平行美国蒙特卡罗

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英文标题：
《Parallel American Monte Carlo》
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作者：
Calypso Herrera and Louis Paulot
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we introduce a new algorithm for American Monte Carlo that can be used either for American-style options, callable structured products or for computing counterparty credit risk (e.g. CVA or PFE computation). Leveraging least squares regressions, the main novel feature of our algorithm is that it can be fully parallelized. Moreover, there is no need to store the paths and the payoff computation can be done forwards: this allows to price structured products with complex path and exercise dependencies. The key idea of our algorithm is to split the set of paths in several subsets which are used iteratively. We give the convergence rate of the algorithm. We illustrate our method on an American put option and compare the results with the Longstaff-Schwartz algorithm.
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中文摘要：
本文介绍了一种新的美式蒙特卡罗算法，该算法既可用于美式期权、可赎回结构性产品，也可用于计算交易对手信用风险（如CVA或PFE计算）。利用最小二乘回归，我们算法的主要新特点是可以完全并行化。此外，不需要存储路径，支付计算可以向前进行：这允许对具有复杂路径的结构化产品进行定价，并执行依赖关系。我们算法的关键思想是将路径集拆分为若干子集，这些子集被迭代使用。我们给出了算法的收敛速度。我们在美式看跌期权上演示了我们的方法，并将结果与Longstaff-Schwartz算法进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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2022-5-6 02:47:28 上传

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关键词：蒙特卡罗 蒙特卡 Quantitative counterparty Applications

平行美国蒙特卡洛卡利普索埃雷拉*和Louis Paulot+Misys2014年2月摘要本文介绍了一种新的美式蒙特卡洛算法，该算法可用于美式期权、可赎回结构性产品或计算交易对手信用风险（如CVA或PFE计算）。利用最小二乘回归，我们算法的主要新特点是它可以完全并行化。此外，不需要存储路径，支付计算可以向前进行：这允许对具有复杂路径和执行依赖关系的结构化产品进行定价。我们算法的关键思想是将路径集拆分为几个迭代使用的子集。我们给出了算法的收敛速度。我们在美式看跌期权上演示了我们的方法，并将结果与Longstaff-Schwartz算法进行了比较。1简介所有主要金融市场都有美式衍生品。当产品具有两个以上的风险因素或路径依赖时，使用蒙特卡罗模拟法代替有限差分法。美国蒙特卡罗法在CVA和PFE计算中也很重要，在这种情况下，必须在模拟路径的不同时间计算条件预期值（Cesari等人，2009）。蒙特卡罗模拟的主要缺点是计算时间明显高于有限差分法或三项式方法。对于欧式衍生品来说，这个问题很容易解决：路径生成和支付计算都可以并行化，只需要在最后汇总总和。

但对于美式期权、可赎回结构性产品或CVA和PFE计算来说，这并不是那么简单。*定量分析师，卡利普索。herrera@misys.com+路易斯索菲斯定量研究负责人。paulot@misys.comSophis Quantitative Research，华盛顿街42-44号，法国巴黎75008号。主要采用的算法是朗斯塔夫和施瓦茨（2001）开发的最小二乘蒙特卡罗（LSM），其简单性和鲁棒性是其主要特点。美式期权近似于百慕大期权。从最终到期日开始，在每个行权日，比较即时行权的收益和延续的预期贴现收益。比较这两个价值观，一个决定行使或持有期权。使用最小二乘回归从所有路径的信息中估计条件期望。然而，这种具有向后递归逼近价格和最优行使策略的LSM算法不能完全并行化。事实上，在每个练习日期，连续值的回归使用来自所有路径的信息，这些路径的唯一生成可以并行化。然而，与欧式选项相反，所有路径必须保存在内存中，并发送到单个计算单元：一旦路径被组装，就必须通过反向递归进行最小二乘回归、最佳运动决策和支付估计。在本文中，我们通过引入一种新的美国蒙特卡罗算法来解决这个瓶颈，该算法可以完全并行化，并依赖最小二乘回归来确定最佳运动策略，如LSM算法。我们的算法有几个有趣的特性。首先，计算的所有步骤都可以并行化。其次，在网格上进行计算时，不需要将路径保存在内存中或进行传输。

第三，每一条路径都可以向前执行运动决策和支付计算。这允许复杂的路径依赖，包括对决策的依赖。第四，该算法允许在机器学习中使用称为boosting的技术，以便更精确地估计训练边界。基本思路如下。与在第一阶段模拟所有路径并在所有路径上一起执行向后递归不同，路径集被拆分为几个子集，这些子集被迭代使用。在每次迭代中，使用之前迭代的路径估计回归系数。一个关键的观察是，在最小二乘回归方程中，计算回归系数所需的信息被编码在两个对象中，这两个对象在路径上是线性的（矩阵和向量）。因此，它们可以在连续迭代的路径上累积，而无需将所有路径保留在内存中。在每次迭代开始时，只需进行线性系统反演，这也可以并行化。我们证明了价格的收敛性，并计算了渐近误差，或等价地计算了收敛速度。最后，我们通过计算单因素美式期权来说明我们的方法。我们将结果和计算性能与LSM算法进行了比较。通过模拟对美式期权定价的早期贡献是madein Bossaerts（1989）和Tilley（1993）。其他重要作品包括Barraquandad Martineau（1995年）、Raymar和Zwecher（1997年）、Broadie和Glasserman（1997年）、Broadie和Glasserman（2004年）、Broadie等人（1997年）、Ibanez和Zapatero（2004年）以及Garcia（2000年）。

