效用无差异估值的伪线性定价规则

通过在（2.5）中使用（2.3），我们得到了supπ∈Aad[t，t]EPh-E-γ（Xt）-Cλt+RTtπsPsdPs+λg（S·））Fti=- E-γ（Xt）-Cλt）ess infπ∈以弗所-γ（RTtπsPsdPs+λg（S·））Fti=- E-γ（Xt）-Cλt）ess infπ∈以弗所-γ（RTtπ）sPsdPs-θsds）e-γ（λg（S·）+RTθsds）FtieγRtθsds=- E-γ（Xt）-Cλt）exp(-γess supπ∈πt（πt，λY）表示风险控制-γ-ln-EPhe-γ（RTtπs（uPsds+hσPs，dWsi）-θsds）e-γ（λg（S·）+RTθsds）Fti。根据假设（A1）-（A3），λg（·）+Rtθsds≤ K对于某些常数K>1。此外，根据可容许交易策略π的条件，我们知道Yλt（π）对于a.e.（t，ω）是有界的∈[0，T]×Ohm:-γlnk- K≤ Yt（π）≤ -γln+K.我们进一步引入了风险敏感控制问题^Yλt=ess supπ∈Aad[t，t]Yλt（π）。在下文中，我们通过二次BSDE的解来刻画Yλ（π）和^Yλ。首先，我们考虑不同概率测度下的风险敏感控制准则Yλ（π）。对于任何给定的交易策略π∈ Aad[0，T]，我们定义了一个P-BMO鞅（π）=-ZtγπshσPs，dWsi，对于t∈ [0，T]。实际上，对于任何Ft停止时间τ∈ [0，T]，利用可容许交易策略π上的条件和假设（A1），我们得到了supτEP[|NT（π）- Nτ（π）| | Fτ]∞= supτEP“ZTτγ| |σPs | | |πs | dsFτ#∞≤ K supτEP“ZTτ|πs | dsFτ#∞< ∞对于某些常数K>0。

因此，Dol\'eans Dade指数E（N（π））是一致可积的，我们通过定义dPπdP=E（N（π））=E来改变概率测度E(-Z·γπshσPs，dWsi）。Pπ变λt（π）=-γln EPπhe-RTt（γuPsπs）-γ| |σPs | | |πs|-γθs）dse-γ（λg（S·）+RTθsds）Fti=-γln EPπhe-γRTtFs（π）dse-γ（λg（S·）+RTθsds）Fti，其中我们表示fs（π）=uPsπs-γ| |σPs | | |πs|- 注意，Fs（π）只依赖于πs，而不是所有π。接下来，我们通过具有无界随机系数的二次BSDE的解来刻画Yλ（π），其存在性通过直接证明Yλ（π）确实满足此BSDE而得到证明。的确，请注意，对于t∈ [0，T]，\'YλT（π）=e-γ（Yλt（π）+RtFs（π）ds）是Pπ下的一致可积马氏体-γ（Yλt（π）+RtFs（π）ds）=EPπhe-γRTFs（π）dse-γ（λg（S·）+RTθsds）Fti。根据鞅表示定理，存在一个Ft可预测过程Zλ（π），使得Yλt（π）=e-γ（λg（S·）+RT（θS+Fs（π））ds）-ZTth′Zλs（π），dWs（π）i，（2.9），其中W（π）=W- [W，N（π）]是通过Girsanov变换在Pπ下的布朗运动。无论如何∈ [0，T]，如果我们定义ZλT（π）=-γ′Zλt（π）／Yλt（π），并将其^o公式应用于Yλt（π）=-γln′Yλt（π）-RtFs（π）ds，那么很容易验证（Yλ（π），Zλ（π））是以下二次BSDEYλt（π）=λg（S·）+ZTθsds的解+ZTtFs（π）-γ| | Zλs（π）||ds-ZTthZλs（π），dWs（π）i.