一类诚实时间下的无套利

hLG，cMiGexists, （3.10）其中CM在（2.5）中定义。证明多亏了引理2.6-（b），（1- Z-)-1I]]τ+∞[[是G-局部有界的。因此，通过将这个事实与[m，m]结合起来∈ A+loc（F）和引理3.2-（b），我们得出结论WG=（1）- Z-)-1(1 -（埃兹）-1I]]τ+∞[[ [m，m]∈ A+loc（G），以及随后的断言（1）ho lds。因此，（3.9）中给出的过程LG是一个完全定义的G-局部鞅。本证明的其余部分集中于证明（2-a）和（2-b）的性质。为此，通过结合引理3.1-（b），安娜·阿克萨米特等人（Vp，H）=p，H(V）对于具有局部可积变量的任何过程V和任何过滤H，以及m=eZ- Z-, o n]]τ+∞我们计算LG=（1）- Z-)-1. bm+工作组- 工作组p、 G=m1- Z-+hmiF（1- Z-)+(m） （1）-eZ）（1）- Z-)-p、 G(m） （1）-eZ）（1）- Z-)!=m1-埃兹+hmiF（1- Z-)-p、 F(m） I{eZ<1}(1 - Z-)= -1 +1 - Z-1.-eZ+p，FI{eZ=1}因此，1+LG=I]]τ+∞[h1-Z-1.-eZ+p，FI{eZ=1}i+i[[0，τ]]>0。这证明了属性（2-a）。为了证明（2-b）的性质，我们考虑了一个拟连续F-局部鞅M。然后，很明显，这个准左连续假设意味着hm，M是连续的[X，M]≡ 对于具有有限变量X的任何G-可预测过程，我们得出[LG，cM]=[LG，M]- Mτ]=（1）- Z-)-1I]]τ+∞[[ [m，m]+[WG，m]=1- Z-一] ]τ+∞[[ [m，m]+m（1）- Z-)(1 -eZ）I]]τ+∞[[ [m，m]=1.-简单-1I]]τ+∞[[ [m，m]。（3.11）因此，由于[m，m]∈ Aloc（F），性质（2-b）直接遵循上述等式和引理3.2-（b）的组合。这就结束了命题的证明。

下面，我们详细阐述了“τ后部分”的主要结果。定理3.4 Letτ∈ H几乎肯定是一个定义，并由（3.9）定义。然后，以下断言成立。（a） 如果M是拟左连续F-局部鞅，则PMI{eZ=1>Z-}也是F-局部鞅，然后是E（LG）（M）- Mτ）是G-局部鞅。（b） 对于任意拟左连续F-局部鞅，M，使得{eZ=1>Z-} ∩ {m6=0}是消失的，E（LG）（M- Mτ）是G-局部鞅。证明M是拟左连续F-局部鞅，使得V:=PMI{eZ=1>Z-}是一个F-局部鞅。结果，我们得到了0=(1 - Z-)  五、p、 F=I{eZ=1} [m，m]p、 因此，通过结合这个方程（3.11）和引理3.2-（b），我们得到- Mτ+hLG，M- MτiG=M- Mτ+一] ]τ+∞[[1 -简单 [m，m]p、 G=M- Mτ+I]]τ+∞[[1 - Z- 嗯，如果-一] ]τ+∞[[1 - Z-I{eZ=1} [m，m]p、 F=M- Mτ+（1）- Z-)-1I]]τ+∞[[ hm，MiF=cM∈ Mloc（G）。无套利和诚实时间17因此，断言（a）紧随其后，并结合伊藤的公式应用于（M）-Mτ）E（LG）。断言（b）显然遵循断言（a），定理的证明已经完成。作为这一定理的结果，我们描述了一类F-拟左连续过程，其NUPBR性质保留为“par t-after-τ”。推论3.5假设τ∈ H几乎肯定是有限的，S是F-拟傅立叶连续的。如果S、 P是的{S6=0}满足NUPBR（F），然后S- Sτ满足NUPBR（G）。证明这个证明紧跟着定理3.4-（a）、命题a.2（见附录）和{eZ=1>Z的事实-} = {eZQ=1>ZQ-} 任何问题~ P、 （3.12）式中Ezqt:=Q（τ）≥ TFt）和ZQt:=Q（τ>t | Ft）。最后一个事实是[11]定理86的中间应用，一方面是X=I{eZ=0}和Y=I{eZQ=0}，另一方面是X=I{Z-=0}和Y=I{ZQ-=0}.

