一类诚实时间下的无套利

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英文标题：
《Non-Arbitrage under a Class of Honest Times》
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作者：
Tahir Choulli, Anna Aksamit, Jun Deng and Monique Jeanblanc
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper quantifies the interplay between the non-arbitrage notion of No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk (NUPBR hereafter) and additional information generated by a random time. This study complements the one of Aksamit/Choulli/Deng/Jeanblanc [1] in which the authors studied similar topics for the case of stopping at the random time instead, while herein we are concerned with the part after the occurrence of the random time. Given that all the literature -up to our knowledge- proves that the NUPBR notion is always violated after honest times that avoid stopping times in a continuous filtration, herein we propose a new class of honest times for which the NUPBR notion can be preserved for some models. For this family of honest times, we elaborate two principal results. The first main result characterizes the pairs of initial market and honest time for which the resulting model preserves the NUPBR property, while the second main result characterizes the honest times that preserve the NUPBR property for any quasi-left continuous model. Furthermore, we construct explicitly \"the-after-tau\" local martingale deflators for a large class of initial models (i.e. models in the small filtration) that are already risk-neutralized.
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中文摘要：
本文量化了无风险无无界利润的无套利概念（下文简称NUPBR）与随机时间产生的附加信息之间的相互作用。这项研究补充了Aksamit/Choulli/Deng/Jeanblanc[1]中的研究，在该研究中，作者研究了在随机时间停止的情况下的类似主题，而在本文中，我们关注的是随机时间发生后的部分。鉴于所有文献（据我们所知）都证明，在避免连续过滤中停止时间的诚实时间之后，NUPBR概念总是被违反，本文提出了一类新的诚实时间，对于某些模型，NUPBR概念可以保留。对于这个诚实时代的家族，我们阐述了两个主要结果。第一个主要结果刻画了初始市场和诚实时间对，由此得到的模型保持NUPBR性质，而第二个主要结果刻画了任何准左连续模型保持NUPBR性质的诚实时间对。此外，我们为一大类已被风险中和的初始模型（即小过滤模型）明确构造了“后tau”局部鞅平减指数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：无套利 Quantitative Differential Applications Probability

Noname手稿第号（将由编辑插入）诚实时间类别下的无套利Anna Aksamit·Tahir Choulli·JunDeng·Monique Jeanblanc 2016年4月1日的版本摘要本文量化了无无限利润有界风险的无套利概念（下文简称NUPBR）与随机时间生成的附加信息之间的相互作用。这项研究补充了Aksamit/Choulli/Deng/Jeanblanc[1]中的一项研究，在该研究中，作者研究了在随机时间停止的情况下的类似主题，而我们关注的是随机时间发生后的部分。鉴于所有文献（据我们所知）都证明，在避免连续过滤停止时间的诚实时间之后，NUPBR概念总是被违反，因此我们提出了一类新的诚实时间，对于某些模型，NUPBR可以保留。对于这个诚实时代的家庭，我们得出了两个主要结果。第一个主要结果描述了初始市场和诚实时间对的特征，由此得到的模型保留了UPBR属性，而第二个主要结果描述了诚实时间对任何准左连续模型保留了NUPBR属性。此外，我们还为一大类初始模型（即。

小型过滤器中的模型）已被中和。安娜·阿克萨米特数学研究所，牛津大学，牛津大学，数学与模型化实验室联合王国，埃弗里·瓦尔德·埃松大学，UMR CNRS 8071，弗朗西塔希尔·乔利（通讯作者）数学与统计科学研究部。，加拿大埃德蒙顿贝尔塔大学邮件：tchoulli@ualberta.caJun中国北京对外经济贸易大学银行与金融学院2 Anna Aksamit等人1引言本论文补充了[1]中关于量化准左连续模型的额外信息/不确定性与ar比特率之间的确切相互作用的研究。与[1]中类似，我们关注的是无无界利润和有界风险的无套利概念（以下简称NUPBR），额外的信息是随机时间发生的时间，即它发生的时间。[9]（见[1]）中明确指出，当违反NUPBR时，定价和优化问题的现有方法均无效。在本文中，套利意味着无限利润和有限风险策略。1.1主要目标和相关文献是什么？在本文中，我们考虑给定一个随机基(Ohm, G、 F，P），其中F∞:= ∨T≥0英尺 G、 过滤比nf:=（Ft）t≥0满足通常的假设（即正确的连续性和完整性），并对所有代理在一段时间内收到的“公共”信息流进行建模。初始金融市场在此基础上定义，由d维半鞅和无风险资产表示，利率为零。除了这个初始模型，我们还考虑了一个固定的随机时间（非负随机变量），用τ表示。