（2.10）在原概率测度P下等价地写出λt（π）=λg（s·）+ZTθsds+ZTtFs（π）- γhσPs，Zλs（π）iπs-γ| | Zλs（π）||ds-ZTthZλs（π），dWsi。（2.11）我们注意到，BSDE（2.11）在z中具有无限随机系数的量子增长，满足Mania和Schweizer[30]定理8中的BMO条件。由于解λ（π）是有界的，因此[30]中的定理8暗示了（2.11）的比较定理成立。设π，π∈ Aad[0，T]这样的thatFs（π）- γhσPs，ziπs≥ Fs（π）- γhσPs，ziπsfor z∈ 然后Yλt（π）≥ Yλt（π）表示a.e.（t，ω）。

这可以通过改变[30]中的概率度量或通过变量的指数变化来证明。作为副产品，我们还得到了二次BSDE（2.11）允许唯一解（Yλ（π），Zλ（π）），其中Yλ（π）是一个有界特殊半鞅，Zλ（π）是其相应的鞅表示。第三，我们证明了风险敏感控制问题的解由^Yλt=Yλt（2.12）给出，最优交易策略由π给出*,λs=-s的hσPs，Zλsi | |σPs | |+uPsγ| |σPs | |（2.13）∈ [t，t]，其中（Yλ，Zλ）求解二次BSDE（2.5），其存在唯一性由Kobylanski[28]的定理2.3和2.6或Tevzadze[36]的定理1保证。事实上，（2.5）s的驱动等于Ft（0）=0，并且在z方向上平滑zFt（z）=-γz+γ| |σPt||hσPt，zi-uPtγσPt，zzFt（z）=-γ1+γ| |σPt | | |（σPt）TσPt，其中上标T表示矩阵转置。因此，通过假设（A1）-（A3）||zFt（z）| |≤ K（1+| | | | | | | | | | | | |/K）≤ ZzzFt（z）zT≤ K | | z | |，（2.14）和终端数据满意度λg（·）+ZTθsds≤ K（2.15）对于某些常数K≥ 1.因此，BSDE（2.5）存在唯一解（Yλ，Zλ），其中Yλ是一个有界特殊半鞅，其鞅表示为Zλ。此外，马尔廷加部分r·hZλ，dWi是一个P-BMO马尔廷加。现在，我们继续讨论（2.12）和（2.13）。注意，对于任何π∈ Aad[t，t]，Fs（π）- γhσps，Zλsiπs-γ| | Zλs | |=-γ| |σPs | | |πs- π*,λs |+Fs（Zλs）≤ Fs（Zλs），对于π=π*,λ、 Fs（π）*,λ) - γhσps，Zλsiπ*,λs-γ| | Zλs | |=Fs（Zλs）。如果π*,λ∈ Aad[t，t]，然后应用四次B-SDE（2.7）的比较定理，我们得到Yλt（π）≤ 任意π的Yλt∈ Aad[t，t]和Yλt（π*,λ） =Yλt.因为^Yλt=supπ∈Aad[t，t]Yλt（π），我们得到^Yλt=Yλ和π*,λ达到最大值。我们需要验证π*,λ∈ Aad[t，t]。

为此，我们只需要注意r·hZλs，dWsi是一个P-BMOmartingale，andYλt=Yλt（π）*,λ) = -γln EPE-γRTtπ*,λsPsdPse-γλg（S·）英尺a.e.（t，ω）有界∈ [0，T]×Ohm, EP[e]也是如此-γRTtπ*,λsPsdPs | Ft]。优化问题（2.6）是λ=0的（2.5）的特例。最后，根据定义2.2，价格Cλ由-E-γ（Xt）-Cλt+Yλt）eγRtθsds=EP“-E-γXXt-CλtT（π）*,λ） +λg（S·）英尺#=EPh-E-γXXtT（π）*,0)Fti=- E-γ（Xt+Yt）eγRtθsds。