一类诚实时间下的无套利

由于引理2.6，过程YG:=E（（1-Z-)-1I]]τ+∞[[cmc）是一个定义良好的连续实值正G-局部鞅，其中mc是m的连续F-局部鞅部分，cmc定义如（2.5）所示。由于S和（2.5）的连续性，我们得到了- Sτ+hS- Sτ，I]]τ+∞[[1 - Z-cmci=S- Sτ+（1）- Z-)-1I]]τ+∞[[ hS，miF=bS∈ Mloc（G）。因此，将此公式与It^o公式结合应用于- Sτ）YG，我们得出结论，后一个过程是G-局部鞅。这证明了S的UPBR（G）- 定理的证明已经完成。注2.9定理2.7明确断言，如果τ∈ S的跳跃对S的G套利有显著影响- Sτ。因此，下面的自然问题就出现了：你认为这种情况如何{s6=0}∩ [[τ ]] =  G套利的影响？（2.6）8 Anna Aksamit等。例2.10假设F是由强度为1的泊松过程N评定的基因。考虑两个实数a>0和u>1，并设置τ：=sup{t≥ 0:Yt:=ut- 新界≤ a} ，Mt:=Nt- t、 （2.7）可以很容易地证明，见[3]，τ∈ H是有限的，关联过程Z和Z由Z=ψ（Y）给出- a） I{Y≥a} +I{Y<a}andeZ=ψ（Y- a） I{Y>a}+I{Y≤a} 。这里ψ（u）：=P监督≥0Yt>u是与过程Y相关的破产概率（见[5]）。因此，我们有1个- Z-= [1 - ψ（Y）-- a） ]I{Y->a} 我们可以证明m=m+φ M、 式中（2.9）φ=-- A.- 1) - ψ（Y）-- a） ]I{Y->1+a}+[1- ψ（Y）-- a） ]I{a<Y-≤1+a}。假设S=I{a≤Y-<a+1} M然后，借助引理2.5，过程-Sτ（不为空）违反了NUPBR（G），如果它是G-可预测的，则具有有限性。后一个事实等价于S的tobS（G-局部鞅部分）-Sτ）为空，或等效为hbS，bSiG≡ 0

通过使用引理2.6和它的^o引理，把Vt=t，我们得到[bS，bS]=I]]τ+∞[[ [S] =I]]τ+∞[[ S+I{a<Y-≤a+1}I]]τ+∞[[ V=I]]τ+∞[[bS+I{a<Y-≤a+1}I]]τ+∞[[1.-φ1 - Z- 五、 （2.10）=I]]τ+∞[[bS是G-局部鞅。最后的e质量是由φ引起的≡ 1.- Z-关于{a≤ Y-< a+1}∩]]τ, +∞这证明了≡ 0，而他是- Sτ违反NUPBR（G）。例2.11考虑与例2.10相同的设置和符号，除了初始市场模型，我们假设其形式为S=I{Y->a+1} 相反，我是。然后，通过将引理2.6、It^o引理和（2.10）中类似的计算结合起来，我们推导出YG:=E（ξ）bS）和YG（S）-Sτ）是G-局部鞅，YG>0。这里ξ由ξ：=ψ（Y）给出-- A.- 1) - 12- ψ（Y）-- （a）- ψ（Y）-- A.- 1） I{Y->a+1}I]]τ+∞这证明了- Sτ满足NUPBR（G）。无套利和诚实时间9备注2.12 1）示例2.10和2.11的经济/金融含义如下：（2.7）中定义的随机时间代表了一家公司的现金储备最后一次不超过a.T.n水平的时间，如示例2。10（分别在例2.11中）我们可以考虑其priceprocess位于{a]上的任何安全性≤ Y-< 1+a}（分别在{Y上）-> 1+a}）。2）注意，在示例2.10和2.11中，随机时间τ的g图包含在可预测停止时间的可数图的并集中。因此，由于S的quasi左连续性，我们立即得出{s6=0}∩对于这两个例子，[[τ]]都是空的。这是否定的回答（2.6）。2.3主要结果及其应用我们的第一个主要结果需要以下简单而有趣的引理。引理2.13假设τ∈ 而且几乎可以肯定，它是有限的。

