平行美国蒙特卡罗

此外，我们注意到，对于100000条路径，仅10次迭代得到的价格与200次迭代得到的价格相差不到两个标准误差。3.8 3.9 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 10000 60000 80000 90000 1000000价格路径数10次迭代20次迭代100次迭代200次迭代图2：迭代次数对美式卖出价格的影响。34.5 35 35.5 36.5 10000 20000 40000 60000 70000 80000 90000 1000000锻炼边界路径数10次迭代20次迭代100次迭代200次迭代图3：迭代次数对中期到期日美国看跌期权早期锻炼边界的影响。4.1.2 U、V和价格的权重由于算法是迭代的，回归系数和价格的值在第一次迭代中不正确。我们从方程（6）中加入了λ=2和u=2的重缩放因子W（i）uv。上一次迭代的每个UK和VK乘以w（i）UV。同样地，我们在价格上加上一个权重，该权重取决于等式（7）中的迭代次数，其中ν=0.99。在每次迭代i中，我们将迭代中路径的当前值之和乘以Ewi，然后再加上前一次迭代的当前值之和。图4显示了各种权重对价格的影响。如果我们在bothU、V和价格中加入权重，价格收敛得更快。我们还在图5.4.05 4.1 4.15 4.2 4.25 4.3 4.35 4.4 4 4.45 4.5 4.55 50000 100000 200000价格无需重新校准的路径数重新校准价格重新校准UVRescaling价格和UVRescaling价格图4：每次迭代对美国看跌期权价格的加权价格或U，V的影响。它对应于中期到期日的边界。

可以看出，U和V的权重，wi对边界有影响，但对价格ewi的权重没有影响。这是因为Wif对用于计算运动边界的回归系数α有影响。相反，价格权重对边界没有影响，因为在计算系数和执行边界后，仅对价格进行重新调整。33.5 34 34.5 35.5 36 50000 100000 150000 200000练习边界未重新校准的路径数缩放UVRescaling price Rescaling price和UVRescaling price图5：加权价格或每次迭代的U，V对美国中期成熟期提前练习边界的影响。4.1.3日期组的大小在Longsta off-Schwartz算法中，在每个日期tk进行回归。我们选择基函数1、S和S。延拓值估计为asE[~P（St+1）|St]\'α+βSt+γSt。系数在每次tkin[t，…，tM]时计算。我们将时间包含在回归变量中，并添加三个基函数：t，tS和tS:E[~P（St+1）|St，t]=α+βSt+γSt+δt+εtSt+ζtSt。我们将D日期分组[tbD]-D+1。。。，待定]。方程UBαb=vb的解析值仅在每组日期中进行一次。通过计算一组b的系数，我们可以估算该组内所有日期的贴现值P[tbD]-D+1。。。，待定]。我们测试了不同大小的日期组。如图6所示，每组的约会次数对价格没有重要影响。在图中，我们也有每组一个日期的情况，这意味着我们在第一种情况下有三个基函数。两种情况下的价格估计都非常相似。随着每组的日期增加，组的总数减少，因此也减少了要反转的线性系统的数量。

因此，使用数据组可以节省一些计算时间，减少要传输的数据量，而不会降低价格的精度。4.4.42 4.44 4.46 4.48 4.5 4.52 0 10 20 30 40 50价格每个区块的日期数置信区间图6：日期组的大小对美式卖出价格的影响。4.2与Longsta ff-Schwartz算法的比较在本节中，我们使用相同的示例和参数，将我们的并行算法与Longsta ff-Schwartz算法进行比较。图7显示了不同路径数的价格。两种算法都收敛到相同的价格，比有限差分法得到的4.486美元价格低1.9倍（相对误差0.4%）。正如我们在第3.5节中所解释的，这是由于连续值的近似，这使得练习稍微次优。值得注意和创新的是，并行算法在整个计算过程中使用了所有可用线程（在我们的示例中为四个）。Longstaff-Schwartz算法只使用一个线程。因此，对于100000条路径，Longstaff-Schwartz需要14.37秒，而并行算法只需要3.6秒，如图8所示。观察到良好的缩放特性。即使将LSM中的路径生成步骤并行化，我们的算法仍然有一个重要的改进。图9显示了我们四核示例中两种算法的价格估算与计算时间。在表1中，我们使用Longsta ff-Schwartz算法、并行算法和有限差分法比较了a股美式看跌期权的价格。在我们的示例中，路径生成在LSM中总共14.37秒的时间内需要8.42秒。并行化这一步将使总计算时间至少为8.05秒，而我们的算法为3.6秒。

