由局部纳什驱动的非保守经济中的财富演化

代理选择其成本函数Yj的最陡下降方向→ ΦN（~X，Yj，^Yj）作为它们在财富空间中的作用，即FN（~X，Yj，^Yj，t）=-YjΦN（~X，Yj，^Yj，t）这是一个几何布朗噪声的补充，它模拟了引力。产生的第j种药剂的动力学如下所述˙Xj=V（Xj（t），Yj（t）），（2.5）dYj=FN（~X，Yj，^Yj，t）dt+√2d YjdBjt。（2.6）随机几何布朗噪声是在It`o意义上和数量上理解的√二维波动性表示法是独立的，而二维波动性表示法是独立的。上述第一个等式描述了代理人在经济结构空间中的发展速度，作为其当前财富和当前经济结构的函数，V（x，y）是该运动速度的度量。我们假设，如果域是无界的，函数V在fa r fi fi field衰减为零，并且V=0在边界上保持不变如果域是有界的，即V→ 0作为x→ 十、 （2.7）保持。在这种动态中，代理最终会在很大程度上达到其成本函数的最小值。这个最小值就是writenynj（~X，^Yj，t）=arg minYj∈R+ΦN（~X，Yj，^Yj，t），J∈ {1，…，N}。（2.8）并对应于代理的纳什均衡。因此，动态对应于一个非合作非原子匿名博弈[2,22,32,33]，也称为平均场博弈[8,20]，其中均衡假设被一个描述走向纳什均衡的时间动态所取代。作者在[12]中开发了一个针对这种一般环境的博弈论框架，并在[13]中应用于研究保守经济。在本文中，我们考虑了一个改进的、在某种意义上更现实的模型，其中成本函数Φ不取决于其他代理的单个值^yjo，而是取决于集合的平均数量。

这意味着，代理人之间不是单独进行交易，而是与市场进行交易（也就是说，与其他代理人进行交易的集合），仍然试图优化各自的成本。所以我们考虑ΦN=ΦN（~X，Yj，Υ），FN=-YjΦnwhithΥ由所有代理（市场）集合的平均性质给出。（在本文中，我们将取Υ为前两个矩，对应于整个市场财富的均值和方差。因此，Υ=（Υ，Υ）=（PkYk，PkYk）成立。）在极限N→ ∞, 单粒子分布函数f是福克-普朗克方程的解：tf+x（V（x，y）f+y（Fff）=dYyf, （2.9）其中Ff=Ff（x，y，t）由Ff（x，y，t）给出-yΦf（t）（x，y），（2.10）和Φf仅通过Υ（f）依赖于密度f。这个方程是为（x，y）提出的∈X×[0，∞[.我们用y=0:d时的无流体边界条件来补充这个方程y（yf）- Fff | y=0=0，十、∈ 十、T∈ R+。（2.11）假设（2.7）在V上，这里不需要任何关于f的边界条件X.这些条件意味着，对于动力学系统，代理的数量在时间上是守恒的，即Rx∈XRy∈[0,∞)f（x，y，t）dx dy=常数。我们还提供了一个初始条件f（x，y，0）=f（x，y）。在本文中，我们考虑了一个特定的市场交易模型，并采用下面的二次成本函数，其系数在功能上取决于代理Φf（x，y）=af（y+bfaf）+cf的集合-bfaf=afy+bfy+cf，（2.12）af代表市场的交易频率，y=-bf/Af代表代理试图达到的最佳状态。注意，常数Cf在策略F中不起作用，我们可以将其设置为bf/（2af）。成本函数（2.12）类似于[13]中使用的成本函数的结构，但现在包含任意系数af和bf。