这一随机时间可以代表保险人的死亡时间、公司的违约时间，或可能以某种方式影响市场的重大事件的任何发生时间。在这种情况下，我们的目标在于回答以下问题。如果(Ohm, F、 S）是无套利的，那么该怎么说呢(Ohm, F、 S，τ）？在对新的信息系统建模之后，这个问题转化为(Ohm, G、 S）是否存在套利。在这里，G是新的信息流，将在下一节中从数学上具体说明，它将F和τ合并在一起，并使τ成为G停止时间。感谢[21]（连续情况见[7]，一维情况见[20]），我们可以很容易地证明这一点(Ohm, G、 S）当且仅当两个模型都满足NUPBR条件(Ohm, G、 Sτ）和(Ohm, G、 S-Sτ）完全满足NUPBR条件。在[1]中，c的作者使用了(Ohm, G、 Sτ），而第二部分(Ohm, G、 S- Sτ）构成了本文的主要目标。正如后面将在数学上详细说明的那样，NUPBR的概念大体上包括在某种意义上“控制”增益过程，这些增益过程在时间和广度上是一致的，从下到下为1。从主题上讲，这些过程是关于资产价格过程的随机积分。因此，根据Dellacherie-Mokobodski标准，调查UPBR的第一个障碍是(Ohm, G、 S- Sτ），取决于该模型是否是“可接受”但复杂（不仅是买入和持有）财务策略的集成商。准左连续模型/过程是指在可预测停止时间、无套利时间和诚实时间3上不跳跃的过程。这归结为满足半鞅性质的模型（见[11]第401页定理80）。因此，τ上的“诚实”假设保证了τ后半鞅性质的保留。

众所周知（见[19，Th\'eor\'eme 4.14]），与（G，Sτ）相比，（G，Sτ）的半鞅结构可能失败- 当τ为任意广义时。因此，对于本文的rest，τ被假定为诚实的，这一事实将在下一节从数学上定义。最近，在[16]和[14]中，证明了当诚实时间避免停止时间，且过滤为布朗时，NUPBR属性对（S）失效- Sτ，G）。因此，我们的第一个目标是回答以下问题：对于某些市场，是否存在任何τ可以保留NUPBR？（1.1）我们正面地回答了这个问题，然后我们将重点放在量化τ和初始市场模型之间的相互作用，该模型负责τ之后的悲剧。在我们看来，这可以通过找到一个仅能使用公共信息观察到的函数来实现，例如（K（S），F）是无套利的当且仅当（S）- Sτ，G）有。（1.2）1.2我们的财务和数学成就我们的第一份原始贡献提出了一类新的最佳时间，对于这类时间，有市场在τ之后保持NUPBR状态，因此我们实现了（1.1）中描述的第一个目标。我们的诚实时间家族包括所有的F停止时间，以及许多非F停止时间的例子。通过在整篇文章中考虑诚实时间的这一子类，我们的主要创新之处在于实现了（1.2）的第二个目标，并将函数K描述为尽可能明确的。因此，属于我们类的诚实时间只有在初始市场跳升时才可能引发“后τ”套利。本文件组织如下。在以下部分（第2节），我们将介绍我们的主要结果、其直接后果和/或其经济和财务解释。在本节中，我们还开发了许多示例，并展示了主要思想是如何发挥作用的。