这没有考虑内存问题和数据传输成本。4.25 4.3 4.35 4.4 4.45 4.5 4.55 4.6 4.65 0 10000 40000 60000 70000 80000 90000 1000000价格PathSparlel算法的数量Longstaff-Schwartz有限差分美国图7：Longstaff-Schwartz与并行算法的收敛性。0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 10000 20000 40000 60000 70000 80000 90000 1000000次计算时间PathSparlel算法Longstaff Schwartz图8：Longstaff的计算时间-Schwartz vs具有4个核心的并行算法。4.3 4.35 4.4.45 4.5 4.55 4.6 0 2 4 6 8 10 12 14二次并行算法中的价格计算时间Longstaff-Schwartz有限差分美国图9：价格相对于计算时间的收敛性。方法我们使用与上一个示例相同的参数。我们计算基础现货价格S=36、38、40、42、44、波动率σ=20%、40%和到期日T=1、2的不同值的价格。在该表中，我们还列出了每种算法的标准误差（s.e）、欧式期权的价格和早期行使价值，即美式和欧式价格之间的差异。有限差与LSM算法之间的差异非常明显。这20个差值小于或等于2.2°，其中9个值等于1。模拟值的标准误差范围为0.7至2。2c. 有限差分和并行算法的差异更小。这20个差值小于或等于1.9°，其中16个值等于1。标准误差与LSM标准误差相似，为0.6至2。2c. LSM和并行算法之间的所有差异都小于一个标准误差。

对于这两种算法，与有限差的差异既有正面的，也有负面的。4.3改进第一次迭代中的演习决策在每次迭代中，演习策略由来自前一次迭代的系数决定。在第一次迭代中，系数不可用。因此，对于第一次迭代，我们在前面的示例中所做的选择是在到期时执行该选项。另一个解决方案是使用前一次计算的系数，这通常是前一天进行的。我们在图10、11和12中说明了这种情况。在本例中，对于第一次迭代，我们仅使用系数以及之前计算中计算的运动边界，以及不同的市场参数。利率为5.5%，波动率σ为22%，即期价值为34美元。图10显示了看跌期权价格的趋同。我们发射了几次4。25 4.3 4.35 4.4 4.45 4.5 4.55 4.6 4.65 0 10000 20000 60000 70000 80000 90000 1000000价格PathStaff Schwartz并行算法数量-第一次迭代：在成熟时使用选项并行算法-第一次迭代：使用前一天的系数有限差分美国图10：Longsta ff的收敛-Schwartz vs并行算法使用第一次迭代前一天的效率。价格随着路径数量的增加而增加。我们观察到，在第一次迭代中使用前一天的系数可以提高算法的收敛性。进一步说，图11和图12显示了在计算一种定价时，价格和中到期日提前行使边界的演变。它显示每次迭代后的价格和边界值。在第一次迭代中使用前一天系数的价格更高，更接近第一次迭代中的正确价格。

在第一次迭代到期前未行使期权的情况下，我们注意到，在第一次迭代中，美国看跌期权的价格与欧洲看跌期权的价值相当，为3.844美元。经过几次迭代，它收敛到美国价格。在图12中，我们看到，在这两种情况下，第一次迭代的练习边界都高于以下迭代。之所以解释这一点，是因为在第一次迭代中，练习并不理想，因此未充分估计连续值3。8.3.9 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 0 10000 20000 60000 70000 80000 90000 1000000价格PathSparlel算法数量-第一次迭代：在成熟时行使期权并行算法-第一次迭代：使用前一天系数图11：在第一次迭代中，两种商业策略在每次迭代时的美式看跌期权价格的演变。34 34.5 35.5 36 36.5 10000 20000 40000 60000 70000 80000 90000 1000000练习边界PathParallel算法的数量-第一次迭代：在到期时行使期权并行算法-第一次迭代：使用前一天系数图12：在两次行使的每次迭代中，美国在中到期日卖出早期行使边界的演变第一次迭代中的策略。交配。当我们考虑看跌期权时，这意味着边界的估计值高于其实际价值。在第一次迭代的前一天，由于进行了更优化的锻炼，这种现象随着系数的增加而减少。作为总结，我们为第一次迭代提出了两种替代方法：从欧式选项开始，或使用前一天的系数。