现在的交易频率是统一的，取决于市场环境。高效AFC将在下面的风险不利策略示例中给出解释。功能中AFA和BF选择的灵活性使我们能够模拟市场策略。具体而言，在第4节中，afaf=dΥΥ将采用风险规避策略- Υ其中Υ和Υ是上文定义的代理集合的第一和第二时刻。af/d代表策略行动和波动率之间的比率，由Υ/（Υ）给出- Υ），Y的变化系数的倒数。在完全确定的市场中，在没有变化的情况下，代理人的交易频率将是固定的。另一方面，在一个非常不确定的市场中，具有有限的方差，交易频率将由布朗运动引入的不确定性给出，且af=d成立。3.无量纲的表述和频繁的交易限制。1.无量纲公式财富分布演化的一个主要特征是时空尺度分离。与经济结构空间（即x变量）中运动的时空尺度相比，经济互动（y方向上的动态）速度更快。为了以适当的方式管理各种尺度，我们将变量更改为无量纲变量。按照[12]中开发的程序，我们介绍了宏观尺度。我们假设，与代理人之间的财富交换相比，经济结构x的变化缓慢。我们引入tand x=V时间和经济配置空间单位，V的典型大小为V。我们用货币单位y来衡量财富变量y。定义xs=xx，ys=yy，ts=t和FS（xs，ys，ts）=xyf（x，y，t）。相应地，我们用Υ（x，t）=yΥ1s（xs，ts）和V（x，t）=xtVs（xs，ts）来衡量平均财富密度Υ和速度V（x，t）。

我们用af=εtafsand bf=yεtbfsand几何布朗运动中的方差d=εtds，用ε<< 1.一个小的无量纲参数。这意味着，我们认为由参数d、af、bf给出的传输活动频率比由平均尺寸vof V给出的经济配置离子空间中的移动频率大。这使得方程（1.1）的无量纲公式为（为了方便起见，去掉下标s）：tfε+x（fεV（x，y））=εQ（fε），（3.13）Q（f）=y[d]y（yf）+（afy+bf）f]。（3.14）在无量纲公式中，力矩等级（1.4）仍然由以下公式给出：TρερεΥερεΥε. . .+ xZV（x，y）fε（x，y，t）yy。dy=ε-（afεε+bfε）2（d- afε）Υε- 2bfεε。ρε（x，t）。（3.15）（3.15）的左侧描述了经济结构变量x和时间t中分配时刻的缓慢动态。这种演变是由该分布的快速局部演变驱动的，该演变是右侧描述的单个决策变量的函数。分母处的参数ε强调了内部决策变量比外部经济配置变量在更快的时间尺度上演化的事实。根据[13]，内部决策变量的快速演变，艾夫斯博士的代理人正在进行“快速行进”，即。

在O（ε）时间尺度上，朝着纳什均衡，由最小化函数Φfin（1.2）的博弈定义，直到一个差异。3.2频繁交易极限和Gibbs测度在频繁交易相互作用的极限（当上一节中的ε比1小时），宏观动力学由Q（f）=0的解的形状决定。在下文中，我们将限制非线性算子Q的形式，使系数af和bfin（3.13）仅取决于财富变量前两个矩的平均值。我们定义向量值函数Υ（f）从分布函数空间作用到Rvia定义Υ（f）=（Υ（f），Υ（f）），Υk（f）=Rykf（y）dyRf（y）dy，k=1,2。因此，（3.13）中的规模化交易算子Q取形式Q（f）=C[f，Υ（f）]，算子C由Q（f）=C[f，Υ（f）]=y[d]y（yf）+（aΥ（f）y+bΥ（f））f]。我们注意到，虽然Q是一个非线性算子，但非线性仅限于Q对平均矩Υ（f）的依赖性。换句话说，对于向量[C]，f是线性的。这允许定义标准化吉布斯测度GΥ（y），满足（对于给定向量Υ）线性问题C[GΥ，Υ]=y[d]y（yGΥ）+（aΥy+bΥ）GΥ]=0，Z∞GΥ（y）dy=1（3.16）我们将Q（f）=0的解重新表示为线性有限维问题（求解给定向量Υ的线性偏微分方程（3.16））和二维执行点问题的组合。然后由（3.16）的解GΥ给出局部热力学平衡的计算，其中二维向量Υ是定点问题的解：Υ（GΥ）=Υ。

