合选择问题的可行性、适定性、可达性和唯一性。我们在第6.2节中总结了利用鞅表示理论（参见Pliska（1986）、Karatzas、Lehoczky和Shreve（1987）、Cox和Huang（1989、1991））、动态投资组合选择问题（参见Jin、Xu和Zhou（2008）对可行性、适定性的定义）和，投资组合选择问题的可达性和唯一性问题，但在一个完整的市场环境中，归结为找到一个随机结果X到xz∞u（x）d1.- w（1）- 外汇（x））,（1） E[ρX]=X，X>0，其中FX（·）是X的概率分布函数；w（·）是概率加权函数，它是可微分的，在[0,1]上严格递增，w（0）=0，w（1）=1；u（·）是一个效用函数，它在R+上严格递增且二阶可微，u′（·）<0；ρ>0是定价核，也称为随机贴现因子或状态定价密度。

我们总是有E[ρ]<+∞.如果w（·）是恒等函数，即w（x）=x代表所有x∈ [0,1]，然后∞u（x）d1.- w（1）- 外汇（x））=Z∞u（x）dFX（x）=E[u（x）]，对于任何x>0，因此，问题（1）归结为EUT:supXE[u（x）]下的经典Merton投资组合选择问题，服从E[ρx]=x，x>0。为了解决问题（1），在文献中（如金和周（2008）、金、张和周（2011）、何和周（2011、2012）、夏和周（2012）），总是假设假设1定价核心是无原子的。在这个假设下，解决问题（1）然后简化为解决一个量化优化问题SUPG（·）∈GxZu（G（x））w′（1）- x） dx，（2）其中集合Gxis由gx给出：=G（·）∈ G:ZG（x）F-1ρ(1 - x） dx=x,例如，参见夏和周（2012）。如果随机变量的累积分布函数是连续的，则称其为无原子变量或非原子变量，否则称其为原子变量。实值随机变量的分位数函数Q（·）定义为其累积分布函数F（·）的右连续逆函数，即Q（x）=sup{t∈ R:F（t）6x}，对于所有x∈ （0,1），带会议辅助 = -∞. 实值随机变量是无原子的当且仅当其分位数函数是严格递增的。集合G表示所有分位数函数的集合：G：=G（·）：（0,1）7→ R+，递增，左极限右连续（RCLL）,和F-1ρ(·) ∈ G表示定价核ρ的分位数函数。假设1，ρ是无原子的，所以F-1ρ（·）严格地增加。问题（1）和问题（2）的联系如下。最优解X*对问题（1）和最优解G*（·）问题（2）满意度*= G*(1 - Fρ（ρ））。（3） 因此，问题（2）被称为问题（1）的分位数公式。在夏和周（2012）之前，问题（2）在文献中的某些单调假设下部分解决。

夏和周（2012）在不做单调性假设的情况下，使用了变分法来解决这一问题，但他们的论点既冗长又复杂。此外，他们没有研究问题（1）的可行性、适定性、可实现性或唯一性问题。在本文中，我们提出了一种简单的变量变换和松弛方法来解决问题（2），而不需要做任何假设。我们还通过将问题（1）与EUT下的古典梅顿投资组合问题联系起来，解决了问题（1）的可行性、适定性、可达性和唯一性问题。注1：在文献中，Gxis通常被Gx取代：=G（·）∈ G:ZG（x）F-1ρ(1 - x） dx 6 x.然而，考虑GxOrgXb的问题（2）之间没有区别，因为Gx中问题（2）的最优解（如果存在）必须属于Gx。注2：根据惯例，我们假设定价核是无原子的。然而，如果我们研究经济均衡模型时使用的是法律-变量偏好测度（参见，例如夏和周（2012）），那么先验核将是解决方案的一部分，因此我们不能对其进行任何先验假设。Xu（2014）解决了带有原子核的分位数公式问题。3变量的改变为了解决问题（2），我们在本文中的第一个主要想法是改变变量，以从目标中移除概率权重函数。设ν：[0,1]7→ [0,1]是x7的逆映射→ 1.- w（1）- x） ，即ν（x）：=1- W-1(1 - x） ，x∈ [0, 1].那么ν（·）也是一个概率加权函数，它是可微分的，并且严格递增[0,1]。