最后一种方法提高了算法的收敛性，因为我们使用了一个接近真实练习策略的起点。5结论本文介绍了一种利用最小二乘回归通过模拟为美式期权或可赎回结构性产品定价的新算法。它还可以用于计算交易对手信用风险，如CVA或PFE。由于该算法可以完全并行化，因此它具有直观性、易于实现和良好的可扩展性。计算时间几乎等于计算器的数量。不需要存储路径，计算可以向前进行。这就允许对衍生品进行定价，因为行使决策在很大程度上取决于之前的决策。附录A继续证明。扩展平方并使用期望值的线性，我们可以重写误差函数ψkasψ（αk）=Ehwk（Xk）EePk+1Xk我- 2E“wk（Xk）EePk+1XkpXl=1αk，lfk，l（Xk）#+E“wk（Xk）pXl=1αk，lfk，l（Xk）#.在右边，预期值中有三项。第一个是二次的，但不依赖于αk，l：它是一个常数，与最小化问题无关。我们可以用另一个常数项EhePk+1i来代替它：最小值将被移动，但使函数最小化的系数αk将是相同的。第二个术语可以改写为“wk（Xk）E”ePk+1XkpXl=1αk，lfk，l（Xk）#=E“Ewk（Xk）ePk+1pXl=1αk，lfk，l（Xk）Xk#= E“wk（Xk）ePk+1pXl=1αk，lfk，l（Xk）#.保持最后一项不变并重构这三项，我们发现最小化ψkis相当于最小化Φk。附录B收敛证明。假设每次迭代有m条路径，n次迭代。我们用α表示迭代中计算的回归系数向量。我们用Ui和Vit表示来自最小二乘回归（4）的迭代ito矩阵U和V的路径的平均贡献。

ui和videpend根据上一次迭代αi计算出的效率-1在迭代i中计算路径所用的随机变量上，我们用εi表示。为了简化符号，我们同时用φ表示函数u和v。贡献φ是指在石器时代m条路径上φ的平均值。φi=φ（αi）-1，εi）=mmXj=1φ（αi-1，εji）（9）我们将矩阵值函数u和向量值函数v分解为它们的期望值φ（α）=E的和φ(α, ε)随机部分φ（α，ε）=φ（α，ε）-期望值为零的φ（α）：φ（α，ε）=φ（α）+φ（α，ε）（10）让我们考虑函数α（α）=u（α）-1伏（α）。我们假设α7→ “‘α（α）’是签约方：α、 αk′α（α）- \'-α（α）k≤ qkα- q<1的αkw。根据Banach不动点定理，它因此承认一个不动点。我们也用“α：”“α=”“α（”“-α）=”“u（”“-α）”来表示它-1埃（α）。（11） 当可以使用Longsta-Schwartz算法时，它将对应于在有限条路径的限制下使用该算法获得的回归系数。定义α = α - α，我们写出期望值φ和α周围随机部分φ的泰勒展开式。φ(α) =φ(α) +φ(α)αα=αα+O(α） φ（α，ε）=φ（α，ε）+Oφ(α、 ε）为了简化，我们把^φ（ε）称为函数^φ（？，ε）。φi=φ（αi）的分解-1，εi）在（10）中变成：φi=’φ（’α）+φi（12）带φi=φ(α)αα=ααi-1+^φ（εi）+O(αi-1） +Oφ(αi-1，εi）（13）我们将只关注主导项，而不会考虑最后两个可忽略的元素O(αi-1） Oφ(αi-1，εi）。让我们考虑一下φiup的Φn加权平均值对迭代n的加权wi，Φn=znPni=1wiφi，其中zn=Pni=1wi。Φnis表示Unand Vn。表达式（12）的求和ΦnreadsΦn=\'φ（\'α）+ΦnwithΦn=znPni=1wiφi。