因此，Cλt=Yλt- Yt，期权λ单位的套期保值策略由π给出*,λt- π*,0t=-hσPt，Zλti | |σPt | |+uPtγ| |σPt |+hσPt，Zti | |σPt||-uPtγ| |σPt | |=-hσPt，Zλt- Zti | |σPt | |，完成了证明。3函数微分方程和伪线性定价规则在本节中，我们介绍了效用微分价格Cλt的伪线性定价规则。其主要思想是由Liang等人[29]提出的，其中作者介绍了一类函数微分方程，以便在一般的过滤概率空间上解BSDE。关于该方法在求解FBSDE中的推广，请参见lsoCasserini和Liang[12]。解Y-toBSDE（2.7）是一个有界特殊半鞅，因此在P:Yλt=Mλ，Pt下允许一个唯一的解composition- Vλ，Pt，表示t∈ [0，T]，其中Mλ，Pis是鞅部分，它是P-BMO鞅，而Vλ，Pis是Vλ的有限变量部分，P=0。由Mλ，P，Yλt=EPhYλt+Vλ，PT的鞅性质Fti- Vλ，Pt=EP“λg（S·）+ZTθsdsFt#+EP[Vλ，PT- Vλ，Pt | Ft]。（3.1）换句话说，知道有限的变化过程s Vλ和终端数据Yλ就足以计算Yλ，这反过来给我们提供了一个新的公用事业独立价格的定价规则Cλt。定理3.1（伪线性定价规则）假设满足假设（A1）（A2）和（A3）。

如果Vλ，Pis是以下泛函微分方程Vλ，Pt=ZtFs（Zλ，Ps（Vλ，P））ds，（3.2）与Zλ，P（·）的唯一解，作为s-tochastic过程V的一个有效泛函，由ztthzλ，Ps（V），dWsi=λg（s·）+ZTθsds！+及物动词- EP“λg（S·）+ZTθsds！+VTFt#，则效用差异价格Cλt可以用以下线性条件期望Cλt=EP[λg（S·）|Ft]+EP[Vλ，PT表示- Vλ，Pt | Ft]- EP[V0，PT- V0，Pt | Ft]，（3.3）以及期权λ单位的套期保值策略如下所示：-hσPt，Zλ，Pt（Vλ，P）- Z0，Pt（V0，P）i | |σPt |。证据为了得到泛函微分方程（3.2），我们在Ft:Yλt=EP“λg（S·）+ZTθsds！+ZTtFs（ZλS）ds上取（2.7）的条件期望Ft#=EP“λg（S·）+ZTθsds！+ZTFs（ZλS）ds英尺#-ZtFs（Zλs）ds。另一方面，Yλ允许分解Yλt=Mλ，Pt- Vλ，Pt。由于特殊半鞅分解的唯一性，我们通过识别上述两个Yλ表达式的有限变化部分，得到了（3.2）。为了证明Zλt=Zλ，Pt（Vλ，P），我们只需要注意Zλ是Mλ，P的鞅表示。最后，（3.3）来自（2.8）和（3.1）。由于（3.3）处于线性预期下，我们将其称为效用差异价格Cλt的伪线性定价规则。与非线性定价规则（2.8）相比，该定价规则的优势在于，我们只需要求解Vλ的函数微分方程（3.2），以计算效用差异价格Cλt。此外，函数微分方程（3.2）向前延伸。因此，避免了反向方程和潜在正向方程之间的矛盾。然而，在[29]中，驱动力是L ipschitz连续的，函数微分方程（3.2）的驱动力Ft（z）是z中的二次函数。然而，我们可以使用Picard迭代来近似evλ，P，因此效用差异价格Cλt。