Carriere（1996）、Tsitsiklis和Van Roy（2001）以及Longstaff和Schwartz（2001）提出了使用回归计算连续性期望值的想法。最近几篇文章提出了美国期权Pricinclude Toke和Girard（2006年）以及Doan等人（2010年）的平行化。这些文章基于分层或参数化技术，以近似Ibanez和Zapatero（2004）和Picazo（2002）的过渡密度函数或早期运动边界。最近关于LSMalgorithm部分并行化的文章包括Choudhury et al.（2008）和Abbas Turki and Lapeyre（2009）。与这些研究LSM算法不同阶段（路径模拟、回归和定价）并行化的文章不同，我们没有并行化LSM算法的不同阶段，但我们提出了一种可以完全并行化的创新算法。LSM算法的收敛性在几篇文章中进行了讨论，包括Clement等人（2002年）和Stentoft（2004年）。第2节介绍了Longstaff-Schwartz算法，包括最小二乘回归。第3节描述了我们的新算法。第4节提供了有关看跌期权定价的数字结果。第5节总结了结果。附录中给出了证明，尤其是收敛速度。2 Longsta off-Schwartz AlgorithmAn美式衍生工具使持有人有可能在到期前行使该衍生工具。持有人可以在到期前的任何时间选择行使期权，或保留期权并在以后行使。百慕大的选项类似，但锻炼只能在特定日期进行。为了定价，美式期权近似于百慕大期权，行权日期离散。我们认为系统的状态由状态变量的向量Xt来描述。

在最简单的情况下，它是标的资产的即期价值。我们假设存在风险中性概率。2.1符号用当前日期表示。让我们考虑一个选择，即到期日T和接近行使日期。我们将使用以下符号：oT期权到期日oT计算日期oT<T<…<商标-1<tM=T离散化行使日期oXtvector of state variablesoXk=Xtkvalue of the state variable vector of the date tkoCk=Ck（Xk）continuation value of the date tkobCk=bCk（Xk）continuation value of the continuation value of the date tkoFk=Fk（Xk）payoff value of the activity of the date tkoPk=Pk=Pk（Xk）期权的贴现值，在tkor later date时的最佳行使t时间t2的不稳定利率。2最小二乘回归美式期权可以使用以下递归进行估值。期权到期时，期权的价值等于支付价值PM=FM。在之前的日期，持有人有两种可能性：o行使期权并获得现金流Fk；o至少在下一次练习时间tk+1之前保留该选项。如果我们假设没有套利机会，期权的持续价值是期权的预期贴现价值，有条件地取决于tk:Ck=E时可用的信息E-Rtk+1TKRSDPK+1Xk. （1） 如果付息高于续发价值Ck，持有人将行权。因此，在tk时，贴现的最佳行使支付额isPk=（FkFk≥ 杰克-Rtk+1TKRSDPK+1Fk<Ck。在蒙特卡罗计算中，（1）中的条件值不是很容易得到的。

估计它的一种方法是将其近似为基础函数的线性组合：Ck（Xk）=EePk+1Xk\'bCk（Xk）=pXl=1αk，lfk，l（Xk）（2），其中epk+1=e-Rtk+1TKRSDPK+1。这种有限线性展开可以被视为有限维函数空间在有限维子空间上的投影，或者等价于线性展开在有限个希尔伯特基函数上的截断。基本函数有几种选择，给出了不同的近似性质。系数αk，lin（2）用最小二乘法估计。换句话说，选择它们是为了最小化二次误差函数。用系数的αk表示，对于每个日期，tkwe想要最小化ψk（αk）=Ewk（Xk）Ck-pXl=1αk，lfk，l（Xk）！.其中，wk（Xk）是允许为每条路径赋予不同权重的权重。Longsta off和Schwartz的选择是，当选项在时间t中时，权重等于1，否则为0。CKE是条件期望值EePk+1Xk我们不知道，因为这是我们想要估计的函数。因此，最小二乘回归不能直接应用。然而，最小化ψkis相当于最小化一个微分函数：Φk（αk）=E“wk（Xk）ePk+1-pXl=1αk，lfk，l（Xk）#.有关证明，请参见附录A。Φk和ψk之间的差异表明，没有更多的条件期望。因此，可以使用最小二乘法，通过将贴现期权价值Sepk+1回归到状态变量值Xkat tk，来估计基函数的系数。实际上，在不相关因子N的情况下，以Φk为单位的期望值为Φk（αk，l）=NXj=1wkX（j）keP（j）k+1-pXl=1αk，lfk，lX（j）k!其中，X（j）kis是路径j上的状态变量向量，tkandeP（j）k+1是路径j上随机变量epk+1的值。