将贡献从最近的迭代中分离出来，可以将其重写为递归：Φn=zn-1.Φn-1+wnφnzn（14）迭代n后，回归系数计算为αn=U-1nVn。围绕α展开，我们有αn=\'u（\'α）+联合国-1[\'v（\'α）+越南= \'u（\'α）-1埃（α）- \'u（\'α）-1.Un\'u（\'α）-1伏（α）+u（α）-1.Vn+O(联合国，联合国Vn）使用等式（11），这变成了αn=\'\'α+αnwithαn=-\'u（\'α）-1.Un\'u（\'α）-1伏（α）+u（α）-1.Vn+O(联合国，联合国Vn）。使用方程式（14）计算未经批准我们可以把它改写成一个递归公式αn=zn-1.αn-1+wn澳新银行+O(联合国，联合国Vn）（15）与安=-\'u（\'α）-1.un\'u（\'α）-1伏（α）+u（α）-1.越南。通过提取未经批准从等式（13）我们得到安= α(α)αα=ααn-1+^α（εn）与 α(α)α=\'u（α）-1埃v（α）α= -\'u（α）-1.\'u（α）α-u（α）-1〃v（α）+u（α）-1.v（α）α和^α（εn）=-\'u（\'α）-1^u（εn）\'u（\'α）-1伏（α）+u（α）-1^v（εn）。因此，递归方程（15）可以按如下顺序重写αn=zn-1+wn ααznαn-1+wnzn^αn.这个递归的解是αn=G1，n ααα+nXk=1Gk，nwkzk^α（εk）（16）与线性算子orgk，n=nYj=k+1zj-1+wj ααzj。Gk，nca可以在大n的极限下按以下方式渐近计算。我们首先将其改写为Gk，n=Qnj=k+1zj-1zjQnj=k+11+wjzj-1. αα. 第一个产品简化了ZKZN。第二个函数的行为是qnj=k+11+wjzj-1. αα~经验Pnj=k+1wjzj-1. αα. 当wj=zj时- zj-1，我们用积分来近似离散和：Pnj=k+1wjzj-1.~Rznzkdzz=lnznzk. 然后是Gk，n~zkznexp自然对数znzk αα. 这最终会产生：Gk，n~zkzn1.- αα. （17） 我们用在迭代i的所有路径上计算的平均价格来表示。在迭代i和vi中，它取决于回归系数αi-1在上一次迭代和迭代i的随机变量εi上计算。这意味着pi=p（αi-1，εi）=mPmj=1p（αi-1，εji）对于迭代i的m条路径。

与Ui和Vit类似，迭代i的平均价格可以写成其期望值p和零期望值的随机部分p之和：pi=p（αi-1，εi）=p（αi-1） +p（αi）-1，εi）围绕α展开p和p，我们重写pias pi=\'p（\'α）+皮维圆周率= \'pααi-1+^p（εi）高达（12）中的高阶项。n次迭代后的价格Pn是Pi上的平均值，权重为ewi:Pn=~znnXi=1ewipmore，如果线性算子 αα具有范数A： αα= 一个真正的数字≥ 我们有kGk，nk≤ A.zkzn1.-A.锌=Pni=1ewi。它也可以写成Pn=\'p（\'α）+PnwithPn=~znPni=1ewi圆周率。总结piover i和我们的重量Pn=锌“nXi=1ewi \'pααi-1+nXi=1ewi^p（εi）#插入αi-由方程式（16）得出Pn=锌“ew \'pαα+nXi=2ewi \'pαG1，i-1. ααα+ \'pα2ei=wiinxi-1Xk=1Gk，i-1wkzk^α（εk）+nXi=1ewi^p（εi）#。（18） 方程（18）的前两项是确定性的，并控制价格误差的预期值：E(（请注意）= \'pα~zn“ew+nXi=2ewiG1，i-1. αα#α.让我们假设，渐近地，ewi~ wi，因此zn~ 锌。利用G1的交感行为，我-从（17）中，我们可以改写前面等式asPni=2ewiG1，i中的和-1. αα~Rznzzz1.- αα ααdz=z1- ααZ ααn- Z αα. 因此，威格特(（请注意）~ \'pαzzn1.- ααα.如果算子的范数 αα小于1:A= αα< 1.如果是渐近的，wi~ 1，因此锌~ n然后，收敛性出现了(（请注意）∝n1-A.我们最后考虑等式（18）中的最后两项。这些是期望值为零的随机项，在蒙特卡罗方法中，这些随机项负责价格的方差。我们将研究这些对Pn的贡献的方差如何随着n进入单位而变为零。