然后，VF:=XI{eZ=1>Z-}, （2.11）是具有有限值的c`adl`ag，因此是F-局部可积的。证明由于命题B.1-（B），存在一系列F-停止时间，（σn）n≥1这几乎肯定会增加到完整性，1≤ n（1）- Zt-)关于{Zt-< 1} ∩ {t≤ σn}。因此，对于任何非负且有界的F-光学过程H，我们有H VFσn≤ NXH（1）- Z-)I{eZ=1>Z-}σn=nXH(m） I{eZ=1>Z-}σn≤ n（H） [m，m]）σn。因此，将上述不等式与[m，m]∈ A+loc（F）。下面，我们宣布我们的第一个主要结果。定理2.14假设S是F-拟左连续半鞅，τ∈ 几乎可以肯定，H是有限的。那么，以下是等效的。（a） S- Sτ满足NUPBR（G）。（b） （1）- Z-)  Ta（S）满足NUPBR（F）。（c） I{Z-<1} Ta（S）满足NUPBR（F），其中Ta（S）：=S- [S，VF]=S-十、SI{eZ=1>Z-}. （2.12）证明（a）==>（b） 是技术性的，需要注释。因此，为了读者的方便，我们将整个定理的证明推迟到第4.10节Anna Aksamit等人。备注2.15（a）该定理以精确而深刻的方式断言，arbitr对过程s- Sτ与S的跳跃和Ez的跳跃之间的相互作用密切相关。（b） 定理2.14声称-在G下Sτ是无套利的当且仅当集{Z上的部分Ta（S）（S）在F下是无套利的-< 1} . 因此，这使我们能够挑出在τ之后遵守NUPBR的实际情况，如即将推出的推论y 2.16和orem 2.18所述。推论2.16假设S是F-拟左连续的，τ∈ 几乎可以肯定，H是有限的。

那么以下断言成立：（a）如果S、 P(S） I{eZ=1>Z-}满足NUPBR（F），然后S-Sτ满足NUPBR（G）。（b） 如果满足NUPBR（F）和{s6=0}∩ {eZ=1>Z-} =  , 然后是S- Sτ满足NUPBR（G）。备注2.17 1）断言（b）断言如果S不跳到{eZ=1>Z-}, 那么，在“在-τ之后”的面值t中不会发生G下的套利。断言（a）给出的假设比断言（b）弱得多，因为它假设LPSI{eZ=1>Z-}∈ 对于某些L，Mloc（F）∈ Lσ（S，F）（在（2.1）中定义），而断言（b）假设PSI{eZ=1>Z-}是空的。推论2.16的证明：很明显，断言（a）直接来自组合（1）- Z-)  Ta（S）=（1）- Z-, -(1 - Z-)) S、 PSI{eZ=1>Z-}第2.14节。由于{s6=0}∩ {eZ=1>Z-} = , 断言（b）遵循断言（a），并得到推论的证明。本着定理2.14进一步适用的精神，我们陈述以下定理2.18，假设τ∈ H.设u为与S的跳跃相关的可选随机测量值，而νFandνGbe为u和I]]τ的F-补偿器和g-补偿器+∞[·分别为u。如果S满足NUPBR（F）和i]]τ+∞[[·νFis相当于νGP- a、 （2.13）然后- Sτ满足NUPBR（G）。这个定理的证明来自定理2.14，只要我们在（2.13）下证明满足numbr（F）当且仅当Ta（s）满足numbr（F）。这个证明是技术性的，因此它被委托给第4节。备注2.19备注：我们始终具有绝对连续性<<一] ]τ+∞[·νFP- a、 这源于这样一个事实，即相对于νfan，νGis是绝对连续的，并且它存在于]]τ上+∞[[仅。（a）L\'evy情况：假设S是一个L\'evy过程，F（dx）是它在F下的L\'evy度量，那么νF（dt，dx）=F（dx）dt和νG（dt，dx）=I]]τ+∞[[FGt（dx）dt，其中FGt（dx）是其在G下的L′evy度量。