第3节讨论了一类过程的显式局部鞅定义的推导。最后一节（第4节）重点是证明主要定理和其他相关结果。本文还包含一个附录，其中总结了一些现有和/或新的技术成果。2主要成果及其财务解释本节包含三个小节。第一小节定义了符号和NUPBR概念，而第二小节开发了信息市场的简单示例，并解释了Anna Aksamit等人结果中的一些ing要素如何发挥自然和重要的作用。最后一小节介绍了主要结果及其应用，并给出了它们的财务含义。2.1符号和初步说明在下文中，H表示满足通常假设的过滤。H-鞅的集合用M（H）表示。正如我们所说，A+（H）表示一组递增的、右连续的、H适应的和可积的过程。如果C（H）是一类H适应过程，我们用C（H）表示过程集X∈ C（H）的X=0，而Cloc（H）的过程集X存在一个序列（Tn）n≥1小时停车时间增加到+∞ 停止的进程从X到C（H）。我们把C0，loc=C∩ 克劳克。对于具有H-局部可积变分的过程K，我们用Ko表示，这是可选的投影。K的双可预测投影表示为Kp，H。对于过程sx，我们表示o，HX（resp.p，HX）其相对于H的可选投影（分别是可预测的）。对于有限维H-半鞅X，集合l（X，H）是与X维数相同且被积的H可预测过程的集合。r、 t.X和H∈ L（X，H），得到的积分是用H表示的一维过程 Xt:=RtHsdXs。

在本文中，随机过程有任意的有限维（如果没有规定）。我们回顾了本文讨论的无套利问题。定义2.1对于任何T′，H-半鞅X满足（H，Q）下无无界有界风险条件∈ (0, +∞), setKT′（X）：=n（H） 十） T′H∈ L（X，H）和H 十、≥ -1在Q下的概率有界。通常，我们缩写为X满足NUPBR（H，Q），或模型（X，H，Q）满足NUPBR。什么时候~ P，我们简单地省略概率并简化符号。有关这种无套利条件及其与文献的关系的更多细节，请读者参考Aksamit等人[1]。NUPBR性质与σ-鞅密度的存在性密切相关。下面，我们重新定义了一个过程的σ-鞅和σ-鞅密度。定义2.2如果存在实值H-可预测过程φ使得0<φ，则H-适应过程X称为（H，σ）-鞅≤ 1和φ X是H-鞅。如果X是H-适应的，我们称X为（H，σ）-鞅密度（也被称为X的Hde flicator），任何实值正H-局部马尔可夫L，使得xl是（H，σ）-鞅。X的所有H偏差的集合用lσ（X，H）表示：=L∈ Mloc（H）L>0，LX是（H，σ）-martinga-le.

（2.1）无套利和诚实时间5过程X的NUPBR（H）与Lσ（X，H）6之间的等价性= 在[1]中确定（见命题2.3），当地平线可能为有限时，在[21]中确定为有限地平线。除了最初的模型(Ohm, F、 P，S），其中S被假设为一个拟连续半鞅，我们考虑一个随机时间τ，我们将过程D和给定的过滤G与之关联：=I[[τ+∞[G=（Gt）t≥0，Gt:=\\s>t财政司司长∨ σ（Du，u）≤ （s）.过滤G是包含Fand的最小右连续过滤，使τ成为停止时间。在概率论文献中，G被称为F随τ的渐进放大。除了G和D之外，我们还将τ与两个重要的F-超鞅联系起来：I[[0，τ[[表示dz]的F-可选投影，以及I[[0，τ]]的F-可选投影，表示dz，这满足t:=Pτ>t英尺andeZt:=Pτ ≥ T英尺. （2.2）Z与左极限是右连续的，而Z允许右极限和左极限。一个重要的F-鞅，用m表示，由m给出：=Z+Do，F，（2.3），其中Do，Fis是D=I[[τ，∞[[（注意Z是有界的，Do，Fis是非减量的，可积的。）为了区分过滤的效果，我们将用h、.iF或h、.ig来表示过滤或G中计算出的尖括号（可预测的协变量），如果可能出现混淆。我们记得，对于一般半鞅X和Y，尖括号是（如果存在）协变量过程的对偶可预测投影[X，Y]。为了方便读者，我们回顾诚实时间的定义。定义2.3随机时间σ是诚实的，如果对于任何t，存在可测量的r.v.σt，σI{σ<t}=σtI{σ<t}。我们参考Jeulin[19，第5章]和Barlow[6]了解关于下一次的更多信息。