（3.17）频繁交易极限ε中概率分布f（x，y，t）的形状→ 0由fequ（x，y，t）=ρ（x，t）GΥ（y）给出，其中GΥ满足（3.16）且Υ满足固定点问题（3.17），因为将GΥ乘以与y无关的密度ρ（x，t）不会改变平均矩。交易算子C[GΥ，Υ]的形式（3.16）允许通过递归公式计算平均力矩向量（GΥ），该公式通过简单的部分积分参数获得。利用零流边界条件a t y=0Z，对方程（3.16）进行积分∞[（aΥ- d（k）- 1） ）yk+bΥyk-1] GΥdy=0，Z∞GΥ（y）dy=1，特别是对于k=1的前两个时刻，2:aΥ（GΥ）+bΥ=0，（aΥ- d） Υ（GΥ）+bΥ（GΥ）=0。（3.18）固定点方程（3.17）表示形式aΥΥ+bΥ=0，（aΥ）- d） Υ+bΥ=0。（3.19）o因此，通过首先找到执行点方程（3.19）的所有解来计算平衡解，即（3.19）在局部平衡中起着本构关系的作用对于满足本构关系（3.19）的任何向量Υ=（Υ，Υ），存在由fequ（x，y，t）=ρ（x，t）GΥ（y）给出的局部平衡fequ（x，y，t），局部代理密度ρ（x，t）和问题（3.16）的解局部平衡溶液的形状fequ=ρGΥ当然决定了溶液的大时间平均值，反过来，这种形状dep结束于对系数aΥ和bΥ的建模。因此，aΥ和bΥ的建模决定了第4节给出的宏观方程的形式。为了获得宏观平衡定律，除了介质数量的平凡守恒定律外，还必须使本构关系（3.19）具有多个解在[13]和[15]中，当aΥ和bΥ仅依赖于第一时刻Υ时，特殊情况已被处理。

在这种情况下，通过求解（3.16），（3.17）找到吉布斯测度将简化为一个线性问题，并且可以根据反伽马分布显式计算解，恢复[1]中给出的c.f.已知结果不幸的是，事实证明，这使得宏观方程变得微不足道，保守经济体的情况除外，当系数aΥ和bΥ满足aΥ+bΥ=0时因此，在本文中，我们考虑了一个更精确的模型，其中系数aΥ和bΥ取决于Υ和Υ，即取决于市场财富的均值和方差，考虑到非保守经济体的aΥΥ+bΥ6=0.4大时间平均值和使用吉布斯测度的水动力高循环。本节的目标是通过局部均衡来关闭第3节中的层次结构（3.15），i、 e.通过形式为f（x，y，t）=ρ（x，t）GΥ（x，t）（y）的概率密度函数f，根据第4.2小节中的结果计算吉布斯测度GΥ（y）。对于保守经济体而言，系数aΥ、bΥ是aΥΥ+bΥ=0在方程（1.4）中，这是相当直接的，因为我们立即得到了两个守恒定律，关于大O（ε）时间尺度上的代理人密度和平均财富。用（3.15）中的局部平衡密度ρ（x，t）GΥ（x，t）（y）代替f（x，y，t）可以解决这些问题。这已经在文献[15]和[13]中的相同理论框架中完成。在非保守生态系统aΥΥ+bΥ6=0的情况下，仅取关于y的输运方程3.13的第一个数值，不会产生大时间尺度s上的宏观守恒定律，即与ε无关的方程。

因此，我们需要将输运方程3.13与[14]中提出的称为广义碰撞不变量（GCI）的更复杂测试函数相结合。4.1 GCI概念我们考虑的是以下形式的动力学方程：tfε+x（vfε）=εQ（fε）（4.20），其中Q（f）为非线性算子，或形式为Q（f）=C[f，Υ（f）]。平均动量算子Υ（f）=（Υ（f），ΥK（f））的定义见第1节byRykf dy=ΥkRf dy，K=1，K.操作员或f 7→ C[f，Υ]对于给定向量Υ是线性的∈ RK+。因此，Q（f）对f的非线性依赖被限制为C[f，Υ（f）]对Υ（f）的非线性依赖。对任意测试函数z（x，y）w.r.t.y进行积分（4.20）{tfε+x（vfε）}dy=εZzQ（fε）dy，（4.21）宏观平衡定律的结果是ifRzQ（f）dy=0。一个明显的选择是z=1，这就保证了药剂的数量守恒。对于保守经济体，Ryq（f）dy=0，f、 在[15]和[13]中进行了处理，另一个选择是z=y，给出了宏观层面上的一组流体动力学类型方程。[14]中发展的GCI的基本思想是使函数z依赖于运动学解f的矩Υ（f），从而（4.21）中的右手边消失。这就产生了一个形式为ZχΥ（fε）的宏观平衡定律{tfε+x（vfε）}dy=0，（4.22）如果，对于任何Υ∈ RK+，我们可以找到z=χΥ，使得zχΥC[f，Υ]dy=0，使Υ（f）=Υ保持不变。（4.23）利用Q（f）=C[f，Υ（f）]的特殊结构，这可以通过使用算子F7的L伴随来实现→ C[f，Υ]。让Cadj[g，Υ]定义为zg C[f，Υ]dy=Zf Cadj[g，Υ]dy。χΥsatis fies（4.23）相当于说（λ，…，λK）∈ RKsuch认为Cadj[χΥ，Υ]=KXk=1λk（Υk- yk）。（4.24）那么我们有ZχΥ（f）Q（f）dy=ZχΥ（f）C[f，Υ（f）]dy=Zf-Cadj[χΥ（f），Υ（f）]dy=KXk=1λkZf（f）- 根据Υk（f）的定义，yk）dy=0。

