效用无差异估值的伪线性定价规则

如果我们定义对数过程Xit=ln siti=1，···，d，那么yλ（t，eXt）在Xt=（Xt，····，Xdt）中一致Lipschitz连续（见Delarue[14]的定理2.9）。我们仍然将这样一个Lipschitz常数表示为K。我们首先对[0，T]进行如下划分：0=T<T<···<tJ=T，使得max1≤J≤Jj=max1≤J≤J | tj- tj-1| ≤8KK，其中Kis的定义在以下命题3.4的证明中给出。在每个间隔上[tj-函数微分方程（3.11）可以用X:Xit=Xitj重新表示-1+Zttj-1（u）是-||σ为| |）ds- hσis，d[B，N]si+hσis，dBsi。（3.12）对于泛函微分方程（3.12），我们可以给出其解X的以下线性近似值。确定班纳赫的速度（[tj-1，tj]；Rd）对于数值为inRd的连续和Ft适应过程，赋以规范：| | X | S[tj-1，tj]=E（支持）∈[tj-1，tj]| | Xt | |）1/2。命题3.4设B=（B，··，Bd）是过滤概率空间上的d维布朗运动(Ohm, F、 {Ft}，Q）。

对于固定j，其中1≤ J≤ J、 假设我们已经解了泛函微分方程（3.12），并得到了它的解XTT∈ [tj，tj+1]，···，[tj-1，T]，所以我们在时间tj有一个Lipschitz连续函数Yλ（tj，ex）。确定序列{X（m）}m≥0on[tj-1，tj]迭代：X（0）=X，Xit（m+1）=xi+Zttj-1（u）是-||σ为| |）ds- hσis，d[B，N（m）]si+hσis，dBsi，其中N（m）由（3.9）给出，Zλ，Q（Vλ，Q）替换为Zλ，Q（0，m）：ZtjthZλ，Qs（0，m），dBsi=Yλtj，eXtj（m）- EQhYλtj，eXtj（m）|Fti。然后{X（m）}m≥0在空间S（[tj]中向某个X靠拢-1，tj]；Rd）收敛速度为| | X- X（m）| S[0，T]≤M-1×| | X（1）- X（0）| | S[tj-1，tj]，从中我们得到时间tj处的Lipschitz连续函数-1Yλ（tj）-1、eXtj-1） =EQhYλtj，eXtj|Ftj-[tj]上的1i和Zλ，Q（0）-1，tj]hZtjtj-1Zλ，Q（0），dBsi=Yλtj，eXtj- Yλtj-1、eXtj-1..最后，由（3.9）定义的N是一个Q-BMO鞅，由（3.6）和（3.4）得到的Vλ，Pis:Vλ，Pt=ZtFs（Zλ，Qs（0））ds。证据这个证明类似于命题3.3的证明，所以我们只画了一个草图。

对于固定j，很容易验证X（m+1）∈ S[tj-1，tj]，如果X（m）∈ S[tj-1，tj]。接下来，考虑差异δX（m）=X（m+1）- X（m），| |δX（m）| | S[tj-1，tj]=EQ监督∈[tj-1，tj]dXi=1Zttj-1hσ是，d[B，δN（m- 1） ]si= 情商（suptXi）Zttj-1.γhσ是，δZλ，Qs（0，m- 1） 我-γhσis，σPsi2 | |σPs | hσPs，δZλ，Qs（0，m- 1） 我ds)≤ K杰克（Ztjtj）-1 | |δZλ，Qs（0，m- 1） | | ds）=K杰克Ztjtj-1hδZλ，Q（0，m）- 1） ，dBsi≤ 2K杰克Yλtj，eXtj（m）- Yλtj，eXtj（m-1)≤ 2KKj | |δX（m）- 1） | | S[tj-1，tj]≤||δX（m）- 1） | | S[tj-1，tj]。我们迭代上述不等式，得到| |δX（m）| | S[tj-1，tj]≤m | | X（1）- X（0）| | S[tj-1，tj]。因此，对于任何自然数p，| | X（m+p）- X（m）| | S[tj-1，tj]≤pXj=1 | | X（m+j）- X（m+j）- 1） | | S[tj-1，tj]≤M-1×| | X（1）- X（0）| | S[tj-1，tj]。让我↑ ∞, 我们推导出t{X（m）}m≥0是柯西序列，收敛到某个极限X。另一方面，让p↑ ∞, 我们得到了收敛速度。其余的证明是验证由（3.9）定义的N是一个Q-BMO鞅，它遵循z·hZλ，Qs（0），dBsi的Q-BMO鞅性质。参考文献[1]Ankirchner，S.，Imkeller，P.，和Popier，A.：关于倒向随机微分方程的测度解，Stoch。过程。Appl，119（9），2744-2772，（2009）。[2] Ankirchner，S.，Imkeller，P.，和dos Reis，G.：具有二次增长的BSDE的经典和变分可微性，电子。J.Probab。，12, 1418–1453, (2007).[3] Ankirchner，S.，Imkeller，P.，和dos Reis，G.：基于非交易基础的衍生工具定价和对冲，数学金融，20（2），289-312，（2010）。[4] 巴里欧，P。

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