我们主要依赖于概率测度的变化，我们将根据概率测度的不同选择，给出Cλt的两个线性近似。我们首先给出了伪线性定价规则在不同概率测度下的等效公式。推论3.2设B=（B，··，Bd）是过滤概率空间上的d维布朗运动(Ohm, F、 {Ft}，Q）。假设N是某个Q-BMO鞅，使得它的Dol\'eans-dadee指数E（N）是一致可积的。PDE=定义。假设Vλ，Qs求解以下泛函微分方程Vλ，Qt=ZtFs（Zλ，Qs（Vλ，Q））ds+hZλ，Qs（Vλ，Q），d[B，N]si，（3.4），Zλ，Q（·），作为V的一个有效泛函，由ztthzλ，Qs（V），dBsi=λg（S·）+ZTθsds！+及物动词- 方程“λg（S·）+ZTθsds！+VTFt#和S=（S，··，Sd）由it=Si+ZtSis（uisds）给出- hσis，d[B，N]si+hσis，dBsi）。（3.5）然后Vλ，Pt=Vλ，Qt-ZthZλ，Qs（Vλ，Q），d[B，N]si（3.6）在滤波概率空间上解（3.2）(Ohm, F、 {Ft}，P）。证据通过定义Vλ，Pin（3.6）和泛函微分方程（3.4），我们得到了Vλ，Pt=ZtFs（Zλ，Qs（Vλ，Q））ds。因此，我们只需要知道，对于t，Zλ，Qt（Vλ，Q）=Zλ，Pt（Vλ，P）∈ [0，T]，这意味着Zλ，Q（Vλ，Q）在概率测度的变化下是不变的。换句话说，鞅表示在概率测度变化下是不变的：ZTthZλ，Qs（Vλ，Q），dWsi=Mλ，PT- Mλ，Pt，其中Mλ，Pt=EP“λg（S·）+ZTθsds！+Vλ，PtFt#，W=B- [B，N]是概率测度P下的布朗运动。

实际上，使用Girsanov变换，ZTthZλ，Qs（Vλ，Q），dWsi=ZTthZλ，Qs（Vλ，Q），dBsi，-ZTthZλ，Qs（Vλ，Q），d[B，N]si=λg（S·）+ZTθsds！+Vλ，QT- 方程“λg（S·）+ZTθsds！+Vλ，QT英尺#-ZTthZλ，Qs（Vλ，Q），d[B，N]si=λg（S·）+ZTθsds！+Vλ，PT- EP“λg（S·）+ZTθsds！+Vλ，PTFt#=Mλ，PT- Mλ，Pt。3.1函数微分方程的扰动根据伪线性定价规则（3.3），我们只需要求解Vλ的函数微分方程（3.2），以获得效用微分价格Cλt。我们对效用微分价格Cλ的第一个线性近似是基于函数微分方程（3.2）的扰动，由Tevzadze[36]的命题2推动的概念。我们感谢其中一位推荐人对这种方法的建议。我们首先将选项λ的单位分解为以下有限和：λ=PJj=1λj，如λj≤λ32KK，其中Kis是来自John Nirenburg不等式（2.4）的常数，Kis是来自BSDE（2.7）的常数（见（2.14）和（2.15））。然后我们对泛函微分方程（3.2）进行如下扰动：Vλj，Pt=ZtFsjXk=1Zλk，Ps（Vλk，P）！- Fsj-1Xk=1Zλk，Ps（Vλk，P）！ds，（3.7），Zλj，P（·），作为V的一个有效泛函，由ztthzλj，Ps（V），dWsi=λjλλg（S·）+ZTθsds！+及物动词- EP“λjλg（S·）+ZTθsds！+VTFt#，按照惯例，pk=1=0。然后很容易验证Vλ，Pt=PJj=1Vλj，ptsolves函数微分方程（3.2）。对于泛函微分方程（3.7），我们可以给出其解Vλj，P的以下线性近似。对于R值的连续和Ft适应过程，定义Banach空间V（[0，T]；R），赋以范数| | V | V[0，T]=supτkE[|VT]- Vτ| Fτ]k∞对于任何Ft停止时间τ∈ [0，T]。此外，定义其子空间（[0，T]；Br）=五、∈ V（[0，T]；R）：| | V | | V[0，T]≤ r代表r=32KK.命题3.3设B=（B，··，Bd）是过滤概率空间上的d维布朗运动(Ohm, F、 {Ft}，Q）。