4定理2.14和2.18的证明本节重点介绍定理2.14和2.18的证明。这两种证明基本上都基于F和G下S的可预测特性。本节分为三小节。第一小节回顾了可预测的特征，然后提出了一个函数ψ，它与集合{eZ=1>Z密切相关-}. 这ψ量化了负责G-套利的部分。第二小节和第三小节分别用于定理2.14和2.18的证明。4.1 S的可预测特征和函数ψ与过程S关联，我们将其跳跃的随机测度u（dt，dx）：=Pu>0I{Su6=0}δ（u，Su）（dt，dx）。对于任何非负产品可测量的函数H（t，ω，x），我们定义了过程H μ和可测量空间上的σ-有限测量值MPuOhm ×R+×Rd，F∞ B（R+） B（道路）拜 ut:=ZtZRdH（u，x）u（du，dx）和MPu（H）：=E[H u∞] . （4.1）在本文的其余部分，对于任何过滤H，我们表示EO（H）：=O（H） B（Rd），eP（H）：=P（H） B（Rd）和MPu（W | eP（H）），对于非负或有界泛函W，是满足MPu（Y U）=MPu（W U）的任何有界18 Anna Aksamit等人的uniqueeP（H）-可测泛函Y。andeP（H）-可测泛函U。随机测度ν（dt，dx）是满足（H）的唯一F-可预测随机测度 u）p，F=H ν、 对于任意EP（F）-可测且非负H。有一个版本的ν取F rmofν（dt，dx）=Ft（dx）数据，其中a是一个非减量且F-可预测的过程，F（dx）是一个F-可预测的核。

然后，SisS=S+Sc+h的正则分解 (u - ν） +b A+（x）- h） u，（4.2）式中h（x）：=xI{x|≤1} ，Scis是S的连续F-局部马氏体部分，b是F-可预测过程，h(u-ν） 是唯一的纯跳F-局部鞅，跳数由h给出(S） 我{S6=0}，并且存在一个F-可预测的矩阵过程c，这样hSc，SciF=c A.那么，四个（b，c，F，A）就是F- S的可预测特征。（4.3）这些特征参数化了模型（S、f、P），并将在本文的剩余部分频繁使用。以下明确确定了S的G套利来源-Sτ由泛函ψ表示，并给出了它的一些性质。引理4.1 Considerfm:=MPum | eP（F）, 和ψ：=MPuI{eZ<1}P（F）. （4.4）那么，以下是暂停。（a） 过程（fm） u属于A+loc（F），存在βm∈ L（理学士）和M⊥∈ Mloc（F）（即（βm）trcβm A.∈ A+loc（F））使[Sc，m⊥] ≡ 0和m=m+βm Sc+m⊥. （4.5）（b）我们有{ψ=0}={Z-+ fm=1} {eZ=1}，MPu- a、 或等价地{ψ=0}={Z-+ fm=1} {eZ=1}on{s6=0}。（4.6）（c）非减量过程I{ψ=0&Z-<1} u是c`adl`ag，F-在任何概率测度Q下都是局部可积的。证明断言（a）在[1]中得到了证明。因此，我们处理断言（b）和（c）。1）她的e，我们证明断言（b）。回想一下，我们总是有E[W] u∞] =EhMPu（W|eP（F）） ν∞i、 对于任何非负Eeo（F）-可测泛函W。因此，由于MPu（eZ | eP（F））=Z-+ FMA和1-简单≤ 我{eZ<1}，我们要继续前进≤ 1.- Z-- 调频≤ ψMPu- a、 e。