因此，定理2.18断言 λ几乎每一个（ω，t）（λ（dt）=dt），FGt（ω，dx）=f（t，x，ω）f（dx）对于一些无套利和诚实时间11实值和正泛函f（t，x，ω），然后S-Sτ满足NUPBR（G）。对于更多的实际情况，我们请读者参考[13]。（b） 例2.10–2.11与定理2.18：在例2的上下文中。10，我们很容易计算出νF（dt，dx）=I{a<Yt-≤a+1}δ（dx）dt和νG（dt，dx）=I]]τ+∞[t）I{a<Yt-≤a+1}（1）- φt/（1）- Zt-)) δ（dx）dt≡ 0不等于I]]τ+∞[[·νF.这个例子表明t（2.13）可以被违反。因此，在这种情况下，我们不能断定S- Sτ满足与否直接来自定理2.18。对于例子2.11的情况，我们有νF（dt，dx）=I{Yt->a+1}δ（dx）dt和νG（dt，dx）=I]]τ+∞[（t）I{Yt->a+1}（1）- φt/（1）- Zt-)) δ（dx）dt，相当于I]]τ+∞[[·νFsince{Y-> a+1} {φ < 1 - Z-} P 因此，定理2.18允许我们得出以下结论：- Sτful填充NUPBR（G）。本小节的其余部分描述了保存NUPBR的τ模型。定理2.20假设τ∈ H.那么，以下是等效的。（a） 集合{eZ=1>Z-} 是可访问的（即它包含在F-可预测停止时间图的可数并集中）。（b） 对于每一个（有界）F-拟左连续m-鞅X，过程X- Xτ满足NUPBR（G）。（b\'）对于任何概率Q~ P和每（有界）F-拟左连续x∈ M（Q，F），过程X- Xτ满足NUPBR（G）。（c） 对于满足NUPBR（F）的每一个F-拟左连续过程X，过程X- Xτ满足NUPBR（G）。命题的证明分为三个部分，我们证明（a）<==>（b） ，（b）<==>(b)及(b)<==>（c） 分别地。1） 我们首先证明（a）=>（b） 。假设精集{eZ=1>Z-}是可以接近的。然后，对于任何F-拟左连续鞅X，我们有{x6=0}∩ {eZ=1>Z-} = .

因此，由于推论2.16–（d），我们得出X-Xτ满足NUPBR（G）。这就完成了（a）的证明=>（b） 。为了证明相反的情况，假设断言（b）成立，我们考虑了一个stopping times序列（Tn）n≥1这将耗尽薄集{eZ=1>Z-} （即neZ=1>Z-o=+∞[n=1[[Tn]]）。然后，为了简单起见，我们用T表示的每个Tn可以分解为完全不可访问的部分Tian和可访问的部分Taas T=Ti∧助教。考虑以下拟左连续F鞅：=V- Vp，F=：V-eV，其中V:=I[[Ti+∞然后，因为{Ti<+∞}  {eZTi=1}，我们推断{Ti<+∞}  {τ ≥ Ti}和henceI]]τ+∞[[ M=-一] ]τ+∞[[eV-G是可预测的。12 Anna Aksamit等。然后，有限变化和G-可预测过程，I]]τ+∞[[ M，satis fies nupbr（G）当且仅当其为null，或等效为0=E一] ]τ+∞[[电动汽车∞= EZ∞(1 - Zs-)开发人员= E(1 - ZTi-)I{Ti<+∞}.因此，我们得出结论，Ti=+∞, P- a、 停车时间T是一个可接近的停车时间。（a）的证明到此结束<==> （b） .2）很容易看出其含义（b\'）==> （b） 允许取Q=P。为了证明相反的意义，我们假设给定Q~ P和F-拟左连续X∈ M（F，Q）。然后，putZFt:=EdQdP |英尺=: Et（N），Y：=E（N（qc））XE（N（qc））N（qc）：=N-ISn[[σn]]N、 式中，（σN）是F-可预测停止时间序列，它耗尽了N的所有可预测跳跃。换句话说，N（qc）是N的F-拟左连续局部鞅部分。然后，由于X的拟左连续性，简单计算表明Y是F-拟左连续鞅。因此，通过将断言（b）直接应用于Y，我们可以得到Y- Yτ=E（N（qc））（X- Xτ）+Xτ（E（N（qc））- E（N（qc））τ）E（N（qc））- E（N（qc））τ满足感（G）。