对于固定j，其中1≤ J≤ J、 假设我们已经解了泛函微分方程（3.7），并得到了它的解Vλk，Pfor k=1，··，J- 1，所以我们有一个有效的泛函Zλk，P（·）。然后nj定义为byNj=Z·hzFsj-1Xk=1Zλk，Ps（Vλk，P）！，我是Q-BMO mart ingale。定义以下序列{Vλj，Q（m）}m≥0迭代：Vλj，Q（0）=0，Vλj，Qt（m+1）=Zt~FsZλj，Qs（Vλj，Q（m））ds，其中Fs（z）由Fjs（z）=Fsj给出-1Xk=1Zλk，Ps（Vλk，P）+z！- Fsj-1Xk=1Zλk，Ps（Vλk，P）！- HzFsj-1Xk=1Zλk，Ps（Vλk，P）！，子。然后{Vλj，Q（m）}m≥0以收敛速度| | Vλj，Q收敛于空间V（[0，T]；Br）- Vλj，Q（m）|V[0，T]≤ RM-1和Vλj，Pis由（3.6）得到：Vλj，Pt=Vλj，Qt-ZthZλj，Qs（Vλj，Q），zFsj-1Xk=1Zλk，Ps（Vλk，P）！身份证。证据对于固定j，我们首先验证nj是Q-BMO鞅。通过推论y3.2，我们得到了Zλk，Ps（Vλk，P）=Zλk，Qs（Vλk，Q），对于k=1，··，j- 1.因此，supτEQ[| NjT- Njτ| | Fτ]∞= supτ情商ZTtzFsj-1Xk=1Zλk，Qs（Vλk，Q）！dsFτ∞≤ supτ方程“ZTt2K（1+| | Zλk，Qs（Vλk，Q）| |）dsFτ#∞< ∞,其中我们使用了（2.14）和z·hZλk，Qs（Vλk，Q），dBsi的Q-BMO鞅性质。接下来，我们考虑序列e{Vλj，Q（m）}m的收敛性≥0.与[36]中的注释1类似，通过两次使用|Fjs（·）的中值定理和（2.14），可以验证|Fjs（z）-~Fjs（\'z）|≤ K（| | z | |+| | | | z |）| | z- \'z | | | | Fjs（z）|≤ K | | z | |。假设Vλj，Q（m）∈ V（[0，T]；Br），我们需要验证Vλj，Q（m+1）在相同的spa c eV（[0，T]；Br）中。实际上，|Vλj，Q（m+1）|V[0，T]=supτ情商“ZTτFsZλj，Qs（Vλj，Q（m））dsFτ#∞≤ KsupτEQ“ZTτZλj，Qs（Vλj，Q（m））dsFτ#∞= Ksupτ情商ZTτhZλj，Qs（Vλj，Q（m）），dBsiFτ∞≤ KKsupτ情商“ZTτhZλj，Qs（Vλj，Q（m）），dBsiFτ#∞, （3.8）我们在上一个不等式中使用了John Nirenburg不等式（2.4）。

在下面，我们表示ξj=λjλg（S·）+ZTθsds！。通过定义λjand（2.15），|ξj |≤32KK。用符号ξj，函数Zλj，Q（·）重写为ztthzλj，Qs（V），dBsi=ξj+VT- 式[ξj+VT | Ft]。因此，在（3.8）之后，|Vλj，Q（m+1）|V[0，T]进一步由kksupτ控制EQhξj+Vλj，QT（m）- 式[ξj+Vλj，QT（m）| Fτ]Fτi∞= KKsupτEQhξj- 式[ξj | Fτ]+Vλj，QT（m）- Vλj，Qτ（m）-等式[Vλj，QT（m）- Vλj，Qτ（m）| Fτ]Fτi∞≤ 4KKsupτ等式[|ξj | Fτ]∞+ supτ情商式（ξj | Fτ）|Fτ∞+ supτEQhVλj，QT（m）- Vλj，Qτ（m）Fτi∞+ supτEQh情商Vλj，QT（m）- Vλj，Qτ（m）|FτFτi∞≤ 8KK|ξj |+|Vλj，Q（m）|V[0，T]≤ 1/（64KK）≤ r、 