砝码能起作用X（j）k如第3.6节所述，允许关注更相关的路径。当对αk的偏导数为零时，该函数Φkha在αk上为最小值：Φkαk，l=2pXm=1NXj=1wkX（j）kfk，lX（j）kfk，mX（j）kαk，m- 2NXj=1wkX（j）kfk，lX（j）keP（j）k+1=0。（3） 让我们引入p×p矩阵UK和维数p向量VkUk，lm=NXj=1wkX（j）kfk，lX（j）kfk，mX（j）kVk，l=NXj=1wkX（j）kfk，lX（j）keP（j）k+1或更简单的矢量符号UK=NXj=1wkX（j）kfkX（j）kf> kX（j）kVk=NXj=1wkX（j）kfkX（j）keP（j）k+1。（4） 我们可以改写方程（3）asUkαk=Vk。因此，对于每个日期，通过矩阵求逆或使用线性方程求解器获得的系数αkare为：αk=U-1kVk。这是使二次误差函数最小化的系数向量。它给出了在时间tkon N N蒙特卡罗路径下期权连续值的最小二乘估计：bCk（Xk）=pXl=1αk，lfk，l（Xk）=α>kfk（Xk）。在估计系数时，它们用于计算每个路径在时间tk的连续值。继续价值将用于决定继续或行使期权。当做出决定时，我们有时间tk的现金流。如果决定继续，我们将使用Payoff的模拟值，而不是估计值。对于每条路径，我们向后计算所有日期的现金流量。2.3算法概述，Longstaff-Schwartz算法如下：1。模拟N条蒙特卡罗路径X（j）k（1）≤ J≤ N、 一,≤ K≤ M） 并将其保存在内存中或存储起来。2.在最后一个日期tM，计算终端支付P（j）M=FMX（j）N关于所有路径j.3。

从k=M开始- 1，直到k=1，执行反向递归：（a）对所有路径求和，并使用日期tk+1的payoff值，computeUk=NXj=1wkX（j）kfkX（j）kf> kX（j）kVk=NXj=1wkX（j）kfkX（j）keP（j）k+1。（b） 得到最小二乘系数αk=U-1kVk。（c） 在每个路径j上，比较payoff值FkX（j）k延拓值估计为bckX（j）k= α> 肯德基X（j）k. 如果FkX（j）k≥bCkX（j）k,设定P（j）k=FkX（j）k; 否则设置P（j）k=eP（j）k+1=e-Rtk+1tkrsdsP（j）k+1.4。最后得到衍生产品价格asP=NNXj=1P（j）的蒙特卡罗估计。（5） 2.4限制Longsta off-Schwarz算法功能强大，可以通过早期使用蒙特卡罗模拟对多因素、路径相关衍生品进行定价。然而，我们可以指出一些限制。并行化蒙特卡罗定价非常耗时。为了获得良好的性能，我们希望并行计算。在标准的美国蒙特卡罗算法中，比如我们描述的Longsta off-Schwartz算法，只有路径生成可以并行。由于它利用了所有路径，因此必须在单个计算单元上进行反向回归。这包括延拓值的最小二乘估计、精确决策和每条路径上P（j）kon的计算。内存消耗由于所有路径必须在第一阶段生成并在第二阶段使用，因此必须存储所有路径。对于一个包含多个详细分析和多个练习日期的选项，这可能代表大量数据。此外，如果路径生成分布在某个网格上，则意味着必须传输大量数据。有限的路径依赖性当支付函数向后计算时，路径依赖性仅限于状态变量向量中存在的数量。

它可以包括依赖于给定路径上的过去值的数量，但不包括依赖于之前日期的运动决策的数量。例如，摇摆期权允许以合同中规定的价格在多个日期购买一些资产（通常是电力或天然气），总数量上有一些全球最小值和最大值。这意味着在tk，k<k日期的练习上练习ondate TKD。这不能由标准的Longsta ff-Schwartz算法直接处理。3并行迭代算法我们提出了一种适用于美国蒙特卡罗的算法，该算法具有以下性质。完全并行化计算的所有阶段都可以并行化。无路径存储蒙特卡罗路径只使用一次。在agrid上进行计算时，无需将它们保留在内存中或进行传输。只有较少的聚合数据保存在内存中，并在计算单元之间交换。每个路径上的正向计算、练习决策和支付计算可从tto tM正向执行。这允许各种路径依赖性，包括依赖于以前的运动决定。Boosting算法允许使用一些Boosting来获得运动边界的越来越精确的估计。更一般的回归最小二乘回归可以同时对所有或几个日期进行，引入运动时间作为连续值函数的变量。3.1迭代不是在第一步中模拟所有路径，并在第二步中对所有路径一起执行反向递归，而是将N条路径拆分为多个集合，以迭代方式使用。在每次迭代中，系数αkare使用前一次迭代的路径进行估计。一个关键的观察结果是，在等式（4）中，UK和Vkareline在路径中是线性的。