这意味着实值正G-局部鞅ZGE（N（qc））（X）的存在- Xτ）和ZGE（N（qc））是（G，P）下的σ-鞅。由于ZGE（N（qc））是正的，并且由于[4]的第3.3和第3.5节（该节说明非负σ-鞅是局部鞅），我们推断ZGE（N（qc））是Mloc（G，P）的一个重新估值的正元素，因此ZGE（N（qc））（X- Xτ）是σ-鞅。这证明了X- Xτ满足NUPB R（G），以及（b）的证明<==> （b）完成。3） 注意（c）==> （b\'）是显而易见的，因此我们只关注于证明相反。假设断言（b\'）成立，并考虑满足NUPBR（F）的F-准左连续过程X。然后，存在一个实值和正F-局部鞅Y，以及一个实值和F-可预测过程φ，使得0<φ≤ 1y（φ 十） 是F-鞅。设（Tn）为F-停止时间序列，该序列增加到整数（几乎肯定），使得YTnis为鞅，s etX:=φ 十、 Qn:=YTn/Y P~ P.通过应用断言（b\'）和Qn~ P（因为x是M（F，Qn）的F-拟连续元），我们得出（φ （十）- Xτ）Tn=XTn-（XTn）τ满足NUPBR（G）。因此，再次感谢提案A.2，X的NUPBR（G）- Xτ紧随其后。这就结束了（b）的证明<==>（c） ，以及这个命题。无套利与诚实时间定理2.21假设τ∈ H和F是准左连续的。

那么下面的断言是等价的。（a） 薄集{eZ=1>Z-} 是转瞬即逝的。（b） 对于每个（有界）F-鞅X，过程X-Xτ满足NUPBR（G）。（b\'）对于任何概率Q~ P和每（有界）F-拟左连续x∈ M（Q，F），过程X- Xτ满足NUPBR（G）。（c） 对于每个满足NUPBR（F）的（boun-ded）X，X-Xτ满足NUPBR（G）。两个等价的证明（b′）<==>（c） 及(二)<==>（b’）遵循与定理2.20中相应证明相同的论点（见第2段和第3段））。因此，我们省略了这些证明和（a）的证明==>（b） 同样，后者紧随定理2.20-（a）或推论2.16-（d）。因此，proo f的剩余部分侧重于证明（a）==>（b） 。为此，我们假设断言（b）成立，并回顾，当F为aquasi左连续过滤比n时，任何可预测的F-停止时间都是可预测的（见[10]或[15，Th.4.26]）。然后，因为F是一个拟左连续的过滤，任何F-鞅都是拟左连续的，并且从定理2.20我们推导出了薄集，{eZ=1<Z-}, 这是可以预测的。现在取任意F-可预测的停止时间T，使[[T]] {eZ=1>Z-}.这意味着{T<+∞}  {eZT=1}，由于E（eZT | FT-) = ZT-关于{T<+∞}, 我们得到了<+∞}(1 - ZT-)) = E（I{T）<+∞}(1 -eZT=0。这导致T=+∞ P- a、 s（自{T<+∞}  {ZT-< 1} ），并完成了定理的证明。备注2.22定理2.21的结论在没有过滤F的拟傅立叶连续假设的情况下仍然有效。这种一般情况，可以在早期版本[1]中找到，需要更多的技术论证。备注2.23（b）项的证明<==> （c） 在orem中，2.14是显而易见的（因为（1- Z-)-1I{Z-<1} 是F-局部有界的-请参见属性B.1-）。因此，唯一需要证明的部分是（a）<==>（b） 。