因此，找到方程式（4.20）的宏观平衡定律的问题就归结为找到所有GCI，即（4.24）的所有解。对于任意给定的向量Υ，ms的相关GCI集是维数为M+1的线性流形，其中≤ K：事实上，常数是解，并形成维度为1的线性空间，而非常数GCI形成维度为M的线性向量空间。我们可以得到M<K，因为λK之间可能需要一些相容条件。Υ表示非χ的常数。如果我们能证明动力学方程（4.20）的解真的被平衡解放弃，即如果fε=ρGΥ+εfholds，那么t（ρGΥ）+x（VρGΥ）=ερC[GΥ（GΥ+εf），Υ（GΥ+εf）]+O（ε）（4.25）成立。让ε→ 0给出了方程式（4.25）右侧公式的不确定极限，因为Υ满足本构方程Υ（GΥ）=Υ，且C[GΥ，Υ]=0。对χΥ（ρGΥ+εf）积分（4.25）得到χΥ（ρGΥ+εf）[t（ρGΥ）+x（VρGΥ）]dy=O（ε），在极限ε→ 0闭式宏观方程组tρ+x（ρZV（x，y）GΥdy）=0，ZχΥ[t（ρGΥ）+x（VρGΥ）]dy=0，（4.26），其中Υ满足本构关系Υ（GΥ）=Υ。这导致了以下公式，用于计算形式为（4.20）的运动方程的宏观平衡定律，其中带有碰撞算子Q（f），只保存代理的数量，即仅满足RQ（f）dy=0，f、 但不保留任何额外的时刻对于一般向量Υ，求出（4.24）的解。不幸的是，在实践中，对于非平凡的操作符Cadj来说，这必须在数字上完成如前所述，拉格朗日乘数λk，k=1，K不能任意选择。实际上，它们必须满足某些条件，这取决于运算符或Cadj的结构，因此GCI方程（4.24）是可解的。

我们还要重复，m的GCI是线性向量空间，我们用跨越非常数GCI空间的独立非常数GCI的χΥavector表示这给出了极限ε→ 0宏观方程，与微观变量y和参数ε无关：tρ+x（Zf V（x，y）dy）=0，ZχΥ（f）{tf+x（f V（x，y））}dy=0，（4.27），其中ρ定义为ρ（x，t）=Rf（x，y，t）dy。系统（4.27）仍需通过为动力学方程（4.20）选择近似解f来接近通过选择f=fequ=ρGΥ关闭系统（4.27），在我们的例子中，GΥ是第4.2节中的吉布斯测量值，该选择由形式极限ε调整→ 0英寸（4.20）。o为了计算第4.2小节中的吉布斯测度GΥ，我们必须解决有限维问题C[GΥ，Υ]=0，RGΥdy=1，f或一般向量Υ，然后解决向量Υ的有限维定点问题Υ（GΥ）=Υ基本宏观方程（4.27）的形式如下tρ+x（ZρGΥV（x，y）dy）=0，ZχΥ{t（ρGΥ）+x（ρGΥV）}dy=0，（4.28），其中Υ满足本构关系Υ（GΥ）=Υ对于要闭合的系统（4.28），定点方程Υ（GΥ）=Υ应具有一个多模型结构，由许多独立参数作为独立的非常数GCI进行参数化。定点方程Υ（GΥ）=Υ中的自由参数本质上是系统（4.28）中的另一个因变量（除了ρ），尽管它可能永远不会明确表示，但由本构方程隐式给出。