由局部纳什驱动的非保守经济中的财富演化

在下面的风险不利策略示例中，变量是密度和平均财富（意味着本构关系只有一个由平均财富参数化的单参数解族），宏观系统由密度守恒方程和平均财富的非保守平衡方程组成。4.2具有风险规避交易策略的非保守经济体在本文所考虑的模型中，个体代理人通过ΦΥ（y）=aΥy+bΥy+cΥ=aΥ（y+bΥaΥ）+cΥ-bΥaΥ，给定由密度f表示的市场条件。因此，aΥ表示（在无量纲变量中）与市场交易的频率，即代理人交易或不交易的策略，y=-bΥaΥ代表代理试图实现的（取决于市场的）最优。我们考虑一种形式为Υ=dΥ的风险规避策略- Υ，（4.29）并请参见第2节末尾的解释。势能常数不影响动力学，我们可以取cΥ-bΥaΥ=0。我们选择系数bΥ，使得bΥ=-（1+κ）dΥ，（4.30），固定常数κ>0。这种选择的动机是考虑到下面的纳什均衡。使用aΥ的cho ice（4.29），我们根据C[GΥ，Υ]=0，RGΥdy=1，即方程式（3.16）计算第3.2节中引入的吉布斯测度。它从递归公式（3.18）asdΥΥ中得出向量Υ=（Υ，Υ）的构成关系- ΥΥ+bΥ=0，（dΥΥ）- Υ- d） Υ+bΥΥ=Υ（dΥΥΥ）- Υ+bΥ=0。（4.31）由于（4.31）中涉及的两个方程相同，直到乘法因子Υ，第一个等式（4.31）得出本构关系。

对于bΥ的任何选择（尤其是对于（4.30）给出的选择），该方程是两个未知量Υ和Υ中的一个方程，并且有一个单参数的解族。现在，使用第一个方程（4.31）和（4.30），我们得到- Υ= -bΥdΥ=1+κ，或等效Υ- Υ=κΥ. （4.32）这意味着，在纳什均衡下，当每个参与者都优化了其成本函数时，市场中存在一定的风险，用平方平均财富的分数κ来衡量。因此，选择（4.30）相当于选择一些期望的全球风险，即均衡市场中的全球变化系数κ。第一个等式（4.32）得出了平衡时Υ和Υ之间的以下关系：Υ=1+κΥ。（4.33），即本例中本构关系（3.19）所采用的形式。为了得到封闭的宏观系统（4.28），我们仍然需要计算一般向量Υ=（Υ，Υ）的赤霉素GΥ和G CIχΥ，满足构成关系（4.33）。根据方程（3.16），通过以下公式给出了G ibbs测度：y[d]y（yGΥ）+（dΥΥ）- Υy- dΥ（1+κ））GΥ]=0，Z∞GΥ（y）dy=1，（4.34），Υ满足（4.33）。使用本构关系（4.33）得出y[d]y（yGΥ）+d（1+κ）（y- Υ）GΥ]=0，Z∞GΥ（y）dy=1，（4.35）以及零流边界条件dy（yGΥ）+d（1+κ）（y-Υ）GΥy=0=0，这表明系统中的试剂数量守恒。（4.35）的解由gΥ（y）=cΥy给出-κ-3e-（1+κ）Υy，cΥ=Z∞Y-κ-3e-（1+κ）Υydy。（4.36）因此，GΥ由伽马逆分布给出，即GΥ（y）=Gκ+2，（1+κ）Υ（y），其中伽马逆分布Gα，β定义为Gα，β=βαΓ（α）y-1.-αe-βy，其形状参数α和比例参数β和Γ（α）表示在α处计算的欧拉伽马函数。它与通常的伽马函数Γ有关：γα，β（z）=βαΓ（α）zα-1e-βz变量的变化z=y。

这种分布以前在[7]中发现过。当数值较大时，该分布就变成了帕累托幂律分布，与经济数据有着很强的一致性（参见[39]中的综述）。GΥ（y）=Gκ+2，（1+κ）Υ（y）代表参与者博弈的大时间平均值（即纳什均衡），其中每个参与者都试图通过构成关系（4.33）实现市场的预期风险，构成关系是市场不确定性的无量纲度量。为了使局部均衡分布GΥ具有有限的方差，即R∞yGΥdy<∞, （4.36）中的κ值应为正值（κ>0）。4.3应给出风险不利交易策略的GCIΥ=（Υ，Υ），不一定与本构关系（4.33）相关。根据选项（4.29），（4.30），等式（4.24）为：YyGΥyψ= λ（y）- Υ）GΥ+λ（y）- Υ）GΥ。（4.37）这个方程的弱公式是z∞yGΥyψyσ=-Z∞λ（y）- Υ）GΥσdy-Z∞λ（y）- Υ）GΥσdy，（4.38）表示所有σ。我们注意到，论文[13]的理论和部分引理3。5适用。它使用了适当的功能设置，我们请读者参考[13]了解详细信息。在[13]中，证明了当且仅当满足以下可解性条件（其必要性很容易通过tσ=1发现）时，（4.38）的解才存在：Z∞λ（y）- Υ）GΥdy+Z∞λ（y）- Υ）GΥdy=0，或者换句话说：λ（Υ（GΥ）- Υ）+λ（Υ（GΥ）- Υ) = 0. （4.39）现在，我们定义χΥ=y- Υy，（4.40）使用（4.34）（而不是（4.35），因为我们不假设本构关系（4.33）满足），我们得到YyGΥyχΥ=ΥΥ- Υn- Υ（y）- Υ) + Υ1 + (1 + κ)1.-ΥΥ（y）- Υ）oGΥ。（4.41）该方程的形式为（4.37），λ=ΥΥ- ΥΥ1 + (1 + κ)1.-ΥΥ, λ= -ΥΥ- ΥΥ.借助于（3.18）计算Υk（GΥ），k=1，2，我们立即验证了约束（4.39）是满足的。

