效用无差异估值的伪线性定价规则

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Pseudo Linear Pricing Rule for Utility Indifference Valuation》
---
作者：
Vicky Henderson, Gechun Liang
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  This paper considers exponential utility indifference pricing for a multidimensional non-traded assets model, and provides two linear approximations for the utility indifference price. The key tool is a probabilistic representation for the utility indifference price by the solution of a functional differential equation, which is termed \\emph{pseudo linear pricing rule}. We also provide an alternative derivation of the quadratic BSDE representation for the utility indifference price.
---
中文摘要：
本文考虑了一类多维非交易资产模型的指数效用无差异定价，给出了效用无差异价格的两种线性近似。关键工具是通过函数微分方程的解，对效用无差异价格进行概率表示，这被称为\\emph{伪线性定价规则}。我们还提供了效用无差异价格的二次BSDE表示的另一种推导方法。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

---
PDF下载：
--> Pseudo_Linear_Pricing_Rule_for_Utility_Indifference_Valuation.pdf (277.23 KB)

2022-5-6 02:14:14 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Indifference Presentation Differential Applications Quantitative

Ut i Lityin差异估值的伪线性定价规则Vicky Henderson+，还有梁格春——，+英国考文垂华威大学统计系，CV4 7AL，Vicky。Henderson@warwick.ac.uk——伦敦国王学院数学系，伦敦，WC2R 2LS，英国，格春。liang@kcl.ac.uk英国牛津大学牛津人研究所摘要本文考虑了多维非交易资产模型的指数效用差异定价，并给出了效用差异价格的两种线性近似。关键工具是通过函数微分方程的解对效用差异价格进行概率表示，该方程被称为伪线性定价规则。我们还提供了效用差异价格的二次BSDE表示的替代推导。关键词：效用差异定价，二次BSDE，FBSDE，函数微分方程。数学学科分类（2010）：91G40 91G80 60H30。作者感谢副主编马丁·施韦泽和两位推荐人提出的宝贵建议，以及达米亚诺·布里戈、拉玛·康特、大卫·霍布森、莫妮克·珍布兰科、江立尚、伊娃·吕特克博赫默特、安德里亚·麦克里纳、彭师歌、邢业岳和塔莱娅·扎里波普洛的有益讨论。作者感谢参加弗赖堡大学、伦敦国王学院、中法随机建模与应用研究所（北京，2011年6月）、随机分析：中英研讨会（拉夫伯勒，2011年7月）和第四届国际会议：金融数学（南非，2011年8月）的与会者，会上介绍了正在进行的工作。1简介在本文中，我们考虑多维非交易资产环境中的指数效用差异定价。

我们的兴趣在于对不可交易的资产进行定价和套期保值。由于无法完全对冲非贸易资产风险，市场不完整。在指数效用独立性估值领域已有大量研究，但尽管人们对这种定价和套期保值方法感兴趣，但可用的明确公式相对较少。众所周知的一维非交易资产模型是一个例外，在马尔可夫框架下，对单一的非交易资产写下一个指令，对金融资产进行部分hedg，Henderson and Hobson[23]，Henderson[22]，Musiela和Zariphopoulou[33]使用Cole-Hopf变换（或失真功率）对值函数的非线性偏微分方程（s hort的偏微分方程）进行线性化。Tehranchi[35]、Frei和Schweizer[20][21]对模型的后续推广表明，指数效用差异价格仍然可以用封闭的形式表示，类似于已知的布朗环境，尽管公式的结构可能不太明确。另一方面，Davis[13]利用对偶性推导出最优套期保值策略的显式公式，Becher[5]表明，对偶定价公式甚至在一般半鞅环境下也成立。我们在多维环境中研究指数效用差异估值，目的是开发定价方法。我们用来描述定价动态的主要工具是具有二次增长的倒向随机微分方程（简称二次BSDE）。文献中众所周知，效用差异价格可以写成原始物理测度下的非线性预期，以及二次BSDE指定的非线性经验。

几位作者在具有不同普遍性的模型中推导出了指数效用独立值的二次B SDE表示——见胡等人[25]、马尼亚和施韦泽[30]、贝切尔[6]、莫莱斯[32]、弗雷和施韦泽[20][21]、比莱基和詹布兰科[7]以及安基尔什纳等人[3]。他们的推导使用了鞅最优性原理。我们的第一个贡献是提供一种替代方法，来推导公用事业独立价格的二次B分解表示。马尔廷格尔最优性原则在我们的推导中不起任何作用。相反，我们从风险敏感的控制角度考虑效用差异估值的相关效用最大化问题。我们首先将效用最大化问题转化为风险敏感的控制问题，然后利用交易策略索引的二次BSDE族的比较原理，推导出效用差异价格的定价动态。细节见定理2.3。我们称这种效用差异价格的二次BSDE表示为非线性定价规则。关于二次BSDE理论，Kobylanski[28]首先在布朗环境中证明了有界解的存在唯一性，Briand和Hu[9,10]以及Delbaen等人[15,16]将其推广到无界解和凸驱动。Morlais[32]和Tev zadze[36]中可以找到有界解的相应半鞅情况，其中前者、[28]和[25]中的主要定理得到了扩展，而后者采用了BMO鞅技术的定点论证。关于无界解的扩展，请参见Mocha和Westray[31]。