安第斯（1）-eZ）I{Z-+fm=1} u∞i=Eh（1）- Z-- fm）I{Z-+fm=1} u∞i=0。这些清楚地证明，一方面，我们有{ψ=0} {Z-+ fm=1} {eZ=1}，MPu- a、 e.无套利和诚实的时间19另一方面，我们-+fm=1}ψ u∞i=EhI{Z-+fm=1}I{eZ<1} u∞i=0。这证明{Z-+ fm=1} {ψ=0}，MPu- a、 e.完成评估（a）的证明。2） 断言b）的证明紧接着引理2.13（定义了VF，我们在这里回忆VF:=PI{eZ=1>Z）-}为了方便读者）和下列不等式（由（4.6）引起）HI{ψ=0&Z-<1} u ≤ 嗨{eZ=1>Z-} u ≤XHI{eZ=1>Z-}=: H VF，对于H非负且有界。这就结束了引理的证明。在本小节的结尾，我们提供了S的G-可预测特征- Sτ如下所示。在本文的其余部分中，我们将uG（dt，dx）：=I{t>τ}u（dt，dx），并推导出其G补偿器νG由νG（dt，dx）：=I{t>τ}h1给出- fm（x，t）（1）- Zt-)-1iν（dt，dx）。（4.7）此外，G-正则分解- Sτ由S给出- Sτ=cSc+h （微克）- νG）+bI]]τ+∞[[ A.-cβm1- Z-一] ]τ+∞[[ A.-hfm1- Z-一] ]τ+∞[[ ν+（x）- h） uG，其中Csc定义为（2.5）。这种分解清楚地表明，GPS的可预测特性- Sτ，bG、cG、FG、AG, 由bg:=b给出-Zh（x）fm（x）F（x）+cβm(1 - Z-)-1I{Z-<1} ，cG:=cFG（dx）：=1.-fm（x，t）1- Z-I{Z-<1} F（dx），AG:=A- Aτ。（4.8）4.2定理的证明2.14本节证明了这个定理。为此，我们首先在下面的评论中挑出理论中最简单的部分，以及困难部分的关键思想。备注4.2 1）自（1）起- Z-)lI{Z-<1} （对于一个纽约人来说）∈ R） 当F-局部有界时（见引理2.6），很容易看出I{Z-<1} X满足NUPBR（F）当且仅当（1）- Z-)  对于任何F-半马汀麦芽酒X，X都有。因此，单手证明（b）<==> （c） 紧随这一事实。

另一方面，正如备注2.23所述，很明显- Sτ=Ta（S）- （Ta（S））τ和{Ta（S）6=0}∩ {eZ=1>Z-} =  ,20 Anna Aksamit等人和（b）的证明==> （a） 将这些与推论3.5组合而成。因此，本节的其余部分准备并随后提交（a）的证明==> （b） ，这是定理中最技术和最困难的部分。2） （a）的证明==> （b） 依赖于充分应用orem A.1。因此，证明这一部分的第一个任务在于我们从与（S）相关的（βg，fG）中猜出（β（1），f（1））对（Ta（S），f）- Sτ，G）。多亏了A.3，下一个引理通过向（S）的NUPBR提供等价的陈述为这个目标奠定了基础-Sτ，G），仅使用F-可预测泛函。在这一步之后，我们将证明所选的一对完全满足cor响应模型（I{Z）的条件（A.1）-（A.2-（A.3）-<1} Ta（S），F）。引理4.3设Φα（f）（对于α>0）由Φα（f）：=（f）定义- 1）I{|f-1|≤α} +|f- 1 | I{| f-1 |>α}，对于任何f∈eP（F）。（4.9）然后- Sτ）满足NUPBR（G）当且仅当存在一对时，βF，fF, F-可预测过程和p（F）-可预测函数，例如ff>0 MPu- a、 e.，（βF）trcβFI{Z-<1} A+α（fF）（1）- Z-- fm）I{Z-<1} u ∈ A+loc（F）、（4.10）和P A.- a、 e.关于{Z-< 1} ，我们有z | xfF（x）1.-fm（x）1- Z-- h（x）| F（dx）<+∞ 和（4.11）b+cβF-βm1- Z-+ZxfF（x）（1）-fm（x）1- Z-) - h（x）F（dx）≡ 0 . （4.12）通过使用S的G-可预测特征，证明定理MA.1的正确性- Sτ，在（4.8）中给出，我们推断（S- Sτ）满足NUPBR（G）eff存在一对G-可预测泛函（βG，fG），例如fG>0，（βG）trcβGI]]τ+∞[[ A+q（前景）- 1） I]]τ+∞[[ u ∈ A+loc（G）、（4.13）和P A-A.e.on]]τ+∞[[，Z | xfG（x）- h（x）|（1）- Z-- fm）F（dx）<+∞, 和（4.14）0≡ b+cβG-βm1- Z-+ZxfG（x）（1）-fm（x）1- Z-) - h（x）F（dx）。