从（4.39）可以得出，非常数GCI的空间等于维度1，由于χΥ是一个非常数GCI，所有非常数GCI与χΥ成比例。4.4平均财富的方程由于（4.40），第二个等式（4.28）由以下公式给出：∞Y- Υ（x，t）yt（ρGΥ）dy+Z∞Y- Υ（x，t）yx（V（x，y）ρGΥ）dy=0。（4.42）这使tZ∞Y- ΥyρGΥdy+tΥZ∞yρGΥdy+xZ∞Y- ΥyVρGΥdy+xΥZ∞y VρGΥdy=0。（4.43）我们还提醒了质量守恒方程（第一式（4.28））。我们定义：英国（x；Υ）=Z∞V（x，y）GΥ（y）ykdyΥ=1+κΥ，k∈ N、 （4.44）我们得到tρ+x（ρU）=0。（4.45）现在，多亏了（4.33），tZ∞Y- ΥyρGΥdy+tΥZ∞yρGΥdy=-1.- κ2κΥx（ρU）+κρΥΥ。（4.46）和xZ∞Y- ΥyVρGΥdy+xΥZ∞y VρGΥdy=十、ρU- Υx（ρU）。（4.47）将（4.46），（4.47）插入（4.43），我们最终得到平均财富Υ：ρ的方程tΥ+κ2Υx（ρU）-κ x（ρU）+1- κΥx（ρU）= 0.（4.48）5宏观模型概括而言，宏观模型是代理人密度ρ（x，t）和当地平均财富Υ（x，t）的以下系统：tρ+x（ρU）=0，（5.49）ρtΥ+κ2Υx（ρU）-κ x（ρU）+1- κΥx（ρU）= 0.（5.50）带Uk=Uk（x；Υ）=Z∞V（x，y）GΥ（y）ykdyΥ=1+κΥ，k=0,1,2。（5.51）可以通过假设V（x，y）的特定值来进一步简化。我们把这个留给未来的工作。6结论我们推导出了一个模型，用于一组代理人的大时间平均数，通过市场相互作用，并在抽象的配置空间中移动。每个参与者与市场互动（“交易”）的频率与市场的不确定性成反比，并试图实现可接受的风险（由常数κ给出，必须与实际市场数据相匹配）。

该模型不依赖于系统中总财富守恒的假设，而是使用广义碰撞不变量的概念来推导大时间平均值的宏观方程。从这个意义上说，本文是[7]、[12]、[15]中先前考虑的模型的一个一般化，也是一个替代方案，其中在系统中对财富守恒的假设下，只考虑了个体代理人之间的二元交易互动。最终的宏观模型包括系统中代理人数量的守恒定律和总财富均值和方差的平衡定律，并辅以均值和方差的本构关系。因此，在大的时间限制下，根据时间上的两个偏微分方程（5.49），（5.50）和一个空间变量，代理在配置空间中移动（为了简化符号，本文假设该空间为一维）。参考文献[1]阿莫罗佐L.1925。Ricerche intorno alla curva de i redditi，Annali di matematica purae applicata 21页，第123-57页。[2] 奥曼R.1964。有连续交易者的市场中竞争均衡的存在，《计量经济学》32页，第39-50页。[3] 1900年。安，这是我的生日。Sci。欧共体。标准谢谢。3第21-86页。[4] 布兰切特A，卡莱尔G.201 2。最佳运输和古诺-纳什均衡，预印本arXiv:1206。6571.[5]布兰切特A，莫塞P，桑坦布罗吉奥F.2012。社会互动空间模型均衡的存在性和唯一性。预印本。[6] Bouchaud J-P，Borg hesi C，Jensen P，2014年。关于社会凝聚力主体“意向场”的出现，J.S.tat。机修工。P03010。[7] Bouchaud J-P，M\'ezard M.2000。财富凝聚在一个简单的经济模型中。Physica A 282页，第536-545页。[8] Cardaliaguet第2012页。关于平均场游戏的注释（fr om P.-L。

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