含义（b）==>（a） 可以用更抽象的方式表述，因为TA（S）是一个简单的事实- （Ta（S））τ=S- Sτ和Ta（S）不在{eZ=1>Z上跳跃-}.因此，在命题A.2中，我们可以假设S是一个不跳到{eZ=1>Z上的F-拟le-ft连续局部鞅，而不丧失一般性-}, 证明在这种情况下- Sτ满足NUPBR（G）。这是下一节的目标，以一种更有趣、更一般的方式，因为它明确地构建了一个纽约州的G-definator- Sτ与S一样长∈ Mloc（F），准左连续，与VF正交-VFp、 F（VFis在（2.11）中定义）。14 Anna Aksamit等。3一类F-局部鞅的显式定义本节提出了M的G-定义的显式构造-Mτ，whenM跨越一类F-拟左连续局部鞅。这一成就背后的关键数学思想在于，当G补偿器和F补偿器都存在时，具有有限变化的过程的G补偿器和F补偿器之间的精确关系。这是第一小节的目的，而第二小节则说明了有关过滤器的结果。3.1双重可预测预测预测在G和FIn下，我们通过分别根据F-comp补偿/预测编写G补偿/预测来开始我们的研究。尽管这一小节的结果证明很简单，而且根本不是技术性的，但为了方便读者，我们还是选择将其下放到附录中。引理3.1假设τ∈ H.那么，以下断言成立。（a） 对于任何F-适应过程V，具有局部可积变化，我们有i]]τ+∞[[ Vp，G=I]]τ+∞[[(1 - Z-)-1.(1 -（埃兹） 五、p、 F，（3.1）和on]]τ+∞[p，G](V）=（1）- Z-)-1 p，F(1 -（埃兹）五、. （3.2）（b）对于任何F-局部鞅M，有，on]]τ+∞[p，G]M1-简单=p、 FMI{eZ<1}1.- Z-, andp，G1.-简单=p、 FI{eZ<1}1.- Z-.

（3.3）（c）对于任意拟左连续F-局部鞅M，一个hasp，G(M） （1）-（埃兹）-1I]]τ+∞[[= 0.（3.4）下一篇le mma关注过程的可积性（1-（埃兹）-1I]]τ+∞[respec t to any process with F-局部可积变化。因此，我们完成了G和F补偿器的比较。回想一下，由于[12，第XX章]，eZ=Z on]]τ+∞[2]引理3.2设τ为诚实时间，V为c`adl`ag，F-适应过程，具有有限的变化。然后，以下断言成立。（a）过程u:=（1）- Z）-1I]]τ+∞[[ 五、 （3.5）无套利和诚实交易是一个定义明确的过程，即G适应、c`adl`ag，并且具有有限的变化。（b） 分别属于，如果分别属于∈ Aloc（G）（分别为美国）∈ A（G））and up，G=I]]τ+∞[[(1 - Z-)-1. （I{eZ<1} V）p，F.（3.6）（c）进一步假设τ几乎肯定是有限的。然后，I]]τ+∞[[ 五、∈Aloc（G）当且仅当（1）-（埃兹） 五、∈ Aloc（F）。（d） 进一步假设τ几乎肯定是有限的，而V是一个非减量且F可预测的过程。然后，对于任何F-可预测过程≥ 0，νI]]τ+∞[[ 五、∈ A+loc（G）i FF（1）- Z-)φ  五、∈ A+loc（F）i fff~ni{Z-<1} 五、∈ A+loc（F）。3.2消泡剂的构造在这里，我们首先介绍一种消泡剂候选者，如下所示。假设τ∈ 考虑G-局部鞅bm:=I]]τ+∞[[ m+（1）- Z-)-1I]]τ+∞[[ hmiF（3.7）和processWG：=(1 - Z-)(1 -（埃兹）-1I]]τ+∞[[ [m，m]。（3.8）那么，以下断言成立。1） 非减量和G-可选过程wg属于A+loc（G）。2）G-局部鞅G:=（1）- Z-)-1I]]τ+∞[[ bm+WG-工作组p、 G，（3.9）满足以下性质：（2-a）E（LG）>0（或相当于1+LG>0）和I]]0，τ]] LG=0。（2-b）对于任何M∈ M0，loc（F），我们有[LG，cM]∈ Aloc（G）即