（4.15）此外，对于这一对（βG，fG），命题A.3保证了一对F-可预测泛函（βF，fF）的存在，例如That fF>0和（βG，fG）=（βF，fF）on]]τ+∞[4.16]因此，通过在条件（4.13）、（4.14）和（4.15）中插入（4.16），并使用After wards引理3.2-（d）和命题B.3（确切地说是断言（B）、（c）和（d）），勒马的证明立即跟进。无套利和诚实时间214.4来猜测模型的配对（β（0），f（0））S（0）：=I{Z-<1} Ta（S），F从上述引理提供的对（βF，fF），我们需要导出模型的可预测特性。因此，我们通过将与S（0）的跳跃相关的随机测度设为u（0）（dt，dx）：=I{eZ<1&Z来进行计算-<1} u（dt，dx），其F-补偿器ν（0）由ν（0）（dt，dx）给出：=ψ（t，x）I{Zt-<1} ν（dt，dx）。（4.17）然后，通过将其与（4.2）结合，hI{eZ=1>Z-}u ∈ Aloc（F），以及嗨{eZ=1>Z-} up、 F=hψI{Z-<1} ν导出n的正则分解S（0），F并获得itsF可预测的特征，b（0），c（0），F（0）（dx），A（0）, 如下b（0）：=b-Zh（x）ψ（x）F（dx），c（0）：=cF（0）（dx）：=ψ（x）F（dx），A（0）：=I{Z-<1} A.（4.18）那么，根据定理A.1，S（0），F当且仅当存在满足f（0）>0，（a.1）和（a.2）保持的对（β（0），f（0），并且在使用（4.18）进行简化后，b+cβ（0）+Zhxf（0）（x）ψ（x）满足NUPBR- h（x）iF（dx）≡ 0 . （4.19）因此，通过将该方程与（4.12）进行比较，我们可以很容易地得出结论，来自该对（βf，fF）的唯一对（β（0），f（0））由β（0）给出：=βF-βm1- Z-I{Z-<1} ，&f（0）：=fG（x）（1）-fm（x）1- Z-)ψ-1I{ψ>0&Z-<1}.这种（显然）独特的选择导致了一个主要障碍，因为我们没有关于ψ的可积性的信息-1I{ψ>0}。然而，这也解释了，找到一个“等价”模型将使我们能够控制这个可积性问题。

这就是下文的目的。4.5假设Ta（S）在（2.12）和（1）中定义：=I{ψ=0&Z-<1} (u - ν） 和S（1）：=I{Z-<1} s- [S，m（1）]。（4.20）那么，S（0）：=I{Z-<1} Ta满足NUPBR（F）当且仅当S（1）满足NUPBR（F）时。为了方便读者，这个命题的证明被委托到附录中。现在，我们正在证明定理2.14。定理2.14的证明支持- Sτ满足NUPBR（G）。然后，根据引理4.3，我们推导出满足fF>0、（4.10）、（4.11）和（4.12）的（βF，fF）的存在性。由于提案4.5，一旦我们证明（S（1），F）满足NUPB R，该证明将作为22 Anna Aksamit等人完成。这是剩余证明的目的。为此，我们把∑：={Z-< 1&ψ>0}，eOhm := Ohm × [0, +∞),β：=（βF）-βm1- Z-)I{Z-<1} ，f:=fF（x）1.-fm（x）1- Z-I∑+IeOhm\\Σ. （4.21）很明显，f>0。为了使用上述对（β，f）应用定理A.1，我们需要导出可预测的特征（S（1），f）。因此，我们首先通过u（1）（dt，dx）：=uS（1）（dt，dx）=I{ψ（t，x）>0}I{Zt获得该模型跳跃的随机测度-<1} u（dx，dt）及其F-补偿器ν（1）（dt，dx）：=I∑（tx）ν（dt，dx），∑：={ψ>0&Z-< 1}. （4.22）然后，一个增益，结合（4.2），和hI{ψ=0&Z-<1} up、 F=hI{ψ=0&Z-<1}ν、 我们很容易推导出模型的正则分解，并得到其可预测的特征，b（1），c（1），F（1）（dx），A（1）, 如下所示：b（1）：=b-Zh（x）I{ψ（x）=0}F（dx），c（1）：=c，F（1）（dx）：=I{ψ（t，x）>0}F（dx），A（1）：=I{Z-<1} A.. （4.23）很明显，通过将（4.21）和（4.23）插入（4.11）和（4.12），我们得到了z | xf（1）（x）- h（x）| F（1）（dx）<+∞ P A（0）- a、 e.和b（1）+cβ（0）+Zhxf（1）（x）- h（x）iF（1）（dx）≡ 0，P A（0）- a、 e。。因此，我们在这一证明的其余部分集中于证明对（β，f）的可积条件（A.1）。