类似地，我们考虑差异δVλj，Q（m）=Vλj，Q（m+1）- Vλj，Q（m），| |δVλj，Q（m）| | V[0，T]≤ 2KKsupτ情商“ZTthδZλj，Q（Vλj，Q（m- 1） dBsiFτ#∞×supτ情商“ZTthZλj，Q（Vλj，Q（m）），dBsiFτ#∞+ supτ情商“ZTthZλj，Q（Vλj，Q（m- 1） ），dBsiFτ#∞≤ 2KK×4 | |δVλj，Q（m- 1） |V[0，T]×28 | |ξj | |+4 | | Vλj，Q（m）| | V[0，T]+4 | | Vλj，Q（m）- 1） |V[0，T]≤||δVλj，Q（m）- 1） |V[0，T]。我们迭代上述不等式，得到| |δVλj，Q（m）| | V[0，T]≤m | | Vλj，Q（1）| | V[0，T]≤m32KK。因此，对于任何自然数p，|Vλj，Q（m+p）- Vλj，Q（m）|V[0，T]≤pXj=1 | | Vλj，Q（m+j）- Vλj，Q（m+j）- 1） |V[0，T]≤M-1×32KK。让我↑ ∞, 我们推导出{Vλj，Q（m）}m≥0是一个柯西序列，收敛到so me limitVλj，Q。另一方面，让p↑ ∞, 我们得到了收敛速度。3.2非线性Girsanov变换我们的伪线性定价规则（3.3）的关键步骤是利用泛函微分方程（3.2），以获得Vλ，P。我们对效用差异价格Cλ的第二次线性近似是基于非线性版本的Girsanov变换，以消除（3.2）的驱动因子Ft（z）。这种想法在BSDE文献中已有记载。

例如，Mania和Schweizer[30]中出现了一个s命题n11，Ankirchner等人[1]中测量了BSDE的解，他们将终端数据（支付）建模为一般随机变量。相比之下，当我们指定基础和支付结构的动力学时，一个耦合的FBSDE自然出现。直观的想法如下：注意，在推论3.2中，如果我们选择N:N=Z·γhZλ，Qs（Vλ，Q），dBsi-Z·γ2 | |σPs||hσPs，Zλ，Qs（Vλ，Q）i-2uPsγhσPs，dBsi，（3.9），那么函数微分方程（3.4）的驱动力将消失，而t的Vλ，Qt=0∈ [0，T]。似乎可以通过（3.6）和（3.4）：Vλ，Pt=0轻松获得Vλ，pca-ZthZλ，Qs（0），d[B，N]si=0+ZtFs（Zλ，Qs（0））ds。然而，在这种情况下，随机过程Zλ，Q（0）和S作为一个循环相互依赖：ZTthZλ，Qs（0），dBsi=λg（S·）+ZTθsds！- EQ“λg（S·）+ZTθsds！Ft#，（3.10）和S=（S，··，Sd）由it=Si+ZtSis（uisds）给出- hσis，d[B，N]si+hσis，dBsi）。（3.11）因此，我们必须将（3.11）作为一个函数微分方程来求解，它依赖于Zλ，Q（0）作为S的整个路径的函数。注意，（3.10）和（3.11）也构成了一个偶合bsdes的特例，如果我们引入一个反向过程Yλ作为条件期望：Yλt=EQ“λg（S·）+ZTθsds！英尺#。借助这种非线性Girsanov变换，剩下的任务是求解泛函微分方程（3.11）。在下面的例子中，我们在一个特殊的马尔可夫环境中求出了它的解：o假设（A4）：所有的系数都是确定性的，并且支付函数g（·）是一个满足以下条件的正基函数：|g（ST）- g（\'ST）|≤KλdXi=1 | ln-SiT- 坐着。我们记住的一个典型例子是，对于某个常数K>0，g（s）=min（K，s）。在假设（A1）-（A4）下，条件预期Yλt可以写成时间t和价格过程St的函数：Yλt=Yλ（t，St）。