此外，Ankirchner等人[2]和Imkeller等人[26]考虑了二次BSDE的可微性，Frei等人[19]给出了s解的凸界。最近，Barrieu和El Karoui[4]引入了二次半鞅的概念来研究解的稳定性，而Briand和Elie[8]发现了一种简化方法，用于研究相应的延迟方程。最后，Becherer[6]和El Karoui e t al[17]分别对有界解和无界解研究了带跳跃的二次BSDE。我们的主要贡献是为公用事业差异价格提供了一个新的定价公式，我们称之为伪线性定价规则。在定理3.1中，我们将效用差异价格表示为报酬加上定价溢价的线性预期，后者由函数微分方程的解表示。这种想法是由Liang等人[29]提出的，他们将BSDE转换为泛函微分方程，并在一般的过滤概率空间中求解。这种表述的优点之一是，我们只需要解一个函数微分方程就可以计算出效用差异价格。此外，函数微分方程向前运行，避免了后向方程和基础前向方程之间的相互影响。为了应用这种伪线性定价规则，我们为效用差异价格提供了两种线性近似值。和[29]中的驱动力是Lipschitz连续的相比，本文中考虑的函数微分方程的驱动力是二次的。然而，我们可以使用Picard迭代来近似其解。第一个线性近似是基于函数微分方程的扰动，其思想受到Tevzadze[36]命题2的启发。

第二次线性近似基于Girsanov变换的非线性版本，以使驱动消失。例如，这种想法出现在BSDE文献中，如Ma nia和Schweizer[30]中的命题11，以及Kirchner et a l[1]中BSDE的测量解，其中他们将终端数据（支付）建模为一般随机变量。相比之下，当我们详细描述下卧层和支付结构的动力学时，自然会出现一个耦合的正向反向随机微分方程（简称FBSDE）。本文的结构如下：在第2节中，我们介绍了我们的多维非交易资产模型，并预先发送了非线性定价规则，即效用差异价格的二次BSDE表示。在第3节中，我们介绍了我们的伪线性定价规则，即效用差异价格的函数微分方程表示，以及基于这种重新表示公式的效用差异价格的双线性近似。2二次BSDE和非线性定价规则集W=（W，··，Wd）是某个过滤概率空间上的d维布朗运动(Ohm, F、 满足通常条件的{Ft}，P），其中fti是由（Wu:0）生成的增广σ-代数≤ U≤ t） 。市场由交易金融指数P和一组可观察但非交易资产S=（S，····，Sd）组成，其贴现价格过程由PT=P+ZtPs（uPsds+hσPs，dWsi）给出，对于i=1，···，d.h·，i表示其欧几里德范数的内积，其贴现价格过程由IT=Si+ZtSis（uisds+hσis，dWsi）（2.2）给出。我们有μPt，μit∈ R、 σPt=（σp1t，···，σpdt）∈ Rd和σit=（σi1t，···，σidt）∈ 路。

还有一个无风险债券或银行账户，t的贴现价格Bt=1≥ 0.我们的兴趣在于对非交易资产S上的或有权益进行定价和套期保值（路径依赖）。具体而言，我们关注的是到期时支付Tof g（S·）的合同，这可能取决于S的整个路径。我们实施以下假设，这些假设将贯穿始终：o假设（A1）：所有系数uit（ω），σit（ω），uPt（ω）和σPt（ω）是Ft可预测的，一致有界于（t，ω）假设（A2）：金融指数P的波动率一致为椭圆形：| |σPt（ω）|≥>0表示所有（t，ω）。o假设（A3）：作为随机过程S的一个函数，支付g（S·）是有界的。我们的方法是考虑此类未定权益的效用差异估值。关于效用差异评估的总体概述，我们参考了卡莫纳[11]编辑的专著，尤其是亨德森和霍布森[24]在其中的调查文章。为此，我们需要考虑投资者在有期权和无期权情况下的优化问题。投资者拥有最初的财富∈ t任何开始时间t∈ [0，T]，并且能够将金融指数与价格Pt（以及价格为1的无风险债券）进行交易。这将使投资者能够通过其在索赔中的地位部分对冲其面临的风险。期权持有人对其最终财富具有指数效用函数：UT（x）=-E-γxf或γ>0和x∈ R.投资者持有λ个资产单位，其在t时的价格为∈ [0，T]表示为Cλ，并将其剩余财富投资于Xt- Cλtin指的是自然指数P。