在本文中，我们将我们的研究局限于以下子类Hof随机时间：H:={τ是满足ZτI{τ的诚实时间<+∞}< 1，P- a、 s.}（2.4）6 Anna Aksamit等人评论2.4 1）很明显，任何F停止时间都属于H（我们甚至有zτI{τ）<+∞}= 0），因此我们的诚实时间子类不是空的。2） 在F是完全布朗过滤的情况下，我们考虑以下F停止时间U=V=0，Un:=inf{t≥ 维恩-1:Bt=}，Vn:=inf{t≥ Un:Bt=0}，其中∈ （0，1）和B是一维标准布朗运动。然后，τ：=sup{Vn:Vn≤ T} ，其中T:=inf{T≥ 0:Bt=1}，是一个诚实的时间，它不是s toppingtime，属于H（详细证明见[3]）。下一小节将给出其他不包含停止时间的元素的示例。我们以[1]中获得的以下le mma总结本小节。引理2.5假设X是一个具有有限变化的H-可预测过程。那么X为NUPBR（H）当且仅当X≡ 2.2特殊情况和例子在本小节中，通过分析特殊情况和例子，我们获得了一些对理解初始市场特征与考虑中的第一时间之间的确切相互作用至关重要的结果。以下SimpleLMA在这一分析中起着关键作用。引理2.6以下断言成立。（a） 设M为F-局部鞅，τ为诚实时间。然后过程Cm，定义的ascM:=M- Mτ+（1）- Z-)-1I]]τ+∞[[ 嗯，miF（2.5）是一个G-local m artingale。（b） Ifτ∈ H、 然后G-可预测过程（1- Z-)-1I]]τ+∞[[is G-locallybounded.Proof 1]断言（a）是关于随着诚实时间逐步扩大过滤的标准结果（见[6,12,19]）。2）在此我们证明断言（b）。

已知[12，第二十章]Z=eZon]]τ+∞[，和]]τ+∞[[ {Z-< 1} ∩ {eZ<1} {Z-< 1} ∩ {Z<1}。那么，因为τ∈ H、 我们推断，[[τ+∞[[ {Z<1}，因此进程x:=（1）- Z）-1I[[τ+∞[]，无套利和诚实时间7是c`adl`ag G-适应于[0]中的值+∞) （确定值）。结合]]τ+∞[[ {Z-< 1} ，我们可以很容易地证明tn:=inf{t≥ 0:Xt≥ }n↑ +∞ 麦克斯（XTn）-, XTn-) ≤ n、 P- a、 s。。因此，X-= (1-Z-)-1I]]τ+∞[[是局部有界的，并且完成了lemmais的证明。定理2.7假设τ∈ H.如果S是连续的且满足NUPBR（F），则S- Sτ满足NUPBR（G）。备注2.8该定理源自我们在下一小节中所述的主要结果之一。然而，由于其证明的简单性，不需要任何进一步的技术细节，我们选择在下面详细说明该证明。定理2.7的证明：设S=（S，…，Sd）是满足NUPBR（F）的d维连续过程。然后，存在一个正F-局部鞅，使得LS是（F，σ）-鞅。由于S是连续的，L是局部鞅，我们推导出supu≤.|苏苏普≤.|Lu |是局部可积的。因此，由于[4]中的命题3.3和PDI=1（LSi）=Pdi=1SiL≥-d苏普≤.|苏苏普≤.|Lu |，我们得出结论，LS是一个F-局部鞅。考虑一系列F-停止时间（Tn）n≥1这将增加到LTn和LTn鞅的完整性，并将Qn:=（LTn/L） P~ P然后，S（n）：=stnisan（F，Qn）-鞅。另一方面，根据命题A.2，S- Sτ满足NUPBR（G）当且仅当S（n）- （S（n））τ满足Qn下的NUPBR（G），对于所有n≥ 1.这表明，在不丧失一般性的情况下，只有当是F-鞅时，才需要证明定理。因此，在剩下的证明中，我们假设S是一个可变形函数。