由于（1）的局部有界性- Z-)-2I{Z-<1} （见引理2.6）和（βm）trcβm A+（βF）trcβF A.∈ A+loc（F）（见引理4.1和（4.10）），我们推断β-trcβ A.∈ A+loc（F）。在此之前，我们现在处理p（f）- 1) u(1)∈ A+loc（F）。然后，f- 1=（fF）-1)1.-fm（x）1- Z-I∑-fm（x）1- Z-I∑，∑：={ψ>0&Z-< 1}.因此，自0≤ 1.- Z-- 调频≤ 1.我们得到了- 1) u ≤s（fF）- 1)1 - Z-- fm（1）- Z-)I{Z-<1} u+sfm（1- Z-)I{Z-<1} u.因此，这与（1）的局部有界性相结合- Z-)-2I{Z-<1} （见L e mma 2.6）、（4.10）和fm u ∈ A+loc（F）（见引理4.1）），p（F）的证明- 1) u（1）=q（f）- 1） I{ψ>0&Z-<1} u ∈ A+loc（F）已完成。定理的证明到此结束。无套利和诚实时间234.3定理2.18的证明根据（4.7）和]]τ+∞[[ {Z-< 1} ，假设（2.13）为0=Eh（1- Z-)-1I{Z-+fm=1>Z-}一] ]τ+∞[[ ν∞i=EhI{Z-+fm=1>Z-} ν∞i=EhI{Z-+fm=1>Z-} u∞i、 这意味着i{Z-+fm=1>Z-} ν和I{Z-+fm=1>Z-} 它们是空的。因此，我们推导出m（1）=I{Z-+fm=1>Z-}u-fmI{Z-+fm=1>Z-}ν也是空的。然后，将这个定理与命题4.5和推论2.16（ii）结合起来，就可以立即证明这个定理。附录A通过可预测特性进行了说明本节的大部分结果在[1]中进行了详细阐述，我们请读者参阅该论文的附录以了解详细信息。在此，我们考虑给定一个概率Q、过滤H和（H，Q）-拟左连续半鞅X。对于这个过程，我们将其跳跃的随机测度与之关联，用uX表示，其（H，Q）-补偿器用νX表示。我们假设X具有以下锥形分解X=X+Xc+H （uX）- νX）+（X- h） uX+b A.这里h（x）：=xI{|x|≤1} h （uX）- νX）表示唯一的纯跳（H，Q）-局部鞅，跳的形式为H(S） 我{S6=0}。

我们假设νX（dt，dx）=F（t，dx）dAt，并且c是矩阵，使得t hXci=c A.四重态（b，c，F，A）是X在（H，Q）下的可预测特征。但在这部分中，不存在混淆。定理A.1设（X，Q，H）为拟左连续模型，（bQ，c，FQ，A）为其在（H，Q）下的可预测特征。然后，X满足NUPBR（H，Q）当且仅当存在一对（β，f）H-可预测过程β和p（H）可测量函数f，即f>0，βtrcβ A+p（f）- 1) uX∈ A+loc（H，Q），（A.1）Z | xf（x）- h（x）| F（dx）<+∞, Q A.- a、 e.（a.2）b+cβ+Z[xf（x）- h（x）]F（dx）=0，Q A.- a、 e.（a.3）参见[1]中的证据。24 Anna Aksamit等人建议A.2设X为H适应过程。那么，以下断言是等价的。（a） 存在一个序列（Tn）n≥1小时停车时间增加到+∞,这样每n≥ 1，存在一个概率Qnon(Ohm, 例如：~ Qn下的P和XTnsatis fies NUPBR（H）。（b） X向上的满意度（H）。（c） 存在一个H-可预测过程φ，使得0<φ≤ 1和（φ 十） 满足NUPBR（H）。这个命题的证明可以在Aksamit et a l[1]中找到。假设τ是一个诚实的时间，并设hg为aneP（G）可测泛函。然后，以下断言成立。（a） 存在两个EP（F）-可测泛函HF和KF，使得Hg（ω，t，x）=HF（ω，t，x）I]]0，τ]]+KF（ω，t，x）I]]τ+∞如果HG>0（分别为HG≤ 1） ，然后我们可以选择KF>0（分别为KF≤ 1） 在（A.4）中。证明（a）和（b）的证明源自模仿J尤林的证明[19，命题5,3]，本文将省略。B G-局部可积性与F-局部可积性本小节将τ后部分的G-局部化与F-局部化联系起来。