投资者将遵循可接受的交易策略π∈ Aad[0，T]=（π：π是Ft可预测的，supτEP“ZTτ|πt | dtFτ#∞< ∞对于任何Ft停止时间τ∈ [0，T]，而且≤ 以弗-γRTtπsPsdPsFti≤ K表示a.e（t，ω）∈ [0，T]×Ohmo、 对于某些常数K≥ >0，这会导致以下财富等式：0≤ T≤ s≤ T，XXt-Cλts（π）=Xt- Cλt+ZstπuPudPu=Xt- Cλt+ZstπuuPudu+hσPu，dWui. （2.3）备注2.1交易策略π的可积性条件与胡等人[25]定义1中要求的条件略有不同。他们假设EP[RT |πt | dt]<∞ 以保证无套利条件，并保证收益过程的效用- E-为了应用鞅最优性原理，在Doob类中引入了γR·πsPsdPsis。我们的第一个可积条件是R·πsdWs的BMO鞅性质。关于效用剩余可积的第二个条件是效用剩余可积-E-γRT·πsPsdPs。在下面的定理2.3中，为了推导效用差异价格的二次BSDE表示，需要这两个可积条件。然而，如果我们只对有界收益的或有目标进行定价和对冲，则它们并不具有限制性，因为相应的最优交易策略始终满足这些条件，并且与[25]中获得的最优交易策略一致。我们回忆起一个连续鞅M和EP[M，M]T<∞ 被称为P-BMO马氏体ifsupτEP[| MT- Mτ| Fτ]∞< ∞对于任何Ft停止时间τ∈ [0，T]。

根据Kazamaki[27]的定理2.3，如果M是P-BMO鞅，则其Dol’eans-Dade指数E（M）属于Doob的D类，因此一致可积。后面将使用的另一个有用属性是以下版本的John NirenburginequalitysupτEP[| MT- Mτ| Fτ]∞≤ KsupτEP[| MT- Mτ| Fτ]∞（2.4）对于某些常数K>0（见[27]的推论2.1]）。投资者将优化可接受的交易策略，以选择最佳π*,λ通过最大化其预期终端效用supπ∈Aad[t，t]EP“-E-γXXt型-CλtT（π）+λg（S·）英尺#。（2.5）为了确定期权的效用差异价格，我们还需要考虑没有期权的投资者的优化问题。这涉及投资者只投资于金融指数本身。她的财富方程与（2.3）相同，但从Xt开始，她会选择一个不理想的π*,0通过最大化supπ∈Aad[t，t]EPh-E-γXXtT（π）Fti。（2.6）我们注意到（2.6）是λ=0的（2.5）的特例。定义2.2（效用差异估值和套期保值）具有收益g（S·）的衍生工具的效用差异价格Cλtofλ单位由解决方案supπ定义∈Aad[t，t]EP“-E-γXXt-CλtT（π）+λg（S·）Ft#=ess supπ∈Aad[t，t]EPh-E-γXXtT（π）Fti。衍生工具λ单位的套期保值策略由两种最佳交易策略π的差异确定*,λ- π*,0.此操作的主要结果是表明期权的价格和相应的边缘策略可以用二次BSDE的解来表示。定理2.3（非线性定价规则）假设满足假设（A1）（A2）和（A3）。

如果（Yλ，Zλ）是下列二次BSDEYλt=λg（S·）+ZTθsds的唯一解+ZTtFs（Zλs）ds-ZTthZλs，dWsi，（2.7），其中θs=|uPs | 2γ| | |σPs | |，驱动器Fs（z）由Fs（z）给出=-γ| | z | |+γ2 | |σPs||zi，hσ-uPsγ- θsfor z∈ Rd，则效用差异价格Cλ表示为二次b（2.7）Cλt=Yλt的解- Yt，（2.8）和期权λ单位的套期保值策略如下所示：-hσPt，Zλt- Zti | |σPt |。备注2.4众所周知，上述类型的二次BSDE（2.7）可以通过鞅最优性原理推导出来——例如，在布朗运动环境中，参见Hu等人[25]的定理7和Ankirchneret等人[3]的第3节；在一般半鞅环境中，参见Mania和Schweizer[30]的定理13和Morlais[32]的第2.1节。下面，我们提供定理2.3的一个新证明，其中鞅最优性原则不起任何作用。相反，我们从风险敏感控制的角度考虑这个问题，并使用可容许交易策略π索引的一系列二次BSDE（2.11）的比较原理来推导二次BSDE表示。虽然这项技术在文献中有所体现（见Quenez[34]第19-21节和El Karoui等人[18]第3节），但我们首次将其应用于具有无界随机系数的二次BSDE。另一方面，从风险敏感控制的角度处理效用差异评估也可能会带来新的效用最大化问题。证据我们考虑效用最大化问题（2.5）。