Ollf（Thatg）1- x） dx=Zu（G（x））d（1）- w（1）- x） ）=Zu（G（x））d（ν-1（x））=Zu（G（ν（x）））dx=Zu（Q（x））dx，其中Q（x）=G（ν（x）），x∈ (0, 1).注意Gx=G（·）∈ G:ZG（x）F-1ρ(1 - x） dx=x=G（·）∈ G:ZG（ν（x））F-1ρ(1 - ν（x））ν′（x）dx=x.因此，我们得出结论，G（·）∈ Gxif且仅当Q（·）∈ Q、 whereQ:=Q（·）：（0,1）7→ R+，增加，并用zq（x）~n′（x）dx=x表示RCLL=Q（·）∈ G:ZQ（x）~n′（x）dx=x,和（4）~n（x）：=-ZxF-1ρ(1 - ν（y））ν′（y）dy=-Zν（x）F-1ρ(1 - y） dy=-Z1-ν（x）F-1ρ（y）dy=-Zw-1(1-x） F-1ρ（y）dy，x∈ [0, 1].请注意，在[0,1]上，随|（0）=- E[ρ]和ψ（1）=0。通过改变变量，问题（2）现在已经转化为一个等价的问题：supQ（·）∈QZu（Q（x））dx，（5），其中概率加权函数不出现在目标中。从现在开始，我们关注这个问题。我们在这里指出，虽然问题（5）的目标不涉及概率加权函数，但约束集Q涉及。所以问题（5）不同于问题（2）的特殊场景，在这个场景中，w（·）被身份函数取代。我们将在第5节研究他们的关系。问题（2）公式的这种变化在数学上很简单，但揭示了问题的本质。在问题（5）中，起关键作用的不是定价核的概率加权函数和分位数函数，而是函数φ（·）；然而，在问题（2）中，定价核的概率加权函数和分位数函数在目标和约束中分别起作用。由于概率权重函数没有出现在问题（5）的目标中，我们可以用一种新的松弛方法来解决它。此外，这也表明问题（5）可能与EUT下的问题有关。

解决后将对此进行调查。在此，我们还指出，新的公式解释了为什么在许多现有模型中，函数ψ′（·）起着如此重要的作用，例如金和周（2008）、何和周（2011）以及夏和周（2012）提出的模型。在这些作品中，经过长时间的分析，我们得出了神秘的函数ν′（·），但从来没有解释为什么它会出现并发挥关键作用。在解决问题（2）时，一些研究假设φ（·）满足各种在实践中通常不真实的性质，在这些假设下，问题部分得到解决。下面是一些例子。例1在Jin and Zhou（2008）中，函数F-在假设4.1中，假设ρ（·）w′（·）在增加。这相当于φ′（·）是递减的，即φ（·）i是凹函数。事实上，我们有- w（1）- ν（x））=x，x∈ [0,1]，soν′（x）=w′（1）- ν（x）），x∈ [0, 1].然后，通过（4），а′（x）=F-1ρ(1 - ν（x））ν′（x）=F-1ρ(1 - ν（x））w′（1- ν（x）），x∈ [0, 1].（6） 当ν（·）增加时，等价性立即出现。例2：在He and Zhou（2011）中，函数w′（1）-·)F-1ρ(1-·)在假设3.5和以下许多结果中，假设首先严格增加，然后严格减少。由（6）可知，这相当于首先严格减小然后严格增大的魟′（·i），即魟（·i）是一个严格相反的s形函数。例3：在何和周（2012）中，函数w′（1）-·)F-1ρ(1-·)在定理2中被假定为非减量，这相当于φ′（·）是递减的，即φ（·）i是凹函数。在命题4-7、定理4-6和推论1中，相同的函数w′（1-·)F-1ρ(1-·)被认为是先严格递减，然后严格递增。